高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè) 立體圖形的直觀圖 同步練習(xí)（含解析）

人教A版(2019)必修第二冊(cè)8.2立體圖形的直觀圖

一、單選題

1.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是某兒何體的三視圖，該幾何

體某條棱上的一個(gè)端點(diǎn)尸在正視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為在俯視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為N,則戶

)

C.點(diǎn)BD.點(diǎn)A

2.某幾何體有6個(gè)頂點(diǎn)，則該幾何體不可能是()

A.五棱錐B.三棱柱C.三棱臺(tái)D.四棱臺(tái)

3.如圖是四邊形43co的水平放置的直觀圖CD,則原四邊形ABC。的面積是

)

A.14B.100C.28D.14M

4.上、下底面面積分別為36兀和49兀，母線長(zhǎng)為5的圓臺(tái)，其兩底面之間的距離為

()

A.4B.3夜C.2百D.2限

5.如圖所示，梯形A'B'C'D是平面圖形ABCD用斜二測(cè)畫法得到的直觀圖，

A'D'=2B'C=2,=則平面圖形A8CD的面積為()

6.棱臺(tái)不具備的特點(diǎn)是（）

A.兩底面相似B.側(cè)面都是梯形

C.側(cè)棱長(zhǎng)都相等D.側(cè)棱延長(zhǎng)后都交于一點(diǎn)

7.如圖所示，V4BC是水平放置的43c的直觀圖，軸，B'C'〃x’軸,

49=2,B'C'=3>則中，AC=（）

D.V13

8.正三棱錐（底面為正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心的棱錐）的三視圖如圖

所示，俯視圖是正三角形，。是其中心，則正視圖（等腰三角形）的腰長(zhǎng)等于

()

俯視圖

A.>/5B.2C.73D.&

9.如圖，已知等腰三角形ABC,則在如圖所示的四個(gè)圖中，可能是一ABC的直觀圖

的是（）

10.某圓錐母線長(zhǎng)為2,底面半徑為招，則過(guò)該圓錐頂點(diǎn)的平面截此圓錐所得截面面

積的最大值為（）

A.2B.GC.夜D.1

11.球面上兩點(diǎn)之間的最短連線的長(zhǎng)度，就是經(jīng)過(guò)這兩個(gè)點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段

劣弧的長(zhǎng)度（大圓就是經(jīng)過(guò)球心的平面截球面所得的圓），我們把這個(gè)弧長(zhǎng)叫做兩點(diǎn)的

球面距離.已知正343c的項(xiàng)點(diǎn)都在半徑為2的球面上，球心到一43。所在平面距離為

巫,則A、B兩點(diǎn)間的球面距離為（）

3

c冗2%一3兀

A.萬(wàn)B.—C.—D.—

234

12.已知三棱錐尸-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球。的球面上，PA=PB=PC,△ABC是邊長(zhǎng)為2

的正三角形，E,尸分別是以，的中點(diǎn)，ZC￡F=90°,則球。的體積為

A.8娓兀B.4底兀C.2底兀D.娓7t

二、填空題

13.如圖，若平行四邊形是用斜二測(cè)畫法畫出的水平放置的平面圖形ABC￡>

的直觀圖，已知A'B'=4cm,N￡>'A'B'=45。，平行四邊形49。少的面積為8cnf，

則原平面圖形ABC。中AO的長(zhǎng)度為.

14.如圖，△0W8'是水平放置的具必3的直觀圖，貝建。43的周長(zhǎng)為

15.已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為&的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為石.若圓柱的一個(gè)底面的圓

周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的

體積為.

16.在直觀圖中，四邊形O'A'8'C'為菱形且邊長(zhǎng)為2cm,則在坐標(biāo)系xOy中，原四邊

形OABC的面積為cm2.

三、解答題

17.如圖所示，三棱柱ABC-A4G中，若E,F分別為AB,AC的中點(diǎn)，平面

E8CL將三棱柱分成體積分別為％,匕的兩部分，那么乂：匕等于多少?

18.用斜二測(cè)畫法畫邊長(zhǎng)為4cm的水平放置的正三角形（如圖）的直觀圖.

19.畫底面邊長(zhǎng)為2cm,高為3cm的正四棱柱A8a的直觀圖.

20.畫出一個(gè)上、下底面邊長(zhǎng)分別為1,2,高為2的正三棱臺(tái)的直觀圖.

21.在水平放置的平面上，畫一個(gè)邊長(zhǎng)為4cm的正三角形的直觀圖.

參考答案:

1.c

根據(jù)三視圖作出幾何體的直觀圖，標(biāo)出點(diǎn)尸的位置，由此可得出結(jié)論.

【詳解】

根據(jù)三視圖可知，該幾何體的直觀圖如圖所示，由圖可知，P在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn)

B,

故選：C.

2.D

根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)判斷.

【詳解】

四棱臺(tái)有8個(gè)頂點(diǎn)，不符合題意.，其他都是6個(gè)頂點(diǎn).

故選：D.

3.C

根據(jù)斜二測(cè)畫法的定義，還原該四邊形得到梯形，根據(jù)梯形的面積公式即可計(jì)算求解.

【詳解】

'軸，A'B'//CD',A'B'^C'D',

...原圖形是一個(gè)直角梯形.

又4。=4,

原直角梯形的上、下底及高分別是2,5,8,

故其面積為S=gx(2+5)x8=28.

故選：C

4.D

根據(jù)圓臺(tái)底面半徑，母線，高之間的關(guān)系“二浜+也一^求解.

【詳解】

設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)/、高/I和上、下兩底面圓的半徑r,R,

因?yàn)樯?、下底面面積分別為36兀和49兀，

所以r=6,R=7

因?yàn)閘2=h2+(R-r)2,

所以25="+i,解得刀=2",即兩底面之間的距離為2#.

故選：D

5.D

根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則確定原圖形形狀，結(jié)構(gòu)得出面積.

【詳解】

由三視圖知原幾何圖形是直角梯形ABC。，如圖，

AB=2,AD=2,BC=1,

面積為S」x(2+l)x2=3.

2

故選：D.

6.C

根據(jù)棱臺(tái)的定義結(jié)構(gòu)特征求解.

【詳解】

根據(jù)棱臺(tái)的定義知，棱臺(tái)底面相似，側(cè)面都是梯形，側(cè)棱延長(zhǎng)后都交于一點(diǎn),

但是側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等，

故選：C

7.B

根據(jù)斜二測(cè)畫法原則，由直觀圖判斷原圖中A8,8C的長(zhǎng)度，再利用勾股定理計(jì)算AC.

【詳解】

在直觀圖VAEC中，A8=2,B'C=3,

由斜二側(cè)畫法知，在」A8C中，AB=2AB^=4,BC=B'C=3,且ABL3C；

所以=〃序+叱=J，+32=5.

故選：B.

8.B

可得原幾何體如圖所示正三棱錐A-38,取80中點(diǎn)E,連接設(shè)底面邊長(zhǎng)為

花上,OE=1CE=叵，即可求出x,進(jìn)而求出腰長(zhǎng).

2x,表ZK出AO=OE=—產(chǎn)=

V2233

【詳解】

根據(jù)三視圖可得原幾何體如圖所示正三棱錐A-88,

取80中點(diǎn)E,連接AE,CE,則底面中心。在CE上，連接AO,可得AO_L平面A8C,

由三視圖可知AB=AC=A￡)=后，ZAEC=45,

設(shè)底面邊長(zhǎng)為2x,則。E=x，則AE=F7,

AP

則在等腰直角三角形AQE中，40=?！?竿=

,O是底面中心，則0E=1cE=4^

33

則,解得x=石＞

則4。=1,底面邊長(zhǎng)為2道，

則正視圖（等腰三角形）的腰長(zhǎng)為小國(guó)2+『=2.

故選：B.

本題考查根據(jù)三視圖計(jì)算原幾何體的相關(guān)量，解題的關(guān)鍵是根據(jù)正三棱錐中的關(guān)系求出底

面邊長(zhǎng).

9.D

根據(jù)直觀圖的定義畫法即可求解.

【詳解】

根據(jù)坐標(biāo)軸夾角為45。或135。,等腰三角形A8C的直觀圖如圖所示:

y

X

只有③④符合

故選：D

10.A

如圖截面為二SAW,P為MN的中點(diǎn)，設(shè)OP=X(0<X4G),SvsMN=J—（%?—I）?+4，進(jìn)而

可得面積最大值.

【詳解】

N

如圖所示，截面為,.SMN,尸為MN的中點(diǎn)，設(shè)OP=x(0<x<73）

SB=2,OB=瓜:.SO=T,SP7￡+1,MN=243-￡

SySMN=g酗N^P=ggVTTTgZ出丁=7-（X2-D2+4

當(dāng)x=l時(shí)，SYSMN=2，此時(shí)截面面積最大.

故選：A

易錯(cuò)點(diǎn)睛：先求出面積的函數(shù)表達(dá)式進(jìn)而判斷最大值，本題容易誤認(rèn)為垂直于底面的截面

面積最大.

11.C

設(shè)球心為點(diǎn)。，計(jì)算出ZAO8,利用扇形弧長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.

【詳解】

2百

設(shè)球心為點(diǎn)。，平面ABC截球。所得截面圓的半徑為r=~T

由正弦定理可得券=￡3萬(wàn),.?.A8=￥sin?=2,

7F

又1。4=。3=2,所以，一AOB為等邊三角形，則NAOB=§

7T27r

因此，A、B兩點(diǎn)間的球面距離為2x：=W.

故選：C.

思路點(diǎn)睛：求球面距離，關(guān)鍵就是要求出球面上兩點(diǎn)與球心所形成的角，結(jié)合扇形的弧長(zhǎng)

公式求解，同時(shí)在計(jì)算球的截面圓半徑時(shí)，利用公式廠=斤彳（其中，為截面圓的半

徑，R為球的半徑，d為球心到截面的距離）來(lái)計(jì)算.

12.D

先證得尸8_L平面PAC,再求得PA=PB=PC=&,從而得P-zlfiC為正方體一部分，進(jìn)

而知正方體的體對(duì)角線即為球直徑，從而得解.

【詳解】

解法一：PA=PB=PC,AA3C為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，.'P-ABC為正三棱錐，

.-.PB1AC,又E,尸分別為84、AB中點(diǎn)，

：.EF//PB,：.EFLAC,又EFLCE,CEAC=C,..M_L平面PAC,P8J_平面

PAC,ZAPB=90°,:.PA=PB=PC=42,.1P-ABC為正方體一部分，

2R=-72+2+2=y/b>即R=,r.K=3TCR，=*冗x。底=娓n,故選D.

2338

設(shè)PA=PB=PC=2x,E,尸分別為PAA8中點(diǎn)，

：.EF//PB,且EF=gpB=x,AABC為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

CF=拒又Z.CEF=90°CE=,3-x?,AE=PA=x

AAEC中余弦定理COS/E4C=X+4-（3-X-）,作P￡），AC于。，PA=PC，

2x2xx

上/寸%「A。1f+4-3+f1

QO為AC中點(diǎn)，cosZEAC=——=一,/.-----------=一,

PA2x4x2x

2X2+1=2Z.x2=-x=—,：.PA=PB=PC=?，又AB=BC=AC=2,

22

.?.PA,PB,PC兩兩垂直，.-.27?=72+2+2=76,;.R=逅，

2

V=—n/?5=—nx=>/6n.故選D.

338

本題考查學(xué)生空間想象能力，補(bǔ)體法解決外接球問(wèn)題.可通過(guò)線面垂直定理，得到三棱兩

兩互相垂直關(guān)系，快速得到側(cè)棱長(zhǎng)，進(jìn)而補(bǔ)體成正方體解決.

13.40cm

由題設(shè)可求ATX,結(jié)合斜二測(cè)畫法橫等縱半，即可知原平面圖形A8CD中A/）的長(zhǎng)度.

【詳解】

由題設(shè)知：A'D'=2x/2cm.

由斜二測(cè)畫法：A'B\C'￡>'長(zhǎng)度不變，而AO為AD的2倍，

?*-AD=40cm

故答案為：4J5cm.

14.10+2加

根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則得到直角三角形.048的直角邊長(zhǎng)，用勾股定理求出斜邊長(zhǎng)可得結(jié)

果.

【詳解】

TT

根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則可知，|OA|=6,\OB\=4,ZAOB=《,

2

所以I451=+|<W=V36+16=2后，

所以6MB的周長(zhǎng)為|OA|+|OB|+|4B|=6+4+2M=10+2VI5.

故答案為：10+2小.

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：掌握斜二測(cè)畫法的規(guī)則是解題關(guān)鍵.

根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，確定所求的圓柱的高和底面半徑.

【詳解】

由題意四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為友的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為石，借助勾股定理，可知四棱錐

的高為g=2,?若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，圓柱的底面半徑

為g，一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，故圓柱的高為1,故圓柱的體積為

⑵4

本題主要考查了圓柱與四棱錐的組合，考查了空間想象力，屬于基礎(chǔ)題.

16.8

由直觀圖判斷出原四邊形為矩形，再由菱形邊長(zhǎng)求得矩形的長(zhǎng)和寬，求面積即可.

【詳解】

由直觀圖可知，原四邊形為矩形，作出其圖形如圖所示，易知

OA=O'A=2,OC=20'C=4,

故矩形面積S=O4OC=8.

故答案為：8.

17.7:5

如圖，分別延長(zhǎng)AA到A”8乃到生，CC到C?,且AA=44,B,B=BB°,C,C=CC2,

根據(jù)體積的大小關(guān)系得到答案.

【詳解】

A44,8CCCz，AA=A4,

如圖，分別延長(zhǎng)到田到層，到且BtB=BB2,C,C=CC2,

AC,ABC-A/^G，8C-.G3C-A282c2?

連接B2C2,2則得到三棱柱且匕=匕

延長(zhǎng)用￡,C.F,則用￡與弓尸相交于點(diǎn)

因?yàn)?A:4A=1:2,所以匕m=",*中

O

=X=8(?G,

連接,A.C,則VA2_AEF=—~^^ABC-A2B2C2~^^ABC-A2B2C2=五匕一%凡所以

7

K=7%皿=五%c市G，故乂：匕=7:(12-7)=7:5

本題考查了組合體的體積比，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.

18.畫法見(jiàn)解析.

直接用斜二測(cè)畫法畫出正三角形的直觀圖.

【詳解】

(1)如圖，設(shè)。為BC的中點(diǎn)，以0C所在直線為X軸，所在直線為y軸，建設(shè)如圖,

畫相應(yīng)的x'，y'軸，兩軸交于點(diǎn)0',使Nx'O'y'=45。.

(2)O'C'=OC=2cm,O'B'=OB=2cm,在y'軸上取A',使==0.

(3)連接去除輔助線，得到正三角形的直觀圖三角形A'8'C'.

本題考查了斜二測(cè)畫法畫平面圖形