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文檔簡介
第1講等差數(shù)列與等比數(shù)列
居搞圖冊
年份卷別考查內(nèi)容及考題位置命題分析
等差數(shù)列基本量的計(jì)算?T4a”與s關(guān)系
卷I等差數(shù)列、等比數(shù)列
的應(yīng)用?Tu
的判定及其通項(xiàng)公式在考
2018等差數(shù)列基本量的計(jì)算、和的最值問
卷II查基本運(yùn)算、基本概念的
題?Tn
同時(shí),也注重對函數(shù)與方
卷in等比數(shù)列基本量的計(jì)算?T17
程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論
卷I等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式?T4
等數(shù)學(xué)思想的考查;對等
等比數(shù)列的概念、前〃項(xiàng)和公式、數(shù)學(xué)文
卷II差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)
化?T3
2017考查主要是求解數(shù)列的等
等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式、通項(xiàng)公式及等
差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)、通項(xiàng)
卷m比中項(xiàng)?T9
公式和前〃項(xiàng)和的最大、
等比數(shù)列的通項(xiàng)公式?T14
最小值等問題,主要是中
等差數(shù)列的基本運(yùn)算?Ta等比數(shù)列的運(yùn)
2016卷I低檔題.
算?加
等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算(基礎(chǔ)型)
n通項(xiàng)公式
等差數(shù)列:a?=ai+(7J—1)
等比數(shù)列:劣=&-q~\
分求和公式
—廿皿天,「n(ai+a〃),n(〃一1),
等差數(shù)列:Sn=----2----="&+----2----出
八a(1—(j7')ai—a?q,,-、
等比數(shù)列:S?=-----=-_.
1—<71—<7
陰性質(zhì)
X等差數(shù)列等比數(shù)列
性質(zhì)若m,n,p,0£N*,且加+刀=4+Q,則為+若m,p,°£N*,且〃+〃=0+0,
3.n=%+劣則a,m?Qn=Qp,a1?
_n-m
&=3+(77—4d2=^mQ
Sm,S2m—Sm,Sim—&m9…仍成等比數(shù)
Sm,S2m-Sm,S必,…仍成等差數(shù)歹(J
列(SWO)
[考法全練]
1.(2018?貴陽模擬)設(shè)等差數(shù)列{aj的前〃項(xiàng)和為S,若a=2as,則彳=()
<->5
11n5__
A-T22
1122
—
ioD-T
,工、生萬(&+如)1U22
解析:選D.—~—~—故選D.
%55&5
](既十位)
2.(2018?高考全國卷I)記S為等差數(shù)列{a}的前刀項(xiàng)和.若3&=S+£,&=2,則
為=()
A.-12B.-10
C.10D.12
9XZ9
解析:選B.設(shè)等差數(shù)列{4}的公差為4因?yàn)?W=S+S,所以3(3"+丁中=2&+
4X33
d+4a+2d,解得"=一,為,因?yàn)?=2,所以"=一3,所以a=a+4d=2+4X(—3)
=-10.故選B.
3.(2018?鄭州模擬)等比數(shù)列{&}的前n項(xiàng)和為S,若對任意的正整數(shù)n,S+2=4S
+3恒成立,則國的值為()
A.-3B.1
C.—3或1D.1或3
解析:選C.設(shè)等比數(shù)列{a}的公比為0,當(dāng),=1時(shí),Sn+2=(T?+2)ax,Sn=nai,由S+2
=4S+3得,(〃+2)4=4刀&+3,即3a1〃=24—3,若對任意的正整數(shù)〃,3@〃=24一3恒
成立,則包=0且2a一3=0,矛盾,所以‘W1,
所以—「,$一(「")
1—Q1—(7
代入S+2=4S+3并化簡得2(4—/)/=3+34一30,若對任意的正整數(shù)刀該等式恒成
仲一/=0,@=1,Qx——3,
立,則有I解得或故&=1或一3,故選C.
[3+3ai—3(7=0,。=2q=-2,
4.(2018?南寧模擬)在等比數(shù)列{4}中,/a=16,a+為=8,則一=________.
510
解析:法一:設(shè)等比數(shù)列{&}的公比為0,由aa=16得■,6=16,所以國/=±4.由
a+a=8,得&/(1+°4)=8,即1+/=±2,所以/=1.于是強(qiáng)=。1°=1.
句。
法二:由等比數(shù)列的性質(zhì),得益=&a=16,所以&=±4,又a+徐=8,
(a=4,\QA=-4,14=4,
所以{,或{,c因?yàn)榉?&a>0,所以<{,則公比<7滿足<7=1,<7=1,
[a=4[劣=12.[備=4,
所以21.
答案:1
5.(2018?高考全國卷DI)等比數(shù)列{&}中,S1=1,a5=4a3.
(1)求{2}的通項(xiàng)公式;
⑵記S為{a.}的前〃項(xiàng)和.若&=63,求應(yīng)
解:⑴設(shè)回}的公比為0,由題設(shè)得當(dāng)=(?-
由已知得"=4/
解得<7=0(舍去),g=-2或g=2.
故a?=(一2尸或a〃=2"T.
(2)若為=(一2)"T,則S"=一三——.
O
由5=63得(一2尸=—188,此方程沒有正整數(shù)解.
若為=2*)則S=2T
由£=63得2必=64,解得力=6.
綜上,777=6.
考點(diǎn)㈡
等差、等比數(shù)列的判定與證明(綜合型)
證明數(shù)列匕“}是等差數(shù)列或等比數(shù)列的方法
(1)證明數(shù)列{aj是等差數(shù)列的兩種基本方法:
①利用定義,證明a,+i—a15GN*)為一常數(shù);
②利用等差中項(xiàng),即證明2a=2一1+為+1(〃22).
(2)證明{aj是等比數(shù)列的兩種基本方法:
①利用定義,證明—(〃GN*)為一常數(shù);
②利用等比中項(xiàng),即證明14+i(〃22).
[典型例題]
穗m設(shè)S為數(shù)列{a}的前刀項(xiàng)和,對任意的〃£N*,都有s=2—品,數(shù)列{4}滿足人
=22,bn=12](啟2,刀WN*).
1Ibn-l
(1)求證:數(shù)列{a}是等比數(shù)列,并求{aj的通項(xiàng)公式;
(2)判斷數(shù)列{;}是等差數(shù)列還是等比數(shù)列,并求數(shù)列{4}的通項(xiàng)公式.
Dn
【解】(1)當(dāng)?shù)?1時(shí),ai=S;=2—ai,解得囪=1;
a~1
當(dāng)〃22時(shí),a=S—Sn-i—a-\—a,即~〃金N*).
nnnn5/7—1N
所以數(shù)列{aj是首項(xiàng)為1,公比為1的等比數(shù)列,
故數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式為%=出”\
(2)因?yàn)閍i=l,
所以bi=2ai=2.
因?yàn)?=擊」,
所以4=4+1,
DnDn-1
即《一4=1522).
DnDn-1
所以數(shù)列方是首項(xiàng)為也公差為1的等差數(shù)列.
所以!=9+5-1)?1=包",故數(shù)列{口的通項(xiàng)公式為
bn222〃一1
判斷(證明)等差(比)數(shù)列應(yīng)注意的問題
(1)判斷或者證明數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列最基本的方法是用定義判斷或證明,其他
方法最后都會(huì)回到定義,如證明等差數(shù)列可以證明通項(xiàng)公式是〃的一次函數(shù),但最后還得使
用定義才能說明其為等差數(shù)列.
(2)證明數(shù)列{aj為等比數(shù)列時(shí),不能僅僅證明為+】=□&,還要說明&"0,才能遞推得
出數(shù)列中的各項(xiàng)均不為零,最后斷定數(shù)列{2}為等比數(shù)列.
[對點(diǎn)訓(xùn)練]
記S為等比數(shù)列{aj的前A項(xiàng)和,已知S=2,S=—6.
(1)求{a}的通項(xiàng)公式;
(2)求S,并判斷S+”S,S+2是否成等差數(shù)列.
解:(1)設(shè)匕〃}的公比為q.由題設(shè)可得
Jai(1+<7)=2,
\ai(1+q+q)=-6.
解得<7=—2,3i=—2.
故{&>}的通項(xiàng)公式為&=(-2):
(2)由(1)可得=-1+(―1)
1—(733
4?2〃+3_2"+22?2〃+i
由于S+2+S+l=—鼻+(-1)^-------=2[—~+(―=2Sn,故S+l,Sn,S+2成
oOOO
等差數(shù)列.
考點(diǎn)㈢
S,關(guān)系的應(yīng)用(綜合型)
n數(shù)列{a}中,a〃與S的關(guān)系
J5i,n-\,
an—\、
⑸一S-i,A22.
&求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法
(1)公式法:利用等差(比)數(shù)列求通項(xiàng)公式.
(2)在已知數(shù)列{a}中,滿足a〃+L4=f?,且f(l)+f(2)+…+?(〃)可求,則可用
累加法求數(shù)列的通項(xiàng)為.
(3)在已知數(shù)列{a“}中,滿足2=f(〃),且/(I)-A2)..../'(a)可求,則可用累乘
?3/7
法求數(shù)列的通項(xiàng)a〃.
(4)將遞推關(guān)系進(jìn)行變換,轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列(等差、等比數(shù)列).
[典型例題]
圓口(1)(2018?合肥第一次質(zhì)量檢測)己知數(shù)列{&>}的前〃項(xiàng)和為S,若3s=2a“一3〃,
則&018=)
C.
⑵(2018?福州模擬)已知數(shù)列{a}中,51—1,a2=2,2+1=3a-2a—1(〃22,z?eN*).設(shè)
=
bna+1-Q-n.
①證明:數(shù)列{4}是等比數(shù)列;
②設(shè)。"=(4/A)2”求數(shù)列{以}的前〃項(xiàng)和8
【解】(1)選A.因?yàn)閍=S,所以3aI=3S=2H—3今&=一3.
當(dāng)?shù)?2時(shí),3s=24一3刀,3S-I=2AT—3(〃一1),所以為=-2an-\—3,即2+1=一
2(為一+1),所以數(shù)列{”+1}是以-2為首項(xiàng),一2為公比的等比數(shù)列.
所以^+1=(-2)X(―2)小=(—2)〃,
則.018=22oi8_k
(2)①證明:因?yàn)?+i=3a”一2a一1(/?22,〃£N*),bn—dn+\—4,
LLIJA+Ia+2-a+i(3&+1-2&)-&+i2(a+i—a)小
所以丁=--------=-------------------=------------=2,
bnan+\—anan+\-a,nan+i-a,n
又從=&—2=2—1=1,
所以數(shù)列{4}是以1為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)歹U.
②由①知4=1X2”T=2”T,
因?yàn)橐?(4〃211)2"'
1111
所以以=2(2〃+1)(2〃-1)=〃2〃一廠2〃+J'
所以S=c+c2H---Fcn
1z111
/
1十11
-4-n1-3-3--5-
\2/7-12/7+1
=茅n
2刀+14〃+2.
冽倒血肉
(1)給出S與a的遞推關(guān)系求”的常用思路:一是利用S—S-1=a(〃22)轉(zhuǎn)化為劣的
遞推關(guān)系,再求其通項(xiàng)公式;二是轉(zhuǎn)化為S的遞推關(guān)系,先求出S與〃之間的關(guān)系,再求
an.
(2)形如為+i=pa"+gGpWl,q=0),可構(gòu)造一個(gè)新的等比數(shù)列.
[對點(diǎn)訓(xùn)練]
31
(2018?貴陽模擬)已知數(shù)列{aj的前〃項(xiàng)和為S,且滿足Sn=~a--,a=l.
⑴求數(shù)列{aj的通項(xiàng)公式;
⑵若b?=--------二------,求數(shù)列伍}的前n項(xiàng)和Tn.
10g3a+1*10g3a+2
31
解:(1)由已知Sn=-an—^@9
31
得S—1=54—1一](刀22)②,
33
①一②得為=52一5a-1,即a=3為一1(〃22),
又a=1,所以數(shù)列{a}是以1為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列,故
(2)由(1)知bn=Z_I[、=|[,
n(77+1)nn-rl
11.11..111n
所以TT
7L=1—72+2—3--nn-r1n~\~1n~v1
所以T—I.
nn+1
數(shù)列與新定義相交匯問題(創(chuàng)新型)
[典型例題]
圓旬(2018?武漢調(diào)研)對任一實(shí)數(shù)序列/=(國,az,a3,…),定義新序列//=(。2
~ar,a&—&,念,…),它的第〃項(xiàng)為a+1-a.假定序列d(//)的所有項(xiàng)都是1,且
<312=己22=0,貝!J3,2=.
【解析】令bn=an+\—an,依題意知數(shù)列{4}為等差數(shù)列,且公差為1,
所以bn=bi+(77—1)XI,
石1=石1,
3,2-ai=bi,
色一@2=也,
B,n-&]一1=bn-l,
:
累力口得a?=ai-\-bi-\---F4-i=ai+(〃-1)4+------:-----二—=(z?-l)a2—(/?—2)ai
?(〃一1)(〃一2)
+2'
分別令〃=12,〃=22,
flla2-10ai+55=0,
得
[21a2—2031+210=0,
231
解得a1=2,a2=100.
【答案】100
圈圈翳圈
數(shù)列新定義型創(chuàng)新題的一般解題思路
(1)閱讀審清“新定義”.
(2)結(jié)合常規(guī)的等差數(shù)列、等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí),化歸、轉(zhuǎn)化到“新定義”的相關(guān)知識(shí).
⑶利用“新定義”及常規(guī)的數(shù)列知識(shí),求解證明相關(guān)結(jié)論.
[對點(diǎn)訓(xùn)練]
在數(shù)列{aj中,〃GN*,若*—為常數(shù)),則稱{&}為“等差比數(shù)列”,下列
a?+i—an
是對“等差比數(shù)列”的判斷:
①k不可能為0;
②等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”;
③等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”;
④“等差比數(shù)列”中可以有無數(shù)項(xiàng)為0.
其中所有正確判斷的序號(hào)是,
解析:由等差比數(shù)列的定義可知,左不為0,所以①正確,當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的公差為0,即
等差數(shù)列為常數(shù)列時(shí),等差數(shù)列不是等差比數(shù)列,所以②錯(cuò)誤;當(dāng){aj是等比數(shù)列,且公比
°=1時(shí),{aj不是等差比數(shù)列,所以③錯(cuò)誤;數(shù)列0,1,0,1,…是等差比數(shù)列,該數(shù)列
中有無數(shù)多個(gè)0,所以④正確.
答案:①④
■■■專題強(qiáng)化訓(xùn)練■■■I
一、選擇題
1.已知等差數(shù)列{a}的前刀項(xiàng)和為S,且&?戊=12,功=0.若%>0,則So=()
A.420B.340
C.-420D.-340
解析:選D.設(shè)數(shù)列{a}的公差為d,貝!Ja3=改~\~d=d,氏=&~\~3d=3d,由&?金=12
2Qx19
得〃=±2,由&>0,/=0,可知水0,所以"=—2,所以劭=2,故£o=2OX2+--—X
(-2)=-340,故選D.
2.(2018?益陽、湘潭調(diào)研)己知等比數(shù)列㈤中,as=3,&&=45,則三的值為()
A.3B.5
C.9D.25
解析:選D.設(shè)等比數(shù)列{a}的公比為0,則84&=弓,a/=9。=45,所以0=5,
念。2—aiq2
—7—25.故選D.
含一以
3.(一^題多解)已知S是數(shù)列{a}的前刀項(xiàng)和,且S+i=S+&+3,a+與=23,則S8
=()
A.72B.88
C.92D.98
解析:選C.法一:由S+i=S+&+3得2+1—a=3,則數(shù)列{a}是公差為3的等差數(shù)
8X7
列,又為+a=23=2d+7d=2d+21,所以2=1,&=8a+——d=92.
法二:由S+i=S+&+3得品+i—品=3,則數(shù)列{2}是公差為3的等差數(shù)列,S&=
8(&+88)8(2+含)”
----2----=-----2----=92.
4.已知數(shù)列3}是等比數(shù)列,數(shù)列㈤是等差數(shù)列,若a?a?胡=—34,A+瓜+
611=7兀,貝ijtan一+一的值是()
1—&?我
B.-1
D.小
解析:選A.依題意得,H,347%所以卡―人號(hào),所以篙勺
2k7兀故tan產(chǎn)"=tan(—沿=tan]—2-《■)=—tang
故選
1一溪31—54?備<37\3)3
A.
5.(2018?長春質(zhì)量檢測(一))等差數(shù)列{4}中,已知|戊|=|m|,且公差小0,則其前
n項(xiàng)和取最小值時(shí)n的值為()
A.6B.7
C.8D.9
解析:選C.由心0可得等差數(shù)列{劣}是遞增數(shù)列,又|為|=|加所以一為=石山即一
團(tuán)-5d=a+10d,所以為=一則為=—*0,39=1>0,所以前8項(xiàng)和為前〃項(xiàng)和的最
小值,故選C.
6.對于數(shù)列{aj,定義數(shù)列{&+i—a〃}為數(shù)列{aj的“差數(shù)列",若&=2,數(shù)列{a〃}的
“差數(shù)列”的通項(xiàng)公式為a+—a〃=2〃,則數(shù)列{a}的前〃項(xiàng)和S=()
A.2B.2"
C.2"+1—2D.2"1—2
解析:選C.因?yàn)閍〃+i—a=2",所以品=(為一為-i)+(2-1—a-2)H---F(/—&)+&=
2一2"9一2""
2〃T+2"-2---1-22+2+2=-~~^+2=2"—2+2=2",所以S?=~~—=2"+1-2,
H1—21一乙
二、填空題
7.(一題多解)(2018?高考全國卷I)記S為數(shù)列{aj的前n項(xiàng)和.若S=2a〃+1,則
&=.
解析:法一:因?yàn)镾=2z+1,所以當(dāng)77=1時(shí),.91=2^1+1,解得a=-1;
當(dāng)〃=2時(shí),&+/=2/+1,解得功=-2;
當(dāng)了=3時(shí),4+@+a=2&+1,解得a=一4;
當(dāng)〃=4時(shí),&+/+&+a=2&+1,解得a=一8;
當(dāng)〃=5時(shí),&+〃2+&+&+a=2&+1,解得a=一16;
當(dāng)〃=6時(shí),&+&+&+a+&+a=2為+1,解得%=—32;
所以5=-1-2-4-8-16-32=-63.
法二:因?yàn)镾=2a+1,所以當(dāng)?shù)?1時(shí),刈=281+1,解得&=一1,當(dāng)時(shí),an=
S—S-1=2a+1—(2&-1+1),所以a=2%—1,所以數(shù)列{a}是以一1為首項(xiàng),2為公比的等
一ix(]一o6\
比數(shù)列,所以a〃=-2"一1所以&=———~-=-63.
1-乙
答案:一63
8.(2018?惠州第二次調(diào)研)已知數(shù)列{aj滿足&=1,a〃+L2a〃=2〃(AGN*),則數(shù)列{a}
的通項(xiàng)公式為=.
解析:a〃+L2al=2〃兩邊同除以2叫可得蕭一年=4,又所以數(shù)歹限是以1為
乙乙乙乙乙[乙I乙
1O11
首項(xiàng),5為公差的等差數(shù)列,所以居壽+(〃T)W=n*所以4—可藍(lán)
乙乙乙乙乙
答案:n-271-1
9.設(shè)某數(shù)列的前〃項(xiàng)和為S,若萼為常數(shù),則稱該數(shù)列為“和諧數(shù)列”.若一個(gè)首項(xiàng)
為1,公差為小后0)的等差數(shù)列{aj為“和諧數(shù)列”,則該等差數(shù)列的公差d=
解析:由券="("為常數(shù)),且為=1,得1)d=/2〃+:X2A(2〃-1)d,即
O2nZ/
2+5—l)d=44+2瓜2〃一1)4整理得,(4A—1)辦+(24—1)(2—初=0,因?yàn)閷θ我庹?/p>
數(shù)〃,上式恒成立,
2=2,
\d(44—1)=0,得7,1
所以
(24—1)(2—d)=0,
所以數(shù)列{a}的公差為2.
答案:2
三、解答題
10
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