重慶市2024-2025學年高二數(shù)學上學期期末試題含解析

Page22留意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、班級、考號等填寫在答題卡指定位置上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單選題本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知向量，，且，則實數(shù)的值為（）．A.4 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】依題意可得，依據(jù)數(shù)量積的坐標表示得到方程，解得即可.【詳解】解：因為，，且，所以，解得.故選：A2.已知表示的曲線是圓，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】方程配方后得，依據(jù)圓的半徑大于0求解.【詳解】由方程可得，所以當時表示圓，解得.故選：C.3.數(shù)列滿意，且則的值為（）A. B.C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】依據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式，求得數(shù)列的周期性，結(jié)合周期性得到，即可求解.【詳解】由題意，數(shù)列滿意，且，可得，可得數(shù)列是以三項為周期的周期數(shù)列，所以.故選：C.4.已知直線，直線，設，則是的（）．A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】C【解析】【分析】依據(jù)兩直線平行的條件可知，計算出的值即可得出結(jié)論.【詳解】解：兩直線平行充分必要條件是，且，解得，閱歷證，當時，兩直線平行．故選：C．5.若成等差數(shù)列；成等比數(shù)列，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)列出方程，求出，，求出.【詳解】由題意得：，設的公比為，則，，解得：，.故選：B6.已知橢圓上存在兩點關(guān)于直線對稱，且線段中點的縱坐標為，則橢圓的離心率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)兩點關(guān)于直線對稱點的特征可求得，并得到中點坐標；利用點差法可構(gòu)造等式求得，依據(jù)橢圓離心率可求得結(jié)果.【詳解】關(guān)于直線對稱，，又中點縱坐標為，中點橫坐標為；設，，則，兩式作差得：，即，；又，，，解得：，橢圓的離心率.故選：A.7.已知是拋物線上的一點，過點作直線的垂線，垂足為，若是圓：上隨意一點，則的最小值是（）A. B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】【分析】畫出拋物線的焦點和準線，利用拋物線的幾何性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為C，P，F(xiàn)之間的距離之和，依據(jù)三點共線求得最小值.【詳解】拋物線的焦點是，準線方程是，PH與準線的交點是，圓C的半徑為，圓心為，依題意作下圖：由圖可知：，，當C，P，F(xiàn)三點共線時最小，的最小值是6；故選：D.8.意大利聞名數(shù)學家斐波那契在探討兔子繁殖問題時，發(fā)覺有這樣一列數(shù)：，從第三項起，每個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和，即，后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”.設數(shù)列的前項和為，記，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意可得，，兩式相加可得，再結(jié)合已知條件可得答案.【詳解】因為，所以①，②，由①+②，得，又，即，所以.故選：C.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.設數(shù)列的前項和為，下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則的最小值為C.若，則數(shù)列的前17項和為D.若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則當時，的最大值為2024【答案】BC【解析】【分析】令時，由求出可推斷A；由知，，當時，取得的最小值可推斷B；若，求出數(shù)列的前項和可推斷C；由數(shù)列的下標和性質(zhì)可得，則可推斷D.【詳解】對于A，由，當時，，由，當時，，所以，A不正確；對于B，若，當時，，則，所以當時，取得的最小值為，所以，B正確；對于C，若，設數(shù)列的前項和為，所以，故C正確；對于D，數(shù)列為等差數(shù)列，且，則，所以，當時，的最大值為，所以D不正確.故選：BC.10.已知方程，則下列說法中正確的有（）A.方程可表示圓B.當時，方程表示焦點在軸上的橢圓C.當時，方程表示焦點在軸上的雙曲線D.當方程表示橢圓或雙曲線時，焦距均為10【答案】BCD【解析】【分析】分別將的值代入各個命題，依據(jù)圓錐曲線方程的特點即可作出推斷．詳解】對于A，當方程可表示圓時，，無解，故A錯誤.對于B，當時，，，表示焦點在軸上的橢圓，故B正確.對于C，當時.，，，表示焦點在軸上的雙曲線，故C正確.對于D，當方程表示雙曲線時，；當方程表示橢圓時，，所以焦距均為10，故D正確.故選：BCD11.如圖，在正方體中，點P在線段上運動，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線平面B.三棱錐的體積為定值C.異面直線與所成角的取值范圍是D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】在選項A中，利用線面垂直的判定定理，結(jié)合正方體的性質(zhì)進行推斷即可；在選項B中，依據(jù)線面平行的判定定理、平行線的性質(zhì)，結(jié)合三棱錐的體積公式進行求解推斷即可；在選項C中，依據(jù)異面直線所成角的定義進行求解推斷即可；在選項D中，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法進行求解即可.【詳解】在選項A中，∵，，，且平面，∴平面，平面，∴，同理，，∵，且平面，∴直線平面，故A正確；在選項B中，∵，平面，平面，∴平面，∵點在線段上運動，∴到平面的距離為定值，又的面積是定值，∴三棱錐的體積為定值，故B正確；在選項C中，∵，∴異面直線與所成角為直線與直線的夾角.易知為等邊三角形，當為的中點時，；當與點或重合時，直線與直線的夾角為.故異面直線與所成角的取值范圍是，故C錯誤；在選項D中，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖，設正方體的棱長為1，則，，，，所以，.由A選項正確：可知是平面的一個法向量，∴直線與平面所成角的正弦值為：，∴當時，直線與平面所成角的正弦值的最大值為，故D正確.故選：ABD12.一塊斯里蘭卡月光石的截面可近似看成由半圓和半橢圓組成，如圖所示，在平面直角坐標系中，半圓的圓心在坐標原點，半圓所在的圓過橢圓的右焦點，橢圓的短軸與半圓的直徑重合.若直線與半圓交于點A，與半橢圓交于點，則下列結(jié)論正確的是（）A.橢圓的離心率是 B.線段長度的取值范圍是C.面積的最大值是 D.的周長存在最大值【答案】AC【解析】【分析】求得橢圓的離心率推斷選項A；求得線段長度的取值范圍推斷選項B；求得面積的最大值推斷選項C；依據(jù)表達式結(jié)合參數(shù)范圍推斷的周長是否存在最大值.【詳解】由題意得半圓的方程為，設半橢圓的方程為，又，則，則半橢圓的方程為則橢圓的離心率，故選項A推斷正確；直線與半圓交于點A，與半橢圓交于點，則線段長度的取值范圍是.故選項B推斷錯誤；不妨設則由，可得；由，可得；則（當且僅當時等號成立）故選項C推斷正確；的周長為則在上單調(diào)遞減，則的周長不存在最大值.故選項D推斷錯誤.故選：AC三、填空題：本題共4個小題，每小題5分，共20分．把答案填寫在答題卡相應位置上．13.若數(shù)列是等比數(shù)列，其前項和，為正整數(shù)，則實數(shù)的值為____.【答案】1【解析】【分析】利用與的關(guān)系結(jié)合等比數(shù)列的前項和公式求解.【詳解】當時，，當時，，所以，又是等比數(shù)列，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，此數(shù)列的前項和，則的值為.故答案為：1.14.已知數(shù)列滿意則___.【答案】1024【解析】【分析】由可得，從而可得數(shù)列是以2為公比，1為首項的等比數(shù)列，可求出通項公式，進而可求出【詳解】因為所以，所以數(shù)列是以2為公比，1為首項的等比數(shù)列，所以，所以，所以，故答案為：102415.已知動圓P圓心P在y軸的右側(cè)，圓P與y軸相切，且與圓C：外切．則動圓圓心P的軌跡方程為____________．【答案】【解析】【分析】由題意，設點，圓P與y軸相切則圓P的半徑為，在依據(jù)兩圓的位置關(guān)系求出解析式即可.【詳解】由題知，設點，因為圓P與y軸相切，所以圓P的半徑為，由圓C：，所以圓心為，半徑，由圓P與圓外切，所以，即，化簡得：故答案為：.16.設拋物線的焦點為，準線為，過焦點的直線交拋物線于，兩點，分別過，作的垂線，垂足為，，若，則____________；_____________．【答案】①.4②.【解析】【分析】由拋物線的焦點為，求得p=4；過點作，交直線于點，利用直線的斜率為,結(jié)合拋物線定義求解即可.【詳解】拋物線的焦點為，所以，所以p=4；如圖所示，過點作，交直線于點，由拋物線的定義知，，且，所以，，所以，所以直線的斜率為；設直線的方程為，點，，由，消去整理得，所以，所以，所以，所以的面積為.故答案為：；．四、解答題：本題共6個小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知圓的方程為．（1）求過點且與圓相切的直線的方程；（2）直線過點，且與圓交于兩點，當是等腰直角三角形時，求直線的方程．【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）斜率不存在時明顯相切，斜率存在時，設出直線點斜式方程，由圓心到直線距離等于半徑求出，進而得解；（2）設出直線的點斜式方程，由幾何關(guān)系得圓心到直線距離為，進而得解.【小問1詳解】當直線斜率不存在時，明顯與相切；當直線斜率存在時，可設，由幾何關(guān)系可得，解得，故，即，故過點且與圓相切的直線的方程為或；【小問2詳解】設，可設中點為，因為是等腰直角三角形，所以，即圓心到直線距離，解得或7，故直線或，即或.18.如圖，三棱柱中，M，N分別是上的點，且．設，，．（1）試用，，表示向量；（2）若，求MN的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用空間向量的線性運算即可求解.（2）依據(jù)空間向量的數(shù)量積以及向量模的求法即可求解.【小問1詳解】解：，∴；【小問2詳解】解：，，，，，即MN的長為.19.已知等差數(shù)列中，，，在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列與的通項公式（2）求數(shù)列的前n項和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列的，即可求出的通項公式，進而求出的通項公式（2）表示出的通項公式，用錯位相減法即可求解數(shù)列的前n項和【小問1詳解】解：設的公差為，則，所以解得，所以；由題設等比數(shù)列的公比為，由題得，，∴，∴．所以．所以．【小問2詳解】由題得．所以則兩式相減得所以．20.如圖，在直四棱柱中，底面是邊長為2的菱形，且，，分別為，的中點.（1）證明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接交于點，連接，為的中點，易得四邊形為平行四邊形，從而，再利用線面垂直的判定定理證得平面即可.（2）以O為原點，以OB，OC，OF建立空間直角坐標系，分別求得平面的一個法向量和平面的一個法向量，然后由求解.【詳解】（1）如圖所示：連接交于點，連接，為的中點，所以，，又為的中點﹐，所以，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，.直四棱柱中，平面，平面，所以.又因為底面是菱形，所以，又，平面，平面，所以平面.所以平面.（2）建立如圖空間直角坐標系，由，知，又，則，，，，設為平面的一個法向量.由，得，令，可得.設為平面的一個法向量.由，即，令，可得..如圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值是.【點睛】方法點睛：1、利用向量求異面直線所成的角的方法：設異面直線AC，BD的夾角為β，則cosβ＝.2、利用向量求線面角的方法：(1)分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角．3、利用向量求面面角的方法：就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要留意結(jié)合實際圖形推斷所求角是銳角還是鈍角．21.設橢圓右頂點為A，上頂點為B．已知橢圓的離心率為，．（1）求橢圓的方程；（2）設直線l：與橢圓交于P，Q兩點，l與直線AB交于點M，且點P，M均在第四象限．若，求k的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題意結(jié)合幾何關(guān)系可求得，.則橢圓的方程為；（2）設點P的坐標為，點M的坐標為，由題意可得.易知直線的方程為，由方程組可得.由方程組可得.結(jié)合，可得，解出，或.經(jīng)檢驗的值為.【小問1詳解】設橢圓的焦距為2c，由已知得，又由，可得．又，所以，，所以，橢圓的方程為．【小問2詳解】設點P的坐標為，點M的坐標為，由題意，，點的坐標為．因為，所以有，，，所以，即．易知直線的方程為，由方程組消去y，可得．由方程組消去，可得．由，可得，兩邊平方，整理得，解得，或．當時，由可得，，不合題意，舍去；當時，由可得，，.所以，.22.已知等軸雙曲線：的虛軸長為.（1）求雙曲線的標準方程；（2）過雙曲線的右焦點的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點，請問軸上是否存在確定點P，使得?若存在，懇求出定點的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）滿意題意的定點Р存在，坐標為.【解析】【分析】（1）由題意得，，即可得到雙曲線方程；（2）依據(jù)已知可設直線AB的方程為.設存在，依據(jù)，可得，