(滬教版2021選擇性必修一)高二數(shù)學專題訓練專題01等差數(shù)列及其通項公式重難點專練(原卷版+解析)

專題01等差數(shù)列及其通項公式重難點專練（原卷版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．(2023·上海市七寶中學高三期中）我國天文學和數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣的晷長損益相同(晷是按照日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度).二十四節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量相同，周而復始.已知每年冬至的晷長為一丈三尺五寸，夏至的晷長為一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，則下列說法不正確的是（）A．小寒比大寒的晷長長一尺B．春分和秋分兩個節(jié)氣的晷長相同C．小雪的晷長為一丈五寸D．立春的晷長比立秋的晷長長2．(2023·上?！じ咭辉驴迹┮阎黜椌粸榱愕臄?shù)列，定義向量，，．下列命題中真命題是（）A．若對任意的，都有成立，則數(shù)列是等差數(shù)列B．若對任意的，都有成立，則數(shù)列是等比數(shù)列C．若對任意的，都有成立，則數(shù)列是等差數(shù)列D．若對任意的，都有成立，則數(shù)列是等比數(shù)列3．(2023·上海閔行·高一期末）關于等差數(shù)列和等比數(shù)列，下列四個選項中正確的是（）．A．若數(shù)列的前項和（，，為常數(shù)）則數(shù)列為等差數(shù)列；B．若數(shù)列的前項和，則數(shù)列為等差數(shù)列：C．數(shù)列是等差數(shù)列，為前項和，則，，，…仍為等差數(shù)列；D．數(shù)列是等比數(shù)列，為前項和，則，，，…仍為等比數(shù)列．4．(2023·上?！じ呷驴迹┮阎?、、為實常數(shù)，數(shù)列的通項，，則“存在，使得、、成等差數(shù)列”的一個必要條件是（）A． B． C． D．5．(2023·上海·高三月考）已知數(shù)列滿足，，(，，)，則“”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．(2023·上?！じ呷驴迹佄锞€上三點的縱坐標的平方成等差數(shù)列，則這三點到焦點的距離關系是A．成等差數(shù)列，不成等比數(shù)列 B．成等比數(shù)列，不成等差數(shù)列C．成等差數(shù)列，又成等比數(shù)列 D．不成等差數(shù)列，又不成等比數(shù)列7．(2023·上?！じ呷驴迹?shù)列的前項和為，，且對任意的都有，則下列三個命題中，所有真命題的序號是（）①存在實數(shù)，使得為等差數(shù)列；②存在實數(shù)，使得為等比數(shù)列；③若存在使得，則實數(shù)唯一.A．① B．①② C．①③ D．①②③8．(2023·上海外國語大學閔行外國語中學高二期中）有一個三人報數(shù)游戲：首先報數(shù)字1，然后報兩個數(shù)字2、3，接下來報三個數(shù)字4、5、6，然后輪到報四個數(shù)字7、8、9、10，依次循環(huán)，直到報出10000，則報出的第2021個數(shù)字為（）A．5979 B．5980 C．5981 D．以上都不對9．(2023·上?！じ呷驴迹┮阎獅an}是公差為d（d＞0）的等差數(shù)列，若存在實數(shù)x1，x2，x3，?，x9滿足方程組，則d的最小值為（）A． B． C． D．10．(2023·上?！じ呷驴迹┮阎獢?shù)列滿足，若，則“數(shù)列為無窮數(shù)列”是“數(shù)列單調”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題11．(2023·上?！偷└街懈叨谀┮阎獢?shù)列的前項和，若不等式對任意恒成立，則的取值范圍為______．12．(2023·上海·上外浦東附中高三月考）用符號表示超過x的最小整數(shù)，如，有下列命題：①若函數(shù)，則值域為；②如果數(shù)列是等差數(shù)列，，那么數(shù)列也是等差數(shù)列；③若，則方程有5組解；④已知向量，則它們的夾角不可能為鈍角．其中，所有正確命題的序號應是___________．13．(2023·上海市吳淞中學高三期中）用符號表示小于的最大整數(shù)，如，有下列命題：①若函數(shù)，則的值域為；②若，則方程有三個根；③若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列；則正確命題的序號是___________.14．(2023·上海長寧·一模）已知公差不為的等差數(shù)列的前項和為，若，則的最小值為____________15．(2023·上海楊浦·一模）等差數(shù)列滿足：①，；②在區(qū)間中的項恰好比區(qū)間中的項少2項，則數(shù)列的通項公式為___________.16．(2023·上海松江·一模）已知等差數(shù)列的首項，且對任意，存在，使得成立，則的最小值為___________.17．(2023·上?！じ呷驴迹┰O等差數(shù)列的公差是2，前項的和為，則______．18．(2023·上海閔行·一模）已知，數(shù)列滿足.若對任意正實數(shù)λ，總存在和相鄰兩項，使得成立，則實數(shù)的最小值為___________.19．(2023·上?！じ呷驴迹┰O正數(shù)數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項之積為，且，則______．20．(2023·上?！じ呷驴迹┮阎炔顢?shù)列中，則數(shù)列的前n項和=___.三、解答題21．(2023·上海市吳淞中學高三月考）已知等差數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的前項和；(2)設為數(shù)列的前項和，若對一切正整數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.22．(2023·上海市建平中學高三期中）設數(shù)列的各項均為正數(shù)，前項和為，已知.(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求其通項公式；(2)若??…?都在函數(shù)的圖像上，設數(shù)列的前項和為，求的值.23．(2023·上海市建平中學高三月考）已知數(shù)列是首項為1的等差數(shù)列，數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，且滿足，，.(1)求數(shù)列、的通項公式；(2)令，，求證：對任意的，都有；(3)若數(shù)列滿足，，記，是否存在整數(shù)，使得對任意的都有成立？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.24．(2023·上海徐匯·一模）設有數(shù)列，對于給定的，記滿足不等式：的構成的集合為，并稱數(shù)列具有性質.(1)若，數(shù)列：具有性質，求實數(shù)的取值范圍；(2)若，數(shù)列是各項均為正整數(shù)且公比大于1的等比數(shù)列，且數(shù)列不具有性質，設，試判斷數(shù)列是否具有性質，并說明理由；(3)若數(shù)列具有性質，當時，都為單元素集合，求證：數(shù)列是等差數(shù)列.25．(2023·上?！げ軛疃懈叨驴迹┮阎S上的點滿足.射線上的點滿足.(1)證明：是等比數(shù)列；(2)用表示點和點的坐標；(3)求四邊形的面積的取值范圍.專題01等差數(shù)列及其通項公式重難點專練（解析版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．(2023·上海市七寶中學高三期中）我國天文學和數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣的晷長損益相同(晷是按照日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度).二十四節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量相同，周而復始.已知每年冬至的晷長為一丈三尺五寸，夏至的晷長為一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，則下列說法不正確的是（）A．小寒比大寒的晷長長一尺B．春分和秋分兩個節(jié)氣的晷長相同C．小雪的晷長為一丈五寸D．立春的晷長比立秋的晷長長【標準答案】C解析：【思路指引】先計算從夏至到冬至的晷長構成等差數(shù)列的公差和冬至到夏至的晷長構成等差數(shù)列的公差，再對選項各個節(jié)氣對應的數(shù)列的項進行計算，判斷說法的正誤，即得結果.【詳解詳析】由題意可知，夏至到冬至的晷長構成等差數(shù)列，其中寸，寸，公差為寸，則，解得（寸）；同理可知，由冬至到夏至的晷長構成等差數(shù)列，首項，末項，公差（單位都為寸）.故小寒與大寒相鄰，小寒比大寒的晷長長10寸，即一尺，選項A正確；春分的晷長為，，秋分的晷長為，，故春分和秋分兩個節(jié)氣的晷長相同，所以B正確；小雪的晷長為，，115寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷長為一丈一尺五寸，C錯誤；立春的晷長，立秋的晷長分別為，，，，，故立春的晷長比立秋的晷長長，故D正確.故選：C.【名師指路】關鍵點點睛：本題的解題關鍵在于看懂題意，二十四節(jié)氣的晷長變化形成兩個等差數(shù)列，即結合等差數(shù)列項的計算突破難點.2．(2023·上?！じ咭辉驴迹┮阎黜椌粸榱愕臄?shù)列，定義向量，，．下列命題中真命題是（）A．若對任意的，都有成立，則數(shù)列是等差數(shù)列B．若對任意的，都有成立，則數(shù)列是等比數(shù)列C．若對任意的，都有成立，則數(shù)列是等差數(shù)列D．若對任意的，都有成立，則數(shù)列是等比數(shù)列【標準答案】A解析：【思路指引】根據(jù)向量平行的坐標表示，得到，利用累乘法，求得，從而可作出判定，得到答案．【詳解詳析】由題意知，向量，，．當時，可得，即，所以，所以數(shù)列表示首項為，公差為的等差數(shù)列．當，可得，即，所以，所以數(shù)列既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列．故選：A．【名師指路】方法點睛：本題主要考查了向量的平行關系的坐標表示，等差數(shù)列的定義，解題方法是用“累乘法”求解通項公式．3．(2023·上海閔行·高一期末）關于等差數(shù)列和等比數(shù)列，下列四個選項中正確的是（）．A．若數(shù)列的前項和（，，為常數(shù)）則數(shù)列為等差數(shù)列；B．若數(shù)列的前項和，則數(shù)列為等差數(shù)列：C．數(shù)列是等差數(shù)列，為前項和，則，，，…仍為等差數(shù)列；D．數(shù)列是等比數(shù)列，為前項和，則，，，…仍為等比數(shù)列．【標準答案】C解析：【思路指引】由得，進而可判斷A和B；由等差數(shù)列的性質判斷C；舉反例判斷D.【詳解詳析】對于選項A：因為，，當時，，所以，所以只有當時，數(shù)列成等差數(shù)列，故A錯誤；對于選項B：因為，，當時，，所以，則數(shù)列成等比數(shù)列，故B錯誤；對于選項C：數(shù)列是等差數(shù)列，為前項和，則，，，…是公差為（為的公差）的等差數(shù)列，故C正確；對于選項D：令，則，，，…是常數(shù)列，顯然不是等比數(shù)列，故D錯誤.故選：C.4．(2023·上海·高三月考）已知、、為實常數(shù)，數(shù)列的通項，，則“存在，使得、、成等差數(shù)列”的一個必要條件是（）A． B． C． D．【標準答案】A解析：【詳解詳析】存在，使得成等差數(shù)列，可得，化簡可得，所以使得成等差數(shù)列的必要條件是.5．(2023·上?！じ呷驴迹┮阎獢?shù)列滿足，，(，，)，則“”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【標準答案】A解析：【思路指引】先根據(jù)等差數(shù)列定義證明充分性成立，再舉反例說明必要性不成立.【詳解詳析】當時，，所以數(shù)列為公差為1的等差數(shù)列，即充分性成立；，所以若數(shù)列為等差數(shù)列，則或，即必要性不成立，綜上，“”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的充分不必要條件，故選A【名師指路】本題考查等差數(shù)列定義以及充要關系判定，考查基本分析化簡求證能力，屬中檔題.6．(2023·上?！じ呷驴迹佄锞€上三點的縱坐標的平方成等差數(shù)列，則這三點到焦點的距離關系是A．成等差數(shù)列，不成等比數(shù)列 B．成等比數(shù)列，不成等差數(shù)列C．成等差數(shù)列，又成等比數(shù)列 D．不成等差數(shù)列，又不成等比數(shù)列【標準答案】A解析：先設三點的坐標，根據(jù)縱坐標的平方成等差數(shù)列可得到其橫坐標也成等差數(shù)列，然后表示出三點到焦點的距離，即可得到答案．【詳解詳析】設這三點為，，，因為縱坐標的平方成等差數(shù)列，即，，成等差數(shù)列，三點縱坐標分別代入拋物線方程，可知三點橫坐標亦成等差數(shù)列．即，因為，，所以故三點到焦點的對應距離構成的數(shù)列是等差數(shù)列．因為，所以三點到焦點的對應距離構成的數(shù)列不是等比數(shù)列.故選：A.【名師指路】本題主要考查拋物線的簡單幾何性質，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的判定，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.7．(2023·上?！じ呷驴迹?shù)列的前項和為，，且對任意的都有，則下列三個命題中，所有真命題的序號是（）①存在實數(shù)，使得為等差數(shù)列；②存在實數(shù)，使得為等比數(shù)列；③若存在使得，則實數(shù)唯一.A．① B．①② C．①③ D．①②③【標準答案】A解析：【思路指引】假設為等差數(shù)列，根據(jù)，求得，得到，使得恒成立，可判定①正確；假設為等比數(shù)列，求得，可判定②不是真命題；由，可得，，，，各式相加得到，進而得到，可判定③不是真命題.【詳解詳析】①中，假設為等差數(shù)列，則，則，可得，顯然當時，可得，使得恒成立，所以存在使得數(shù)列為等差數(shù)列，所以①正確；②中，假設數(shù)列為等比數(shù)列，則則，可得，即，即，該式中有為定值，是變量，所以這樣的實數(shù)不存在，所以②不是真命題；③中，由，可得，，，，將上述各式相加，可得，即，即，若存在這樣的實數(shù)，則有，從而，可知滿足該式的不唯一，所以③不是真命題.故選：A.【名師指路】與數(shù)列的新定義有關的問題的求解策略：1、通過給出一個新的數(shù)列的定義，或約定一種新的運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學的知識和方法，實心信息的遷移，達到靈活解題的目的；2、遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運算、驗證，使得問題得以解決.8．(2023·上海外國語大學閔行外國語中學高二期中）有一個三人報數(shù)游戲：首先報數(shù)字1，然后報兩個數(shù)字2、3，接下來報三個數(shù)字4、5、6，然后輪到報四個數(shù)字7、8、9、10，依次循環(huán)，直到報出10000，則報出的第2021個數(shù)字為（）A．5979 B．5980 C．5981 D．以上都不對【標準答案】C解析：【思路指引】首先分析出第次報數(shù)的個數(shù)，得到第次報完數(shù)后總共報數(shù)的個數(shù)，計算出是第次報數(shù)中會報到第2020個數(shù)字，再計算當?shù)诖螆髷?shù)時，3人總的報數(shù)次數(shù)，再推算出此時報數(shù)的最后一個數(shù)，再推出報出的第2021個數(shù)字.【詳解詳析】由題可得第次報數(shù)的個數(shù)為，則第次報完數(shù)后總共報數(shù)的個數(shù)為，再代入正整數(shù)，使的最小值為37，得，而第37次報時，3人總共報數(shù)為次，當?shù)诖螆笸陻?shù)3人總的報數(shù)個數(shù)為，即報出的第2035個數(shù)字為，故報出的第2021個數(shù)字為.故選：C9．(2023·上?！じ呷驴迹┮阎獅an}是公差為d（d＞0）的等差數(shù)列，若存在實數(shù)x1，x2，x3，?，x9滿足方程組，則d的最小值為（）A． B． C． D．【標準答案】C解析：【思路指引】把方程組中的都用和表示，求得的表達式，根據(jù)方程組從整體分析可知：當，，時，取最小值．【詳解詳析】解：把方程組中的都用和表示得：，把代入得：，根據(jù)分母結構特點及可知：當，，時，取最小值為．故選：C．【名師指路】關鍵點點睛：本題解題的關鍵是根據(jù)方程組從整體分析得：當，，時，取最小值．10．(2023·上?！じ呷驴迹┮阎獢?shù)列滿足，若，則“數(shù)列為無窮數(shù)列”是“數(shù)列單調”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【標準答案】B解析：【思路指引】由已知可得，設，若存在正整數(shù)，當時，有，此時數(shù)列為有窮數(shù)列；若恒不為0，由，有，此時為無窮數(shù)列，由此根據(jù)充分條件、必要條件的定義進行分析即可得結論．【詳解詳析】解：令，，由，可得，所以，即，所以數(shù)列為等差數(shù)列，首項為，公差為1，所以，設，則數(shù)列是單調遞增的等差數(shù)列，若存在正整數(shù)，當時，則有，此時數(shù)列為有窮數(shù)列；若恒不為0，由，有，數(shù)列就可以按照此遞推關系一直計算下去，所以此時為無窮數(shù)列.（1）若恒不為0，則為無窮數(shù)列，由遞推關系式有，取，時，，則，，，，此時數(shù)列不是單調數(shù)列；（2）當數(shù)列為有窮數(shù)列時，存在正整數(shù)，當時，有，此時數(shù)列為，，，，，，由，若數(shù)列單調，則，，，，全為正或全為負，由，則，，，，全為正，而，這與單調遞增矛盾，所以當數(shù)列為有窮數(shù)列時，數(shù)列不可能單調，所以當數(shù)列單調時，數(shù)列一定有無窮多項．故選：B.【名師指路】關鍵點點睛：本題的解題關鍵是，將論證數(shù)列單調時，數(shù)列一定有無窮多項等價轉化為論證數(shù)列為有窮數(shù)列時，數(shù)列不可能單調.二、填空題11．(2023·上海·復旦附中高二期末）已知數(shù)列的前項和，若不等式對任意恒成立，則的取值范圍為______．【標準答案】解析：【思路指引】求出數(shù)列的首項，利用數(shù)列的遞推關系式，結合等差數(shù)列的定義可得數(shù)列是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，求出數(shù)列的通項公式，化簡，得到的表達式，利用數(shù)列的單調性求解即可.【詳解詳析】當時，，即，當時，，即，所以，即，而，所以數(shù)列是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，即，等式對任意恒成立等價于，即，令，當時，，當時，，則，所以，故，所以的取值范圍為，故答案為：.12．(2023·上海·上外浦東附中高三月考）用符號表示超過x的最小整數(shù)，如，有下列命題：①若函數(shù)，則值域為；②如果數(shù)列是等差數(shù)列，，那么數(shù)列也是等差數(shù)列；③若，則方程有5組解；④已知向量，則它們的夾角不可能為鈍角．其中，所有正確命題的序號應是___________．【標準答案】①④解析：【思路指引】①分別討論為整數(shù)和非整數(shù)的情況即可得解；②舉出特例即可判定；③列舉出可能的情況即可判定；④討論向量的數(shù)量積符號不可能為負數(shù)即可判定.【詳解詳析】①當為整數(shù)時，函數(shù)，當不為整數(shù)時，函數(shù)，則值域為，所以①正確；②考慮，通項公式為，依次為1,1,2,2,2,3，…，不是等差數(shù)列，所以②錯誤；③若，，滿足的有三組，所以③錯誤；④設時，，時，，所以，所以向量的夾角不可能為鈍角．故答案為：①④13．(2023·上海市吳淞中學高三期中）用符號表示小于的最大整數(shù)，如，有下列命題：①若函數(shù)，則的值域為；②若，則方程有三個根；③若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列；則正確命題的序號是___________.【標準答案】①②##②①解析：【思路指引】根據(jù)給定定義可得，再對給定的3個命題逐一分析即可判斷作答.【詳解詳析】因符號表示小于的最大整數(shù)，則時，，于是得，即函數(shù)在R上的值域為，①正確；方程，當時，則有，而是整數(shù)，于是得的值可為1，2，3，即x值有3個，則方程有三個根，②正確；數(shù)列是等差數(shù)列，如數(shù)列1.7，1.8，1.9，2，2.1，2.2成等差數(shù)列，而由計算所得結果對應的數(shù)列1，1，1，1，2，2不成等差數(shù)列，③不正確，所以正確命題的序號是①②.故答案為：①②14．(2023·上海長寧·一模）已知公差不為的等差數(shù)列的前項和為，若，則的最小值為____________【標準答案】解析：【思路指引】對的值進行分類討論，結合等差數(shù)列前項和最值的求法求得的最小值.【詳解詳析】取得最小值，則公差，或，（1）當，，所以的最小值為.（2）當，不合題意.綜上所述：的最小值為.故答案為：15．(2023·上海楊浦·一模）等差數(shù)列滿足：①，；②在區(qū)間中的項恰好比區(qū)間中的項少2項，則數(shù)列的通項公式為___________.【標準答案】##－4+3n解析：【思路指引】由已知得出，根據(jù)區(qū)間的長度確定在區(qū)間上可能含有的數(shù)列中的項數(shù)，結合區(qū)間，然后根據(jù)項數(shù)的可能值分類討論，確定數(shù)列．【詳解詳析】由，得，，因此在區(qū)間上最多有5項，又在區(qū)間中的項恰好比區(qū)間中的項少2項，因此數(shù)列在上的項數(shù)可能為，相應地在上項數(shù)分別為．（1）若在上的項數(shù)可能為1，設是數(shù)列在區(qū)間的項，在上項數(shù)為3，由得，由得，所以，這樣是數(shù)列中的連續(xù)三項，是等差數(shù)列，因此也是中連續(xù)三項（否則數(shù)列中有兩項在上），但，矛盾；（2）若在上的項數(shù)可能為2，設是數(shù)列在區(qū)間的最小項，在上項數(shù)為4，由得，由得，所以，這樣是數(shù)列中的連續(xù)四項，是等差數(shù)列，因此也是中連續(xù)四項，（否則數(shù)列中有三項在上），又，所以，，滿足題意，；（3）若在上的項數(shù)可能為3，設是數(shù)列在區(qū)間的最小項，在上項數(shù)為5，由得，由得，所以，這樣是數(shù)列中的連續(xù)五項，是等差數(shù)列，因此也是中連續(xù)五項（否則數(shù)列中有四項在上），但，矛盾；綜上所述，．故答案為：．16．(2023·上海松江·一模）已知等差數(shù)列的首項，且對任意，存在，使得成立，則的最小值為___________.【標準答案】解析：【思路指引】根據(jù)題意可得，據(jù)此可求出，再由等差數(shù)列求和公式即可求解.【詳解詳析】由得：，，，，，又，，，故故答案為：17．(2023·上?！じ呷驴迹┰O等差數(shù)列的公差是2，前項的和為，則______．【標準答案】3解析：【詳解詳析】略18．(2023·上海閔行·一模）已知，數(shù)列滿足.若對任意正實數(shù)λ，總存在和相鄰兩項，使得成立，則實數(shù)的最小值為___________.【標準答案】解析：【思路指引】根據(jù)已知條件證得數(shù)列是等差數(shù)列，根據(jù)求得的最小值.【詳解詳析】依題意，即，整理得，所以，即，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，，，由得，由于，所以，，所以，所以，所以的最小值為.故答案為：19．(2023·上?！じ呷驴迹┰O正數(shù)數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項之積為，且，則______．【標準答案】1解析：【思路指引】令可得，利用的定義，，可得的遞推關系，從而得是等差數(shù)列，求出后可得，從而可得．【詳解詳析】，∴，，即，，∴，∴，即是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，故，，，也符合此式，所以，所以，故答案為：.【名師指路】本題考查求數(shù)列的通項公式，解題中注意數(shù)列的和、數(shù)列的積與項的關系，進行相應的轉化．如對積有，對和有，另外這種關系中常常不包括的情形，需討論以確定是否一致，屬于較難題．20．(2023·上?！じ呷驴迹┮阎炔顢?shù)列中，則數(shù)列的前n項和=___.【標準答案】解析：利用兩角差的正切公式可得到，從而可得到數(shù)列的通項公式，再代入求和化簡即可得到結果?！驹斀庠斘觥?，又等差數(shù)列中，，故答案為：【名師指路】關鍵點睛：本題考查數(shù)列求和，解題的關鍵是會逆利用兩角差的正切公式，得到數(shù)列的通項公式，在求和的過程中巧用相消法得到數(shù)列的和，考查學生的轉化能力與運算求解能力，屬于中檔題.三、解答題21．(2023·上海市吳淞中學高三月考）已知等差數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的前項和；(2)設為數(shù)列的前項和，若對一切正整數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【標準答案】(1)(2)解析：【思路指引】（1）由，，求出首項和公差，再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可得到，（2）當為偶數(shù)時，當為奇數(shù)時，分別求出前項和，當為偶數(shù)時，由，得，構造函數(shù)設，求出的最大值，代入求解得答案．利用函數(shù)的單調性求出函數(shù)最小值，當為奇數(shù)時，從而得到，求出函數(shù)的最大值，即可求出實數(shù)的取值范圍(1)解：設數(shù)列的公差為．因為，，所以．，解得，，所以，．(2)解：由（1）可得，所以當為偶數(shù)時，設，，則．當為奇數(shù)時，設，，則．所以當為偶數(shù)時，設，，則．代入不等式，得，從而．設，則．因為，所以，所以是遞增的，所以，所以．當為奇數(shù)時，設，，則．代入不等式，得，從而．因為，所以的最大值為，所以．綜上，的取值范圍為．22．(2023·上海市建平中學高三期中）設數(shù)列的各項均為正數(shù)，前項和為，已知.(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求其通項公式；(2)若??…?都在函數(shù)的圖像上，設數(shù)列的前項和為，求的值.【標準答案】(1)證明見解析；；(2).解析：【思路指引】（1）令可求得；當時，利用可推導得到，由此可知數(shù)列是等差數(shù)列，由等差數(shù)列通項公式可求得結果；（2）由（1）可證得數(shù)列為等比數(shù)列，由等比數(shù)列求和公式可求得，并化簡為；分別在和兩種情況下求得極限即可.(1)當時，，即，解得：；當時，，即，，又，，；數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，；(2)由（1）得：，，，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，；當時，，，；當時，，；綜上所述：.23．(2023·上海市建平中學高三月考）已知數(shù)列是首項為1的等差數(shù)列，數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，且滿足，，.(1)求數(shù)列、的通項公式；(2)令，，求證：對任意的，都有；(3)若數(shù)列滿足，，記，是否存在整數(shù)，使得對任意的都有成立？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.【標準答案】(1)，(2)證明見解析(3)，理由見解析解析：【思路指引】（1）根據(jù)等差等比數(shù)列公式代入得到方程組，解得答案.（2）計算得到，利用數(shù)學歸納法結合雙勾函數(shù)單調性證明即可.（3）驗證的情況得到，再計算，得到，得到證明.(1)，則；，則；，則.解得，，，故，.(2)，即，當時，，故成立；假設時成立，即；當時，，函數(shù)在上單調遞增，，故，即時成立.綜上所述：對對任意的成立.(3)當時，，解得；當時，，解得；當時，，解得；故，若存在滿足條件，則.，，兩式相加得到：，故.，，成立.綜上所述：存在使恒成立.24．(2023·上海徐匯·一模）設有數(shù)列，對于給定的，記滿足不等式：的構成的集合為，并稱數(shù)列具有性質.(1)若，數(shù)列：具有性質，求實數(shù)的取值范圍；