(滬教版2021選擇性必修一)高二數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練專題02平面解析幾何之直線的一般式方程必考點(diǎn)專練(原卷版+解析)

專題02：平面解析幾何之直線的一般式方程必考點(diǎn)專練（原卷版）錯(cuò)誤率：___________易錯(cuò)題號(hào)：___________一、單選題1．(2023·上海市松江二中高二期中）已知直線：，：，和兩點(diǎn)（0,1），（-1,0），給出如下結(jié)論：①不論為何值時(shí)，與都互相垂直；②當(dāng)變化時(shí)，與分別經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A（0,1）和B（-1,0）；③不論為何值時(shí)，與都關(guān)于直線對(duì)稱；④如果與交于點(diǎn)，則的最大值是1；其中，所有正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4.2．(2023·上海交大附中高二期末）已知與是直線（為常數(shù)）上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則關(guān)于和的交點(diǎn)情況是（）A．無(wú)論，，如何，總有唯一交點(diǎn) B．存在，，使之有無(wú)窮多個(gè)交點(diǎn)C．無(wú)論，，如何，總是無(wú)交點(diǎn) D．存在，，使之無(wú)交點(diǎn)3．(2023·上海黃浦·高二期末）已知，若不論為何值時(shí)，直線總經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．4．設(shè)為不同的兩點(diǎn)，直線，下列命題正確的有（）．①不論為何值，點(diǎn)都不在直線上；②若，則過(guò)點(diǎn)的直線與直線平行；③若，則直線經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)；④若，則點(diǎn)在直線的同側(cè)且直線與線段的延長(zhǎng)線相交．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．已知兩直線和的交點(diǎn)是，則過(guò)兩點(diǎn)、的直線方程是A． B． C． D．6．點(diǎn)到直線：的距離最大時(shí)，與的值依次為()A．3，－3 B．5，2C．5，1 D．7，17．(2023·上?！とA師大二附中高二期中）已知是直線上一點(diǎn)，是外一點(diǎn)，則方程表示的直線（）A．與重合 B．與交于點(diǎn) C．過(guò)與平行 D．過(guò)與相交8．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)，為不同的兩點(diǎn)，直線l的方程為，，下面四個(gè)命題中的假命題為（）A．存在唯一的實(shí)數(shù)δ，使點(diǎn)N在直線上B．若，則過(guò)M，N兩點(diǎn)的直線與直線l平行C．若，則直線經(jīng)過(guò)線段M，N的中點(diǎn)；D．若，則點(diǎn)M，N在直線l的同側(cè)，且直線l與線段M，N的延長(zhǎng)線相交；二、填空題9．(2023·上?！?fù)旦附中高二月考）點(diǎn)到直線的距離的最大值為_(kāi)_______.10．(2023·上海中學(xué)高二期中）直線的傾斜角的取值范圍是______.11．已知的頂點(diǎn)，高所在的直線方程分別為和，則所在直線的方程是_______．12．當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，兩直線與都通過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，則點(diǎn)所在曲線的方程為_(kāi)________；13.(2023-2021年上海師大附中高二期中）已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且和直線的夾角等于，則直線l的方程是_________．14．若直線過(guò)定點(diǎn)，直線過(guò)定點(diǎn)，則兩點(diǎn)間的距離是____________．15．(2023·上?！とA師大二附中高二月考）已知等腰三角形的底邊所在直線過(guò)點(diǎn)，兩腰所在的直線為與，則底邊所在的直線方程是_____________.16．(2023·上海交通大學(xué)附屬中學(xué)嘉定分校高二月考）關(guān)于的二元一次方程組，無(wú)解，則_____；17．(2023·上海師大附中高二期中）設(shè)、為不同的兩點(diǎn)，直線，，以下命題中正確的序號(hào)為_(kāi)_________．（1）存在實(shí)數(shù)，使得點(diǎn)N在直線l上；（2）若，則過(guò)M、N的直線與直線l平行；（3）若，則直線l經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)；（4）若，則點(diǎn)M、N在直線l的同側(cè)且直線l與線段的延長(zhǎng)線相交；18．(2023·上海市向明中學(xué)高二月考）已知與相交于點(diǎn)，線段是圓的一條動(dòng)弦，且，則的最小值是___________．三、解答題19．(2023·上海市向明中學(xué)高二期中）已知，直線和直線相交于點(diǎn)P，和y軸交于點(diǎn)A，和x軸交于點(diǎn)B．（1）判斷與的位置關(guān)系，并用t表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）求的長(zhǎng)度的取值范圍，并指出取最值時(shí)點(diǎn)P的位置．20．(2023·上?！とA師大二附中高二月考）已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．（1）證明：直線l過(guò)定點(diǎn)；（2）若直線l不經(jīng)過(guò)第四象限，求k的取值范圍；（3）若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)△AOB的面積為S，求S的最小值及此時(shí)直線l的方程．21．(2023·上海市西南位育中學(xué)高二期中）如圖，已知，，，直線.(1)求直線l經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若直線l等分的面積，求直線l的方程；(3)若，點(diǎn)E?F分別在線段BC和AC上，上，求的取值范圍.22．求經(jīng)過(guò)直線與直線的交點(diǎn)M，且分別滿足下列條件的直線方程：（1）與直線平行；（2）與直線垂直.23．如圖，公路圍成的是一塊頂角為的角形耕地，其中，在該塊土地中處有一小型建筑，經(jīng)測(cè)量，它到公路的距離分別為，現(xiàn)要過(guò)點(diǎn)修建一條直線公路，將三條公路圍成的區(qū)域建成一個(gè)工業(yè)園.（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）三條公路圍成的工業(yè)園區(qū)的面積恰為，求公路所在直線方程.24．在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)作直線分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點(diǎn)A，B.（1）若，求直線的一般式方程；（2）求當(dāng)取得最小值時(shí)直線的方程.25．(2023·上?！らh行中學(xué)高二期中）已知直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，分別求出滿足下列條件的直線的一般式方程．(1)直線的斜率為；(2)直線過(guò)點(diǎn)26．如圖，已知城市周邊有兩個(gè)小鎮(zhèn)、，其中鄉(xiāng)鎮(zhèn)位于城市的正東方處，鄉(xiāng)鎮(zhèn)與城市相距，與夾角的正切值為2，為方便交通，現(xiàn)準(zhǔn)備建設(shè)一條經(jīng)過(guò)城市的公路，使鄉(xiāng)鎮(zhèn)和分別位于的兩側(cè)，過(guò)和建設(shè)兩條垂直的公路和，分別與公路交匯于、兩點(diǎn)，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.（1）當(dāng)兩個(gè)交匯點(diǎn)、重合，試確定此時(shí)路段長(zhǎng)度；（2）當(dāng)，計(jì)算此時(shí)兩個(gè)交匯點(diǎn)、到城市的距離之比；（3）若要求兩個(gè)交匯點(diǎn)、的距離不超過(guò)，求正切值的取值范圍.27．已知直線，且與坐標(biāo)軸形成的三角形面積為.求：（1）求證：不論為何實(shí)數(shù)，直線過(guò)定點(diǎn)P；（2）分別求和時(shí)，所對(duì)應(yīng)的直線條數(shù)；（3）針對(duì)的不同取值，討論集合直線經(jīng)過(guò)P，且與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為中的元素個(gè)數(shù).28．如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，.（1）若過(guò)點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e取最小值時(shí)，求直線的斜率；（2）若，求的面積的最大值；（3）設(shè)，若，求證：直線過(guò)一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo).專題02：平面解析幾何之直線的一般式方程必考點(diǎn)專練（解析版）錯(cuò)誤率：___________易錯(cuò)題號(hào)：___________一、單選題1．(2023·上海市松江二中高二期中）已知直線：，：，和兩點(diǎn)（0,1），（-1,0），給出如下結(jié)論：①不論為何值時(shí)，與都互相垂直；②當(dāng)變化時(shí)，與分別經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A（0,1）和B（-1,0）；③不論為何值時(shí)，與都關(guān)于直線對(duì)稱；④如果與交于點(diǎn)，則的最大值是1；其中，所有正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4.【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【詳解詳析】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，兩條直線分別化為:，此時(shí)兩條直線互相垂直，當(dāng)時(shí)，兩條直線斜率分別為:,滿足,此時(shí)兩條直線互相垂直，因此不論為何值時(shí)，與都互相垂直，故①正確；對(duì)于②，當(dāng)變化時(shí)，代入驗(yàn)證可得:與分別經(jīng)過(guò)定點(diǎn)和，故②正確；對(duì)于③，由①可知:兩條直線交點(diǎn)在以為直徑的圓上，不一定在直線上，因此與關(guān)于直線不一定對(duì)稱，故③不正確；對(duì)于④，如果與交于點(diǎn)，由③可知:，則，所以的最大值是1，故④正確.所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是3.故選C2．(2023·上海交大附中高二期末）已知與是直線（為常數(shù)）上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則關(guān)于和的交點(diǎn)情況是（）A．無(wú)論，，如何，總有唯一交點(diǎn) B．存在，，使之有無(wú)窮多個(gè)交點(diǎn)C．無(wú)論，，如何，總是無(wú)交點(diǎn) D．存在，，使之無(wú)交點(diǎn)【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】根據(jù)在直線可得，從而可得有唯一交點(diǎn)，從而可得正確的選項(xiàng).【詳解詳析】因?yàn)榕c是直線（為常數(shù)）上兩個(gè)不同的點(diǎn)，所以即，故既在直線上，也在直線上.因?yàn)榕c是兩個(gè)不同的點(diǎn)，故、不重合，故無(wú)論，，如何，總有唯一交點(diǎn).故選：A.3．(2023·上海黃浦·高二期末）已知，若不論為何值時(shí)，直線總經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】C因?yàn)橹本€總經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，所以與值無(wú)關(guān)，參變量分離，解方程組即得.【詳解詳析】直線的方程可化為：.直線總經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，,解得.所以不論為何值，直線總經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn).故選：.【名師指路】本題考查直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是參變量分離.4．設(shè)為不同的兩點(diǎn)，直線，下列命題正確的有（）．①不論為何值，點(diǎn)都不在直線上；②若，則過(guò)點(diǎn)的直線與直線平行；③若，則直線經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)；④若，則點(diǎn)在直線的同側(cè)且直線與線段的延長(zhǎng)線相交．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】由可得①正確，分和兩種情況討論可得直線與直線平行，可得②正確，當(dāng)時(shí)，可得到，從而得到③正確，當(dāng)時(shí)可得和，然后可得④正確.【詳解詳析】因?yàn)橹?，，所以點(diǎn)不在直線上，故①正確當(dāng)時(shí)，根據(jù)得到，化簡(jiǎn)得，即直線的斜率為，又直線的斜率為，由①可知點(diǎn)不在直線上，得到直線與直線平行當(dāng)時(shí)，可得直線與直線的斜率都不存在，也滿足平行，故②正確當(dāng)時(shí)，得到，化簡(jiǎn)得而線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以直線經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，故③正確當(dāng)時(shí)，得到，所以，即，所以點(diǎn)在直線的同側(cè)且，可得點(diǎn)與點(diǎn)到直線的距離不等，所以延長(zhǎng)線與直線相交，故④正確綜上：命題正確的有4個(gè)故選：D【名師指路】本題考查的是直線的方程、兩直線平行的判定以及一元二次不等式表示的區(qū)域，考查了學(xué)生的分析能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.5．已知兩直線和的交點(diǎn)是，則過(guò)兩點(diǎn)、的直線方程是A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】C將點(diǎn)的坐標(biāo)代入兩直線的方程，可得出，可得出點(diǎn)、的坐標(biāo)滿足直線方程，再利用兩點(diǎn)確定一條直線可得出直線的方程.【詳解詳析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入兩直線的方程，得，所以，點(diǎn)、的坐標(biāo)滿足直線方程，由于兩點(diǎn)確定一條直線，所以，直線的方程為.故選：C.【名師指路】本題考查直線方程的求解，推導(dǎo)出點(diǎn)、的坐標(biāo)滿足直線方程是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.6．點(diǎn)到直線：的距離最大時(shí)，與的值依次為()A．3，－3 B．5，2C．5，1 D．7，1【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】將直線方程整理為，可得直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，由此可得當(dāng)直線與垂直時(shí)的長(zhǎng)，并且此時(shí)點(diǎn)到直線的距離達(dá)到最大值，從而可得結(jié)果.【詳解詳析】直線，即，直線是過(guò)直線和交點(diǎn)的直線系方程，由，得，可得直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)直線與垂直時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，的最大值為，此時(shí)軸，可得直線斜率不存在，即.故選：C.【名師指路】本題主要考查直線的方程與應(yīng)用，以及直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題.探索曲線過(guò)定點(diǎn)的常見(jiàn)方法有兩種：①可設(shè)出曲線方程，然后利用條件建立等量關(guān)系進(jìn)行消元（往往可以化為的形式，根據(jù)求解），借助于曲線系的思想找出定點(diǎn)(直線過(guò)定點(diǎn)，也可以根據(jù)直線的各種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程找出定點(diǎn)).，從特殊情況入手，先探求定點(diǎn)，再證明與變量無(wú)關(guān).7．(2023·上?！とA師大二附中高二期中）已知是直線上一點(diǎn)，是外一點(diǎn)，則方程表示的直線（）A．與重合 B．與交于點(diǎn) C．過(guò)與平行 D．過(guò)與相交【標(biāo)準(zhǔn)答案】C由題意有可得，，，，根據(jù)當(dāng)兩直線方程的一次項(xiàng)系數(shù)相等，但常數(shù)項(xiàng)不相等時(shí)，兩直線平行，得出結(jié)論．【詳解詳析】解：由題意有可得，，，，則方程，，，即，，，它與直線的一次項(xiàng)系數(shù)相等，但常數(shù)項(xiàng)不相等，故，，表示過(guò)點(diǎn)且與平行的直線，故選：C．【名師指路】根據(jù)平行直線系方程，即兩直線方程與互相平行.8．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)，為不同的兩點(diǎn)，直線l的方程為，，下面四個(gè)命題中的假命題為（）A．存在唯一的實(shí)數(shù)δ，使點(diǎn)N在直線上B．若，則過(guò)M，N兩點(diǎn)的直線與直線l平行C．若，則直線經(jīng)過(guò)線段M，N的中點(diǎn)；D．若，則點(diǎn)M，N在直線l的同側(cè)，且直線l與線段M，N的延長(zhǎng)線相交；【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】根據(jù)題意對(duì)一一分析，逐一驗(yàn)證．【詳解詳析】解：對(duì)于，化為：，即點(diǎn)，不在直線上，因此不正確．對(duì)于，，則，即過(guò)，兩點(diǎn)的直線與直線的斜率相等，又點(diǎn)，不在直線上，因此兩條直線平行，故正確；對(duì)于，，則，化為，因此直線經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)，故正確；對(duì)于，，則，則點(diǎn)，在直線的同側(cè)，故正確；故選A【名師指路】本題考查了直線系方程的應(yīng)用、平行直線的判定、點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．二、填空題9．(2023·上?！?fù)旦附中高二月考）點(diǎn)到直線的距離的最大值為_(kāi)_______.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】先判斷過(guò)定點(diǎn)，可得點(diǎn)到直線的距離的最大值就是點(diǎn)與點(diǎn)的距離，從而可得結(jié)果.【詳解詳析】化簡(jiǎn)可得，由，所以過(guò)定點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離的最大值就是點(diǎn)與點(diǎn)的距離為，故答案為.【名師指路】本題主要考查直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題以及兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題.轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)解題的靈魂，合理的轉(zhuǎn)化不僅僅使問(wèn)題得到了解決，還可以使解決問(wèn)題的難度大大降低，本解法將求最大值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了兩點(diǎn)間的距離的問(wèn)題來(lái)解決，轉(zhuǎn)化巧妙.10．(2023·上海中學(xué)高二期中）直線的傾斜角的取值范圍是______.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】先求出直線的斜率取值范圍，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求出．【詳解詳析】可化為：，所以，由于，結(jié)合函數(shù)在上的圖象，可知．故答案為：．【名師指路】本題主要考查斜率與傾斜角的關(guān)系的應(yīng)用，以及直線的一般式化斜截式，屬于基礎(chǔ)題．11．已知的頂點(diǎn)，高所在的直線方程分別為和，則所在直線的方程是_______．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】聯(lián)立方程解得高交點(diǎn)坐標(biāo)得到，故，再計(jì)算點(diǎn)坐標(biāo)得到直線方程.【詳解詳析】，解得，則高交點(diǎn)為，，故，設(shè)，則，解得，故，故所在直線的方程是，即.故答案為：.【名師指路】本題考查了求直線方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力，計(jì)算是解題的關(guān)鍵.12．當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，兩直線與都通過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，則點(diǎn)所在曲線的方程為_(kāi)________；【標(biāo)準(zhǔn)答案】將變形為，令且，求得定點(diǎn)坐標(biāo)，再代入直線的方程求解.【詳解詳析】因?yàn)?，?duì)任意的實(shí)數(shù)都成立，所以，解得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)橐餐ㄟ^(guò)定點(diǎn)，將代入，得.故答案為：【名師指路】本題主要考查了直線系及其應(yīng)用，還考查了分析，解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.13.(2023-2021年上海師大附中高二期中）已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且和直線的夾角等于，則直線l的方程是_________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】或【思路點(diǎn)撥】分析可得已知直線的傾斜角為，則直線的傾斜角為或，分類討論并利用點(diǎn)斜式方程求解即可.【精準(zhǔn)解析】由已知可得直線的斜率，所以傾斜角為，因?yàn)橹本€與的夾角為，所以直線的傾斜角為或，當(dāng)傾斜角為時(shí),直線為，即為；當(dāng)傾斜角為時(shí),直線為，故答案為：或.【名師指導(dǎo)】本題考查直線與直線的夾角，關(guān)鍵點(diǎn)是求出直線的傾斜角得到l的傾斜角，考查求直線方程，考查分類討論思想.14．若直線過(guò)定點(diǎn)，直線過(guò)定點(diǎn)，則兩點(diǎn)間的距離是____________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】把直線方程整理成關(guān)于的恒等式，然后應(yīng)用恒等知識(shí)求得兩點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間距離公式得距離．【詳解詳析】由得，所以，直線方程變形為：，由解得，即，所以．故答案為：．【名師指路】本題考查兩點(diǎn)間距離公式，考查直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題．直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，一般把直線方程整理成關(guān)于參數(shù)的恒等式，然后由恒等式知識(shí)求得定點(diǎn)坐標(biāo)．15．(2023·上?！とA師大二附中高二月考）已知等腰三角形的底邊所在直線過(guò)點(diǎn)，兩腰所在的直線為與，則底邊所在的直線方程是_____________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】或在等腰三角形頂角角平分線上任取一點(diǎn)，利用點(diǎn)到兩腰所在直線的距離相等可求得頂角角平分線方程，再由底邊所在直線過(guò)點(diǎn)且與頂角角平分線垂直可求得所求直線的方程.【詳解詳析】在等腰三角形頂角角平分線上任取一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線與的距離相等，由題意可得，所以，.所以，或，所以，該等腰三角形頂角角平分線所在直線的方程為或.由于底邊與頂角角平分線垂直.當(dāng)?shù)走吪c直線垂直時(shí)，且直線的斜率為，此時(shí)底邊所在直線方程為，即；當(dāng)?shù)走吪c直線垂直時(shí)，且直線的斜率為，此時(shí)底邊所在直線方程為，即.故答案為：或.【名師指路】本題考查等腰三角形底邊所在直線方程的求解，考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)以及點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.16．(2023·上海交通大學(xué)附屬中學(xué)嘉定分校高二月考）關(guān)于的二元一次方程組，無(wú)解，則_____；【標(biāo)準(zhǔn)答案】或根據(jù)二元一次方程組無(wú)解，可知兩直線平行，根據(jù)兩直線平行的充要條件，即可求出結(jié)果.【詳解詳析】因?yàn)殛P(guān)于的二元一次方程組，無(wú)解，所以直線與直線平行,所以，所以，又，所以或.故答案為：或【名師指路】本題主要考查二元一次方程組的幾何意義，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩直線平行列出方程，屬于中檔題.17．(2023·上海師大附中高二期中）設(shè)、為不同的兩點(diǎn)，直線，，以下命題中正確的序號(hào)為_(kāi)_________．（1）存在實(shí)數(shù)，使得點(diǎn)N在直線l上；（2）若，則過(guò)M、N的直線與直線l平行；（3）若，則直線l經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)；（4）若，則點(diǎn)M、N在直線l的同側(cè)且直線l與線段的延長(zhǎng)線相交；【標(biāo)準(zhǔn)答案】②③④①點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足直線方程，從而得到，進(jìn)而可判斷①不正確．②若，則，進(jìn)而得到，根據(jù)兩直線斜率的關(guān)系即可判斷②．③若，即可得到，即可判斷③．④若，則，或，根據(jù)點(diǎn)與直線的位置關(guān)系即可判定④．【詳解詳析】解：若點(diǎn)在直線上則，不存在實(shí)數(shù)，使點(diǎn)在直線上，故①不正確；若，則，即，，即過(guò)、兩點(diǎn)的直線與直線平行，故②正確；若，則即，，直線經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)，即③正確；若，則，或，即點(diǎn)、在直線的同側(cè)，且直線與線段不平行．故④正確．故答案為：②③④．【名師指路】本題考查兩直線的位置關(guān)系，點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，直線的一般式方程等知識(shí)的綜合應(yīng)用，若兩直線平行則兩直線的斜率相等．18．(2023·上海市向明中學(xué)高二月考）已知與相交于點(diǎn)，線段是圓的一條動(dòng)弦，且，則的最小值是___________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】由兩直線方程可知兩直線垂直，且分別過(guò)定點(diǎn)（3，1）、（1，3），所以點(diǎn)P的軌跡為以兩定點(diǎn)連線段為直徑的圓，方程為（x﹣2）2+（y﹣2）2=2。因?yàn)橐蟮淖钚≈?，可作垂直線段CD⊥AB，根據(jù)向量的運(yùn)算可得，，根據(jù)條件求得CD的長(zhǎng)度為1，所以點(diǎn)D的軌跡為。根據(jù)兩圓方程可知點(diǎn)P的軌跡與點(diǎn)D的軌跡外離，故的最小值為兩圓的圓心距減去兩圓的半徑?！驹斀庠斘觥俊遧1：mx﹣y﹣3m+1=0與l2：x+my﹣3m﹣1=0，∴l(xiāng)1⊥l2，l1過(guò)定點(diǎn)（3，1），l2過(guò)定點(diǎn)（1，3），∴點(diǎn)P的軌跡方程為圓（x﹣2）2+（y﹣2）2=2，作垂直線段CD⊥AB，CD==1，所以點(diǎn)D的軌跡為,則，因?yàn)閳AP和圓D的圓心距為，所以兩圓外離，所以|PD|最小值為，所以的最小值為4﹣2.故答案為：4﹣2.【名師指路】平面向量具有代數(shù)與幾何雙重身份，是溝通代數(shù)與幾何的橋梁。平面向量模的最值問(wèn)題一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)。解決此類問(wèn)題關(guān)鍵在于正確運(yùn)用相關(guān)知識(shí)，進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，常用方法有（1）利用向量基本知識(shí)轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題；（2）利用坐標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合圖形求最值；（3）利用向量模的性質(zhì)求解；（4）利用幾何意義，數(shù)形結(jié)合求解。三、解答題19．(2023·上海市向明中學(xué)高二期中）已知，直線和直線相交于點(diǎn)P，和y軸交于點(diǎn)A，和x軸交于點(diǎn)B．（1）判斷與的位置關(guān)系，并用t表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）求的長(zhǎng)度的取值范圍，并指出取最值時(shí)點(diǎn)P的位置．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）垂直，；（2），最小時(shí)或，最大時(shí)．（1）可得時(shí)，顯然，時(shí)，由可得；聯(lián)立直線方程可求得P的坐標(biāo)；（2）可得，由即可求得取值范圍.【詳解詳析】（1）當(dāng)時(shí)，，，顯然，當(dāng)時(shí)，，則，則，綜上，，聯(lián)立直線方程，解得，；（2）由（1）知，，，則，則，即，則，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最小值為1，此時(shí)或，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值為，此時(shí).【名師指路】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查直線位置關(guān)系的判斷以及取值范圍的求解，解題的關(guān)鍵是聯(lián)立直線方程求出點(diǎn)P坐標(biāo)，將化成關(guān)于的式子即可求解.20．(2023·上?！とA師大二附中高二月考）已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．（1）證明：直線l過(guò)定點(diǎn)；（2）若直線l不經(jīng)過(guò)第四象限，求k的取值范圍；（3）若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)△AOB的面積為S，求S的最小值及此時(shí)直線l的方程．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）S的最小值為4，直線l的方程為x－2y＋4＝0．【思路指引】（1）直線方程化為y＝k（x＋2）＋1，可以得出直線l總過(guò)定點(diǎn)；（2）考慮直線的斜率及在y軸上的截距建立不等式求解；（3）利用直線在坐標(biāo)軸上的截距表示出三角形的面積，利用均值不等式求最值，確定等號(hào)成立條件即可求出直線方程.【詳解詳析】（1）證明：直線l的方程可化為y＝k（x＋2）＋1，故無(wú)論k取何值，直線l總過(guò)定點(diǎn)（－2，1）．（2）直線l的方程為y＝kx＋2k＋1，則直線l在y軸上的截距為2k＋1，要使直線l不經(jīng)過(guò)第四象限，則解得k≥0，故k的取值范圍是．（3）依題意，直線l在x軸上的截距為，在y軸上的截距為1＋2k，∴A，B（0，1＋2k）．又且1＋2k＞0，∴k＞0．故S＝|OA||OB|＝××（1＋2k）＝≥×（4＋）＝4，當(dāng)且僅當(dāng)4k＝，即k＝時(shí)，取等號(hào)．故S的最小值為4，此時(shí)直線l的方程為x－2y＋4＝0．21．(2023·上海市西南位育中學(xué)高二期中）如圖，已知，，，直線.(1)求直線l經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若直線l等分的面積，求直線l的方程；(3)若，點(diǎn)E?F分別在線段BC和AC上，上，求的取值范圍.【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)(2)(3)【思路指引】（1）將直線變形為，由恒等式可得方程組，從而求得直線所過(guò)的定點(diǎn)；（2）根據(jù)條件確定直線l所過(guò)的定點(diǎn)在直線AB上，設(shè)出直線l與AC交點(diǎn)D，由確定D點(diǎn)位置，從而求出D點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線l的方程可求解方程；（3）由可得有，設(shè)，可確定，由向量共線可得出F點(diǎn)坐標(biāo)，表示出,利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求得其取值范圍.(1)解：直線可化為，聯(lián)立，解得，故直線l經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)為；(2)解：因?yàn)?，，，所以有，由題可得直線AB方程為，故直線l經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)在直線AB上，所以，設(shè)直線l與AC交于點(diǎn)D，所以有，即，所以，設(shè)，所以，即，所以，，所以，將D點(diǎn)坐標(biāo)代入直線l的方程，解得，所以直線l的方程為：；(3)解：由（2）可知為等邊三角形，所以，，而，，，所以有，設(shè)，則，所以，因?yàn)镕在AC上，設(shè)，所以，即，解得，，所以，所以，，故，因?yàn)?，所?22．求經(jīng)過(guò)直線與直線的交點(diǎn)M，且分別滿足下列條件的直線方程：（1）與直線平行；（2）與直線垂直.【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）；（2）【思路指引】（1）聯(lián)立直線方程構(gòu)成方程組得，依題意可設(shè)所求直線為：，由點(diǎn)在直線上，能求出所求直線方程；（2）依題意設(shè)所求直線為：，由點(diǎn)在直線上，能求出所求直線方程．【詳解詳析】（1）由，得，所以．依題意，可設(shè)所求直線為：．因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，解得：．所以所求直線方程為：．（2）依題意，設(shè)所求直線為：．因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，解得：，所以所求直線方程為：．【名師指路】本題考查直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意直線與直線平行、直線與直線垂直等關(guān)系的合理運(yùn)用，屬于中檔題.23．如圖，公路圍成的是一塊頂角為的角形耕地，其中，在該塊土地中處有一小型建筑，經(jīng)測(cè)量，它到公路的距離分別為，現(xiàn)要過(guò)點(diǎn)修建一條直線公路，將三條公路圍成的區(qū)域建成一個(gè)工業(yè)園.（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）三條公路圍成的工業(yè)園區(qū)的面積恰為，求公路所在直線方程.【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）以為原點(diǎn)，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．；（2）.【思路指引】（1）以為原點(diǎn)，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，，根據(jù)條件求得的坐標(biāo)．（2）設(shè)出的方程，求得的橫坐標(biāo)和的縱坐標(biāo)，求得的解析式，根據(jù)求得，即可求出直線方程．【詳解詳析】解：（1）如圖，以為原點(diǎn)，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．因?yàn)椋手本€的方程是．設(shè)點(diǎn)，．因?yàn)辄c(diǎn)到的距離為3，故．由到直線的距離為，得，解得或（舍去），所以點(diǎn)．（2）顯然直線的斜率存在．設(shè)直線的方程為，．令得．由解得．解得故直線的方程為：【名師指路】本題考查通過(guò)建立合適的平面直角坐標(biāo)系，求直線方程，與三角形的面積問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．24．在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)作直線分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點(diǎn)A，B.（1）若，求直線的一般式方程；（2）求當(dāng)取得最小值時(shí)直線的方程.【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）；（2）【思路指引】設(shè)出，（1）由，可求得，從而得直線斜率，寫(xiě)出直線方程；（2）由共線得出滿足的等量關(guān)系，求出，【詳解詳析】設(shè)出，（1）∵，∴，即，解得，∴直線方程為，即；（2）∵共線，∴，整理得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立?！嘀本€方程為，即?！久麕熤嘎贰勘绢}考查求直線方程，由于題中條件都與向量有關(guān)，因此引入直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出參數(shù)，寫(xiě)出方程的截距式，再化為一般式。25．(2023·上海·閔行中學(xué)高二期中）已知直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，分別求出滿足下列條件的直線的一般式方程．(1)直線的斜率為；(2)直線過(guò)點(diǎn)【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)x﹣6y+12＝0或x﹣6y﹣12＝0(2)2x+3y﹣12＝0或8x+3y+24＝0【思路指引】（1）根據(jù)題意，設(shè)直線l在y軸上截距為b，則其在x軸上截距為﹣6b，由三角形面積公式可得S△MON＝×|6b|×|b|＝12，解可得b的值，代入直線l的方程，變形可得答案；（2）設(shè)直線l的方程為y＝k（x+6）+8，求出直線l與x軸、y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，由三角形面積公式可得關(guān)于k的方程，解可得k的值，將k的值代入直線l的方程，變形可得答案．(1)解：根據(jù)題意，直線l的斜率為，設(shè)直線l在y軸上截距為b，則其在x軸上截距為﹣6b，若S△MON＝12，則S△MON＝×|6b|×|b|＝12，解可得b＝±2，則直線l的方程為y＝x±2，變形可得x﹣6y+12＝0或x﹣6y﹣12＝0，直線l的方程為x﹣6y+12＝0或x﹣6y﹣12＝0；(2)解：設(shè)直線l的方程為y＝k（x+6）+8，令x＝0，則y＝6k+8，令y＝0，則x＝﹣﹣6，則有×|6k+8|×|﹣﹣6|＝12，解可得k＝﹣或﹣，故直線l的方程為2x+3y﹣12＝0或8x+3y+24＝0．26．如圖，已知城市周邊有兩個(gè)小鎮(zhèn)、，其中鄉(xiāng)鎮(zhèn)位于城市的正東方處，鄉(xiāng)鎮(zhèn)與城市相距，與夾角的正切值為2，為方便交通，現(xiàn)準(zhǔn)備建設(shè)一條經(jīng)過(guò)城市的公路，使鄉(xiāng)鎮(zhèn)和分別位于的兩側(cè)，過(guò)和建設(shè)兩條垂直的公路和，分別與公路交匯于、兩點(diǎn)，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.（1）當(dāng)兩個(gè)交匯點(diǎn)、重合，試確定此時(shí)路段長(zhǎng)度；（2）當(dāng)，計(jì)算此時(shí)兩個(gè)交匯點(diǎn)、到城市的距離之比；（3）若要求兩個(gè)交匯點(diǎn)、的距離不超過(guò)，求正切值的取值范圍.【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）；（2）；（3）.【思路指引】（1）先求出直線的斜率為1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，再利用點(diǎn)到直線的距離為|BD|=；（2）設(shè)直線AB的斜率為，先求出再求出，即得；（3）先求出,再求出解不等式即得解.【詳解詳析】（1）當(dāng)兩個(gè)交匯點(diǎn)、重合時(shí)，則AC,BD公路共線，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AO,垂足為E,則,所以AE=，所以|BE|=|AE|,所以直線AB的傾斜角為，所以直線AB的斜率為，所以直線的斜率為1，因?yàn)辄c(diǎn)B的坐標(biāo)為，所以|BD|=.（2）由題得A(21,0)，設(shè)直線AB的斜率為，所以直線AB的方程為，因?yàn)閨AC|=|BD|,所以.由題得,所以,所以.（3）由題得，所以，所以.因?yàn)?所以解之得.故正切值的取值范圍為.【名師指路】本題主要考查直線的方程和點(diǎn)到直線的距離，考查直線的夾角的計(jì)算，考查一元二次不等式的解法，考查和角的正切，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.27．已知直線，且與坐標(biāo)軸形成的三角形面積為.求：（1）求證：不論為何實(shí)數(shù)，直線過(guò)定點(diǎn)P；（2）分別求和時(shí)，所對(duì)應(yīng)的直線條數(shù)；（3）針對(duì)的不同取值，討論集合直線經(jīng)過(guò)P，且與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為中的元素個(gè)數(shù).【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）定點(diǎn)，見(jiàn)解析；（2）時(shí)，2條直線，時(shí)，4條直線；（3）①時(shí)，2條直線；②時(shí)，3條直線；③時(shí)，4條直線.【思路指引】（1）直線方程化為，令求得直線所過(guò)的定點(diǎn)；（2）由題意知直線的斜率存在且不為0，設(shè)出直線方程，求出直線與軸的交點(diǎn)，計(jì)算對(duì)應(yīng)三角形的面積，由此求得直線條數(shù)；（3）由題意得，討論和時(shí)方程對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)根，從而求出對(duì)應(yīng)直線的條數(shù)，即可得出集合直線經(jīng)過(guò)P且與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為中元素的個(gè)數(shù)．【詳解詳析】（1）直線可化為，令，解得，∴