(滬教版2021選擇性必修一)高二數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練專題06數(shù)列求和之錯位相減法求和專練(原卷版+解析)

專題06數(shù)列求和之錯位相減法求和專練（原卷版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．定義表示不超過的最大整數(shù)，如，．若數(shù)列的通項公式為，為數(shù)列的前項和，則（）A． B．C． D．2．已知數(shù)列的前n項和為，且，記數(shù)列的前n項和為若對于任意的，不等式恒成立，則實數(shù)t的最小值為（）A． B． C． D．3．?dāng)?shù)列滿足﹐若，則的前項和為（）A． B． C． D．4．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1＝2，S7＝35，將a3，a7，a11，a15中去掉一項后，剩下的三項按原來的順序恰為等比數(shù)列{bn}的前三項，則數(shù)列{anbn}的前10項的和T10＝（）A．10212 B．9212 C．11212 D．122125．Sn＝＋＋＋…＋等于（）A． B． C． D．6．?dāng)?shù)列{n·2n}的前n項和等于（）A．n·2n－2n＋2 B．n·2n＋1－2n＋1＋2C．n·2n＋1－2n D．n·2n＋1－2n＋17．如圖是古箏鳴箱俯視圖，鳴箱有多根弦，每根弦下有一只弦碼，弦碼又叫雁柱，用于調(diào)節(jié)音高和傳振.右圖是根據(jù)左圖繪制的古箏弦及其弦碼簡易直觀圖.在直觀圖中，每根弦都垂直于x軸，左邊第一根弦在y軸上，相鄰兩根弦間的距離為1，弦碼所在的曲線(又稱為雁柱曲線)方程為y＝1.1x，第n(n∈N，第0根弦表示與y軸重合的弦)根弦分別與雁柱曲線和直線l：y＝x＋1交于點An(xn，yn)和Bn(x'n，y'n)，則（）參考數(shù)據(jù)：1.122＝8.14A．814 B．900 C．914 D．10008．函數(shù)y＝[x]廣泛應(yīng)用于數(shù)論、函數(shù)繪圖和計算機領(lǐng)域，其中[x]為不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函數(shù)f(x)＝[log2x]，則f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝（）A．4097 B．4107 C．5119 D．51299．已知數(shù)列的前項和為，直線與圓:交于兩點，且.記，其前項和為，若存在，使得有解，則實數(shù)取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知等比數(shù)列滿足，，若，是數(shù)列的前項和，對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題11．?dāng)?shù)列滿足，，，，則數(shù)列的前n項和為______.12．已知數(shù)列滿足，，若，則_______.13．對于正整數(shù)，設(shè)，如對于正整數(shù)和，當(dāng)，時，設(shè)，，則__________．14．已知正項數(shù)列滿足且，令，則數(shù)列的前項的和等于___________.15．已知數(shù)列滿足，將數(shù)列按如下方式排列成新數(shù)列：，，，，，，，，，…，，…．則新數(shù)列的前70項和為______．三、解答題16．已知數(shù)列的前項和為，2，，成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．17．已知正項等差數(shù)列滿足：，且，，成等比數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)設(shè)的前n項和為，且，求的前n項和．18．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項和為，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．19．已知數(shù)列的前項和，數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，其中，且成等差數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.20．已知數(shù)列滿足，．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項和．專題06數(shù)列求和之錯位相減法求和專練（解析版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．定義表示不超過的最大整數(shù)，如，．若數(shù)列的通項公式為，為數(shù)列的前項和，則（）A． B．C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】D由題可得數(shù)列依次有1個0，2個1，4個2，8個3，，個，則由可得，即可得，由錯位相減法可求得.【詳解詳析】，，當(dāng)時，，即（共1項）；當(dāng)時，，即（共2項）；當(dāng)時，，即（共4項）；…當(dāng)時，，即（共項），由，得．即，所以．所以，則，兩式相減得，．故選：D．【名師指路】關(guān)鍵點睛：本題考查數(shù)列的前n項和的求解，解題的關(guān)鍵是得出數(shù)列的特點，從而得出，再利用錯位相減法求解.2．已知數(shù)列的前n項和為，且，記數(shù)列的前n項和為若對于任意的，不等式恒成立，則實數(shù)t的最小值為（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】先求出，用錯位相減法求出把不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為，記，求出的最大值，即可求出t的最小值.【詳解詳析】解：對于，當(dāng)n=1時，當(dāng)n≥2時，經(jīng)檢驗：對n=1也成立，∴所以∴，兩式相減得，，，所以所以，令

，，故當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，t的最小值為．故選：B．【名師指路】（1）數(shù)列求通項公式的方法：①觀察歸納法；②公式法；③由求；④由遞推公式求通項公式；（2）數(shù)列求和常用方法：①公式法；②倒序相加法；③裂項相消法；④錯位相減法．3．?dāng)?shù)列滿足﹐若，則的前項和為（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】由，得，所以可得數(shù)列是等差數(shù)列，得數(shù)列的通項公式，再利用錯位相減法求和.【詳解詳析】因為，所以，所以數(shù)列是公差為，首項為的等差數(shù)列，所以，所以，設(shè)的前項和為，所以①，②，①-②得，，得.故選：C【名師指路】本題的核心是考查錯位相減求和，一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解．4．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1＝2，S7＝35，將a3，a7，a11，a15中去掉一項后，剩下的三項按原來的順序恰為等比數(shù)列{bn}的前三項，則數(shù)列{anbn}的前10項的和T10＝（）A．10212 B．9212 C．11212 D．12212【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】先設(shè)等差數(shù)列的公差，根據(jù)公式求和，判斷是等比數(shù)列{bn}的前三項，再求得公比和，代入計算，最后利用錯位相減法求即可.【詳解詳析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為，則，解得.故，即，由題意知，是等比數(shù)列{bn}的前三項，即，公比，故.故，，，兩式作差得，，所以.故選：A.5．Sn＝＋＋＋…＋等于（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】利用錯位相減法求解即可.【詳解詳析】由Sn＝＋＋＋…＋，①得Sn＝＋＋…＋＋，②①－②得，Sn＝＋＋＋…＋－＝－，所以Sn＝－，∴Sn＝.故選：B.6．?dāng)?shù)列{n·2n}的前n項和等于（）A．n·2n－2n＋2 B．n·2n＋1－2n＋1＋2C．n·2n＋1－2n D．n·2n＋1－2n＋1【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】錯位相減法求解即可.【詳解詳析】∵Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1.②由②－①得Sn＝n×2n＋1－(2＋22＋23＋…＋2n)＝n×2n＋1－＝n×2n＋1－2n＋1＋2.故選:B.7．如圖是古箏鳴箱俯視圖，鳴箱有多根弦，每根弦下有一只弦碼，弦碼又叫雁柱，用于調(diào)節(jié)音高和傳振.右圖是根據(jù)左圖繪制的古箏弦及其弦碼簡易直觀圖.在直觀圖中，每根弦都垂直于x軸，左邊第一根弦在y軸上，相鄰兩根弦間的距離為1，弦碼所在的曲線(又稱為雁柱曲線)方程為y＝1.1x，第n(n∈N，第0根弦表示與y軸重合的弦)根弦分別與雁柱曲線和直線l：y＝x＋1交于點An(xn，yn)和Bn(x'n，y'n)，則（）參考數(shù)據(jù)：1.122＝8.14A．814 B．900 C．914 D．1000【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】由題得，再利用錯位相減法求解.【詳解詳析】由條件可得，∴，得，∵，∴．故選：C8．函數(shù)y＝[x]廣泛應(yīng)用于數(shù)論、函數(shù)繪圖和計算機領(lǐng)域，其中[x]為不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函數(shù)f(x)＝[log2x]，則f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝（）A．4097 B．4107 C．5119 D．5129【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】根據(jù)新函數(shù)的定義，確定的值，然后用分組求和法、錯位相減法求和．【詳解詳析】由題意時，，，在上奇數(shù)共有個，，，，設(shè)，則，相減得：，所以，所以．故選：B．9．已知數(shù)列的前項和為，直線與圓:交于兩點，且.記，其前項和為，若存在，使得有解，則實數(shù)取值范圍是（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】根據(jù)題意，先求出弦長，再表示出，得到，求出數(shù)列的通項公式，再表示出，用錯位相減求和求出，再求解即可.【詳解詳析】根據(jù)題意，圓的半徑，圓心到直線的距離，所以弦長，所以，當(dāng)時，，所以，時，，所以，得，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，，，所以，，，所以，由有解，，只需大于的最小值即可，因為，所以，所以.故選：D【名師指路】本題主要考查求圓的弦長、由和求數(shù)列通項、錯位相減求數(shù)列的和和解不等式有解的情況，考查學(xué)生的分析轉(zhuǎn)化能力和計算能力，屬于難題.10．已知等比數(shù)列滿足，，若，是數(shù)列的前項和，對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】本題首先可根據(jù)、得出，然后根據(jù)得出，再然后根據(jù)錯位相減法求出，最后根據(jù)題意得出對任意不等式恒成立，根據(jù)即可得出結(jié)果.【詳解詳析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，，所以，解得，，，因為，所以，，則，，，對任意不等式恒成立，即對任意不等式恒成立，因為，所以，的取值范圍為.故選：C.【名師指路】方法點睛：本題考查根據(jù)數(shù)列不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，考查數(shù)列求和，常見的數(shù)列求和方法有等差等比公式法、錯位相減法、裂項相消法、分組求和法、倒序相加法，考查計算能力，是難題.二、填空題11．?dāng)?shù)列滿足，，，，則數(shù)列的前n項和為______.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】數(shù)列滿足，即數(shù)列滿足，可得數(shù)列是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出.再利用錯位相減法、等比數(shù)列的求和公式即可得出數(shù)列的前n項和為.【詳解詳析】解：數(shù)列滿足，即數(shù)列滿足，∴數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為d.則，解得.∴，∴，則數(shù)列的前n項和為，，相減可得：，化為：.故答案為：【名師指路】數(shù)列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項式系數(shù)、對稱性相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和．(2)錯位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和．(3)分組求和：用于若干個等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和．12．已知數(shù)列滿足，，若，則_______.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】根據(jù)條件得到，則數(shù)列是首項，公差為的等差數(shù)列，得到，則可得，寫出，利用錯位相減法可求解.【詳解詳析】解：因為，，所以，即，所以數(shù)列是首項，公差為的等差數(shù)列，所以，則，則，設(shè)①，則②，①-②可得，則.即.故答案為：.【名師指路】方法點睛：數(shù)列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）錯位相減法；（3）裂項相消法；（4）分組求和法；（5）倒序相加法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.13．對于正整數(shù)，設(shè)，如對于正整數(shù)和，當(dāng)，時，設(shè)，，則__________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】82435【思路指引】首先利用分組求和與錯位相減法求出，再計算即可；【詳解詳析】解：令則兩式相減得即，所以所以故答案為：14．已知正項數(shù)列滿足且，令，則數(shù)列的前項的和等于___________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】首先由遞推關(guān)系可得是等比數(shù)列，進(jìn)而可得、的通項公式，再利用乘公比錯位相減，分組求和即可求解.【詳解詳析】由可得，因為，所以，即，所以數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，則的前項的和等于，令，前項的和為，則，，兩式相減可得：，所以，所以前項的和為，故答案為：.15．已知數(shù)列滿足，將數(shù)列按如下方式排列成新數(shù)列：，，，，，，，，，…，，…．則新數(shù)列的前70項和為______．【標(biāo)準(zhǔn)答案】##2.9375【思路指引】先根據(jù)題干條件得到，再利用錯位相減法求前64項和，最后求出前70項和.【詳解詳析】①，當(dāng)時，；當(dāng)時，②，①-②得：，即．又滿足，所以．由，得．令，則，兩式相減得，則．所以新數(shù)列的前70項和為．故答案為：三、解答題16．已知數(shù)列的前項和為，2，，成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)(2)【思路指引】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，結(jié)合，可得，故數(shù)列為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式得出；（2）由（1）得，利用錯位相減法即可得出結(jié)果.(1)∵2，，成等差數(shù)列，∴．當(dāng)時，；當(dāng)，且時，，，兩式相減得，，即．∴數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，．(2)∵，∴，①∴，②①-②：，∴．17．已知正項等差數(shù)列滿足：，且，，成等比數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)設(shè)的前n項和為，且，求的前n項和．【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)；(2).【思路指引】（1）利用等差數(shù)列的通項公式結(jié)合條件即求；（2）利用條件可得，然后利用錯位相減法即求.(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由得，即，化簡得，又，，成等比數(shù)列，則，即，將代入上式