易錯匯編高中數(shù)學(xué)易錯知識點匯編

高中基礎(chǔ)知識歸納

集合與簡易邏輯

1.區(qū)分集合中元素的形式:

{x|y=/(x)}{y|y=/(x)}{(%,y)ly=/(x)}

函數(shù)的定義域函數(shù)的值域函數(shù)圖象上的點集

例1.集合M={[y=X),xc/?},N={y|y=—/+1,xc/?},則A/riN=

例2.集合M={(x,y)|y=xe/?},N={(x,y)|y=—x~+1,xG/?},MCN=

例3.集合M=&a=(l,2)+A(3,4),2e/?},集合N=1,=(2,3)+/l(4,5),2e<1,

則MDN=__________

2.研究集合必須注意集合元素的特征，即集合元素的三性：確定性、互異性、無序性。

例4.已知集合A={x,孫，1g(孫)},集合8={0,|x|,y},且A=3,則x+y=

3.集合的性質(zhì)：①任何一個集合P都是它本身的子集，記為

②空集是任何集合P的子集，記為0口/\

③空集是任何非空集合P的真子集，記為0uP。

注意：若條件為4工8,在討論的時候不要遺忘了A=0的情況。

例5.集合A={X|G：2一2》—1=0},如果anR+=0,實數(shù)。的取值范圍

集合的運算：④(AnB)nc=An(snc).(AUB)UC=AU(BUC)；

Q(AB)=(CVA)(C?、Q(A5)=(QA)(Q3)。

⑤AA5=A=A\JB=BoA^BoCVB^CVA=A^}CuB=0.

⑥對于含有〃個元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數(shù)

依次為：2"、2"-1、2"-1、2"-2。

例6.滿足條件{1,2}u4口{1,2,3,4,5}的集合A共有個。

4.研究集合之間的關(guān)系，當(dāng)判斷不清時，建議通過“再停他”的思想進行研究。

例7.已知M=Wx=2Z+l,ZeN},N={A|X=4攵±l,AeN},則MN。

5.孫集唱卷常運用于解決否定型或正面較復(fù)雜的有關(guān)問題。

例8.設(shè)函數(shù)/(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在區(qū)間［-1,1］上至少存在一個實數(shù)C,

使/(c)>0,求實數(shù)p的取值范圍

6.命題是表達判斷的語句。判斷正確的叫做真命題；判斷錯誤的叫做假命題。

①命題的四種形式及其內(nèi)在聯(lián)系:

原命題：如果a,那么/?；

逆命題：如果￡,那么a；

否命題：如果3,那么方；

逆否命題：如果耳，那么屋

②等價命題：對于甲、乙兩個命題，如果從命題甲可以推出命題乙，同時從命題乙也可以推出命題

甲，既“甲。乙”，那么這樣的兩個命題叫做等價命題。

③互為逆否命題一定是等價命題，但等價命題不一定是互為逆否命題。

④當(dāng)某個命題直接考慮有困難時，可通過它的逆否命題來考慮。

例9.“讀a*ii?！笔?a手?！钡臈l件。

⑤注意命題“如果a,那么p”的否定與它的否命題的區(qū)別：

命題“如果a,那么廣”的否定是“如果a,那么萬"；否命題是“如果0,那么耳

*例10.“若a和都是偶數(shù)，則a+b是偶數(shù)”的否命題是否定是

7.常見結(jié)論的否定形式:

原結(jié)論是都是一定p或q〃且4大于小于

否定形式不是不都是不一定P且4P或q不大于不小于

對所有X對任何X

原結(jié)論至少一個至多一個至少n個至多n個

都成立不成立

一個也至多幾—1至少71+1存在某X存在某X

否定形式至少兩個

沒有個個不成立成立

8.充要條件:

條件結(jié)論推導(dǎo)關(guān)系判斷結(jié)果

a=/?a是￡的充分條件

aPJ3=>aa是￡的必要條件

an0旦Bnae是月的充要條件

在判斷“充要條件”的過程中，應(yīng)注意步驟性：

首先必須區(qū)分誰是條件、誰是結(jié)論，然后由推導(dǎo)關(guān)系判斷結(jié)果。

二、不等式

1.基本性質(zhì)：(注意：不等式的運算強調(diào)加法運算與乘法運算)

①且。>c=>a>c；

②推論：i.±c>Z?±c；ii.a>人且c>dn〃+d；

ac>bec>0

(3)a>b^><ac=bc=Oc=0；

ac<bec<0

④推論：i.a>b>O,c>d>O=ac>bd；且。、〃同號=’<—；

ab

ii.a>0>h=>—>0>—；iii.a>b>0,幾>0na">b",\[a>\[h；

ab

公,cbh+m

⑤a>h>0,m>0=>—<-------；

aa+m

>0>b

⑥a-b<=0<=>a<=h；

<0[<b

2.解不等式：(解集必須寫成集合或區(qū)間的形式)

①一元二次或一元高次不等式以及分式不等式的解題步驟：

i.分解因式=找到零點；ii.畫數(shù)軸二標根=>畫波浪線；iii.根據(jù)不等號，確定解集；

注意點：i.分解因式所得到的每一個因式必須為x的一次式；ii.每個因式中x的系數(shù)必須為正。

關(guān)鍵一

②絕對值不等式A去絕對值:

i.W>aox>a或<-a(a>0)；ii.-a<x<a(a〉0)；

iii.\a\>\b\^a2>b\iv.|/(x)|>g(x)(g(x)>0)O/(x)<-g(x^/(x)>g(x)；

v.|/(x)|<g(x)=-g(x)</(x)<g(x)；

借助函數(shù)單調(diào)性一

③塞、指、對不等式去掉塞、指、對符號=>解不等式：

解對數(shù)不等式時，應(yīng)注意些什么問題？(化成同底、利用單調(diào)性、注意同解變形)

④解含參數(shù)的不等式時，定義域是前提，函數(shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵。

而分類討論的關(guān)鍵在于“分界值”的確定以及注意解完之后要總結(jié)：綜上所述

⑤對于不等式恒成立問題，常用“函數(shù)思想”、“分離變量思想”以及“圖象思想”。

例1.已知不等式(。-2)/+2(a-2)x-4<0對一切xeR恒成立，求a的取值范圍

3.基本不等式:

①a,bwR,貝22",當(dāng)且僅當(dāng)。=人時，等號成立。

a,hER+,則a+bN2j茄，當(dāng)且僅當(dāng)a=人時，等號成立。

綜上，若則」2+〃之(“+〃/當(dāng)且僅當(dāng)a=〃時，等號成立。

2

*②若a,bwR+,則｛立巖之彳之瘋21T,當(dāng)且僅當(dāng)。=力時，等號成立。

--1--

ab

x>0,當(dāng)且僅當(dāng)x=L即x=l時，等號成立

,>2

X

X,%<0,當(dāng)且僅當(dāng)x=1,即x=-l時，等號成立

X

例2.已知正數(shù)〃、滿足。匕=。+人+3,則的取值范圍是

91

例3.函數(shù)y=4x--——(x>])的最小值為

例4.若x+2y=l,則2*+4’的最小值是

例5.正數(shù)x、y滿足x+2y=2,則工+工的最小值為___________________

xy

4.不等式的證明：

①比較法：作差-因式分解或配方f與“0”比較大小f

②綜合法：由因?qū)Ч?/p>

③分析法：執(zhí)果索因；基本步驟：要證即證即證。

④反證法：正難則反。

⑤最值法：Q>/(x)max，則a>/(x)恒成立；a</(x)min，則a</(x)恒成立。

三、函數(shù)

1.九個基本函數(shù)必須熟練掌握：強調(diào)函數(shù)圖象和性質(zhì)

正比例函數(shù)，反比例函數(shù)，一次函數(shù)，二次函數(shù)，基、指、對函數(shù)，三角函數(shù)，反三角函數(shù)。

2.反函數(shù)：當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)是一一對應(yīng)函數(shù)時才具有反函數(shù)。

①求反函數(shù)的步驟掌握了嗎？

i.解方程，用y表示X；ii.交換X與y,寫成反函數(shù)的形式；iii.注明反函數(shù)的定義域。

②你還記得反函數(shù)的四個性質(zhì)嗎？

i.互換性；；ii.對稱性；iii.單調(diào)一致性；iv.還原性。

例1.函數(shù)y=/(x)過點(1,1),則/(4-x)的反函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點

③若原函數(shù)y=/(x)在定義域上單調(diào)，則一定存在反函數(shù)；但一個函數(shù)存在反函數(shù)，則此函數(shù)

不一定單調(diào)。你能寫出一個具體的函數(shù)嗎？

例如：分段函數(shù)：=2+1》20或/(6=!等。

、乙/X

—x+1x<0

3.函數(shù)的要素：定義域、值域、對應(yīng)法則

①定義域：

i.給出函數(shù)解析式，求函數(shù)的定義域(即求使函數(shù)解析式有意義的x的范圍)

(1)y=[/(x)]。=/(X)HO；(2)y=^^=Q(x)NO；

Q(x)

⑶y=20P(x)=>P(x)VO；09y=k)gp(x)Q(x)nP(x)>0,P(x)Hl,Q(x)>0；

JI

(5)y=tan[P(x)]=>P(x)w攵"+,,左￡Z；(6)y=cot[P{x)\=>P(x)wk九,kGZ：

(7)y=arcsin[P(x)]=>—1<P(x)<1；(8)y=arccos[P(x)]=>—1<P(x)<1；

ii.使實際問題有意義的自變量的范圍。

Ar

例2.銳角AABC中，3C=1,3=2A,則-----的值等于______,AC的取值范圍為_____

cosA

iii.求復(fù)合函數(shù)的定義域：

若/(X)的定義域為同，則/卜(刈的定義域由不等式aWg(x)4b解出；

若丹g(x)］的定義域為同，貝9⑴的定義域相當(dāng)于xe辰引時g(x)的值域；

例3.函數(shù)f(x)=二*的定義域為______________

'l"g4(x-3)

例4.若函數(shù)y=/(x)的定義域為g,2,則函數(shù)/(log?x)的定義域為

例5.若函數(shù)f(x2+1)的定義域為［-2,1),則函數(shù)/(%)的定義域為

②值域：函數(shù)的值域(或最值)有哪幾種常用解題方法？

i.二次函數(shù)型或可化為二次函數(shù)型；單調(diào)性；而.基本不等式；iv.換元法；v.數(shù)形結(jié)合;

例6.函數(shù)y=2sin2x-3cosx-l的值域為

例7.設(shè)x,4,。2,V成等差數(shù)列，%，，，%,y成等比數(shù)列，則十%)的取值范圍是______

22

.9

例8.函數(shù)y=sin-9x-\----------的值域為__________

1+sin~x

例9.函數(shù)y=-log3(5-x)的值域為

3.函數(shù)的基本性質(zhì)：

①奇偶性：

i.定義判斷奇偶性的步驟:

(1)定義域。是否關(guān)于原點對稱；⑵對于任意xe。，判斷了(-x)與/(x)的關(guān)系:

若/(-%)=/(x),也即/(一x)-/(x)=0oy=/(x),xe。為偶函數(shù)

若/(-%)=-/(%),也即/(—x)+/(x)=0oy=/(x),x^D為奇函數(shù)

ii.圖象判斷奇偶性：函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱O奇函數(shù)；函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱。偶函數(shù)；

iii.判斷函數(shù)的奇偶性時，注意到定義域關(guān)于原點對稱了嗎？

iv.如果奇函數(shù)y=/(x)在x=0處有定義，則/(0)=0。

v.一個函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則該函數(shù)必為：/(x)=O,xeD(其中定義域。關(guān)于原點對稱)

vi.如果兩個函數(shù)都是非零函數(shù)(定義域相交非空)，則有：

奇+奇=奇；奇+偶=非奇非偶；偶+偶=>偶；奇X奇=>偶；奇X偶=>奇；偶X偶=>偶。

②單調(diào)性：設(shè)任意M，/G。，且匹</，則/($)=/(/)0無單調(diào)性

f(X,)>/(犬2)O減函數(shù)<=><0；/(X,)>/(々)O增函數(shù)o/(X?！?(少)>0；

X,-x2X]-X,

在比較/($)與/(X2)大小時，常用“作差法”，比較/(七)一/(>2)與0的大小。

i.奇函數(shù)的圖象在〉軸兩側(cè)的單調(diào)性一致；偶函數(shù)的圖象在y軸兩側(cè)的單調(diào)性相反。

ii.互為反函數(shù)的單調(diào)性一致。

iii.增函數(shù)+增函數(shù)=>增函數(shù)；減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)。

iv.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性由“同增異減”判定。

例10.函數(shù)y=log|(-x2+2x)的單調(diào)遞增區(qū)間為

2

Vi.注意函數(shù)“單調(diào)性”、“奇偶性”的逆用(即如何體現(xiàn)函數(shù)的“奇偶性”、“單調(diào)性”)

例11.已知奇函數(shù)/(x)是定義在(—2,2)上的減函數(shù)，若/(〃?—1)+/(2m—1)>0,

求實數(shù)”的取值范圍

③最大值和最小值：參見函數(shù)的值域

當(dāng)X取芯,々，天的中位數(shù)時，函數(shù)y=|%一百|(zhì)+|%一%21+-取最小值

④函數(shù)的零點：對于函數(shù)y=/(x)(xe。)，如果存在實數(shù)C(CG。)，當(dāng)x=c時，/(c)=0,

那么就把x=c叫做函數(shù)丁=/(幻(》€(wěn)。)的零點。注：零點是數(shù);

用二分法求零點的理論依據(jù)是：①函數(shù)/(X)在閉區(qū)間口,切上連續(xù)；②

那么，一定存在ce(a/),使得/(c)=0。(反之，未必)

以下性質(zhì)不是函數(shù)的基本性質(zhì)

⑤周期性：對于函數(shù)y=/(x)x&D,如果存在一個非零常數(shù)f,使得對于任意xw。時，恒有

/(x+f)=/(x)成立，那么函數(shù)y=/(x)xe。叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)f叫做該函數(shù)的周期。

i.任意/(x+a)=-/(x),則T=2aii.任意x&D,f[x+a)=Ur，則T=la

iii.任意xe。，/(x+a)=/(x+3,則T=|a-

例12.定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足/(x+2)=/(x),且在［-3,-2］上是減函數(shù)，若a、夕是

銳角三角形的兩個內(nèi)角，則/(sine)與/(cosQ)的大小關(guān)系為

*iv.若y=/(x)圖像有兩條對稱軸x=a、x=b(a字b),則y=/(x)必是周期函數(shù)，

且一周期為T=2|a—母。

*v.若y=/(x)圖像有兩個對稱中心A(a,0)、B(b,0)(a^b),則y=/(x)是周期函數(shù)，

且一周期為T=2|a—4。

*vi.如果函數(shù)y=/(x)的圖像有一個對稱中心A(a,0)和一條對稱軸x=b(a手b),

則函數(shù)y=/(x)必是周期函數(shù)，且一周期為T=4|a—4。

例13.已知定義在R上的函數(shù)/(尤)是以2為周期的奇函數(shù)，則方程/苗=0在％￡［-2,2］上

至少有個實數(shù)根。

?對稱性：

i.點(x,y)關(guān)于y軸的對稱點為(—x,y)；函數(shù)y=/(x)關(guān)于y軸的對稱曲線方程為y=/(—x)。

ii.點(x,y)關(guān)于x軸的對稱點為(x,—y)；函數(shù)y=/(x)關(guān)于x軸的對稱曲線方程為y=—/(x)。

iii.點(蒼力關(guān)于原點的對稱點為(-x,—y)；函數(shù)y=/(%)關(guān)于原點的對稱曲線方程為y=-/(-幻

iv.兩函數(shù)y=/(。+月與丁=-x)的圖像關(guān)于直線x=幺手對稱。

V.函數(shù)/(X)滿足/(a+x)=/0—x),則函數(shù)的圖象關(guān)于直線》=色宇對稱。

例14.二次函數(shù)/(x)=改2+人不滿足/(5-K)=/(X-3),且方程/(x)=x有等根，則/(X)=

/、—3

例15.己知函數(shù)/(x)=-x-----,若y=/(x+l)的圖像是G，它關(guān)于直線y=x對稱圖像是C,

2x-3

C2關(guān)于原點對稱的圖像為C3，則C3對應(yīng)的函數(shù)解析式是

例16.函數(shù)y=x2+x與函數(shù)y=g(尤)的圖象關(guān)于點(一2,3)對稱，則g(x)=

Vi.形如丁=”蟲(cNO,ad聲。c)的圖像是雙曲線，對稱中心是點兩條漸近線

cx+d<cc)

分別為X=_4,y=J

cc

例17.已知函數(shù)圖象G與。2：y(x+a+l)=ax+q2+1關(guān)于直線y=%對稱，且圖象G關(guān)于

點(2,-3)對稱，則a=

4.函數(shù)圖象變換:

①平移變換：

i.函數(shù)y=/(x)的圖象?左加右減?函數(shù)y=/(x+a)的圖象;

ii.函數(shù)y=/(x)的圖象一加下減a函數(shù)y=/(x)+b的圖象;

②伸縮變換：1

沿x軸方向伸縮為原來的點倍

i.函數(shù)y=.f(x)的圖象函數(shù)y=/(bx)的圖象：

ii.函數(shù)y=/(x)的圖象軸方向伸縮為原來的.倍?函數(shù)y=h/(x)的圖象;

③對稱變換：

i.函數(shù)y=f(x)的圖象，關(guān)于丫軸對稱a函數(shù)y=/(-幻的圖象；

ii.函數(shù)y=/(x)的圖象，關(guān)于x軸對稱?函數(shù)y=—/(x)的圖象;

iii.函數(shù)y=/(x)的圖象=如也%豆A函數(shù)y=—/(—x)的圖象；

iv.函數(shù)y=/(x)的圖象，x>°時，圖象不變；然后再關(guān)于y軸對稱?函數(shù)y=/(|x|)圖象；

V.函數(shù)y=/(x)的圖象f(x)>°時，圖象不變；然后再關(guān)于x軸對稱?函數(shù)丁=[y(x)|圖象；

例18.要得到y(tǒng)=lg(3-x)的圖像，只需作y=lgx關(guān)于軸對稱的圖像，再向平移3個

單位而得到。

例19.將函數(shù)y=〃一+a的圖象向右平移2個單位后又向下平移2個單位，所得圖象如果與

X+Q

原圖象關(guān)于直線y=x對稱，那么()

(A)。=-1,bwO；(B)。=-1,beR；(C)a=2,Z?wO；(D)Q=O,beR；

5.常見的抽象函數(shù)模型:

①正比例函數(shù)模型：f(x)=kx,k^Q-----/(x±y)=/(x)±

②幕函數(shù)模型：M=x2——/(盯)=/(4/3：卜黑。

③指數(shù)函數(shù)模型：/(x)=a'-----/(x+y)=/(x)"(y)；A》—引=黑。

④對數(shù)函數(shù)模型：/(x)=iogt,%—/3)=/(x)+/(y)；=

/(x)+/(y)

⑤三角函數(shù)模型：/(x)=tanx-----/(x+>)=

1-向"(>)°

6.三個二次(哪三個二次)的關(guān)系以及應(yīng)用掌握了嗎？

①在研究三個二次時，你注意到二次項系數(shù)非零了嗎？

②如何利用二次函數(shù)來研究一元二次方程、一元二次不等式的問題。

③一元二次函數(shù)的研究強調(diào)數(shù)形結(jié)合，那么數(shù)形結(jié)合該從哪些方面去研究？(開口、對稱軸、

定義域以及偏移度)

④特別提醒：二次方程o?+法+c=0的兩根即為不等式aV+Ar+c〉。(。解集的端點值,

也是二次函數(shù)f(x)-ax2+bx+c3H0)圖象與x軸交點的橫坐標。

7.研究函數(shù)問題準備好“數(shù)形結(jié)合”這個工具了嗎？

8.研究函數(shù)的性質(zhì)注意在定義域內(nèi)進行了嗎？

9.解對數(shù)函數(shù)問題時注意到真數(shù)以及底數(shù)的限制了嗎？

10.指數(shù)運算法則：(a>O,b>O,〃zeR,〃GR)

i.a'"-a"=a",+"；ii.("")"=(a"；iii.(a-b)n=an-bn；

11.對數(shù)運算法則：

log?M+log(,N=log”(M?N)；1ogM-1ogN=1og號；

a^'h=b.,i°g6=X；log『"='bg,也

"log,am

四、三角

1.三角比的定義你還記得嗎？

2.三角公式你記住了嗎？①同角三角比的關(guān)系：商數(shù)關(guān)系、倒數(shù)關(guān)系、平方關(guān)系;

②誘導(dǎo)公式：奇變偶不變，符號看象限。

③你能用“小三角形”進行同角三角比的轉(zhuǎn)換嗎？

3.三角化簡，強調(diào)哪兩點？①切、割化弦；②化繁為簡。

4.三角條件求值你注意到兩個關(guān)系了嗎？(角的關(guān)系、名的關(guān)系)

例如：a=(a+/3■,2a=(a+p)+(a—力)；22=(a+p)-(a-,)

例1.已知tan(a+/7)=w，tan^/?--J=—,則tan[a+wj=

3

例2.已知a、,為銳角，sina=x,cos^=y,cos(?+/?)=--,則y關(guān)于x的

函數(shù)關(guān)系為

5.在三角中，你知道“1”等于什么嗎？

q1=.sin"2a+co2s-a—s2ec-a-t2arra2=csc~a2-coVa=tancot?=tan—萬

4

=sin—=cosO..........o

2

八工^八為.21-cos2a三cos2a+1

6.重要公式：①snra=------------；②cos-2a--------------

22

gasina1-cosa④asina+bcosa=JQ?+/???sin(a+⑶;

21+COS6Zsina

例3.當(dāng)函數(shù)y=2cosx—3sinx取最大值時，tanx=

7.你還記得在弧度制下弧長公式以及扇形的面積公式嗎？你注意到了扇形的弧長與周長的

11

區(qū)別了嗎？弧長公式：l=an周長公式：c=/+2r；面積公式：S=-ar20=—1?八

22

例4.已知扇形AOB的周長是6cvn,該扇形的中心角是1弧度，求該扇形的面積

8.正弦定理、余弦定理的各種表達形式你還記得嗎？會用它們解斜三角形嗎？

正弦定理：'一=〃一=—^=2R

sinAsinBsinC

余弦定理：a~=h2+c2-2Z?c-cosA；cosA=+C----—；

2bc

面積公式：S=—ab-sinC=-be-sinA=-ca-sinB；

△A222

大邊對大角：a>boA>B<=>sinA>sinB；

銳角A4BC中:^a2+b2>c2,則A+B>—nA>——B=>sinA>cosB；

22

鈍角A4BC中:若a2+b2<c2,則4+6<工=>A<--B<-=>smA<cosB；

222

直角A46C中:^a2+b2=c2,則A+6=^nA=巳—6nsinA=cosB；

22

例5.在AA8C中,若sinA=—，則cosA=______________^主意幾解）

31

則s.A-

在AA6c中，右cosA3-m（注意幾解）

*9.三角形與向量綜合的有關(guān)結(jié)論:

-----?,22,,2

①在A46C中，給出。4=OB=OC,=。是A46C的外心；（外心：中垂線的交點）

②在A46C中，給出蘇+麗+反=6,=。是AA6C的重心；（重心：三邊中線的交點）

③在A46C中，給出O4-Q3=QB-OC=OC-OA,=。是A46C的垂心；（垂心：高的交點）

④在AABC中,nAP所在直線經(jīng)過A43C的內(nèi)心;

—.A?,AT

⑤在ZVLBC中,給出AO=--------，=＞等于已知AD是ZVLBC中BC邊的中線;

2

例6.。是AABC所在平面內(nèi)一點，且滿足OB-OC=0B+OC—2O4,則根臺。的形狀為

例7.若。為AABC邊BC的中點，A46C所在平面內(nèi)一點P,滿足西+而+麗=6,

AP

設(shè)^=2,則；1=

PD

例8.若。是A46C的外心，且蘇+無+函=6,則角。=

10.你能迅速畫出三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的圖象嗎？你知道三角函數(shù)線嗎？

能寫出它們的單調(diào)區(qū)間及其取最值時x的集合嗎？（別后IkeZ）；

能給出三角函數(shù)的對稱軸、對稱點嗎？

H.會用五點法畫函數(shù)“y=Asin（3x+f）+B”的草圖嗎？哪五點？

會根據(jù)圖象求出參數(shù)4、3、（P、B的值嗎？

12.形如y=Asin（5+°）+8、y=Atan（Ar+。）+8的最小正周期會求嗎？有關(guān)函數(shù)周期的定

義還記得嗎？周期函數(shù)有何性質(zhì)？

13.反三角的處理思想是什么？（回歸思想：①設(shè)、②化、③范圍，回到三角范圍求解）

14.你能熟練的畫出反三角函數(shù)：y=arcsinx、y=arccosr、y=arctanx的圖象嗎？

并結(jié)合圖象，你能說明反三角函數(shù)的性質(zhì)嗎？

15.在三角函數(shù)中求一個角時，注意考慮兩方面要求：

①先求出某一個三角函數(shù)值：②再判定角的范圍。

16.三角不等式或三角方程的通解一般式你注明“kwZ”了嗎？

17.在用反三角表示直線的傾斜角、兩直線的夾角、異面直線所成角、線面角、二面角、向量夾角

時，是否注意到它們的范圍？直線的傾斜角：［0,萬)；兩直線的夾角：0,^；異面直線所成

角：^0,—；線面角：0,—；二面角：［o,萬］；向量夾角：萬］;

五、數(shù)列：

1.數(shù)列的本質(zhì)是什么？(定義在正整數(shù)集或其子集上的函數(shù))。

2.等差數(shù)列的通項公式與一次函數(shù)有什么關(guān)系？等比數(shù)列的通項公式與指數(shù)函數(shù)有什么關(guān)系？

3.等差數(shù)列的求和公式有兒個？等比數(shù)列的求和公式應(yīng)注意什么？

4.設(shè)S,是數(shù)列｛%｝的前〃項和，則”｛%｝是等差數(shù)列”的充要條件是“S“=+其中

公差4=24”。設(shè)S“是數(shù)列｛%｝的前〃項和，則“｛凡｝是非常數(shù)等比數(shù)列”的充要條件是

"S“=Aq"-A(AH0)其中公比是q

5.常數(shù)列：an=a(〃eN)=>｛/｝是公差d=0的等差數(shù)列；

非零常數(shù)列既是等差數(shù)列,又是等比數(shù)列；既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列必為非零常數(shù)列

6.若｛4｝是等差數(shù)歹(則卜分｝是等比數(shù)列(hHO)；若｛%｝是等比數(shù)列，則｛log,J?｝是等差數(shù)列；

7.對于等差、等比數(shù)列，你是否掌握了類比思想？

8.等差數(shù)列、等比數(shù)列有哪些重要性質(zhì)？你注意到它們的性質(zhì)的關(guān)鍵在于下標以及結(jié)構(gòu)特征了嗎？

等差數(shù)列等比數(shù)列

從第二項起，后一項減前一項的差是同從第二項起，后一項與前一項的比是同一非零常數(shù)，

一個常數(shù)，則該數(shù)列為等差數(shù)列。則該數(shù)列為等比數(shù)列。

定

義1.er

an-an_x-d(n>2,nN)1.-^-=q(nN2,nwN*,q手8

an-l

通

a=a(neN")a=(neN*)

項n1n

c3+4)J(〃T),

naq=1

求22]

S"=，_%-a“q.,

和=An2+Bn(〃eN")n

\-q\-q

S]〃=1

通項公式*與前〃項和公式S,,之間的關(guān)系：an=

名―S,In"nwN”

1.an-ak=(n-k)-d￡N*)1.A=q'i(〃,kwN*)

%

2.2a?+1=an+an+2(neN*)

2.63=??-4+2(〃eN*,??+l0)

3.若i+j=k+1=2p,3.若i+j=k+1=2p,

則：?aj=a=(ci)2

則：a.+〃,?=a,+a.=2ankp

性

(6+《)”(a+a_)?n

2n}....

〃22

4.若仁也,自……是公差為女的等差4.若仁,網(wǎng),&……是公差為左的等差數(shù)列，

數(shù)列，則：ak,ak2,ak｝....是公差為則：%，4”氣…是公比為^的等比數(shù)列。

hd的等差數(shù)列。

質(zhì)

5-｛%｝，｛〃,｝分別是公差為4，4的等5.(。,,｝，仇｝分別是公比為名,%的等比數(shù)列,a、

差數(shù)列，a、￡是常數(shù)，則：是非零常數(shù)，則：

｛a-a?±j3-bn｝是公差為aa,x0b“）是公比為q?%的等比數(shù)列；

a-4±/r”2的等差數(shù)列。竺%｝是公比為如的等比數(shù)列。

6也%

例1.已知｛4｝是等比數(shù)列，且｛?！ǎ那啊椇蚐〃=3"+〃，則〃=

例2.在等比數(shù)列｛〃〃｝中，%+々8=124,〃「。7=-512,公比q是整數(shù)，則Go=

9.無論是在等差數(shù)列還是在等比數(shù)列中，共有五個關(guān)鍵量：/、S“、n.d或以

如果己知其中三個量，則可由明及S〃的公式，求出其余兩個量（知三求二）;

10.求數(shù)列通項公式有哪幾種典型類型？

①勺一4|=火〃22,〃€恒或@=的〃22,〃6N）型（定義=等差或等比數(shù)列=利用公式）

??-i

②已知。向-4=/（〃）或4a=8（”）（〃6"）型（累計求和或累計求積）

③已知a“M=pq+q（p*l）型（等式左右兩邊同時減去工）

.1-P

n=X

④已知和S“，求項明,貝！J：a=P1（是否注意到“〃N2”？）

"[S“-S）-n>2.......

⑤利用迭代、遞推的方法

⑥數(shù)學(xué)歸納法證明（用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的關(guān)鍵是什么？是否具有從特殊到一般的思維模式）

例3.數(shù)列｛a,J滿足％=1,an-an_K=---——尸，n>2,neN*,則a“=

例4.數(shù)列｛a,J滿足%=1,a〃=3a〃_]+2,n>2tneN*,則

例5.數(shù)列｛a,J滿足q=1,瘋二一向=兩二'-怎，則a，,=

例6.數(shù)列｛?！埃凉M足/a1+（11+....+5^*a”—2〃+5,則cin—

11.求數(shù)列｛凡｝的最大、最小項的方法：注意點：由于〃是正整數(shù)，注意等號成立。

①函數(shù)思想（特別是，利用數(shù)列的單調(diào)性）；

>0>

②作差比較法：%+]一%......=00%+l=an;

<0<

a”<a

③（4）maxO<（4,）minn+i

a.2%

2

例7.數(shù)列｛a“｝的通項公式為an--2n+29〃-3,則｛a“｝的最大項為

例8.｛a“｝的通項公式為---,則｛%｝的最大項為_______________

n~+156

例9.｛&“｝的通項公式為an=X[：+I,則｛%｝的最大項為

12.求數(shù)列前〃項和S“有哪幾種典型類型？

①通過判斷="等差或等比數(shù)列”=利用求和公式求解。

②通過判斷="等差±等比”型n分組拆項求和。

③通過判斷=>"等差x等比”型=錯位相減法。

④通項或表達式為分式時，常用裂項相消求和法。

常用裂項方法：——1——=-!-（-!-----!—）（,?>〃）

（k+m）（k+n）m-nk+nk+m

⑤倒序相加法，或倒序相乘法，強調(diào)配對思想。

⑥對于數(shù)表型問題，找規(guī)律，再操作。

⑦對于奇偶項的不同，分類討論，分別求和。（注意項數(shù)、公差、公比的變化）

例10.1H1-------------F.......H---------------------=

1+21+2+31+2+3+???〃

例11.函數(shù)/（1）=鼻，則/⑴+人2）+/（3）+/⑷+/[；）+/&]+/（￡[=

13.你會根據(jù)數(shù)列項的關(guān)系來研究“數(shù)列和的最值”以及“數(shù)列積的最值”嗎？

例12.等差數(shù)列｛4｝中，q=25,S9=Sl7,問該數(shù)列中多少項和最大？并求此最大值。

例13.若｛%｝是等差數(shù)列，首項q>0,“2003+a2004>0，。2003,?2004<。，則使前〃項和S,,>0

成立的最大正整數(shù)〃是

14.數(shù)列換元應(yīng)注意哪兩個原則？（最小下標原則以及下標一致原則）。

15.極限有哪幾種典型類型？分別如何處理？

0@<1

①(c為常數(shù))；②lim—=0(?>0)；③limqn=<1

]imc=cn―kma。n—q=i

不存在\q\>1或g=-l

a

an"+bn+ca.,禽

hm—5-----------=-；(dw0)；?an+bH

〃…dn+en+fdhm———

b

16.極限的運算性質(zhì)有哪些？

如果：limh=B,貝！J：①lim(6z±b)=A±B；②lim(a-b)=A-B；

H->CCH—>00n〃一><X>MnH—>00nn

③lim答=4(BwO)；④=(lima")”=4&左為有限數(shù)；

〃T8bBW-X?W-KC

注：極限的四則運算應(yīng)滿足：項數(shù)有限且每一項都有極限

17.limq"=Oo_?(U<1)；若limq"存在，則q滿足什么條件？(0<1或q=l)

“一>oo11n-^11

上述q與等比數(shù)列的公比有什么區(qū)別嗎？

18.無窮等比數(shù)列的“各項和”就是“所有項和”，也就是數(shù)列和的極限。它的前提是等比數(shù)列的公

比q滿足：|4<1且470,則各項和為S='L。

\-q

*19.存款單利問題：(零存整取儲蓄(單利)本利和計算模型)

若每期存入本金p元，每期利率為廠，則〃期后本利和為：S“=p(l+r)+p(l+2r)+……p(l+nr)；

分期付款復(fù)利問題：若貸款p元，采用分期等額還貸款，從借款日算起，一期后為第

一次還款日，如此下去，分〃次還清，如果每期利率為r(按復(fù)利)，那么每期等額還貸款x元

應(yīng)滿足：x(l+r)z，'+x(l+r)"-2+....+x(l+r)+x=〃(1+r)n；

六、復(fù)數(shù)

1.你還記得復(fù)數(shù)是怎樣定義的嗎？

①虛數(shù)單位晨四次一循環(huán)產(chǎn)T=i;i4k+2=-1;i4k+3=-i;i4M=1;伏eZ)

注：易知(l+i)2=2i；(1—2z>=—2ik；(1+i產(chǎn)=2-產(chǎn);(l—i產(chǎn)=(—2)&

②復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：形如a+6(a,6eR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，記為：z=a+bi(a,beR)。

。叫做復(fù)數(shù)z的實部，記為：Rez=a；

。叫做復(fù)數(shù)z的虛部，記為：Imz=/?,注意：復(fù)數(shù)的虛部是一個實數(shù)。

注：虛數(shù)不能比較大??；能比較大小的復(fù)數(shù)是實數(shù)

則稱、為共軌復(fù)數(shù)，記為：或。

③=a+bi,z2-a-bi(a,beR),z］z2z1=z?,z?=z］

注：實數(shù)。的共聊復(fù)數(shù)就是本身，即工=。（aeR）

Rez=0Z+Z=Oc

④zG/?<^>Imz=O<=>z=zoz2>0；z是純虛數(shù)o<<=>?=z-2<0

Imz。0ZH0

'正整數(shù)

整數(shù)■0

有理數(shù)

⑤數(shù)的分類：實數(shù)負整數(shù)

復(fù)數(shù)z=a+bi（a,beR）-分數(shù)

,無理數(shù)

純虛數(shù)：4=0且》=0,即2=陽6=0）

虛數(shù)

純虛數(shù)：z=a+8i（a#0且8*0）

2.解復(fù)數(shù)問題的指導(dǎo)思想是什么？（根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題求解）

設(shè)則且。（把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題）

Z|=a+hi,z2=c+di（a,b,c,deR）,zt=z2<^>a=c=d

3.復(fù)數(shù)的性質(zhì)有哪些？

①共甄的性質(zhì)：

i.zf±z2=zt±z2；ii.Z］?Z2=Z|?Z2；iii.(—)==；iv.(z)=z；