高中數(shù)學必修二知識點總結

必修二復習(立體幾何)

第一章柱、錐、臺、球的結構特征

一、柱、錐、臺、球的結構特征

1、棱柱

⑴結構特征：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊

都互相平行，由這些面圍成的多面體。

注意：有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱嗎?

答：不一定是.如圖所示，不是棱柱

1.側棱都相等，側面都是平行四邊形；

2.兩個底面與平行于底面的截面都是全等的多邊形；

3.平行于側棱的截面都是平行四邊形；

(3)棱柱的分類

按側棱是否和底面垂直分類：

J斜棱柱

I直棱柱嚴棱柱

I其它直棱柱

按邊數(shù)分：三棱柱四棱柱五棱柱

按側棱是否與底面垂直分：斜棱柱直棱柱正棱柱

2、棱錐

(1)結構特征：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形

(2)棱錐的分類

按底面多邊形的邊數(shù)，可以分為三棱錐、四棱錐、五棱錐、

正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點在底面內的射影是底面中心的棱錐。

定義：

有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫棱錐。

如果一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的射影是底面中心，這樣的棱錐叫做正棱

錐。

性質

I、正棱錐的性質

⑴各側棱相等，各側面都是全等的等腰三角形。

(2)棱錐的高、斜高和斜高在底面上的射影組成一個直角三角形；棱錐的高、側棱和側棱在

底面上的射影也組成一個直角三角形。

正棱錐性質2:棱錐的高、斜高和斜高在底面的射影組成一個直角三角形。棱錐的高、側棱

和側棱在底面的射影組成一個直角三角形

棱臺由棱錐截得而成，所以在棱臺中也有類似的直角梯形。

3棱臺

結構特征：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分是棱臺.

4圓柱

結構特征：以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫做

圓柱。

5圓錐

結構特征：以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉形成的曲面所圍成

的幾何體叫做圓錐

6圓臺

結構特征：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分是圓臺.

7球

結構特征：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的旋轉體.

8空間幾何體的表面積和體積

空間幾何體的表面積和體積

p圓柱的側面積：s=2m?/

—圓錐的側面積：S-nrl

面積一

圓臺的側面積：S=n(r'+r)/

球的表面積：

—S=4兀R'

—柱體的體積：

v=Sh

—錐體的體積：V=

體積一

臺體的體積：.T（S，+JsS+S）〃

—球的體積：y

練習題

1.設棱錐的底面面積為8cm2,那么這個棱錐的中截面（過棱錐的中點且平行于底面的截面）的

(A)4cm2zVzcm2

(C)2cllI?(T>>-x/2cm2

面積是（)

2.若一個錐體被平行于底面的平面所截，若截面面積是底面面積的四分之一，則錐體被截面

截得的一個小錐與原棱錐體積之比為（）

（A）l：4（B）1：3

（C）1:8（D）1:7

3.上、下底面積分別為367r和497r,母線長為￡

的圓臺，其兩底面之間的距離為

練4：一個正三棱錐的底面邊長是6,高是6,那么這個正三榜

錐的體積是（A）

7

(A)9(B)|(C)7(D)-

4

練5：一個正三棱臺的上、下底

面邊長分別為3cm和6cm,

高是1.5cm,求三棱臺的側

面積。2773

6.如圖，等邊圓柱（軸截面為正方形ABCD）一只螞蟻在A處，想吃Ci處的蜜糖，怎么走

才最快，并求最短路線的長？

二、空間幾何體的三視圖和直觀圖

「中心投影

—正視圖

三視圖一一側視圖

孑行投影-1-俯視圖

一直觀圖一副二測

畫法

平行投影法投影線相互平行的投影法.

(1)斜投影法

投影線傾斜于投影面的平行投影法稱為斜投影法.

(2)正投影法

投影線垂直于投影面的平行投影法稱為正投影法.

閾有關概念：物體向投影面投影所得到的圖形稱為視圖。

S如果物體向三個互相垂直的投影面分別投影，所得到的三個圖形攤平在一個平面上,

則就是三視圖。

俯視圖方向

三視圖的作圖步驟

1.確定視圖方向

2.先畫出能反映物體真實形狀的一個視圖

3.運用長對正、高平齊、寬相等的原則畫出其它視圖

4.檢查，加深，加粗。

斜二測畫法步驟是:

（1）在已知圖形中取互相垂直的X軸和y軸，兩軸相交于點。。畫直觀圖時，把它們畫成

對應的x'軸和y'軸，兩軸交于點O',且使/x'O'y'=45"（或135°）,它們確定

的平面表示水平面。

（2）已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x'軸或y'軸的線

段。

（3）已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長

度為原來的一半。

練1：

圓柱的正視圖、側視圖都是,俯視圖是；（矩形、圓）

圓錐的正視圖、側視圖都是,俯視圖是；（三角形、圓及圓心）

圓臺的正視圖、側視圖都是,俯視圖是o（梯形、圓環(huán)）

練2:利用斜二測畫法可以得到：

①三角形的直觀圖是三角形；②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；③正方形的

直觀圖是正方形；④菱形的直觀圖是菱形。以上結論正確的是（）A

（A）①②（B）①（C）③④（D）①②③④

練3:根據(jù)三視圖可以描述物體的形狀，其中根據(jù)左視圖可以判斷物體

的；根據(jù)俯視圖可以判斷物體的；根據(jù)

正視圖可以判斷物體的（寬度和高度、長度和寬度、長度和高度）

練4:某生畫出了圖中實物的正視圖與俯視圖，則下列判斷正確的是（）

A.正視圖正確，俯視圖正確B.正視圖正確，俯視圖錯誤

正視圖錯誤，俯視圖錯誤

）（答案：一個倒放著的圓錐）

6.一平面圖形的直觀圖如圖所示，它原來的面積是（

7.如圖所示，AABC的直觀圖AA'B'C',這里AA'B'C'是邊長為2的正三角形，作

出AABC的平面圖，并求AABC的面積.

8、正三棱柱的側棱為2,底面是邊長為2的正三角形，則側視圖的面積為

9將正三棱柱截去三個角（如圖1所示分別是三邊的中點）得到幾何體如圖2,則該幾何體

10如圖是一個空間幾何體的三視圖，如果直角三角形的直角邊長均為1,那么幾何體的體積

為

11.已知某個幾何體的三視圖如圖2,根據(jù)圖中標出的尺寸（單位：cm）,可得這個幾何體的

體積是

第二章點、直線、平面之間的位置關系

四個公理

直線與直線位置關系

?三類關系直線與平面位置關系

平面與平面位置關系

線線角

?三種角線面角

二面角

線面平行的判定定理與性質定理

線面垂直的判定定理與性質定理

?八個定理面面平行的判定定理與性質定理

面面垂直的判定定理與性質定理

1、四個公理

公理1:如果一條直線上有兩點在一個平面內，那么直線在平面內.（常用于證明直線在平面

內）

公理2:不共線的三點確定一個平面.（用于確定平面）.

推論1：直線與直線外的一點確定一個平面.

推論2:兩條相交直線確定一個平面.

推論3:兩條平行直線確定一個平面.

公理3:如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有公共點，這些公共點的集合是一條直線

（兩個平面的交線）.

平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

2、三類關系

f共面:ab=A,a//b

（1）線線關系：日本一日不

〔異面:a與b異面

異面直線：

（1）定義：不同在任何一個平面內的兩條直線——異面直線；

（2）判定定理：連平面內的一點與平面外一點的直線與這個平面內不過此點的直線是異面

直線。

異面直線所成的角：（1）范圍：口?0。,90。］|；

（2）作異面直線所成的角：平移法

直線與平面所成的角（簡稱線面角）：若直線與平面斜交，則平面的斜線與該斜線在平面內

射影的夾角。

'平行：a//13

(3)面面關系'斜交：aJ3=a

相交＜

、垂直：a1/3

①二面角：(1)定義：【如圖】；范圍：ZAOBe[0°,180°]

03J/,Q4J/=NAOB是二面角c—I-/7的平面角

②作二面角的平面角的方法：

(1)定義法；(2)三垂線法(常用)；(3)垂面法.

3、八個定理

1.線面平行：

②判定定理：如果一個平面內的兩條相交直線都平行于

另一個平面，那么兩個平面互相平行；

符號表述：a,bua,ab=O,alla,blla^all[3

allP

③面面平行的性質定理:ay=a>=allb

0y-b

④判定與證明面面平行的依據(jù)：

(1)定義法；(2)判定定理及結論1；(3)結論2.

結論1：一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平面的

兩條直線，那么這兩個平面互相平行

符號表述：a,bua,ab=O,a',b'u0,alla',bIIb'nall/3

結論2:垂直于同一條直線的兩個平面互相平行.

符號表述：=e〃力.【如右圖】

3.線面垂直

①定義：若一條直線垂直于平面內的任意一條直線,

則這條直線垂直于平面。

符號表述：若任意|au%|都有且則|/La

a,bua

ab-0

②判定定理：Iaa"n/_La（線線垂直巨線面垂直）

I.La

lib

③性質定理：a±a,b±a=>a//b（線面垂直三線線平行）;

另：/Ja,auiz=/La（線面垂直日線線垂直）;

（1）定義：若二面角叵壬司的平面角為阿，則叵立］;

（2）判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.

（線面垂直目面面垂直）

a10

aB=AB

（3）性質定理：>n〃_L〃（面面垂直三線面垂直）;

aua

a_LAB

基礎知識網(wǎng)絡:

立體幾何解題中的轉化策略

位置關系的相互轉化：

大策略：空間到平面

小策略：

①平行轉化：線線平行線面平行面面平行

②垂直轉化：線線垂直線面垂直面面垂直

③平行關系垂直關系

例1：在棱長為1的正方體ABCD—AiBiGD]中,

(1)求異面直線A〔B與B〔C所成的角的大小；

(2)求直線A〔B與平面BB〔DiD所成的角；

(3)求二面角A—BD—A1的正切值；

(4)求證:平面A]BD〃平面CBM1；4q\

⑸求證:直線4G1平面A]BD;卜

(6)求證：平面45G-1-平面A]BD;%/'

(7)求點A1到平面CB1D1的距離.卜'

例2；

如圖，在長方體ABCD-4131GA中，AAx=.lD=a,

、下分別為、的中點)

AB=la,E0rDi.

(I)求證：DE1平面BCE；AXI

<n)求證：AF〃平面BDE.：i/

練習1：

如圖，在長方體ABCD-451G2中，441=40=a,

AB=2a,E、下分別為GR、A。1的中點.D,

(I)求證：DEBCE；*」

j7

(n)求證：AF〃平面BDE.:,/

策略：線面平行轉化成線線平行(空間轉化平面)

例3（綜合題型）：

一個多面體的直觀圖及三視圖如圖所示:

（其中分別是4尸、3c的中點）

D

直觀圖

1）求該多面體的表面積與體積（策略：空間幾何體的相互轉化可考慮將該多面體補圖成

正方體

^：5=2x-x22+2x2?+2x2戊

2

=12+4&

r=-X22X2=4

2

(2)求證：MM/怦面CDEH

解：

連結班;，EC,貝！LBE經(jīng)過點M

在AgEC中,MN是中位線

MN//EC

ECu平面CDEF?nMN〃平面CDEF

WZ平面CDEF

策略：利用中位線將線面平行轉化成線線平行

(3)求二面角C-4F—8的正切值；

解：連結

AB=BF=2,AC=CF=2^2,

M為^^的中點

NCMB為二面角。-AF-3的平面角

CB=工MB="在&ACMB中

tanNCMB=C^=&

MB

策略：將二面角轉化成平面角，先找后求

解(4)求多面體N—CZ)￡F的體積；

委面體4-CD”為四棱錐

且側面4DE，底面CDE產

點4到平面8針的垂線必在平面4。石內，

且垂直于交線必

?.?AE=AD=2,取力￡中點為O

AO_1_底面CZZEF,AO=V2

：.7=-X2X2V2X42=-

33

策略：將點面距離轉化成點線距離

第三章直線與直線方程

1、直線的傾斜角

傾斜角的取值范圍是0°<a<180°.

2、直線的斜率

k=tana,(aw90°)

意義：斜率表示傾斜角不等于90。的直線對于x軸的

傾斜程度。

直線的斜率計算公式;即kJ二叫

,X2-Xi:

直線方程的形式:

形式條件方程應用范圍

點斜式過點（Xo,%）,

"”=依＞一/）上存在

斜率為k

斜截式在y軸上的截距為b,

斜率為ky=kx+b格在

兩點式過Pl（M，%）,?f二Xf上存在

P2（*2,，2）yi-yi叼一西且左士0

截距式在y軸上的截距為b,Xy1上存在且H0

在x軸上的截距為a-+-=1.

ab且不過原點

一般式任何直線

Ax+By+C=0

兩直線平行的判定：

方法：

1）若4:歹=左1工+”，：歹=左2%+4

/]〃，2O左1=左2,4Wb?

2）若/“F+BJ+G=0,/2：+B2y+C?—0

/1//（OA&2=4耳,4。）。/2。1

兩直線相交的判定：

方法：

1）若小y=kxx+bY,l2:y=k2x+b2

4,相交=左工左2

2）若點小+B[y+C[=0J2:A^x+B2y+C?—0

乙，相交04為w4耳

兩直線垂直的判定：

方法：

1）若I:y=kyX+by,^:y=k2x+b2

4_L，2=0?左2=—1

2）若"如+By+C]=0,12:A^x+B2y+C?—0

kj/2o44+B\B?=o

4.點到直線的距離，平行線的距離

(1)點P(%,J1)到直線4+為+C=0距離：

d_[4x0+By0+C\

J]+.2

(2)直蚪+的+6=啕直線小+為+。2=0

的距離：

〃I。2y

4A1+B2

中心對稱(點關于點的對稱點直線關于點的對稱直線)

解決方法中點坐標公式

9軸對稱(點關于直線的對稱點,直線關于直線的對稱直線)

解決方法⑴垂直⑵中點在對稱軸上

題型一求直線的方程

例1、求適合下列條件的直線方程：

(1)經(jīng)過點P(3,2),且在兩坐標軸上的截距相等；

(2)經(jīng)過點A(-1,-3),且傾斜角等于直線y=3x的傾斜角的2倍.選擇適當?shù)闹本€方程形

式，把所需要的條件求出即可.

解(1)方法一設直線1在x,y軸上的截距均為a,

若a=0,即1過點(0,0)和(3,2),

的方程為y=x,即2x-3y=0.

若aKO,則設1的方程為

???1過點(3,2),A

.'.a=5,.,.1的方程為x+y-5=0,

綜上可知，直線1的方程為2x-3y=0或x+y-5=0.

方法二由題意知，所求直線的斜率k存在且k*0,

設直線方程為y-2=k(x-3),

令y=0,得x=3-，令x=0,得y=2-3k,

由已知3-=2-3k,解得k=-l或k=,

二直線1的方程為

y-2=-(x-3)或y-2=(x-3),

即x+y-5=0或2x-3y=0.

(2)由已知：設直線y=3x的傾斜角為，

則所求直線的傾斜角為2.

'.'tan=3,；.tan2—

又直線經(jīng)過點A(-1,-3),

因此所求直線方程為y+3=(x+1),

即3x+4y+15=0.

題型二直線的斜率

【例2】已知直線I過點P(-1,2),且與以

A(-2,-3),B(3,0)為端點的線段相交,

求直線I的斜率的取值范圍.

思維啟迪分別求出PA、PB的斜率，直線I處

于直線PA、PB之間，根據(jù)斜率的幾何意義利

用數(shù)形結合即可求.

解方法一如圖所示，直線PA的

斜率％=2±2=5,

PA-1-(-2)

直線PB的斜率A(-2,-3)

,0-21

kpR=----------=—.

3-(-1)2

當直線I繞著點P由PA旋轉到與y軸平行的位置PC

時，它的斜率變化范圍是[5,+8)；

當直線I繞著點P由PC旋轉到PB的位置時，它的斜

率的變化范圍是,吟-：

I2」,in

二直線I的斜率的取值范圍是|-]]U[5,+=o)

方法二設直線I的斜率為匕則直線I的方程為

y-2=k(x+1),HPkx-y+k+2=0.

：A、B兩點在直線的兩側或其中一點在直線I上，

:.(-2k+3+k+2)(3k-(Hk+2)WO,

即(k-5)(4k+2)20,，k25或kwg.

即直線I的斜率k的取值范圍是-j-工

二2」

U[5,+8).

探究提高：方法一運用了數(shù)形結合思想.當直線的傾斜角由銳角變到直角及由直角變到鈍

角時，需根據(jù)正切函數(shù)丫=由2的單調性求k的范圍，數(shù)形結合是解析幾何中的重要方法.解

題時，借助圖形及圖形性質直觀判斷，明確解題思路，達到快捷解題的目的.

方法二則巧妙利用了不等式所表示的平面區(qū)域的性質使問題得以解決.

題型三兩直線的位置關系

例3:已知直線方程為(2+&x+(l—2&7+9—34=0.

⑴求證不論4取何實數(shù)值，此直線必過定點；

(2)過這定點引一直線，使它夾在兩坐標軸間的線段被這點平分，求這條直線方程.

解：把直線方程整理為2x+y+9+4(x—2y—3)=0.

2x+y+9=0

解方程組'

x—2y-3=0

即點(一3,—3)適合方程2x+y+9+2(x—2y—3)=0,也就

是適合方程(2+4r+(l—+9-32=0.

所以，不論無取何實數(shù)值，直線(2+2)x+(l—24)y+9—34=0必過定點(一3,-3).

(2)設經(jīng)過點(一3,—3)的直線與兩坐標軸分別交于4(2,0),B(0,

a+0

2=-3

由中點坐標公式得八,人,

[0丁+b=-3

解得。=—6,b=~~6.

故過點(一3,—3)的直線方程為士+々=1,

即

6).x+y+6=0.

練1、過P(-1,2)的直線/與線段.45相交，若,4(-2,-3),5(3,0)，

求1的斜率4的取值范圍。

2、證明：/(—1,—5),方(3,3),。(7」1)三點共線。

3、設直線/的斜率為左，且—石＜之＜1,求直線的傾斜角。

的取值范圍。3

4、已知直線Z的傾斜角的正弦值為m,且它與兩坐標軸圍成

的三角形面積為6，求直線/的療程。

答案：1、ke—ao,——U[5,4-ao)；2、方法；①=k.4c

I2」

②網(wǎng)+函=明③石〃就；3、；

4、壬+1=1—+工=1、三+1=1、二+上=1。

434-3-43-4-3

練5、a為何值時，直線依+(l-a)j，+3=0與(a-l)x+(2a+3)『-2=0

平行？垂直？

練6、求過點/(—1,2)且與原點的距離為4的直線方程。

答案；1、判斷4殳-也當是否為0,。=1或。=—3時垂直;

2、x+/-1=0或7x+『+5=0;

7、將直線4：x-y+如-2=0繞著

它上面的一點⑵癡)沿逆時針方向旋轉15。

得直線4,求的方程。

解：?.《=1k2=tan(450+15。)=6

:.lz:y-^3=4^(X-2)

/.V3x-j-V3=0為所求的方程。

8、直線過點(-2,-1),且在兩坐標軸上

的截距相等，求直線方程。

解：若直線截距為o,則設所求直線為J，=h,

再由過點(—2,—1)得￡=工；

2

若直線截距不為0,則設所求直線為三+工=1,

aa

再由過點(一2,—1)得a=-3.

/.所求直線方程為x-2y=0或x+”3=0。

9、(1)求A(-2,3)關于直線對稱點B的坐標；

(2)光線自A(-3,3)射出，經(jīng)x軸反射以后經(jīng)過點B(2,5),求入射光線和反射光線的

直線方程；

(3)已知M(-3,5),N(2,15),在直線上找一點P,使|PM|+|PN|最小，并求出最小

值

10、若直線ax+by+c=O在第一、二、

三象限，則(D)

A.ab>0,bc>0B.ab〉0,bc^.0

C.bc^>0D.ab<0,

解析：由題意，直線的斜率一定大于0,所以左=一號>0,

即abVO；根據(jù)直線的縱截距大于0,可得一：>0,即歷V0.

第四章圓與方程

圓的標準方程

!(x-a):+(y-bp=/1

圓的——般方程

\x2+y2+Dx+Ey+F=Q!

圓的參數(shù)方程

\\x-a-\-rcosa?

?[y=b+rsina!

1.(全國)圓心為(1,2)且與直線5x-12y-7=0相切的圓的方程為

2.圓心在直線2x-y-7=0上的圓C與y軸交于兩點A(0,-4),B(0,-2),求圓C的方程.

3.AABC的三個頂點的坐標分別是A(5,l),B0,-3),C(2,-8),求它的外接圓的方程.

直線與圓的位置關系：

位置關系判斷方法

相離0目〉/或A〉。

相切Od=r或A=0

相交Od<r或A<0

例1、(1)求實數(shù)m,使直線x-

my+3=0和圓+y2-6x+5=0

(1)相交