歷年初中數(shù)學競賽試題（附答案）

初中數(shù)學競賽專項訓練

1、一個六位數(shù)，如果它的前三位數(shù)碼與后三位數(shù)碼完全相同，順序也相同，由此六位數(shù)

可以被()整除。

A.IllB.1000C.1001D.1111

解：依題意設(shè)六位數(shù)為詼詼，則詼詼=aXlO^+bXlO,+cXl(p+axl()2+bx10

+c=aX102(103+l)+bX10(103+l)+c(103+l)=(aX103+bX10+c)(103

+1)=1001(aX103+bX10+c),而aX103+bX10+c是整數(shù)，所以能被1001整

除。故選C

方法二：代入法

2、若------j-----------—,則S的整數(shù)部分是

-----1------F...."

19801981---------2001

解：因1981、1982...2001均大于1980,所以S〉----二一=野2=90,又1980、

2”2x---1---22

1980

1981……2000均小于2001,所以5<----L—=^221=90—,從而知S的整數(shù)

”22x1------2222

2001

部分為90o

3、設(shè)有編號為1、2、3……100的100盞電燈，各有接線開關(guān)控制著，開始時，它們都

是關(guān)閉狀態(tài)，現(xiàn)有100個學生，第1個學生進來時，凡號碼是1的倍數(shù)的開關(guān)拉了■

下，接著第二個學生進來，由號碼是2的倍數(shù)的開關(guān)拉一下，第n個(nWlOO)學生

進來，凡號碼是n的倍數(shù)的開關(guān)拉一下，如此下去，最后一個學生進來，把編號能被

100整除的電燈上的開關(guān)拉了一下，這樣做過之后，請問哪些燈還亮著。

解：首先，電燈編號有幾個正約數(shù)，它的開關(guān)就會被拉幾次，由于一開始電燈是關(guān)的，

所以只有那些被拉過奇數(shù)次的燈才是亮的，因為只有平方數(shù)才有奇數(shù)個約數(shù)，所以那

些編號為1、22>3\42>5\6\7\8\9?、10?共10盞燈是亮的。

4、某商店經(jīng)銷批襯衣，進價為每件m元，零售價比進價高a%,后因市場的變化，該店

把零售價調(diào)整為原來零售價的怫出售，那么調(diào)價后每件襯衣的零售價是()

A.m(l+a%)(l-b%)元B.nra%(l-b%)元

C.m(1+a%)b%元D.m(1+a%b%)元

解：根據(jù)題意，這批襯衣的零售價為每件m(1+a%)元，因調(diào)整后的零售價為原零售價

的b%,所以調(diào)價后每件襯衣的零售價為m(1+a%)b%元。

應(yīng)選C

5、如果a、b、c是非零實數(shù)，且a+b+c=O,那么_g_+_L+￡+一兒的所有可能的

\aI\b\lcI\abcI

值為()

A.OB.1或-1C.2或-2D.O或-2

解：由已知，a,b,c為兩正一負或兩負一正。

①當a,b,c為兩正一負時：

abc,abcabcabc八

---1----F=1,-----二-1所以一+—+—+-----=0；

\a\\b\IabcIIaIIbIIcIIabcI

②當a,b,c為兩負一正時:

abcabcababc

——+——+—=-1t,----=1所以---1----1----1-----=0

IaIIbIIcIIabcIIaIIbIIcIIabcI

由①②知----1----1----1----所有可能的值為0。

\a\\b\Icl\ahc\

應(yīng)選A

6、在AABC中,a、b,c分別為角A、B、C的對邊，若/B=60°,則_J+，_的

a+bc+b

值為

A.1B.邁

22

C.1D.V2

CJ3

解:過A點作AD±CD于D,在RtABDA中，則于NB=60°,所以DB=—，AD=——C。

22

r3

在RtZ\ADC中，DC2=AC2-AD2,所以有(a--)2=b2--C2,整理得aZ+c?4?

24

12

cac~-\-cb-\-a~+aba4-c+ab+bct

+ac,從而有-----+-----=-----------------=----------------7=1

a+bc+b(Q+Z?)(C+6)ac+ab+he+h

應(yīng)選C

7、設(shè)aVbVO,a2+b2=4ab,則空出的值為

()

a-b

A.V3B.V6C.2D.3

解：因為(a+b尸=6ab,(a-b/=2ab,由于a<b<0,得a+b=-J6ab,a-b=72ab,故

a+brr

應(yīng)選A

8.已知a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,則多項式a2+b2+c2-ab-bc?ca

的值為()

A.OB.1C.2D.3

2222

解:「/+/+c-ab-be-ca=^[(a-/?)+(h-c)+(c-a)]f

乂?！猙=-1,h—c=-1,c—a=2

原式=g(—l)2+(—l)2+22]=3

2t->)

9、已知abeWO,且a+b+c=O,則代數(shù)式竺+竺+匚的值是()

becaab

A.3B.2C.1D.O

解：原式=一(>+0.,+一(4+')小+一("+與^

heacah

=_(_字

bcacab

abc

=—+—+—=3

abc

10、某商品的標價比成本高p%,當該商品降價出售時，為了不虧損成本，售價的折扣（即

降價的百分數(shù)）不得超過d%,則d可用p表示為

解：設(shè)該商品的成本為a,則有a（l+p%）（l-d%）=a,解得d='^-

100+p

11＞已知實數(shù)z、y、z滿足x+y=5及z?=xy+y-9,貝Ux+2y+3z=

解：由已知條件知（x+1）+y=6,（x+1）?y=z2+9,所以x+1,y是/一6t+z?+9=0的

兩個實根，方程有實數(shù)解，則4=（-6）2-4（Z2+9）=-4Z2＞0,從而知Z=0,解

方程得x+1=3,y=3?所以x+2y+3z=8

12.氣象愛好者孔宗明同學在x（x為正整數(shù)）天中觀察到：①有7個是雨天；②有5個

下午是晴天；③有6個上午是晴天；④當下午下雨時上午是晴天。則x等于（）

A.7B.8C.9D.10

選C。設(shè)全天下雨a天，上午晴下午雨b天，上午雨下午晴c天，全天晴d天。由題可得

關(guān)系式a=0①，b+d=6②，c+d=5③，a+b+c=7④，②+③一④得2d-a=4,即d=2,故b=4,

c=3,于x=a+b+c+d=9。

13、有編號為①、②、③、④的四條賽艇，其速度依次為每小時匕、匕、匕、Q千米，

且滿足匕＞丫2＞匕＞匕＞0,其中，v水為河流的水流速度（千米/小時），它們在河

流中進行追逐賽規(guī)則如下：（1）四條艇在同一起跑線上，同時出發(fā)，①、②、③是逆

流而上，④號艇順流而下。（2）經(jīng)過1小時，①、②、③同時掉頭，追趕④號艇，誰

先追上④號艇誰為冠軍，問冠軍為幾號？

F出發(fā)1小時后，①、②、③號艇與④號艇的距離分別為

S=［（匕_丫水）+（4+v4）］xl=V,.+v4

各艇追上④號艇的時間為

匕+丫4-匕+Q-］12V4

（%+%）—（%+丫4）匕—。匕一丫4

對匕＞乙＞匕＞也有。＜，2＜G，即①號艇追上④號艇用的時間最小，①號是冠

軍。

14.有一水池，池底有泉水不斷涌出，要將滿池的水抽干，用12臺水泵需5小時，用10

臺水泵需7小時，若要在2小時內(nèi)抽干，至少需水泵幾臺？

解：設(shè)開始抽水時滿池水的量為x,泉水每小時涌出的水量為y,水泵每小時抽水量為z，

2小時抽干滿池水需n臺水泵，則

x+5y=5xl2z①

-x+7y-7xl0z②

x+2y<2nz③

x=35z

由①②得《，代入③得：35z+10z?2〃z

y=5z

AM>22-,故n的最小整數(shù)值為23。

2

答：要在2小時內(nèi)抽干滿池水，至少需要水泵23臺

15.某賓館一層客房比二層客房少5間，某旅游團48人，若全安排在第一層，每間4人，

房間不夠，每間5人，則有房間住不滿；若全安排在第二層，每3人，房間不夠，每

間住4人，則有房間住不滿，該賓館一層有客房多少間？

解：設(shè)第一層有客房x間，則第二層有(x+5)間，由題可得

<48<5x①

13(x+5)<48<4(x+5)②

八'4x<483

由①得：\,即9二<x<12

48<5x5

‘3。+5)<48

由②得:即7<x<11

48<4(x+5)

原不等式組的解集為9』<x<ll

5

整數(shù)x的值為x=10。

答：一層有客房10間。

16、某生產(chǎn)小組開展勞動競賽后，每人一天多做10個零件，這樣8個人一天做的零件超

過200個，后來改進技術(shù)，每人一天又多做27個零件，這樣他們4個人一天所做零件就

超過勞動競賽中8個人做的零件，問他們改進技術(shù)后的生產(chǎn)效率是勞動競賽前的幾倍?

解：設(shè)勞動競賽前每人一天做x個零件

*8（x+10）>200

由題意4

4（x+10+27）>8（%+10）

解得15<x<17

???尤是整數(shù)：.x=l6

（16+37）+16-3.3

故改進技術(shù)后的生產(chǎn)效率是勞動競賽前的3.3倍。

初中數(shù)學競賽專項訓練（5）

（方程應(yīng)用）

一、選擇題：

1、甲乙兩人同時從同一地點出發(fā)，相背而行I小時后他們分別到達各自的終點A與B,

若仍從原地出發(fā)，互換彼此的目的地，則甲在乙到達A之后35分鐘到達B,甲乙的

速度之比為（）

A.3：5B.4：3C.4：5D.3：4

2、某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個檔次，生產(chǎn)最低檔次產(chǎn)品，每件獲利潤8元，每提高一個

檔次，每件產(chǎn)品利潤增加2元，用同樣工時，最低檔次產(chǎn)品每天可生產(chǎn)60件，提高

一個檔次將減少3件，如果獲利潤最大的產(chǎn)品是第R檔次（最低檔次為第一檔次，檔

次依次隨質(zhì)量增加），那么R等于（）

A.5B.7C.9D.10

3、某商店出售某種商品每件可獲利m元，利潤為20%（利潤=售價一進價）,若這種商品

岬

的進價提高25%,而商店將這種商品的售價提高到每件仍可獲利m元，則提價后的

利潤率為（）

A.25%B.20%C.16%D.12.5%

4、某項工程，甲單獨需a天完成，在甲做了c（c<a）天后，剩下工作由乙單獨完成還需

b天，若開始就由甲乙兩人共同合作，則完成任務(wù)需（）天

A.cB.abC.a+b-cD.be

a+ba+b-c2a+b+c

5、A、B、C三個足球隊舉行循環(huán)比賽，下表給出部分比賽結(jié)果:

球隊比賽場次勝負平進球數(shù)失球數(shù)

A22場1

B21場24

C237

則：A、B兩隊比賽時，A隊與B隊進球數(shù)之比為（）

A.2：0B.3：1C,2：1D.0：2

6、甲乙兩輛汽車進行千米比賽，當甲車到達終點時，乙車距終點還有a千米（0VaV50）

現(xiàn)將甲車起跑處從原點后移a千米，重新開始比賽，那么比賽的結(jié)果是（）

A.甲先到達終點B.乙先到達終點

C.甲乙同時到達終點D.確定誰先到與a值無關(guān)

7、一只小船順流航行在甲、乙兩個碼頭之間需a小時，逆流航行這段路程需b小時，那

么一木塊順水漂流這段路需（）小時

A,B,c,abD.-b—

a-bb-aa-bb-a

8、A的年齡比B與C的年齡和大16,A的年齡的平方比B與C的年齡和的平方大1632,

那么A、B、C的年齡之和是（）

A.210B.201C.102D.120

二、填空題

1、甲乙兩廠生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，都計劃把全年的產(chǎn)品銷往濟南，這樣兩廠的產(chǎn)品就能占有

濟南市場同類產(chǎn)品的士3，然而實際情況并不理想，甲廠僅有1上的產(chǎn)品，乙廠僅有1上的

423

產(chǎn)品銷到了濟南，兩廠的產(chǎn)品僅占了濟南市場同類產(chǎn)品的1，則甲廠該產(chǎn)品的年產(chǎn)量

3

與乙廠該產(chǎn)品的年產(chǎn)量的比為

2、假期學校組織360名師生外出旅游，某客車出租公司有兩種大客車可供選擇，甲種客

車每輛有40個座位，租金400元；乙種客車每輛有50個座位，租金480元，則租用

該公司客車最少需用租金元。

3、時鐘在四點與五點之間，在______________時刻（時針與分針）在同一條直線上？

4、為民房產(chǎn)公司把一套房子以標價的九五折出售給錢先生，錢先生在三年后再以超出房

子原來標價60%的價格把房子轉(zhuǎn)讓給金先生，考慮到三年來物價的總漲幅為40%,則

錢先生實際上按%的利率獲得了利潤（精確到一位小數(shù)）

5、甲乙兩名運動員在長100米的游泳池兩邊同時開始相向游泳，甲游100米要72秒,

乙游100米要60秒，略去轉(zhuǎn)身時間不計，在12分鐘內(nèi)二人相遇次。

6、已知甲、乙、丙三人的年齡都是正整數(shù)，甲的年齡是乙的兩倍，乙比丙小7歲，三人

的年齡之和是小于70的質(zhì)數(shù)，且質(zhì)數(shù)的各位數(shù)字之和為13,則甲、乙、丙三人的年

齡分別是_______________

三、解答題

2

1、某項工程，如果由甲乙兩隊承包，2—天完成，需付180000元；由乙、丙兩隊承包，

5

3士天完成，需付150000元；由甲、丙兩隊承包，2?天完成，需付160000元，現(xiàn)

47

在工程由個隊單獨承包，在保證?周完成的前提下，哪個隊承包費用最少？

2、甲、乙兩汽車零售商（以下分別簡稱甲、乙）向某品牌汽車生產(chǎn)廠訂購一批汽車，甲

開始定購的汽車數(shù)量是乙所訂購數(shù)量的3倍，后來山于某種原因，甲從其所訂的汽車

中轉(zhuǎn)讓給乙6輛，在提車時，生產(chǎn)廠所提供的汽車比甲、乙所訂購的總數(shù)少了6輛，

最后甲所購汽車的數(shù)量是乙所購的2倍，試問甲、乙最后所購得的汽車總數(shù)最多是多

少量？最少是多少輛？

3、8個人乘速度相同的兩輛小汽車同時趕往火車站，每輛車乘4人（不包括司機），其中

一輛小汽車在距離火車站15km的地方出現(xiàn)故障,此時距停止檢票的時間還有42分鐘。

這時惟一可利用的交通工具是另一輛小汽車，已知包括司機在內(nèi)這輛車限乘5人，且

這輛車的平均速度是60km/h,人步行的平均速度是5km/h。試設(shè)計兩種方案，通過計

算說明這8個人能夠在停止檢票前趕到火車站。

4、某鄉(xiāng)鎮(zhèn)小學到縣城參觀，規(guī)定汽車從縣城出發(fā)于上午7時到達學校，接參觀的師

生立即出發(fā)到縣城，由于汽車在赴校途中發(fā)生了故障，不得不停車修理，學校師生等到7

時10分仍未見汽車來接，就步行走向縣城，在行進途中遇到了已修理好的汽車，立即上

車趕赴縣城，結(jié)果比原來到達縣城的時間晚了半小時，如果汽車的速度是步行速度的6

倍，問汽車在途中排除故障花了多少時間？

數(shù)學競賽專項訓練（5）方程應(yīng)用參考答案

一、選擇題

1、Do解：設(shè)甲的速度為4千米/時，乙的速度為匕千米/時，根據(jù)題意知，從出發(fā)地

點到A的路程為匕千米，到B的路程為匕千米，從而有方程：

"一上=更，化簡得12(上/+7(')—12=0,解得工=3(21=—3不合題

V]v260v2v2u24V23

意舍去)。應(yīng)選D。

2、Co解：第k檔次產(chǎn)品比最低檔次產(chǎn)品提高了(k-1)個檔次，所以每天利潤為

y=[60—3(1)][8+2(1)]

=—6(k—9>+864

所以，生產(chǎn)第9檔次產(chǎn)品獲利潤最大，每天獲利864元。

3、C?解：若這商品原來進價為每件a元，提價后的利潤率為X%,

則《解這個方程組，得1=16,即提價后的利潤率為16%。

M=(1+25%)。?x%

4、Bo解：設(shè)甲乙合作用x天完成。

1，

由題意：(L+—區(qū))x=l,解得x=—故選B。

aba+b-c

5、Ao解：A與B比賽時，A勝2場，B勝0場，A與B的比為2：0。就選A。

6、Ao解：設(shè)從起點到終點S千米，甲走(s+a)千米時，乙走x千米

22

va2>05>0一>0s-—<s即甲走(s+a)千米時，

as

2

乙走(s-<)千米。甲先到。故選A。

S

7、Bo解：設(shè)小船自身在靜水中的速度為v千米/時，水流速度為x千米/時，甲乙之間的

距離為S千米，于是有v+x=9,=S求得x=("一'?所以」=網(wǎng).。

ah2ahxb-a

8、Co解：設(shè)A、B、C各人的年齡為A、B、C,WJA=B+C+16①

A2=(B+C)2+1632②由②可得(A+B+C)(A-B-C)=1632③，由①得A

-B-C=16④，①代入③可求得A+B+C=102

二、填空題

1、2：1?解甲廠該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為x,乙廠該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為y。

3

貝人j+卜-號,解得x=2y.-.x:y=2:l

x+y

233

2、3520。解：因為9輛甲種客車可以乘坐360人，故最多需要9輛客車；又因為7輛乙

種客車只能乘坐350人，故最多需要8輛客車。

①當用9輛客車時，顯然用9輛甲種客車需用租金最少，為400X9=3600元；

②當用8輛客車時，因為7輛甲種客車，1輛乙種客車只能乘坐40X7+50=330人，而

6輛甲種客車，2輛乙種客車只能乘坐40X6+50X2=340人，5輛甲種客車，3輛乙

種客車只能乘坐40X5+50X3=350人，4輛甲種客車，4輛乙種客車只能乘坐40X

4+50X4=360人，所以用8輛客車時最少要用4輛乙種客車，顯然用4輛甲種客車,

4輛乙種客車時需用租金最少為400X4+480X4=3520元。

96

3、4點21二分或4點542分時，兩針在同一直線上。

1111

解：設(shè)四點過x分后，兩針在同一直線上，

19

若兩針重合，則6x=120+—x,求得x=213分，

211

若兩針成180度角，則6%=120+!工+180,求得了=54§分。

211

所以在4點21—9分或4點5462分時，兩針在同一直線上。

1111

4、20.3。解：錢先生購房開支為標價的95%,考慮到物價上漲因素，錢先生轉(zhuǎn)讓房子的

1+60%1.6

利率為?0.203=20.3%

95%(1+40%)0.95x1.4

5、共11次。

6、30歲、15歲、22歲。

解：設(shè)甲、乙、丙的年齡分別為x歲、y歲、z歲，則

x=2y①

<y=z-7②

%+y+z<70且％+y+z為質(zhì)數(shù)③

顯然x+y+Z是兩位數(shù)，而13=4+9=5+8=6+7

??.x+y+z只能等于67④。山①②④三式構(gòu)成的方程組，得x=30,y=15,

z=22。

三、解答題

1、設(shè)甲、乙、丙單獨承包各需x、y、z天完成,

115

"12

rx=4

114

則＜=一解得<y=6

yz15八

z=10

117i

-20

再設(shè)甲、乙、丙單獨工作一天，各需“、v、w元,

—(M+V)=180000

u=45500

,3+w)=150000,

則《解得”=29500

w-10500

y(W+Z/)=160000

于是，甲隊單獨承包費用是45500X4=182000（元），由乙隊單獨承包費用是29500X

6=177000（元），而丙不能在一周內(nèi)完成，所以，乙隊承包費最少。

2、解：設(shè)甲、乙最后所購得的汽車總數(shù)為x輛，在生產(chǎn)廠最后少供的6輛車中，甲少要

了y輛（04yW6）,乙少要了（6—y）輛，則有

31

仁（x+6）—6-y=2［—（x+6）+6-（6-y）］,整理后得x=18+12y。

44

當y=6時，x最大，為90；當y=0時，x最小為18。

所以甲、乙購得的汽車總數(shù)至多為90輛，至少為18輛。

3、解：［方案一］:當小汽車出現(xiàn)故障時，乘這輛車的4個人下車步行，另一輛車將車內(nèi)

的4個人送到火車站，立即返回接步行的4個人到火車站。

設(shè)乘出現(xiàn)故障汽車的4個人步行的距離為Mm,根據(jù)題意，有

x15+15-x

5-60-

30

解得x=—，因此這8個人全部到火車站所需時間為

13

型+5+（15—處）+60=生（小時）=40』（分鐘）＜42（分鐘）

13135213

故此方案可行。

［方案二］:當小汽車出現(xiàn)故障時，乘這輛車的4個人下車步行，另-一輛車將車內(nèi)的4

個人送到某地方后，讓他們下車步行，再立即返回接出故障汽車而步行的另外4個

人，使得兩批人員最后同時到達車站。

分析此方案可知，兩批人員步行的距離相同，如圖所示，D為無故障汽車人員下車地

點，C為有故障汽車人員上車地點。因此，設(shè)AC=BD=y,有

解得y=2。因此這8個人同時到火車站所需時間為

560

4+2上=3■（小時）=37（分鐘）＜42（分鐘），故此方案可行。

56060

ACDB

故障點火車站

4、解：假定排除故障花時X分鐘，如圖設(shè)點A為縣城所在地，點C為學校所在地，點B

為師生途中與汽車相遇之處。在師生們晚到縣城的30分鐘中，有10分鐘是因晚出發(fā)

造成的，還有20分鐘是由于從C到B步行代替乘車而耽誤的，汽車所晚的30分鐘，

一方面是由于排除故障耽誤了x分鐘，但另一方面由于少跑了B到C之間的一個來回

而省下了一些時間，已知汽車速度是步行速度的6倍，而步行比汽車從C到B這段距

離要多花20分鐘，由此汽車由C到B應(yīng)花上20-=4（分鐘），?個來回省下8分鐘,

6—1

所以有x-8=30x=38即汽車在途中排除故障花了38分鐘。

ABe

初中數(shù)學競賽專項訓練（7）

（邏輯推理）

一、選擇題：

1、世界杯足球賽小組賽，每個小組4個隊進行單循環(huán)比賽，每場比賽勝隊得3分，敗隊

得0分，平局時兩隊各得1分，小組賽完以后，總積分最高的兩個隊出線進入下輪比

賽，如果總積分相同，還要按凈勝球排序，一個隊要保證出線，這個隊至少要積

（）

A.6分B.7分C.8分D.9分

2、甲、乙、丙三人比賽象棋，每局比賽后，若是和棋，則這兩個人繼續(xù)比賽，直到分出

勝負，負者退下，由另一個與勝者比賽，比賽若干局后，甲勝4局，負2局；乙勝3

局，負3局，如果丙負3局，那么丙勝（）

A.0局B.1局C.2局D.3局

3、已知四邊形ABCD從下列條件中①AB〃CD②BC〃AD③AB=CD④BC=AD

⑤NA=/C⑥/B=/D,任取其中兩個，可以得出“四邊形ABCD是平行四邊形”

這一結(jié)論的情況有（）

A.4種B.9種C.13種D.15種

4、某校初三兩個畢業(yè)班的學生和教師共100人，一起在臺階上拍畢業(yè)照留念，攝影師要

將其排列成前多后少的梯形陣（排數(shù)23）,且要求各行的人數(shù)必須是連續(xù)的自然數(shù)，

這樣才能使后一排的人均站在前一排兩人間的空檔處，那么滿足上述要求的排法的方

案有（）

A.1種B.2種C.4種D.0種

5、正整數(shù)n小于100,并且滿足等式[2]+[1|+"]=",其中卜]表示不超過x的最

236

大整數(shù)，這樣的正整數(shù)門有（）個

A.2B.3C.12D.16

6、周末晚會上，師生共有20人參加跳舞，其中方老師和7個學生跳舞，張老師和8個

學生跳舞……依次下去，一直到何老師，他和參加跳舞的所有學生跳過舞，這個晚會

上參加跳舞的學生人數(shù)是（）

A.15B.14C.13D.12

7、如圖某三角形展覽館由25個正三角形展室組成，每兩個相鄰展室（指A

有公共邊的小三角形）都有門相通，若某參觀者不愿返回已參觀過的

展室（通過每個房間至少一次），那么他至多能參觀（）個展室。XXXA

A.23B.22C.21D.20

8、一副撲克牌有4種花色，每種花色有13張，從中任意抽牌，最小要抽（）張才

能保證有4張牌是同一花色的。

A.12B.13C.14D.15

二、填空題：

1、觀察下列圖形:

④

根據(jù)①②③的規(guī)律，圖④中三角形個數(shù)

2,有兩副撲克牌，每副牌的排列順序是：第一張是大王，第二張是小王，然后是黑桃、

紅桃、方塊、梅花四種花色排列，每種花花色的牌又按A,1,2,3,……J,Q,K

的順序排列，某人把按上述排列的兩副撲克牌上下疊放在一起，然后從上到下把第一

張丟掉，把第二張放在最底層，再把第三張丟掉，把第四張放在最底層，……如此下

去，直到最后只剩下一張牌，則所剩的這張牌是

3、用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十個數(shù)字一共可組成個能被5整除的

三位數(shù)

4、將7個小球分別放入3個盒子里，允許有的盒子空著不放，試問有種不同放

法。

5、有1997個負號“一”排成一行，甲乙輪流改“一”為正號“+”，每次只準畫一個或

相鄰的兩個“一”為“十”，先畫完“一”使對方無法再畫為勝，現(xiàn)規(guī)定甲先畫，則

其必勝的策略是__________________________________

6、有100個人，其中至少有1人說假話，又知這100人里任意2人總有個說真話，則說

真話的有人。

三、解答題

1、今有長度分別為1、2、3、……、9的線段各一條，可用多少種不同的方法從中選用

若干條組成正方形？

2、某校派出學生204人上山植樹15301株，其中最少一人植樹50株，最多一人植樹100

株，證明至少有5人植樹的株數(shù)相同。

3、袋中裝有2002個彈子，張偉和王華輪流每次可取1,2或3個，規(guī)定誰能最后取完彈

子誰就獲勝，現(xiàn)由王華先取，問哪個獲勝？他該怎樣玩這場游戲？

4、有17個科學家，他們中的每一個都和其他的科學家通信，在他們的通信中僅僅討論

三個問題，每一對科學家互相通信時，僅僅討論同一個問題。證明至少有三個科學家

關(guān)于同一個題目互相通信

數(shù)學競賽專項訓練(7)邏輯推理參考答案

一、選擇題

1、答B(yǎng)。解：4個隊單循環(huán)比賽共比賽6場，每場比賽后兩隊得分之和或為2分(即打

平)，或為3分(有勝負)，所以6場后各隊的得分之和不超過18分，若一個隊得7

分，剩下的3個隊得分之和不超過11分，不可能有兩個隊得分之和大于或等于7分，

所以這個隊必定出線，如果一個隊得6分，則有可能還有兩個隊均得6分，而凈勝球

比該隊多，該隊仍不能出線。應(yīng)選B。

2、答B(yǎng)。解有人勝一局，便有人負一局，已知總負局數(shù)為2+3+3=8,而甲、乙勝局數(shù)為

4+3=7,故丙勝局數(shù)為8-7=1,應(yīng)選B。

3、答B(yǎng)。解：共有15種搭配。①和②③和④⑤和⑥①和③②和④①和⑤

①和⑥②和⑤②和⑥能得出四邊形ABCD是平行四邊形。

①和④②和③③和⑤③和⑥④和⑤④和⑥不能得出四邊形ABCD是平行

四邊形。應(yīng)選B。

4、答B(yǎng)。解：設(shè)最后一排k個人，共n排，各排人數(shù)為k,k+1,k+2...k+(n—1)?

由題意成+“-T)=100,即〃[2女+(n-1)]=200,因k、n都是正整數(shù)，且n23,

2

所以〃<2攵+5—1),且n與2Z+(〃—1)的奇偶性相同，將200分解質(zhì)因數(shù)可知n

=5或n=8,當n=5時，k=18,當n=8時，k=9,共有兩種方案。應(yīng)選B。

nnn

5、答D。解：由一H---F—=〃，以及若x不是整數(shù)，則[x]<x知，2ln,3ln,6ln,

236

即n是6的倍數(shù)，因此小于100的這樣的正整數(shù)有—=16個。應(yīng)選D。

L6J

6、答C。解設(shè)參加跳舞的老師有x人，則第一個是方老師和（6+1）個學生跳過舞；第

二是張老師和（6+2）個學生跳過舞：第三個是王老師和（6+3）個學生跳過舞……第

x個是何老師和（6+x）個學生跳過舞，所以有x+（6+x）=20,，x=7,20-7=13。

故選C。

7、答C。解：如圖對展室作黑白相間染色，得10個白室，15個黑室，按要求不返回參

觀過的展室，因此，參觀時必定是從黑室到白室或從白室到黑室（不會出現(xiàn)從黑到黑,

或從白到白），由于白室只有10個，為使參觀的展室最多，只能從黑室開始，順次經(jīng)

過所有的白室，最終到達黑室，所以，至多能參觀到21個展室。選C。

8、選B。解：4種花色相當于4個抽屜，設(shè)最少要抽x張撲克，問題相當于把x張撲克

放進4個抽屜，至少有4張牌在同一個抽屜，有x=3X4+l=13。故選B。

二、填空題

1、解：根據(jù)圖中①、②、③的規(guī)律，可知圖④中的三角形的個數(shù)為1+4+3X4+32x4+33

X4=1+4+12+36+108=161（個）

2、解：根據(jù)題意，如果撲克牌的張數(shù)為2、2\2\……2n,那么依照上述操作方法，剩

下的一張牌就是這些牌的最后一張，例如：手中只有64張牌，依照上述操作方法，最

后只剩下第64張牌，現(xiàn)在手中有108張牌，多出108-64=44（張），如果依照上述操

作方法，先丟掉44張牌，那么此時手中恰有64張牌，而原來順序的第88張牌恰好放

在手中牌的最底層，這樣，再繼續(xù)進行丟、留的操作，最后剩下的就是原順序的第88

張牌，按照兩副撲克牌的花色排列順序88-54-2-26=6,所剩的最后一張牌是第二副牌

中的方塊6。

3、解：百位上的數(shù)共有9個，十位上的數(shù)共有10個，個位上的數(shù)共有2個，因此所有

的三位數(shù)共9X10X2=180。

4,解：設(shè)放在三個盒子里的球數(shù)分別為X、y、z，球無區(qū)別，盒子無區(qū)別，故可令

xNyNO,依題意有4,，于是3x27,xN2士，故x只有取3、4、5、

x>y>z>03

6、7共五個值。

①x=3時，y+z=4,則y只取3、2,相應(yīng)z取1、2,故有2種放法;

②x=4時，y+z=3,則y只取3、2,相應(yīng)z取0、1,故有2種放法；

③x=5時，y+z=2,則y只取2、I,相應(yīng)z取1、0,故有2種放法；

④x=6時，y+z=l,則y只取1,相應(yīng)z取0,故有1種放法；

⑤x=7時，y+z=0，則y只取0，相應(yīng)z取0，故有1種放法；

綜上所求，故有8種不同放法。

5、解：先把第999個（中間）“一”改為“+”，然后，對乙的每次改動，甲做與之中心

對稱的改動，視數(shù)字為點，對應(yīng)在數(shù)軸上，這1997個點正好關(guān)于點（999）對稱。

6、解：由題意說假話的至少有1人，但不多于1人，所以說假話的1人，說真話的99

人。

三、1、解：1+2+3+……9=45,故正方形的邊長最多為11,而組成的正方形的邊長至少

有兩條線段的和，故邊長最小為7。

7=1+6=2+5=3+4

8=1+7=2+6=3+5

9+1=8+2=7+3=6+4

9+2=8+3=7+4=64-5

9=1+8=2+7=3+6=4+5

故邊長為7、8、10、11的正方形各一個，共4個。而邊長為9的邊可有5種可能能組

成5種不同的正方形。所以有9種不同的方法組成正方形。

2、證明：利用抽屜原理，按植樹的多少，從50至100株可以構(gòu)造51年抽屜，則問題轉(zhuǎn)

化為至少有5人植樹的株數(shù)在同一個抽屜里。（用反證法）假設(shè)無5人或5人以上植樹

的株數(shù)在同一個抽屜里，那只有4人以下植樹的株數(shù)在同一個抽屜里，而參加植樹的

人數(shù)為204人，每個抽屜最多有4人，故植樹的總株數(shù)最多有：

4（50+51+52+...+100）=4X①3=.OC15301,得出矛盾。因此,

2

至少有5人植樹的株數(shù)相同。

3、解：王華獲勝。

王華先取2個彈子，將2000（是4的倍數(shù)）個彈子留給張偉取，不記張偉取多少個

彈子，設(shè)為x個，王華總跟著?。?-x）個，這樣總保證將4的倍數(shù)個彈子留給張偉

取，如此下去，最后詼是將4個彈子留給張偉取，張偉取后，王華?次取完余下的

彈子。

4、解析在研究與某些元素間關(guān)系相關(guān)的存在問題時，常常利用染色造抽屜解題。17位科

學家看作17個點，每兩位科學家互相通信看作是兩點的連線段，關(guān)于三個問題通信可

看作是用三種顏色染成的線段，如用紅色表示關(guān)于問題甲的通信，藍色表示問題乙通

信，黃色表示問題丙通信。這樣等價于：有17個點，任三點不共線，每兩點連成一條

線段，把每條線段染成紅色、藍色和黃色，且每條線段只染一種顏色，證明?定存在

一個三角形三邊同色的三角形。

證明：從17個點中的一點，比如點A處作引16條線段，共三種顏色，由抽屜原理至

少有6條線段同色，設(shè)為AB、AC、AD、AE、A