高中數(shù)學(xué)直線和平面平行與平面和平面平行專項練習(xí)

高中數(shù)學(xué)直線和平面平行與平面和平面平行專項練習(xí)

【基礎(chǔ)知識必備】

一、必記知識精選

1.直線和平面的位置關(guān)系.直線和平面位置關(guān)系有三種：線在面內(nèi)，直線與平面平行，直

線與平面相交.相交與平行又稱為線在面外.

2.直線與平面平行的判定定理：如果不在一個平面內(nèi)的直線和平面內(nèi)的一條直線平行，

那么這條直線也和這個平面平行.可簡記為：線線平行，線面平行.

3.直線與平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和

這個平面相交，那么這條直線和交線平行.可簡記為：線面平行，線線平行.

4.平面平行的定義.

5.平面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面，那么

這兩個平面平行.簡言之：線面平行，面面平行.

6.平面平行的判定定理推論：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一平面內(nèi)的

兩條直線，那么這兩個平面平行.簡言之：線線平行，面面平行.

7.平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平

行.簡言之：面面平行，線線平行.

8.平面平行的傳遞性：如果a〃仇那么a〃y.

二、重點難點突破

（一）重點

平行線的傳遞性，直線與平面平行的判定與性質(zhì)定理，平面與平面平行的判定與性質(zhì)定

理.對于這部分知識的學(xué)習(xí)要注意記清條件與結(jié)論.如直線與平面平行的判定定理要求直線是

平面外的直線.

（二）難點

直線與平面，平面與平面平行的判定定理及性質(zhì)定理的應(yīng)用是本節(jié)的難點.在解題時要注

意與平面幾何知識多聯(lián)系.如在證明線面平行時，一般與公理4以及三角形的中位線、平行四

邊形的對邊多有聯(lián)系.

三、易錯點和易忽略點導(dǎo)析

1.忽略定理的條件而解題錯誤.

【例1】判斷：如果一個平面內(nèi)兩條直線與另一平面平行，則這兩個平面平行（）

錯解W

正確答案：X

錯解分析：利用平面與平面平行的判定定理判斷時，忽略了平面內(nèi)兩條直線相交的位置

關(guān)系.

2.對空間中特殊的位置關(guān)系考慮不全面.

【例2】已知M是兩條異面直線a、b外一?點，則過M且與a、b都平行的平面有幾個？

錯解：設(shè)平面a過點M,且與a、b都平行，則直線a及其外一點M確定的平面與a的交線a，

必與a平行.同理存在b，ua,且卜〃b,則a為a，與b，確定的平面，由于過M且與a平行的直線a，

是惟一的b也是惟一的，因而由a，、b，確定的平面a也是惟一的.綜上所述，過M且與a、b都平

行的平面只有一個.

正確解法：過M作直線a/a,過M作直線b/b,則a，、b，確定平面a,當a、b都不在由a二

b'確定的平面a內(nèi)時，過M且與a、b都平行的平面只有一個；當aua或bua時，過M且與a、b

都平行的平面不存在.

錯解分析：錯解沒有注意到aua或bua的特殊情況，解的結(jié)果是不完整的.

【綜合應(yīng)用創(chuàng)新思維點撥】

一、學(xué)科內(nèi)綜合思維點撥

【例1】平面外的兩條平行線中的一條平行于這個平面.求證：另一條也平行于這個平

面.

思維入門指導(dǎo)：作出圖形如圖9-3-1.欲證b〃a,想到直線和平面平行的判定定理只須在

平面a內(nèi)找到一條直線c,使c〃b即可，由已知條件a〃a,想到直線與平面平行的性質(zhì)定理，

只須過直線a作平面。與平面a相交.交線即為所成直線c,因此本題可證.

已知：如圖9-3-1,直線a〃b,a〃平面a,且b在平面a外.

求證：b〃a.

證明：過a作平面0,使它與平面a相交，設(shè)交線為c.

Va//a,，a〃c.

*/a//b,.*.b/7c.；?b〃a.

點撥：解此題易出現(xiàn)的錯誤是在找C時，直接在平面M內(nèi)作直線C〃直線a,這種作法不

能保證平行且無理論依據(jù).

二、應(yīng)用思維點撥

【例2】如圖9-3-2所示的一塊木料中，棱BC平行于面A，C.

(1)要經(jīng)過面AC內(nèi)的一點P和棱BC將木料鋸開，應(yīng)怎樣畫線？

(2)過點P所畫的線和面AC是什么位置關(guān)系？

思維入門指導(dǎo)：要過P和棱BC將木料鋸開，就是要畫圖中BE、EF和CF各線，其中畫EF

是關(guān)鍵，顯然EF是截面與面的交線，由已知BC〃面AC，可知IEF〃BC.由于受木料形狀及

點P的限制，可以通過畫出點P與BC，的平行線來確定EF.

解：(1)在面內(nèi)，過點P畫直線EF,使EF〃B，C,EF交棱AB、CD，于點E、F,連

結(jié)BE、CF,則EF、BE、C臉是應(yīng)畫的線.

BC〃面ACBC〃BC、

AA

(2)BCu面BC'=>J=>EF〃BCI

EF〃BCEF<z面AC=>E曲面AC.

面BCCI面AC，=B，C'

BCu面AC

點撥：本題的關(guān)鍵在于線面平行與線線平行的關(guān)系，將線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行，實現(xiàn)

由空間向平面的轉(zhuǎn)化.

三、創(chuàng)新思維點撥

【例3】已知平面a,BC〃a,DWBC,A任a,直線AB、AD、AC分別交a于E、F、G,

且BC=a,AD=b,DF=c,求EG的長度.

思維入門指導(dǎo)：本題涉及的主要是點、直線BC、面a,可根據(jù)其位置分情況討論:若AB、

AD、AC延長線分別交a于E、F、G;若AB、AD、AC的反向延長線分別交a于E、F、G;若A

與直線BC位于a的兩側(cè).

、ADAC

BC〃a,\--=---

DFCG

解:(1)如圖9-3-3(l),???BC<=面ABC,=BC〃EFn

ACBC

面ABCC?a=EF,

~AG~~EG

..ACbACbACb

■---=一,--------=----，即nn---=----,

CGcAC+CGb+cAGb+c

二四=」_，則EG=a(b+c)

EGb+cb

圖9-3-3

⑵如圖R⑵，同理EF〃BC,則段r茄

VAF=DF-DA=c-b,

?__a(c-b)

??tsij=-----------=-----------

ADb

FGAFAF

(3)如圖9-3-3(3),同理EF〃BC,則—

BCABAD

AAF=AD-DF=b-c.

ADb

點撥：利用點A與線段BC之間不同的位置關(guān)系以及點A、線段BC與平面a之間的不同

位置關(guān)系，進行邏輯劃分.分類討論思想是高中數(shù)學(xué)的?種重要的思想.在分類討論時要做到

理清邏輯關(guān)系，分類時做到不重不漏，即不重復(fù)討論，也不遺漏情況.

四、高考思維點撥

【例4】正方形ABCD與正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE、BD上各有一點P、Q,

且AP=DQ.求證：PQ〃面BCE.

思維入門指導(dǎo)：證明直線與平面平行，可以利用直線與平面平行的判定定理.即由線線

平行，得線面平行.在尋找線線平行的條件時，可以有多種方法.

證法一：如圖9-3-4(1),作PM〃AB交BE于M,作QN〃AB交BC于N,連接MN,因為面

ABCDCI面ABEF=AB,則AE=DB.

又；AP=DQ,，PE=QB.

又；PM〃AB〃QN,

.PMPEQNBQ.PMQN

,?AB~AE'15C~^D'"~AB~15C'

??.PM幺QN.即四邊形PMNQ為平行四邊形.

；.PQ〃MN.

又：MN-BCE,PQ<z面BCE,；.PQ〃面BCE.

證法二：如圖9-3-4(2),連結(jié)AQ并延長交BC或BC的延長線于點K,連結(jié)EK.

；AD〃BC,.?.絲=絲.

QBQK

又正方形ABCD與正方形ABEF有公共邊AB,且AP=DQ,

.?.絲=絲則PQ〃EK.

QKPE

；.EKu面BCE,PQ<z?BCE./.PQ//ffiBCE.

點撥：證明直線和平面平行的方法有：①利用定義采用反證法；②判定定理；③利用面

面平行，證線面平行.其中主要方法是②、③兩法，在使用判定定理時關(guān)鍵是確定出面內(nèi)的

與面外直線平行的直線.

五、經(jīng)典類型題思維點撥

【例5】經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面和已知平面平行.

已知：點A在平面a外.

求證：經(jīng)過點A有一個平面且只有一個平面和a平行.

思維入門指導(dǎo)：有且只有中“有”是存在性，“只有”是惟一性.對于此類問題的證明要從存

在性和惟一性兩方面進行.

圖9-35

證明：（存在性）如圖9-3-5,在平面a內(nèi)任意作兩條相交直線a\b;過A在A與a，確定

的平面內(nèi)作直線2〃2：同理過A作直線1）〃9,則2〃61,1）〃（1,且2、b為相交直線，那么經(jīng)過a、b

的平面0〃a,所以經(jīng)過點A有一個平面°和平面a平行.

（惟一性）設(shè)平面B’經(jīng)過A,且卜〃a,則A和a，確定的平面y必與/相交.設(shè)丫州=54且a，

〃/,因為經(jīng)過直線或外一點A只有一條直線和I平行，所以/與a重合，即平面*過a;同理平面‘過

直線b,所以平面。'是由a、b確定的平面，故卜與p重合.因此經(jīng)過點A只有一個平面p〃a,所以經(jīng)

過A有且只有一個平面和a平行.

點撥:證明平面與平面平行關(guān)鍵是找到一個面內(nèi)的兩條相交直線與另一個面平行或與另

一面內(nèi)的兩條相交直線平行.

六、探究性學(xué)習(xí)點撥

【例6】嘗試用多種方法證明命題：如果一條直線和兩個相交平面都平行，那么這條直

線與這兩個平面的交線平行.

已知：如圖9-3-6,面aC面a2=b,a〃面ai,a〃面a2.

求證：a〃b.

思維入門指導(dǎo)：證明幾何問題的一般思路是由求證想判定，即由題的“終結(jié)”回想證明它

有什么樣的方法油已知想性質(zhì),即由題設(shè)條件，想到由題設(shè)能推出什么樣的性質(zhì).本題中，要證

明2〃9因為直線b是平面6和平面（X2的交線，所以首先應(yīng)將a平移到平面8和a2內(nèi),使其與直線b

發(fā)生聯(lián)系.

證法一：過直線a作兩個平面力和02,使得平面pm平面p產(chǎn)C，面也n面a2=d.

,.,a〃面四，a〃面a?,:.allc、a〃d.

C〃d.dU面Cl2,C<Z面Cl2.

；.c〃面C12.

又■cu面ai,面a￡面a2=b,

，c〃b.，a〃b.

證法二：經(jīng)過a作一平面兀，使得平面兀C面ai=k,面兀0面ct2=/.

Va/7Wai,a〃面a2,

???a〃k,a〃/,則k〃/〃a.

???三個平面四、(12、九兩兩相交，交線分別為k、/、b且k〃/,

???k〃/〃b,5IiJa/7b.

證法三：在b上任取一點A,過A和直線a作平面和平面⑴相交于八，和平面a?相交于直線

?a〃面a1,a〃面。2,

V過一點只能作一條直線與另一直線平行，

?，?/］與/2重合.

又丁/lU面叫,/2U面012,

???/1與/2重合于1>.

.,.a〃b.

點撥:證明直線與直線平行，有下列方法：(1)若a,bu面a,且aClb=。,則a>b;⑵若

anB=a，Briy=b，Yria=(^a〃b〃c;(3)若2〃1),1)〃<:,則2〃(;；(4)若2〃*auP，anp=t^(Ja〃b.

【同步達綱訓(xùn)練】

A卷:教材跟蹤練習(xí)題(60分45分鐘)

一、選擇題(每小題5分，共30分)

1.若直線m不平行于平面a,且mtza,則下列結(jié)論中正確的是()

A.a內(nèi)的所有直線與m異面B.a內(nèi)不存在與m平行的直線

C.a內(nèi)存在惟一的直線與m平行D.a內(nèi)的直線與m相交

2.兩條直線都與一個平面平行,則這兩條直線的位置關(guān)系是()

A.平行B.相交C.異面D.以上均有可能

3.已知直線a、b、c及平面a,下列哪個條件能確定a〃b()

A.a〃a,b〃aB.a±c,b±c

C.a、b與c成等角D.a〃c,b〃c

4.具備下列哪個條件時，兩個平面一定平行（）

A.一個平面內(nèi)有兩條直線平行于另一個平面

B.一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面

C.一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面

D.一個平面內(nèi)有兩條直線平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線

5.如果平面a平行于平面加那么（）

A.平面a內(nèi)任意直線都平行于平面B

B.平面a內(nèi)僅有兩條相交直線平行于平面0

C.平面a內(nèi)任意直線都平行于平面0內(nèi)的任意直線

D.平面a內(nèi)的直線與平面0內(nèi)的直線不能垂直

6.經(jīng)過平面外兩點作該平面的平行平面，可以作（）

A.0個B.1個C.0個或1個D.1個或2個

二、填空題（每小題4分，共16分）

7.a、b是異面直線，a、娓平面，aua,bu0.甲：a〃M〃a,則甲是乙的條件

8.在棱長為a的正方體ABCD-AiBiGDi中，M、N是下底面的棱A|B「BCi的中點,P是

上底面棱AD上的一點,AP=],過P、M、N的平面交上底面于PQ,Q在CD上，則PQ=.

9.過兩條平行線中的?條和另一條平行的平面有個.

10.給出條件：①a內(nèi)有兩條相交直線分別平行于0;②a內(nèi)有無數(shù)條直線平行于出③a內(nèi)

有兩條直線分別平行于B內(nèi)的兩直線.其中能成為a〃。的必要不充分條件的是.

三、解答題（每小題7分，共14分）

11.P是平行四邊形ABCD所在平面外一點,Q是PA的中點.求證：PC//面BDQ.

12.在棱長為a的正方體ABCD—AiBiCQi中，設(shè)M、N、E、F分別是棱A|B「AQi、CQi、

BiG的中點.求證：（1）E、F、B、D四點共面；（2）面AMN〃面EFBD.

B卷:綜合應(yīng)用創(chuàng)新練習(xí)題（85分60分鐘）

一、學(xué)科內(nèi)綜合題（每小題5分，共10分）

1.三條直線a、b、c兩兩異面，它們所成的角都相等且存在一個平面與這三條直線都平

行、則a與b所成角的度數(shù)為.

2.空間四邊形ABCD中,AC=2cm,BD=4cm,AC與BD成45。角,M、N、P、Q分別是四邊中點,

則四邊形MNPQ的面積是.

二、應(yīng)用題（每小題10分，共20分）

3.教室內(nèi)，日光燈管所示直線與地面平行，若想在地面上作出一條直線與燈管所示直線

平行，該怎樣作出？

4.桌面B與水平面a平行,在桌面上有一塊三角形鋼板ABC,AB=24cm,BC=32cm,AC=40cm.

在B與a之間有一點P,如圖937所示，直線AP、BP、CP分別交a于點A\B\C,且PA，:PA=2:3,

求△AB，C，所占地面的面積.

三、創(chuàng)新題（45分）

（-）教材變型題（10分）

5.（Pm例1變型）如圖9-3-8,四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個截面，若截面為平

行四邊形.

求證：（1）AB〃平面EFGH;（2）CD〃平面EFGH.

（二）一題多解（1。分）

6.正方體AG中，點N在BD上，點M在BC上，且CM=DN.求證：MN〃面AA|B|B.

（三）一題多變（10分）

7.已知直線aua,則b〃a是b〃a的條件.

（1）一變：已知直線aua,1）＜2%則1）〃2是13〃（1的條件.

（四）新情境題（15分）

8.如圖9-3-9,在空間六邊形（即六個頂點沒有任何五點共面）ABC1C2D2A2中，每相

鄰兩邊互相垂直，邊長均為a,并且A2Ai〃C2G.求證：面A2B（2〃面AiGDz.

4

圖9-3-9

四、高考題（10分）

9.（2000,上海）設(shè)有不同的直線a、b和不同的平面a、仇丫，給出下列三個命題：①

^a//a,b//a,ljl!ja/7b;②若a〃a,a〃p,則a〃0;③若a〃y,口〃丫,則?！?其中正確的

個數(shù)是（）

A.OB.lC.2D.3

加試題：競賽趣味題（15分）

證明：經(jīng)過正方體中心的任一截面的面積不小于正方體的一個側(cè)面的面積.

【課外閱讀】

數(shù)學(xué)證明與解釋

1.數(shù)學(xué)證明

數(shù)學(xué)證明是數(shù)學(xué)中根據(jù)某些命題的真實性，來推斷另一個命題的真假的一種思維過程,

通常推斷命題為真，叫做證明為真，也稱為證明；而推斷命題為假，叫做證明為假，也稱為

反駁.

關(guān)于證明應(yīng)注意兩點：

（1）命題的“真假”總是相對于某個數(shù)學(xué)理論來說的，因為“真假”在數(shù)學(xué)中具有相對性.在

整數(shù)集中，無倍數(shù)關(guān)系的兩個數(shù)的除法就已無意義，即是“假''的；在實數(shù)范圍內(nèi)負數(shù)不能開

偶次方；在初等數(shù)學(xué)看來，高等數(shù)學(xué)的一些命題是不真的.實際上，證明也總是在一定的數(shù)學(xué)

理論體系內(nèi)進行的.

（2）證明是一種邏輯推理過程，要求具有一定的邏輯性和嚴謹性，即數(shù)學(xué)推理的嚴格性,

重要的是推理要有依據(jù)（公理和已證定理）和要嚴格遵守邏輯規(guī)則.注意，這些邏輯規(guī)則是

假定先于數(shù)學(xué)而存在的.

數(shù)學(xué)證明所應(yīng)遵守的一般邏輯規(guī)則是：

（1）可以在一個證明的任何地方引入一個前提（依據(jù)）.

（2）如果一個證明中有一些先引入的前提，這些前提的合取可以邏輯地推出一個命題P,

那么就可以在這一證明中引入這個命題P.

(3)如果能從一個命題R和一個前提集合推導(dǎo)出命題S,那么就可以從這個前提集合本身

推導(dǎo)出命題R—S.

2.解釋

對于一個理論系統(tǒng)Z,若有一組具體事物M,其性質(zhì)是已知的，在規(guī)定2中每一基本概

念指M中某一具體事物后，可驗證E的每個公理在M中都成立，則稱M為理論系統(tǒng)g的一個

解釋，或一個模型、一種應(yīng)用.

解釋的方法在數(shù)學(xué)中也是很常用的.例如中學(xué)立體幾何課程的若干直觀教具(正方體等

模型)，就是中學(xué)幾何中提供的三維歐氏空間理論的一個解釋.在證明一-個公理系統(tǒng)自身所必

須滿足的某些性質(zhì)如無矛盾性、獨立性和完全性等方面時，解釋的方法是惟一有效的.現(xiàn)代

數(shù)學(xué)的形式系統(tǒng)中，所處理的只是各種符號和符號序列及其變形，它們的數(shù)學(xué)意義是靠解釋

來給定的.

請做完作業(yè)后再自答星！

參考答案

A卷

-■、1.B點撥：直線m不平行于a,且m<za,則m必與a相交.

2.D

3.D點撥：由平行公理可知選項D正確.A、B、C中直線a、b的位置關(guān)系可以為平行，

異面或相交.

4.C點撥：按照直線與平面平行的定義，注意區(qū)分“無數(shù)”與“任何”.

5.A點撥：由平面與平面平行的性質(zhì)定理知A正確;C中直線也可以是異面;D中兩直線

可以異面垂直.

6.C點撥：若兩點在平面兩側(cè)測過兩點不可能作平面與已知平面平行；若兩點在平面

同側(cè)且連線平行于平面，則可有一個平面過直線已平行于已知平面；若兩點在同側(cè)且連線與

平面相交,則不存在符合要求的平面.

二、7.充分且必要條件點撥:過a作平面/交平面0于直線a；則a，與b相交，且a，〃0,Xb

〃9故由判定定理知a〃&反之，a〃仇由性質(zhì)定理知必有a〃1b〃a.

8.孚a點撥：如答圖9-31

：M、N為AIBI、BICI的中點，

；.MN〃面AC,則過點P、M、N的平面與上底面的交線平行于MN.

連結(jié)AC,過P作PQ〃AC交DC于點Q則PQ為面MNP與面AC的交線.

VAC=V2a,AP=-,.-.PQ=^1a.

33

9.無數(shù)個點撥：門扇繞一邊門框轉(zhuǎn)動時，門扇所在平面與另一門框所在直線始終是平

行的.

10.②③點撥：若a〃0則a內(nèi)任何直線與平面B都平行，但a與0相交時a內(nèi)也有無數(shù)條直

線與B平行，所以選②；要判斷兩平面平行依據(jù)必須是相交的兩直線.

三、11.證明：如答圖9-3-2,連結(jié)AC交BD于點。

^.^ABCD是平行四邊形，.^.AO=。C.連結(jié)OQ,則OQ在平面BDQ內(nèi)，且OQ是AAPC的中

位線，：.PC//OQ.

?；PC在平面BDQ外，，PC〃平面BDQ.

12.證明:⑴分別連結(jié)BD、ED、FB,如答圖933,

則由正方體性質(zhì)得

BIDI/7BD.

；E、F分別是DiCi和BiG的中點,

=2

AEF/Z-BD.

=2

，E、F、B、D對共面.

(2)連結(jié)ACi交MN于P點，交EF于點Q,連結(jié)AC交BD于點。，分別連結(jié)PA、Q0.

：M、N為ANi、AQi的中點，

；.MN〃EF,EFu面EFBD.

.?.MN〃面EFBD.

：PQ幺A。，

二四邊形PAOQ為平行四邊形.

：.PA//OQ.

而OQu平面EFBD,

；.PA〃面EFBD.

且PACIMN=P,PA、MNu面AMN,

，平面AMN//平面EFBD.

B卷

一、1.60。點撥：由題中條件知經(jīng)平移三條異面直線可以平移到同一個面內(nèi)轉(zhuǎn)化為三

條相交直線，且夾角相等，故所成角為60。.

2.近cm?點撥:如答圖9-3-4,M、N、P對分別為四邊中點，MN幺(AC,MQ幺^BD.

答圖9-3-4

二四邊形MNPQ為平行四邊形，且/MNP=45?；?QMN=45。.

2

SaMNPQ=2SAQMN=2x?MQ-MN-sin45°=VJ(cm).

二、3.解：過日光燈管的兩端向平面引垂線，連結(jié)兩垂足的直線與日光燈管所示直線平

行.

4解：a//。，且由面ABAP=AB,面aCl面ABAB=AP,

:.AB〃A'B'.又：PA':PA=2:3,二A'B':AB=2:3.

同理AC:A