2025版高考物理一輪總復(fù)習(xí)素養(yǎng)提升第11章磁場專題強(qiáng)化14帶電粒子在磁場中運(yùn)動的臨界問題與多解問題

“磁聚焦”和“磁發(fā)散”模型1．“磁聚焦”模型(1)現(xiàn)象：如圖甲所示，大量的同種帶正電的粒子，速度大小相同，平行入射到圓形磁場區(qū)域，假如軌跡圓半徑與磁場圓半徑相等，則全部的帶電粒子將從磁場圓的最低點(diǎn)B點(diǎn)射出。(會聚)(2)條件：軌跡圓半徑R等于磁場圓半徑r。(3)證明：四邊形OAO′B為菱形，必是平行四邊形，對邊平行，OB必平行于AO′(即豎直方向)，可知從A點(diǎn)發(fā)出的帶電粒子必定經(jīng)過B點(diǎn)。2．“磁發(fā)散”模型(1)現(xiàn)象：如圖乙所示，從P點(diǎn)有大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁場，不計(jì)粒子的重力，則全部粒子射出磁場的方向平行。(發(fā)散)(2)條件：軌跡圓半徑等于磁場圓半徑(3)證明：全部粒子運(yùn)動軌跡的圓心與有界圓圓心O、入射點(diǎn)、出射點(diǎn)的連線為菱形，也是平行四邊形，O1A(O2B、O3C)均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)。(2024·湖南卷)帶電粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制備的關(guān)鍵技術(shù)之一。帶電粒子流(每個粒子的質(zhì)量為m、電荷量為＋q)以初速度v垂直進(jìn)入磁場，不計(jì)重力及帶電粒子之間的相互作用。對處在xOy平面內(nèi)的粒子，求解以下問題：(1)如圖(a)，寬度為2r1的帶電粒子流沿x軸正方向射入圓心為A(0，r1)、半徑為r1的圓形勻強(qiáng)磁場中，若帶電粒子流經(jīng)過磁場后都匯聚到坐標(biāo)原點(diǎn)O，求該磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度B1的大?。?2)如圖(a)，虛線框?yàn)檫呴L等于2r2的正方形，其幾何中心位于C(0，－r2)。在虛線框內(nèi)設(shè)計(jì)一個區(qū)域面積最小的勻強(qiáng)磁場，使匯聚到O點(diǎn)的帶電粒子流經(jīng)過該區(qū)域后寬度變?yōu)?r2，并沿x軸正方向射出。求該磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度B2的大小和方向，以及該磁場區(qū)域的面積(無需寫出面積最小的證明過程)；(3)如圖(b)，虛線框Ⅰ和Ⅱ均為邊長等于r3的正方形，虛線框Ⅲ和Ⅳ均為邊長等于r4的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分別設(shè)計(jì)一個區(qū)域面積最小的勻強(qiáng)磁場，使寬度為2r3的帶電粒子流沿x軸正方向射入Ⅰ和Ⅱ后匯聚到坐標(biāo)原點(diǎn)O，再經(jīng)過Ⅲ和Ⅳ后寬度變?yōu)?r4，并沿x軸正方向射出，從而實(shí)現(xiàn)帶電粒子流的同軸控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中勻強(qiáng)磁場區(qū)域的面積(無需寫出面積最小的證明過程)。[解析](1)依據(jù)磁聚焦模型，由幾何關(guān)系有r＝r1洛倫茲力供應(yīng)向心力，有qvB1＝eq\f(mv2,r)解得B1＝eq\f(mv,qr1)。(2)依據(jù)磁發(fā)散模型，由幾何關(guān)系有r′＝r2qvB2＝eq\f(mv2,r′)解得B2＝eq\f(mv,qr2)，方向垂直紙面對里磁場區(qū)域的最小面積S＝πreq\o\al(2,2)。(3)如圖所示在區(qū)域Ⅰ中，最小磁場區(qū)域的邊界一部分是由各粒子入射點(diǎn)形成的邊界，由磁聚焦模型可知是一段半徑為r3的圓弧，另一部分是由最上端入射粒子運(yùn)動軌跡形成的邊界，由磁聚焦模型可知是一段半徑為r3的圓弧，即最小區(qū)域是由兩段eq\f(1,4)圓弧所圍成的區(qū)域。由B1qv＝meq\f(v2,r3)可得區(qū)域Ⅰ的磁感應(yīng)強(qiáng)度BⅠ＝eq\f(mv,qr3)由幾何學(xué)問可得磁場區(qū)域的面積SⅠ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)πr\o\al(2,3)－\f(1,2)r\o\al(2,3)))×2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－1))req\o\al(2,3)由對稱性可知區(qū)域Ⅱ內(nèi)磁場區(qū)域最小面積SⅡ＝SⅠ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－1))req\o\al(2,3)同理，在區(qū)域Ⅲ、Ⅳ中磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度BⅢ＝BⅣ＝eq\f(mv,qr4)對應(yīng)的最小磁場區(qū)域面積SⅢ＝SⅣ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－1))req\o\al(2,4)。[答案](1)eq\f(mv,qr1)(2)eq\f(mv,qr2)方向垂直于紙面對里πreq\o\al(2,2)(3)eq\f(mv,qr3)eq\f(mv,qr4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs