高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 突破熱點(diǎn) 分層教學(xué) 專項(xiàng)二 三 1 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列學(xué)案-人教版高三全冊數(shù)學(xué)學(xué)案

第1講等差數(shù)列與等比數(shù)列

居搞圖冊

年份卷別考查內(nèi)容及考題位置命題分析

等差數(shù)列基本量的計(jì)算?T4a”與s關(guān)系

卷I等差數(shù)列、等比數(shù)列

的應(yīng)用?Tu

的判定及其通項(xiàng)公式在考

2018等差數(shù)列基本量的計(jì)算、和的最值問

卷II查基本運(yùn)算、基本概念的

題?Tn

同時(shí)，也注重對函數(shù)與方

卷in等比數(shù)列基本量的計(jì)算?T17

程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論

卷I等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式?T4

等數(shù)學(xué)思想的考查；對等

等比數(shù)列的概念、前〃項(xiàng)和公式、數(shù)學(xué)文

卷II差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)

化?T3

2017考查主要是求解數(shù)列的等

等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式、通項(xiàng)公式及等

差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)、通項(xiàng)

卷m比中項(xiàng)?T9

公式和前〃項(xiàng)和的最大、

等比數(shù)列的通項(xiàng)公式?T14

最小值等問題，主要是中

等差數(shù)列的基本運(yùn)算?Ta等比數(shù)列的運(yùn)

2016卷I低檔題.

算?加

等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算（基礎(chǔ)型）

n通項(xiàng)公式

等差數(shù)列：a?=ai+（7J—1）

等比數(shù)列:劣=&-q~\

分求和公式

—廿皿天，「n(ai+a〃),n(〃一1),

等差數(shù)列：Sn=----2----="&+----2----出

八a(1—(j7')ai—a?q,，-、

等比數(shù)列：S?=-----=-_.

1—<71—<7

陰性質(zhì)

X等差數(shù)列等比數(shù)列

性質(zhì)若m,n,p,0￡N*,且加+刀=4+Q,則為+若m,p,°￡N*,且〃+〃=0+0,

3.n=%+劣則a，m?Qn=Qp,a1?

_n-m

&=3+(77—4d2=^mQ

Sm,S2m—Sm,Sim—&m9…仍成等比數(shù)

Sm,S2m-Sm,S必，…仍成等差數(shù)歹（J

列(SWO)

［考法全練］

1.（2018?貴陽模擬）設(shè)等差數(shù)列｛aj的前〃項(xiàng)和為S,若a=2as,則彳=（）

<->5

11n5__

A-T22

1122

—

ioD-T

,工、生萬（&+如）1U22

解析：選D.—~—~—故選D.

%55&5

］（既十位）

2.（2018?高考全國卷I）記S為等差數(shù)列｛a｝的前刀項(xiàng)和.若3&=S+￡,&=2,則

為=（）

A.-12B.-10

C.10D.12

9XZ9

解析：選B.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為4因?yàn)?W=S+S,所以3（3"+丁中=2&+

4X33

d+4a+2d,解得"=一,為,因?yàn)?=2,所以"=一3,所以a=a+4d=2+4X（—3）

=-10.故選B.

3.（2018?鄭州模擬）等比數(shù)列｛&｝的前n項(xiàng)和為S,若對任意的正整數(shù)n,S+2=4S

+3恒成立，則國的值為（）

A.-3B.1

C.—3或1D.1或3

解析：選C.設(shè)等比數(shù)列｛a｝的公比為0,當(dāng),=1時(shí)，Sn+2=（T?+2）ax,Sn=nai,由S+2

=4S+3得，（〃+2）4=4刀&+3,即3a1〃=24—3,若對任意的正整數(shù)〃，3@〃=24一3恒

成立，則包=0且2a一3=0,矛盾，所以‘W1,

所以—「,$一（「"）

1—Q1—（7

代入S+2=4S+3并化簡得2（4—/）/=3+34一30,若對任意的正整數(shù)刀該等式恒成

仲一/=0,@=1,Qx——3，

立,則有I解得或故&=1或一3,故選C.

[3+3ai—3(7=0,。=2q=-2,

4.（2018?南寧模擬）在等比數(shù)列｛4｝中，/a=16,a+為=8,則一=________.

510

解析：法一：設(shè)等比數(shù)列｛&｝的公比為0,由aa=16得■,6=16,所以國/=±4.由

a+a=8,得&/（1+°4）=8,即1+/=±2,所以/=1.于是強(qiáng)=。1°=1.

句。

法二：由等比數(shù)列的性質(zhì)，得益=&a=16,所以&=±4,又a+徐=8,

（a=4,\QA=-4,14=4,

所以｛,或｛,c因?yàn)榉?&a＞0，所以＜｛,則公比＜7滿足＜7=1,＜7=1，

［a=4［劣=12.［備=4,

所以21.

答案：1

5.（2018?高考全國卷DI）等比數(shù)列｛&｝中,S1=1,a5=4a3.

（1）求｛2｝的通項(xiàng)公式；

⑵記S為｛a.｝的前〃項(xiàng)和.若&=63,求應(yīng)

解：⑴設(shè)回｝的公比為0,由題設(shè)得當(dāng)=（?-

由已知得"=4/

解得＜7=0（舍去），g=-2或g=2.

故a?=（一2尸或a〃=2"T.

（2）若為=（一2）"T,則S"=一三——.

O

由5=63得（一2尸=—188,此方程沒有正整數(shù)解.

若為=2*）則S=2T

由￡=63得2必=64,解得力=6.

綜上，777=6.

考點(diǎn)㈡

等差、等比數(shù)列的判定與證明（綜合型）

證明數(shù)列匕“｝是等差數(shù)列或等比數(shù)列的方法

（1）證明數(shù)列｛aj是等差數(shù)列的兩種基本方法：

①利用定義，證明a,+i—a15GN*）為一常數(shù)；

②利用等差中項(xiàng)，即證明2a=2一1+為+1（〃22）.

(2)證明｛aj是等比數(shù)列的兩種基本方法：

①利用定義，證明—(〃GN*)為一常數(shù)；

②利用等比中項(xiàng)，即證明14+i(〃22).

［典型例題］

穗m設(shè)S為數(shù)列｛a｝的前刀項(xiàng)和，對任意的〃￡N*,都有s=2—品，數(shù)列｛4｝滿足人

=22,bn=12］(啟2,刀WN*).

1Ibn-l

(1)求證：數(shù)列｛a｝是等比數(shù)列，并求｛aj的通項(xiàng)公式；

(2)判斷數(shù)列｛；｝是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

Dn

【解】(1)當(dāng)?shù)?1時(shí)，ai=S；=2—ai,解得囪=1；

a~1

當(dāng)〃22時(shí)，a=S—Sn-i—a-\—a,即~〃金N*).

nnnn5/7—1N

所以數(shù)列｛aj是首項(xiàng)為1,公比為1的等比數(shù)列，

故數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式為％=出”\

(2)因?yàn)閍i=l,

所以bi=2ai=2.

因?yàn)?=擊」，

所以4=4+1,

DnDn-1

即《一4=1522).

DnDn-1

所以數(shù)列方是首項(xiàng)為也公差為1的等差數(shù)列.

所以!=9+5-1)?1=包"，故數(shù)列｛口的通項(xiàng)公式為

bn222〃一1

判斷(證明)等差(比)數(shù)列應(yīng)注意的問題

(1)判斷或者證明數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列最基本的方法是用定義判斷或證明，其他

方法最后都會(huì)回到定義，如證明等差數(shù)列可以證明通項(xiàng)公式是〃的一次函數(shù)，但最后還得使

用定義才能說明其為等差數(shù)列.

(2)證明數(shù)列｛aj為等比數(shù)列時(shí)，不能僅僅證明為+】=□&,還要說明&"0,才能遞推得

出數(shù)列中的各項(xiàng)均不為零，最后斷定數(shù)列｛2｝為等比數(shù)列.

［對點(diǎn)訓(xùn)練］

記S為等比數(shù)列｛aj的前A項(xiàng)和，已知S=2,S=—6.

(1)求｛a｝的通項(xiàng)公式；

(2)求S,并判斷S+”S,S+2是否成等差數(shù)列.

解：(1)設(shè)匕〃｝的公比為q.由題設(shè)可得

Jai(1+<7)=2,

\ai(1+q+q)=-6.

解得<7=—2,3i=—2.

故｛&>｝的通項(xiàng)公式為&=(-2)：

(2)由(1)可得=-1+(―1)

1—(733

4?2〃+3_2"+22?2〃+i

由于S+2+S+l=—鼻+(-1)^-------=2［—~+(―=2Sn,故S+l,Sn,S+2成

oOOO

等差數(shù)列.

考點(diǎn)㈢

S,關(guān)系的應(yīng)用(綜合型)

n數(shù)列｛a｝中，a〃與S的關(guān)系

J5i,n-\,

an—\、

⑸一S-i,A22.

&求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法

(1)公式法：利用等差(比)數(shù)列求通項(xiàng)公式.

(2)在已知數(shù)列｛a｝中，滿足a〃+L4=f?,且f(l)+f(2)+…+?(〃)可求,則可用

累加法求數(shù)列的通項(xiàng)為.

(3)在已知數(shù)列｛a“｝中，滿足2=f(〃)，且/(I)-A2)..../'(a)可求，則可用累乘

?3/7

法求數(shù)列的通項(xiàng)a〃.

(4)將遞推關(guān)系進(jìn)行變換，轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列(等差、等比數(shù)列).

［典型例題］

圓口(1)(2018?合肥第一次質(zhì)量檢測)己知數(shù)列｛&>｝的前〃項(xiàng)和為S,若3s=2a“一3〃,

則&018=)

C.

⑵(2018?福州模擬)已知數(shù)列｛a｝中,51—1,a2=2,2+1=3a-2a—1(〃22,z?eN*).設(shè)

=

bna+1-Q-n.

①證明：數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列；

②設(shè)。"=(4/A)2”求數(shù)列｛以｝的前〃項(xiàng)和8

【解】(1)選A.因?yàn)閍=S,所以3aI=3S=2H—3今&=一3.

當(dāng)?shù)?2時(shí)，3s=24一3刀，3S-I=2AT—3(〃一1),所以為=-2an-\—3,即2+1=一

2(為一+1),所以數(shù)列｛”+1｝是以-2為首項(xiàng)，一2為公比的等比數(shù)列.

所以^+1=(-2)X(―2)小=(—2)〃，

則.018=22oi8_k

(2)①證明：因?yàn)?+i=3a”一2a一1(/?22,〃￡N*),bn—dn+\—4，

LLIJA+Ia+2-a+i(3&+1-2&)-&+i2(a+i—a)小

所以丁=--------=-------------------=------------=2,

bnan+\—anan+\-a,nan+i-a,n

又從=&—2=2—1=1,

所以數(shù)列｛4｝是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)歹U.

②由①知4=1X2”T=2”T,

因?yàn)橐?(4〃211)2"'

1111

所以以=2(2〃+1)(2〃-1)=〃2〃一廠2〃+J'

所以S=c+c2H---Fcn

1z111

/

1十11

-4-n1-3-3--5-

\2/7-12/7+1

=茅n

2刀+14〃+2.

冽倒血肉

(1)給出S與a的遞推關(guān)系求”的常用思路：一是利用S—S-1=a(〃22)轉(zhuǎn)化為劣的

遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為S的遞推關(guān)系，先求出S與〃之間的關(guān)系，再求

an.

（2）形如為+i=pa"+gGpWl,q=0）,可構(gòu)造一個(gè)新的等比數(shù)列.

［對點(diǎn)訓(xùn)練］

31

（2018?貴陽模擬）已知數(shù)列｛aj的前〃項(xiàng)和為S,且滿足Sn=~a--,a=l.

⑴求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

⑵若b?=--------二------，求數(shù)列伍｝的前n項(xiàng)和Tn.

10g3a+1*10g3a+2

31

解：（1）由已知Sn=-an—^@9

31

得S—1=54—1一］（刀22）②，

33

①一②得為=52一5a-1,即a=3為一1（〃22）,

又a=1,所以數(shù)列｛a｝是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，故

（2）由（1）知bn=Z_I［、=|［，

n（77+1）nn-rl

11.11..111n

所以TT

7L=1—72+2—3--nn-r1n~\~1n~v1

所以T—I.

nn+1

數(shù)列與新定義相交匯問題（創(chuàng)新型）

［典型例題］

圓旬（2018?武漢調(diào)研）對任一實(shí)數(shù)序列/=（國,az,a3,…），定義新序列//=（。2

~ar,a&—&,念，…），它的第〃項(xiàng)為a+1-a.假定序列d（//）的所有項(xiàng)都是1,且

<312=己22=0,貝!J3,2=.

【解析】令bn=an+\—an,依題意知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，且公差為1,

所以bn=bi+（77—1）XI,

石1=石1，

3,2-ai=bi,

色一@2=也,

B，n-&］一1=bn-l，

:

累力口得a?=ai-\-bi-\---F4-i=ai+(〃-1)4+------:-----二—=(z?-l)a2—(/?—2)ai

?(〃一1)(〃一2)

+2'

分別令〃=12,〃=22,

flla2-10ai+55=0,

得

［21a2—2031+210=0,

231

解得a1=2，a2=100.

【答案】100

圈圈翳圈

數(shù)列新定義型創(chuàng)新題的一般解題思路

(1)閱讀審清“新定義”.

(2)結(jié)合常規(guī)的等差數(shù)列、等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，化歸、轉(zhuǎn)化到“新定義”的相關(guān)知識(shí).

⑶利用“新定義”及常規(guī)的數(shù)列知識(shí)，求解證明相關(guān)結(jié)論.

［對點(diǎn)訓(xùn)練］

在數(shù)列｛aj中，〃GN*,若*—為常數(shù)),則稱｛&｝為“等差比數(shù)列”，下列

a?+i—an

是對“等差比數(shù)列”的判斷：

①k不可能為0；

②等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；

③等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；

④“等差比數(shù)列”中可以有無數(shù)項(xiàng)為0.

其中所有正確判斷的序號(hào)是,

解析：由等差比數(shù)列的定義可知，左不為0,所以①正確，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的公差為0,即

等差數(shù)列為常數(shù)列時(shí)，等差數(shù)列不是等差比數(shù)列，所以②錯(cuò)誤；當(dāng)｛aj是等比數(shù)列，且公比

°=1時(shí)，｛aj不是等差比數(shù)列，所以③錯(cuò)誤；數(shù)列0,1,0,1,…是等差比數(shù)列，該數(shù)列

中有無數(shù)多個(gè)0,所以④正確.

答案：①④

■■■專題強(qiáng)化訓(xùn)練■■■I

一、選擇題

1.已知等差數(shù)列｛a｝的前刀項(xiàng)和為S,且&?戊=12,功=0.若%>0,則So=()

A.420B.340

C.-420D.-340

解析：選D.設(shè)數(shù)列｛a｝的公差為d,貝!Ja3=改~\~d=d,氏=&~\~3d=3d,由&?金=12

2Qx19

得〃=±2,由&>0,/=0,可知水0,所以"=—2,所以劭=2,故￡o=2OX2+--—X

(-2)=-340,故選D.

2.（2018?益陽、湘潭調(diào)研）己知等比數(shù)列㈤中,as=3,&&=45,則三的值為（）

A.3B.5

C.9D.25

解析：選D.設(shè)等比數(shù)列｛a｝的公比為0,則84&=弓,a/=9。=45,所以0=5,

念。2—aiq2

—7—25.故選D.

含一以

3.(一^題多解)已知S是數(shù)列｛a｝的前刀項(xiàng)和，且S+i=S+&+3,a+與=23,則S8

=()

A.72B.88

C.92D.98

解析：選C.法一：由S+i=S+&+3得2+1—a=3,則數(shù)列｛a｝是公差為3的等差數(shù)

8X7

列，又為+a=23=2d+7d=2d+21,所以2=1,&=8a+——d=92.

法二：由S+i=S+&+3得品+i—品=3,則數(shù)列｛2｝是公差為3的等差數(shù)列，S&=

8（&+88）8（2+含）”

----2----=-----2----=92.

4.已知數(shù)列3｝是等比數(shù)列，數(shù)列㈤是等差數(shù)列，若a?a?胡=—34，A+瓜+

611=7兀，貝ijtan一+一的值是（）

1—&?我

B.-1

D.小

解析：選A.依題意得，H，347%所以卡―人號(hào)，所以篙勺

2k7兀故tan產(chǎn)"=tan(—沿=tan]—2-《■)=—tang

故選

1一溪31—54?備<37\3)3

A.

5.（2018?長春質(zhì)量檢測（一））等差數(shù)列｛4｝中,已知|戊|=|m|,且公差小0,則其前

n項(xiàng)和取最小值時(shí)n的值為（）

A.6B.7

C.8D.9

解析：選C.由心0可得等差數(shù)列｛劣｝是遞增數(shù)列，又|為|=|加所以一為=石山即一

團(tuán)-5d=a+10d,所以為=一則為=—*0,39=1>0,所以前8項(xiàng)和為前〃項(xiàng)和的最

小值，故選C.

6.對于數(shù)列｛aj,定義數(shù)列｛&+i—a〃｝為數(shù)列｛aj的“差數(shù)列"，若&=2,數(shù)列｛a〃｝的

“差數(shù)列”的通項(xiàng)公式為a+—a〃=2〃，則數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和S=()

A.2B.2"

C.2"+1—2D.2"1—2

解析：選C.因?yàn)閍〃+i—a=2",所以品=(為一為-i)+(2-1—a-2)H---F(/—&)+&=

2一2"9一2""

2〃T+2"-2---1-22+2+2=-~~^+2=2"—2+2=2",所以S?=~~—=2"+1-2,

H1—21一乙

二、填空題

7.（一題多解）（2018?高考全國卷I）記S為數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和.若S=2a〃+1,則

&=.

解析：法一：因?yàn)镾=2z+1,所以當(dāng)77=1時(shí)，.91=2^1+1,解得a=-1;

當(dāng)〃=2時(shí)，&+/=2/+1,解得功=-2；

當(dāng)了=3時(shí)，4+@+a=2&+1,解得a=一4；

當(dāng)〃=4時(shí)，&+/+&+a=2&+1,解得a=一8；

當(dāng)〃=5時(shí)，&+〃2+&+&+a=2&+1,解得a=一16；

當(dāng)〃=6時(shí)，&+&+&+a+&+a=2為+1,解得%=—32；

所以5=-1-2-4-8-16-32=-63.

法二：因?yàn)镾=2a+1,所以當(dāng)?shù)?1時(shí)，刈=281+1,解得&=一1,當(dāng)時(shí)，an=

S—S-1=2a+1—（2&-1+1）,所以a=2%—1,所以數(shù)列｛a｝是以一1為首項(xiàng)，2為公比的等

一ix（］一o6\

比數(shù)列，所以a〃=-2"一1所以&=———~-=-63.

1-乙

答案：一63

8.（2018?惠州第二次調(diào)研）已知數(shù)列｛aj滿足&=1,a〃+L2a〃=2〃（AGN*）,則數(shù)列｛a｝

的通項(xiàng)公式為=.

解析：a〃+L2al=2〃兩邊同除以2叫可得蕭一年=4，又所以數(shù)歹限是以1為

乙乙乙乙乙［乙I乙

1O11

首項(xiàng)，5為公差的等差數(shù)列，所以居壽+(〃T)W=n*所以4—可藍(lán)

乙乙乙乙乙

答案：n-271-1

9.設(shè)某數(shù)列的前〃項(xiàng)和為S,若萼為常數(shù)，則稱該數(shù)列為“和諧數(shù)列”.若一個(gè)首項(xiàng)

為1,公差為小后0)的等差數(shù)列｛aj為“和諧數(shù)列”，則該等差數(shù)列的公差d=

解析：由券="("為常數(shù))，且為=1,得1)d=/2〃+：X2A(2〃-1)d,即

O2nZ/

2+5—l)d=44+2瓜2〃一1)4整理得，(4A—1)辦+(24—1)(2—初=0,因?yàn)閷θ我庹?/p>

數(shù)〃，上式恒成立，

2=2,

\d(44—1)=0,得7,1

所以

(24—1)(2—d)=0,

所以數(shù)列｛a｝的公差為2.

答案：2

三、解答題

10