山東省膠州市第二中學(xué)高中數(shù)學(xué)必修五第一章解三角形應(yīng)用舉例預(yù)習(xí)教案

學(xué)生姓名年級(jí)學(xué)科數(shù)學(xué)上課時(shí)間教師姓名課題必修五第一章解三角形應(yīng)用舉例預(yù)習(xí)教案教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)：了解正、余弦定理能力目標(biāo)：運(yùn)用正、余弦定理解決實(shí)際問題情感態(tài)度價(jià)值觀：在解決實(shí)際問題中，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型產(chǎn)生興趣教學(xué)過程教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)1.寫出正弦定理的公式2.寫出余弦定理的公式3.三角形的面積公式為？4.在銳角中，角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為.若（）A．B．C．D．實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的模型構(gòu)建1、正弦定理：在中，、、分別為角、、的對(duì)邊，為的外接圓的半徑，則有．2、余弦定理：在中，有，，．實(shí)際問題中的有關(guān)概念(1)仰角和俯角：在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖1)．(2)方位角：從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖2)．(3)方向角：相對(duì)于某一正方向的水平角(如圖3)①北偏東α°即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°到達(dá)目標(biāo)方向．②北偏西α°即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°到達(dá)目標(biāo)方向．③南偏西等其他方向角類似(4)坡度：①定義：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖4，角θ為坡角②坡比：坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比(如圖4，i為坡比)．【題型一、測(cè)量距離問題】【例1】如圖，A，B兩點(diǎn)在河的同側(cè)，且A，B兩點(diǎn)均不可到達(dá)，測(cè)出AB的距離，測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C，D，測(cè)得CD＝a，同時(shí)在C，D兩點(diǎn)分別測(cè)得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分別計(jì)算出AC和BC，再在△ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出AB.若測(cè)得CD＝eq\f(\r(3),2)km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B兩點(diǎn)間的距離．【方法技巧】求距離問題的注意事項(xiàng)：選定或確定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理．【題型二、測(cè)量高度問題】【例2】如圖所示，測(cè)量河對(duì)岸的塔高時(shí)，可以選與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)與，現(xiàn)測(cè)得，并在點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫椋笏?【方法技巧】求解高度問題應(yīng)注意：在測(cè)量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)，視線與水平線的夾角；準(zhǔn)確理解題意，分清已知條件與所求，畫出示意圖；運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解問題的答案，注意方程思想的運(yùn)用．【題型三、測(cè)量角度問題】【例3】在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向，相距12nmile的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí)10nmile的速度沿南偏東75°方向前進(jìn)，若偵察艇以每小時(shí)14nmile的速度，沿北偏東45°＋α方向攔截藍(lán)方的小艇．若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時(shí)間和角α的正弦值．【方法技巧】解決測(cè)量角度問題的注意事項(xiàng)：(1)明確方位角的含義；(2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意正確畫出示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步；(3)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，注意正、余弦定理的“聯(lián)袂”使用．1、如圖所示，要測(cè)量一水塘兩側(cè)A，B兩點(diǎn)間的距離，其方法先選定適當(dāng)?shù)奈恢肅，用經(jīng)緯儀測(cè)出角α，再分別測(cè)出AC，BC的長(zhǎng)b，a，則可求出A，B兩點(diǎn)間的距離．即AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosα).若測(cè)得CA＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°，試計(jì)算AB的長(zhǎng)．2、如圖所示，A，B兩點(diǎn)在一條河的兩岸，測(cè)量者在A的同側(cè)，且B點(diǎn)不可到達(dá)，要測(cè)出AB的距離，其方法在A所在的岸邊選定一點(diǎn)C，可以測(cè)出AC的距離m，再借助儀器，測(cè)出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，運(yùn)用正弦定理就可以求出AB.若測(cè)出AC＝60m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，則A，B兩點(diǎn)間的距離為________．3、如圖，在坡度一定的山坡A處測(cè)得山頂上一建筑物CD(CD所在的直線與地平面垂直)對(duì)于山坡的斜度為α，從A處向山頂前進(jìn)l米到達(dá)B后，又測(cè)得CD對(duì)于山坡的斜度為β，山坡對(duì)于地平面的坡角為θ.(1)求BC的長(zhǎng)；(2)若l＝24，α＝15°，β＝45°，θ＝30°，求建筑物CD的高度．4、如圖所示，已知樹頂A離地面eq\f(21,2)米，樹上另一點(diǎn)B離地面eq\f(11,2)米，某人在離地面eq\f(3,2)米的C處看此樹，則該人離此樹________米時(shí)，看A，B的視角最大．5、如圖，扇形AOB是一個(gè)觀光區(qū)的平面示意圖，其中圓心角∠AOB為eq\f(2π,3)，半徑OA為1km.為了便于游客觀光休閑，擬在觀光區(qū)內(nèi)鋪設(shè)一條從入口A到出口B的觀光道路，道路由弧AC、線段CD及線段DB組成，其中D在線段OB上，且CD∥AO.設(shè)∠AOC＝θ.(1)用θ表示CD的長(zhǎng)度，并寫出θ的取值范圍；(2)當(dāng)θ為何值時(shí)，觀光道路最長(zhǎng)？6、在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距離A處(eq\r(3)－1)海里的B處有一艘走私船；在A處北偏西75°方向，距離A處2海里的C處的緝私船奉命以10eq\r(3)海里/小時(shí)的速度追截走私船．同時(shí)，走私船正以10海里/小時(shí)的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少時(shí)間？1．一船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西75°距塔68海里的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為()A.eq\f(17\r(6),2)海里/小時(shí) B．34eq\r(6)海里/小時(shí)C.eq\f(17\r(2),2)海里/小時(shí) D．34eq\r(2)海里/小時(shí)2．一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見一燈塔在船的南偏西60°，另一燈塔在船的南偏西75°，則這艘船的速度是每小時(shí)()A．5海里 B．5eq\r(3)海里C．10海里 D．10eq\r(3)海里3．已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與B的距離為()A．a(chǎn)km B．eq\r(3)akmC.eq\r(2)akm D．2akm4．兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站北偏東40°，燈塔B在觀察站的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A．北偏東10° B．北偏西10°C．南偏東10° D．南偏西10°5．已知A、B兩地間的距離為10km，B、C兩地間的距離為20km，現(xiàn)測(cè)得∠ABC＝120°，則A、C兩地間的距離為()A．10km B.eq\r(3)kmC．10eq\r(5)km D．10eq\r(7)km6．已知A船在燈塔C北偏東80°處，且A到C距離為2km，B船在燈塔C北偏西40°，AB兩船距離為3km，則B到C的距離為()A.eq\r(19)km B．(eq\r(6)－1)kmC．(eq\r(6)＋1)km D.eq\r(7)km某居民小區(qū)為了美化環(huán)境，給居民提供更好的生活環(huán)境，在小區(qū)內(nèi)的一塊三角形空地上(如圖，單位：m)種植草皮，已知這種草皮的價(jià)格是120元/m2，則購買這種草皮需要________元．2.海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，與O相距10nmile的C處，現(xiàn)甲船以30nmile/h的速度沿直線CB去營(yíng)救位于中心O正東方向20nmile的B處的乙船，甲船需要________h到達(dá)B處．3．輪船A和輪船B在中午12時(shí)同時(shí)離開海港C，兩船航行方向的夾角為12