歷全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽真題及答案非數(shù)學(xué)類

高數(shù)競賽預(yù)賽試題（非數(shù)學(xué)類）

（參加高等數(shù)學(xué)競賽的同學(xué)最重要的是好好復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識，適當(dāng)看一些輔導(dǎo)書

及相關(guān)題目，主要是一些各大高校的試題。）

2009年第一屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷

一、填空題（每小題5分，共20分）

(x+y)ln(l+—)

1.計(jì)算J]。一/%dxdy=,其中區(qū)域。由直線X+y=l與兩

坐標(biāo)軸所圍成三角形區(qū)域.

Afo1)

解：令x+y=M,x=v,貝！Jx=v,y="-v,dxdy=detdudv=dudv,

(x+y)ln(l+?)

ulnu—ulnv..

-----——dudv

DD

riu\nu「llru

J。dv——/Invdv)du

riu2Inwu(uInw-w)i

i-------------/——d”

0-Jl-u

令t=Jl—〃,則〃=1—

du=一2Mt,=i_2/+〃，=〃(1_力(1+力，

(*)=—2「(1-2t2+/)d方

-—

=2['(l-2r+?)d/=2t--t3+-t5=—

J。L35Jo15

cr2

2.設(shè)/(x)是連續(xù)函數(shù)，且滿足/(無)=3尤2—1/(九)改—2,貝U/(x)=.

J0

2。

解：令人二r八八為心，則/(無)=3尤2—A—2,

A=f2(3/-A-2)dx=8—2(4+2)=4—24,

J0

解得A=g。因此/(x)=3/一go

尤2

3.曲面2=3+/一2平行平面2x+2y—z=0的切平面方程是.

尤2

解：因平面2x+2y—z=0的法向量為(2,2,—1),而曲面2=萬+/一2在

(%,%)處的法向量為(Zx(Xo，%),Zv(Xo，%),-l),故

(2*(%),%)**%,為),一1)與(2,2,—1)平行，因此，由Zx=x,Zy=2y知

2=zx(x0,y0)=x0,2=z、(/,%)=2y0,

即無o=2,%=1,又z(Xo，%)=z(2,l)=5,于是曲面2x+2y-z=0在

(公，加zG，%))處的切平面方程是2(x—2)+2(y-DTz—5)=0,即曲面

z=——+>2_2平行平面

2

2x+2y-z=0的切平面方程是2x+2y-z-1=0。

4.設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程=e'ln29確定，其中/具有二階導(dǎo)數(shù)，且廣。1,則

d~y=

西----------------

解：方程xe"y)=e〉ln29的兩邊對x求導(dǎo)，得

e”>)+/(y)y'e"，)=eyy'In29

因"ln29=xe"y),故工+/，“))/=)/,即y'=-----------,因此

5y〃=1?尸(加’

dx2尤2(1一/3))Mi-/f(y)]2

=于"⑺__________]=尸⑴-口-廣(加

一x2[l-八y)]3X2(l-~x2[l--

x.2x..^nxe

二、(5分)求極限lim(e十'十十右尸,其中“是給定的正整數(shù).

』n

解:因

ex+.e2xH.---F.e^nx—n_-e

=lim(l+--------------------)x

x—>0n

故

A=lim

1fonx

+.e2x-\,----,1-enx-n

nx

X.CJlx..--JVC

「e+2eH---\-ne1+2H---Fnn+\

=elim-------------------e---------------------------二-----------e

nn2

因此

三、(15分)設(shè)函數(shù)/(x)連續(xù)，g(x)=且lim/S=A,4為常數(shù)，求g'(x)

J0x->0x

并討論g'(%)在X=0處的連續(xù)性.

解：由=A和函數(shù)/(%)連續(xù)知，/(0)=lim/(x)=limxlim=0

x->0%x->0x->0x—>0%

因g。)=￡f(xt)dt,故g(0)=￡/(0)dZ=/(0)=0,

*0JU

1rx

因此，當(dāng)xwO時(shí)，g(%)=—[f(u)du,故

xJo

P/(w)dw

=1…

limg(x)=lim---------=/(0)=0

%—o%fo%0]

當(dāng)xw0時(shí),

g\x)=yr/(K)dM+^^,

1。7■⑺由

.x

=limgW-g(O)=1lim

x夕％x->0xx->0x2%-。2x2

物g，(x)=理[-]+―]=:嗎-―理g=A-g=々

這表明g'(x)在x=0處連續(xù).

四、(15分)已知平面區(qū)域O={(x,y)|0KxK犯OKyK萬},￡為。的正向邊界，試證:

⑴，x冽2-ye-山=|xeidy-yeAnxdx；

LL

5,

(2)xesinydy-ye-snydx>-7r2.

證：因被積函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)在。上連續(xù)，故由格林公式知

(1)^xesinydy-ye^nxdx=ff—(xesiny)-—(-ye-sinx)dxdj

」L、今\_dxdy

="(6點(diǎn)"+"如，比①

D

^xe^^dy-ye^dx

L

=ff?(xe")_?(—ye皿')dxdy

、\_dxdy_

=+e.x)dxdy

D

而。關(guān)于％和y是對稱的，即知

+e-Anx)dxdy=JJ(e^ny+eAnx)dxdy

DD

因此

卜網(wǎng)>dy-ye-^dxmxe^nydy-y^DXdx

LL

(2)因

24

e'+/=2(1+^+j+??.)22(l+J)

故

sin%.sin%、c-2c1一COS2%5—COS2x

e+e>2+sinx=2-\--------------=--------------

22

由

nynx

fx網(wǎng)，dy-ye-^dx=JJ(e'iny+e^)dxdy=JJ(/"+e^)dxdy

LDD

知

Jxesinvdy-ye-sioydx=-jj(esin?+e-sini)dxdy+-ff(e-"n"+esin")d.xdy

L2°2D

=LU(e""+e*”Wy++/nx)dxdy=Jj(e-^nx+esinx)dxdy

2￡)2oD

snxsinx

="「(e-'+e)dx>S—^s2"=

即^xesinydy-ye-sinydx>^2

五、(10分)已知％=xe*+e?x,%=xex+ex,%=xe*+是某二階常系數(shù)

線性非齊次微分方程的三個(gè)解，試求此微分方程.

解設(shè)X=xex+e2",%=xe‘+6?*—e-、是二階常系數(shù)線性非齊

次微分方程

/+by'+cy=/(%)

的三個(gè)解，則%-%=-e?x和%-=e"都是二階常系數(shù)線性齊次微分方程

y"+by'+cy=0

的解，因此y"+〃y'+cy=0的特征多項(xiàng)式是(2—2)(4+1)=0,而'"+勿'+勺=0的特

征多項(xiàng)式是

無+bA+c=0

因此二階常系數(shù)線性齊次微分方程為y"-y'-2y=0,由“一乂—2%=/(x)和

y；=ex+xex+2e2\y；=2ex+xex+4e2x

知，/(X)=貨_乂—2%=x/+2e，+4e2x-(xex+eA+2e2x)-2(xex+e2x)

=(l-2x)ex

二階常系數(shù)線性非齊次微分方程為

xx

y"-y'-2y=e-2xe

六、(10分)設(shè)拋物線丁=。/+"(:+2111。過原點(diǎn).當(dāng)0＜尤＜1時(shí),丁20,又已知該拋物線

與x軸及直線x=1所圍圖形的面積為1.試確定。泊,使此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋

轉(zhuǎn)體的體積最小.

解因拋物線y=a￡+bx+21nc過原點(diǎn)，故c=l,于是

1pi2a3b2ab

_=I(UA+bx)dt=一xH—x——I—

3J。132Jo32

即

6=g(l—a)

而此圖形繞工軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積

V(a)=?工(砒之+/?x)2dt=?[(以?+g(l-。)%)2出

22

=加2工工4出+7rgQ(]-3dt+—<2)￡xdt

121/1、4/1、2

=—Tzrz+7T—a(\-a)+7i—(1-a)

114

V(Q)——7HCL2+7T—〃(1-Cl)+71,I一〃)2

V\d)=-7ia-\-71-(1-2a)-—(1-tz)=0,

得

54。+45—90。—40+40。-0

4a+5=0

因此

5k3

a=_“0=5，c=1l.

七、(15分)已知”“(x)滿足4(x)=〃“0)+%"，%〃=1,2「..)，且",(1)=工，求函數(shù)項(xiàng)

n

00

級數(shù)Z%(x)之和.

77=1

解

n1x

u'n(x)=un(x)+x~e，

即

y'-y=九

由一階線性非齊次微分方程公式知

Xn

y=e\C+—)

n

因此

n

"Q)=e'(C+—x)

n

由g=您(1)=6(。+工)知，C=0,

nn

于是

M.（X）=—

n

下面求級數(shù)的和:

令

一oo產(chǎn)Yn

S(x)=Z"〃(x)=Z—

1-1-I/J

n=ln=l'°

則

8HX00X

SG)=Z(X”+—)=s(x)+=S(x)+—

篦=1n~~t1-x

即

ex

S1x)-S(x)

1-x

由一階線性非齊次微分方程公式知

S(x)=eYC+

00

令X=O,得0=S(0)=C,因此級數(shù)?.(x)的和

n-1

S（無）=—e1n（l—x）

00

八、（10分）求xf「時(shí)，與等價(jià)的無窮大量.

n=0

解令/⑺=兀"，則因當(dāng)0<%<1,tG（0,+oo）Ht,ff（t）=2t^2Inx<0,故

,2]/

/?）=無/=/’無在（0,+s）上嚴(yán)格單調(diào)減。因此

Jo-Lrr>f(t)dt=.℃>￡,1f(t)dt<J00/(?)</(o)+0J0J：j⑺d"I+1"⑺山

n—0n=0n=i

即

,00,

f+ooX~.p+oo

Jo/(Odr<^/(H)<l+jo,

n=0

又

之00/5)=00之/,

n=0n=0

lim—=lim3=1

11-x尤fi—1

Jpo+00%)df=Jpo+coX7df=

001/_

所以，當(dāng)Xf「時(shí)，與川等價(jià)的無窮大量是一J上

go2\1-x

2010年第二屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷

（參加高等數(shù)學(xué)競賽的同學(xué)最重要的是好好復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識，適當(dāng)看一些輔導(dǎo)書

及相關(guān)題目，主要是一些各大高校的試題。）

一、(25分，每小題5分)

(1)設(shè)X"=(1+。)(1+。2)(1+/),其中|“|<1,求1加乙.

ns

(2)求A1116-，，1+工］。

%-8(X)

(3)設(shè)5〉0,求［=］p0oo""靖去("=1,2,)。

⑸求直線以二；°與直線心V=U=V的距離。

解：(1)%=(1+。)(1+〃)(1+?2")=A：?=(1-?)(1+?)(1+?2)(1+。2')/(1—a)

=(1-?2)(1+?2)(l+/')/(l—a)==(1—/向)/(l—a)

2+

/.limxn-lim(l-a")/(l-a)=1/(l-?)

0000

(1Y.lne_jr(l+-/2/^(1+-)-x

(2)lime~x1+—=limex=limex

XfCOIJQ]00Xf00

令X=l/t,則

(ln(l+/)T)1/(1+力T]

原式二lime/=lime2t=lime2(1+z)=e

—0—0—0

poosxn1z*oosx1pg1

In=￡e-xdx=(--)￡x"de-=(—土)I；-￡e^dx']=

(3)

〃(〃T)jn\

s〃+i

二、(15分)設(shè)函數(shù)/(%)在(F,+8)上具有二階導(dǎo)數(shù)，并且

r

/"(%)>0,limf(x)=a>0,limf\x)=/?<0,且存在一點(diǎn)x0，使得f(x0)<0。

X—>+00X—>-00

證明：方程/(X)=0在(-8,+8)恰有兩個(gè)實(shí)根。

解：二階導(dǎo)數(shù)為正，則一階導(dǎo)數(shù)單增，f(x)先減后增，因?yàn)閒(x)有小于0的值，所以只需在

兩邊找兩大于0的值。

將f(x)二階泰勒展開：

小)=/(。)+八如+萼X2

因?yàn)槎A倒數(shù)大于0,所以

lim/(x)=+oo,lim/(x)=-oo

%—>4-00-8

證明完成。

Y—21+，

三、(15分)設(shè)函數(shù)y=/(九)由參數(shù)方程-?>—1)所確定，其中〃⑺具有二階

、y=w(t)

導(dǎo)數(shù)，曲線y=〃⑺與〃々+一在:1出相切，求函數(shù)〃⑺。

Ji2e

j2,2q

解：(這兒少了一個(gè)條件—=)由y="⑺與y=「7"或+上在/=1出相切得

dxJi2e

32

〃⑴=不，〃⑴=—

2ee

dy_dyIdt_〃⑺

dxdxIdt2+2%

d2y_d(dy/dx)_d(dy/dx)/dt_〃⑺(2+2。-2〃⑺_

dx2dxdx/dt(2+2t)3

上式可以得到一個(gè)微分方程，求解即可。

四、（15分）設(shè)4〉0,5“=之外,證明：

k=l

+00a

（1）當(dāng)a〉l時(shí)，級數(shù)收斂；

?=i

（2）當(dāng)aWl且8（〃―8）時(shí)，級數(shù)￡之發(fā)散。

"=iS"

解：

（1）q>0,s“單調(diào)遞增

當(dāng)之4收斂時(shí)，而與收斂，所以必收斂;

?=1。\%%

00

當(dāng)?“發(fā)散時(shí)，lims“=oo

n—>00

?=1

an_s〃-S〃T_r〃djc__〃dx_

a<

S：S廣LSnJs〃T丁

所以，

n=l>

而「“蟲=4+lim豈:&2=左，收斂于匕

X?！?，81一1s「df-1

所以，￡之收斂。

〃=1sn

（2）lims“=oo

H—>00

00《

所以Z4發(fā)散，所以存在占，使得

n=ln=2

依此類推，可得存在1<《<左2<…

勺+11《N1

使得上n成立，所以n

s

k；n21Sn2

當(dāng)".8時(shí)，N48,所以發(fā)散

，，=1s“

五、(15分)設(shè)/是過原點(diǎn)、方向?yàn)镼/V),(其中。2+尸2+/=1)的直線，均勻橢球

二+3+0W1,其中(0<c<8<a,密度為1)繞/旋轉(zhuǎn)。

a"b'c

(1)求其轉(zhuǎn)動慣量；

(2)求其轉(zhuǎn)動慣量關(guān)于方向(a,f3,y)的最大值和最小值。

解：

(1)橢球上一點(diǎn)P(x,y,z)到直線的距離

d2=(1-?2)%2+(l-/2)y2+(l-/2)z2-2a/3xy-2/3yyz-2yazx

n*"=nyzdv=。

coB。I

jjjz2dV=「z2dzjjdxdy=j7iab(\-z1dz=-7rabc3

n-5^4'15

由輪換對稱性,

臚2〃=白苗兒』卜2〃=-71abic

。15o15

I-jJJd2dV-(1-6Z2)—7ia,be+(1-/72)—nedr,e+(1-/2)—Tiabc3

o151515

=7rabc[(l-a2)a2+(l-yff2)Z?2+(l-/2)c2]

(2)a>b>c

4oo

，當(dāng)7=1時(shí)，7max=-7vabc(a-+b-)

4rr

當(dāng)a=1時(shí)，，min=—^Clbc(b2+c2)

六、(15分)設(shè)函數(shù)9(x)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點(diǎn)的任意光滑的簡單閉曲線C上，曲線

積分度:岑"的值為常數(shù)。

?Ixydx+(p(x)dy

(1)設(shè)L為正向閉曲線(x—2)2+y2=i,證明=0；

(2)求函數(shù)0(x)；

（3）設(shè)C是圍繞原點(diǎn)的光滑簡單正向閉曲線，求儼叫+夕，”

解：

（1）L不繞原點(diǎn)，在L上取兩點(diǎn)A,B,將L分為兩段4，L,,再從A,B作一曲線4，

使之包圍原點(diǎn)。

則有

_r2xydx+(p(x)dyr2xydx+(p(x)dy

+7―J-~

⑵令：L

由(1)知絲—GC=o，代入可得

dxdy

cp(x)(x4+y2)-0(%)4%3=2x5-2xy2

上式將兩邊看做y的多項(xiàng)式，整理得

y2(p(x)+cp(x)x4-(p(x)4x3=y2(-2x)+2x5

由此可得

(p(x)=-2x

(p(x)x4-(p(x)4x3=2x5

解得：(p(x)=-x2

(3)取力為/+;/=?,方向?yàn)轫槙r(shí)針

dQdP

--------二un

dxdy

x)dy2xydx+(p(x)dyr2xydx+(p(x)dy

42

c+L

]Ixydx-x2dy=TI

L~

2011年第三屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷

（參加高等數(shù)學(xué)競賽的同學(xué)最重要的是好好復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識，適當(dāng)看一些輔導(dǎo)書

及相關(guān)題目，主要是一些各大高校的試題。）

計(jì)算下列各題（本題共3小題，每小題各5分，共15分）

/?\一

1.fsinxV"

（1）.求hm-----

a。IxJ

解：（用兩個(gè)重要極限）:

1xsmx-x

Z.X------------z.、------?-------r

一?sinxy-cosx「，SillX—X)sinXTXl-cosx)

hm------=lim1+-----------

Xf。I%JoY」

■

lim-^—

-

sinx-xJ?—j—1嗎—T032

-X

=1li?meXi1-COSX)=e92=e29,23

%-o

(2).求lim-----b---------F...+-------；

+in+2n+nj

111

解：(用歐拉公式)令七=-----+------+...+------

n+1n+2n+n

由歐拉公式得1+,++—-In?=C+o(1)，

2n

則1+工++-+-^—++--—ln2?=C+o(1),

2nn+12n

其中，。(1)表示〃―8時(shí)的無窮小量，

二兩式相減，得：

xn-ln2=o(1),lni-m>00x〃=ln2.

x=ln(l+e2t)

(3)已知，'7

y=t-arctane1

dx_2e2?dyteldyi+e2t_-eT+1

dtl+e2t，dt1+-dx2*2e2r

l+e2t

?/l+/=（1+巧._2）

2e2r2e2t4^

dt

二.（本題io分）求方程（2x+y—4）dx+（%+y—1）6=0的通解。

解：設(shè)尸=2x+y-4,Q=x+y-l,則尸dr+Qdy=0

QPdO

——=—=Pdx+Qdy=0是一個(gè)全微分方程，設(shè)

dydx

dz=Pdx+Qdy

z=J&=jPdx+Qdy=j^^（2x+y-^）dx+^x+y-1）dy

一dP二上dQ，，該曲線積分與路徑無關(guān)

dydx

z=￡(2%-4)公+J()(%+y-1)辦=%?-4%+沖+'y2-y

00

三.(本題15分)設(shè)函數(shù)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且

/(O),/(O),/'(O)均不為0,證明：存在唯一一組實(shí)數(shù)4，左2，%，使得

V㈤+V(2/z)+V(3/z)-〃0)

umo—uo

20人2

證明：由極限的存在性:｝岬［k］/㈤+左2/（2/2）+左37（3力）一"。）］=0

即［左］+左2+k3—1］/（。）=。'又/（O）WO，.??左i+匕+左3=1①

由洛比達(dá)法則得

lim%"（'）+%2“2/Q+（3出一/（0）

2

20h

=lim%"'r）+2W'（2/Q+3&f'（37z）=0

—32h~

由極限的存在性得,邛kJ（//）+2k2于（lh）+3k3f（3//）］=0

即（K+2左2+3%）/（0）=0,又/'（O）wO,.?.4+2左2+3左3=0②

再次使用洛比達(dá)法則得

kJ'（/z）+2k2f（2/z）+3k3f（3/z）

lim

202h

左/㈤+4V'（27z）+9V'（37/）二0

=lim

202

（k[+4k2+9^）/'（0）=0f（0）w0

/.k}+4k2+9k3=0③

左]+左2+a=1

由①②③得左，左2,k3是齊次線性方程組<&+2k2+3k3=0的解

k[+4k2+9k3=0

n11

設(shè)A=123,%二k2,b-0則Ax=b,

49上30J

77

1111

,A*

增廣矩陣A=120g則

1400>

R（Ab）=H（A）=3

所以，方程Ax=。有唯一解，即存在唯一一組實(shí)數(shù)4，42,占滿足題意，

且k、=3,k?——3,左3—1o

2

Xy2z2

四.（本題17分）設(shè)￡］：——H------H——=1,其中〃>Z?>C>。，

1"及C2

\:z2=x2+y2,「為￡1與4的交線，求橢球面4在「上各點(diǎn)的切平面

到原點(diǎn)距離的最大值和最小值。

爐2z2

解：設(shè)「上任一點(diǎn)Af（%,y,z）,令尸二一—H——H—--1,

dDC

，2x,2y,2z

則用~—,F-—r,F=f,.?.橢球面4在r上點(diǎn)M處的法向量為:

abz'c

在點(diǎn)M處的切平面為n

\abc)

2(x%)+*(yh+M(Z-z)=0

CT-UCZ

原點(diǎn)到平面口的戰(zhàn)三昌為d=,--------------------------,令

/222

22

,1

G(")號號4T則4=----------^=,

jG(%,y,z)

一y2z'x2y2z2

現(xiàn)在求G(耳4-44,在條件2+*?2上，

bcabc

Z?二爐+產(chǎn)下的條件極值，

令

222<2、,22、

勺1+y1z1/222

+++42,221+4(%+yZ

CrU(_z1abeJ'

則由拉格朗日乘數(shù)法得：

0XX

H；=F+4『2"二()

aa

；小=

“=*4*+20

,2z?2z八

{2=F+4丁-2%z=C),

cc

%2y22z1八

—7H-----7-H—y—1=0

a2b2c2

x2+y2-z2=0

22X=z2=---2---

解得｛22Z>c或｛a+c

y=z=---八

、b"+c〔y二°

444

^+ca+c

對應(yīng)此時(shí)的G(x,y,z)=22(°——八或G(%,y,z)二

b~c(Zr+ca2c2/I(22+,c2)I

lb2+c2、la2+c2

此時(shí)的4^bcA——1或d2=ac、H—-

\b+c\a+c

又因?yàn)閍>b>c>0,則《<&

所以，橢球面Ei在r上各點(diǎn)的切平面到原點(diǎn)距離的最大值和最小值分別為:

la2+c2lb2+c2

&二叫K，&二川K

x2+3y2=l

五.（本題16分）已知S是空間曲線《7繞y軸旋轉(zhuǎn)形成的橢球面

z-0

的上半部分（Z之0）取上側(cè)，II是s在夕（羽y,Z）點(diǎn)處的切平面，y,Z）

是原點(diǎn)到切平面n的距離，表示s的正法向的方向余弦。計(jì)算：

(1)||―J——-dS；(2)jjz^x+3/ny+vz)dS

解：(1)由題意得：橢球面S的方程為X2+3y2+z2=l(2N0)

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