專題2.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算（七個(gè)重難點(diǎn)突破）

專題2.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)1復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算設(shè)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)運(yùn)算計(jì)算公式加法減法交換律結(jié)合律知識(shí)點(diǎn)2復(fù)數(shù)加減法的幾何意義（1）復(fù)數(shù)加法的幾何意義.如圖,設(shè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量分別為,四邊形為平行四邊形,則與對(duì)應(yīng)的向量是.（2）向量減法的幾何意義如圖所示,設(shè)分別與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng),且不共線,則這兩個(gè)復(fù)數(shù)的差與向量（即對(duì)應(yīng).重難點(diǎn)1復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算1．已知，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，然后求出其在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，從而可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限．故選：C2．復(fù)數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，若為實(shí)數(shù)，為純虛數(shù)，則（

）A．6 B． C． D．7【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減法，結(jié)合實(shí)數(shù)、純虛數(shù)的定義求解即得.【詳解】復(fù)數(shù)，為實(shí)數(shù)，則，由為實(shí)數(shù)，得，解得，又，顯然，由為純虛數(shù)，得，解得，所以.故選：C3．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)榭苫癁?，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所以，所以．故選：A．4．（多選）已知復(fù)平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D構(gòu)成平行四邊形，頂點(diǎn)A，B，C對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)，則點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)可以是（）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義分類討論即可求解.【詳解】分三種情況：①當(dāng)時(shí)，，所以；②當(dāng)時(shí)，，所以；③當(dāng)時(shí)，，所以，所以點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為或或.故選：ABD.5．設(shè)是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則．【答案】【分析】根據(jù)題意可得，進(jìn)而結(jié)合模長(zhǎng)公式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，則，所以.故答案為：.6．（1）計(jì)算：；（2）設(shè)，（，），且，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）（2）運(yùn)用復(fù)數(shù)加減運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等求解即可.【詳解】（1）原式＝.（2）因?yàn)?，，，所以，所以，解得，所?重難點(diǎn)2復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義7．若向量分別表示復(fù)數(shù)，則=（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)減法的幾何意義求得，再根據(jù)模長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】因?yàn)椋窒蛄糠謩e表示復(fù)數(shù)，所以表示復(fù)數(shù)，所以.故選：B8．在復(fù)平面內(nèi)，O為原點(diǎn)，四邊形OABC是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，且A，B，C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，z3，若，則z2=（

）A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)加法的幾何意義及法則即可求解.【詳解】因?yàn)镺為原點(diǎn)，四邊形OABC是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，又因?yàn)?，所以由?fù)數(shù)加法的幾何意義可得，.故選：C.9．復(fù)平面上有A、B、C三點(diǎn)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】根據(jù)即，求得點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，進(jìn)而即得.【詳解】因?yàn)閷?duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，又，所以對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，又，所以點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：．10．在復(fù)平面內(nèi)，已知復(fù)數(shù)滿足，且，求.【答案】【分析】設(shè)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，利用向量運(yùn)算和復(fù)數(shù)的向量表示可解.【詳解】設(shè)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，因?yàn)椋?，所以為等腰直角三角形，?

作正方形AOBC，如圖所示，則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，故.重難點(diǎn)3復(fù)數(shù)模的最值問(wèn)題11．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的復(fù)平面上的點(diǎn)的集合所表示的圖形是（

）A．正方形面 B．一條直線 C．圓面 D．圓環(huán)面【答案】D【分析】設(shè)，根據(jù)模的定義求出軌跡方程即可得解.【詳解】設(shè)，則由可得，即，所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)表示的圖形是圓環(huán)面.故選：D.12．已知復(fù)數(shù)滿足，則（為虛數(shù)單位）的最大值為．【答案】6【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】設(shè)(為實(shí)數(shù))，則復(fù)數(shù)滿足的幾何意義是以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓上的點(diǎn)，則表示的幾何意義是圓上的點(diǎn)到的距離，根據(jù)圓的性質(zhì)可知，所求最大值為.故答案為：6.13．若復(fù)數(shù)滿足，則（為虛數(shù)單位）的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先設(shè)復(fù)數(shù)，(且不同時(shí)為0)，根據(jù)條件化簡(jiǎn)求得的關(guān)系式，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義求最值.【詳解】設(shè)，(且不同時(shí)為0)，由題意可知，得或，當(dāng)時(shí)，的軌跡是軸（除原點(diǎn)外），此時(shí)的幾何意義表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)和的距離，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，如圖，根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義可知，的幾何意義是圓上的點(diǎn)到的距離，如圖可知，的最小值是點(diǎn)與的距離.故選：B14．已知復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為（

）A．1 B．3 C． D．【答案】A【分析】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，由復(fù)數(shù)的幾何意義可知點(diǎn)的軌跡為，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最小值，從而即可求解．【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，因?yàn)閺?fù)數(shù)滿足，所以由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，點(diǎn)到點(diǎn)和的距離相等，所以在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的軌跡為，又表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最小值，當(dāng)為時(shí)，到定點(diǎn)的距離最小，最小值為1，所以的最小值為1，故選：A．15．設(shè)是復(fù)數(shù)且，則的最小值為.【答案】/【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義可知，表示復(fù)平面內(nèi)以為圓心，1為半徑的圓，而表示復(fù)數(shù)到原點(diǎn)的距離，由圖可知，.故答案為：.知識(shí)點(diǎn)3復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算設(shè)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)運(yùn)算計(jì)算公式乘法除法交換律結(jié)合律乘法對(duì)加法的分配律重難點(diǎn)4復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算16．已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由，得到，利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則求出，進(jìn)而求出復(fù)數(shù)即可.【詳解】由于，得，則，故選：A.17．若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的模公式及復(fù)數(shù)除法法則即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以由，?故選：B.18．若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．3 B．2 C． D．1【答案】C【分析】先求出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，再根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式即可得解.【詳解】由，得，所以，所以，所以.故選：C.19．設(shè)，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于虛軸上，則.【答案】【分析】由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以，解得：.故答案為：.20．若復(fù)數(shù)，則．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算以及模長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】,,故答案為：21．計(jì)算：(1)；(2).【答案】(1)0(2)【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)求值.【詳解】（1）.（2）.重難點(diǎn)5復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算22．若復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．0【答案】D【分析】根據(jù)題意結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：，，所以.故選：D.23．計(jì)算（i為虛數(shù)單位）的值為.【答案】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則求解即可.【詳解】由于，則.故答案為：24．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意，，可得，則.故選：B25．已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．0 B．1 C． D．2【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)乘除法以及復(fù)數(shù)模的運(yùn)算公式即可求解.【詳解】由題意，所以.故選：C.26．復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B．2 C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方和除法運(yùn)算即可.【詳解】由，所以虛部為2.故選：B.27．已知集合，則的元素個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z，得出復(fù)數(shù)的周期性，即可判斷集合中的元素個(gè)數(shù).【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，可知以上四種情況循環(huán)，故集合，的元素個(gè)數(shù)為3.故選：C重難點(diǎn)6共軛復(fù)數(shù)的應(yīng)用28．若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的模及除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，進(jìn)而得到，從而求解.【詳解】由，得，所以，即的虛部為故選：D．29．復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】首先待定結(jié)合復(fù)數(shù)相等求得，結(jié)合模長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】由題意不妨設(shè)，所以，所以，解得，所以.故選：C.30．若復(fù)數(shù)滿足，則可以為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】借助復(fù)數(shù)的性質(zhì)設(shè)，結(jié)合題意計(jì)算即可得.【詳解】設(shè)，則，故有，即有，選項(xiàng)中只有A選項(xiàng)符合要求，故A正確，B、C、D選項(xiàng)不符合要求，故B、C、D錯(cuò)誤.故選：A.31．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算法則即可求解.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，解得所?故選：C.32．（多選）已知為復(fù)數(shù)，下列結(jié)論正確的有（

）A．B．C．若，則D．若，則或【答案】ABD【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的意義計(jì)算判斷ABD；舉例說(shuō)明判斷C.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，，，，B正確；對(duì)于C，取，滿足，而，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，即，則，即，因此或，即或，D正確.故選：ABD33．已知，為的共軛復(fù)數(shù)，若，求.【答案】或【分析】設(shè)（，），代入方程，結(jié)合復(fù)數(shù)相等求解即可.【詳解】設(shè)（，），則（，），由題意得，即，則，解得或，所以或.重難點(diǎn)7復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的解34．設(shè)復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將代入方程結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可得解.【詳解】將代入方程得：，得，即.故選：D.35．已知復(fù)數(shù)，是方程的兩個(gè)虛數(shù)根，則（

）A．0 B． C．2 D．4【答案】C【分析】直接由求根公式求出兩個(gè)虛根，再由復(fù)數(shù)減法運(yùn)算、模的運(yùn)算即可求解.【詳解】∵復(fù)數(shù)，是方程的兩個(gè)虛數(shù)根，∴，為，∴．故選：C.36．已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的一個(gè)根，則.【答案】0【分析】根據(jù)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，實(shí)系數(shù)方程的兩個(gè)根是互為共軛復(fù)數(shù)的，結(jié)合韋達(dá)定理得可得答案.【詳解】因?yàn)樵趶?fù)數(shù)范圍內(nèi)，實(shí)系數(shù)方程的兩個(gè)根是互為共軛復(fù)數(shù)的，所以實(shí)系數(shù)方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的另一個(gè)根是，結(jié)合韋達(dá)定理得，解得，所以.故答案為：0.37．方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的解為.【答案】【分析】根據(jù)虛數(shù)單位的性質(zhì)，結(jié)合