高中數(shù)學1.4.2用空間向量研究距離夾角問題第1課時教學設計新人教A版選擇性必修第一冊

1.4.2用空間向量探討距離、夾角問題一、教學內(nèi)容在向量坐標化的基礎上，將空間中點到線、點到面、兩條平行線及二平行平面角的距離問題，首先轉(zhuǎn)化為向量語言，進而運用向量的坐標表示，從而實現(xiàn)運用空間向量解決空間距離問題，為學生學習立體幾何供應了新的方法和新的觀點，為培育學生思維供應了更廣袤的空間。二、教學目標1.能用向量方法解決點到直線、點到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題；2.能描述解決這一類問題的程序，體會向量方法在探討幾何問題中的作用；3.能利用投影向量得到點到直線、點到平面的距離公式，結(jié)合一些詳細的距離問題的解決；4.歸納用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”，提升直觀想象、數(shù)學運算等素養(yǎng).三、教學重點與難點重點：點到直線的距離的向量表示與點到平面的距離的向量表示.難點：點到在線的距離、點到平面的距離、兩條平行直線之間的距離、直線到平面的距離之間的相互轉(zhuǎn)化.四、教學過程設計環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設情境，引入課題導入問題：如圖，在蔬菜大棚基地有一條筆直的馬路,某人要在點A處，修建一個蔬菜存儲庫。如何在馬路上選擇一個點,修一條馬路到達A點,要想使這個路途長度理論上最短,應當如何設計？我們知道，立體幾何中的距離問題包括點到直線、點到平面、兩條平行直線以及兩個平行平面的距離問題等如何用空間向量解決這些距離問題呢？前面，我們通過直線的方向向量、平面的法向量，運用向量的線性運算、數(shù)量積運算等探討了直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行和垂直的位置關系.下面我們接著用向量方法探討立體幾何中的距離和角度等度量問題，進一步體會解決立體幾何中有關問題的向量方法.與距離一樣，角度是立體幾何中的另一類度量問題.本質(zhì)上，角度是對兩個方向的差的度量，向量是有方向的量，所以利用向量探討角度問題有其獨特的優(yōu)勢.本節(jié)我們用空間向量探討夾角問題，你認為可以按怎樣的依次綻開探討？問題1:立體幾何中有哪些距離問題？師生活動：通過老師提問，學生回答，確定立體幾何中的各種距離問題.老師進一步指出，我們已經(jīng)在學習空間向量的坐標運算時學習了兩點間的距離，接下來進一步利用向量探討其他距離問題.追問：你認為可以如何探討這些距離問題？師生活動：老師進一步引導學生將上述距離問題歸為兩類，并由學生溝通、探討得出探討的路徑，兩點間的距離是根本，點到直線的距離和點到平面的距離是基礎，其他距離問題都可以轉(zhuǎn)化為這兩類距離問題.設計意圖：明確探討內(nèi)容和探討思路，將距離問題歸類，引導學生探討其中最基本的問題,明晰要素，向量表示，探究點到直線的距離下面我們先探討用向量方法求直線外一點P到直線的距離．環(huán)節(jié)二：視察分析，感知概念問題2：已知一條直線和直線外一點P,求點P到直線的距離.追問1：問題中有哪些幾何要素？如何用向量來表示這些幾何要素？探究已知直線的單位方向向量為，是直線上的定點，是直線外一點．如何利用這些條件求點到直線的距離?如圖1.4-16，向量在直線上的投影向量為，則是直角三角形．追問2:作出點到直線的距離,向量與點到直線的距離之間有什么關系?師生活動:學生自主探究,得出向量及其在直線上的投影向量與之間的關系,得到Rt.因為，都是定點，所以，與的夾角都是確定的．于是可求．再利用勾股定理，可以求出點到直線的距離．師生活動:老師引導學生用向量表示問題中的點和直線兩個幾何要素.用直線上隨意一點和點構(gòu)成向量,建立點與直線的關聯(lián);直線由一個點和一個方向向量確定,可以取單位方向向量表示直線的方向向量.設，則向量在直線上的投影向量．環(huán)節(jié)三：抽象概括，形成概念追問3:你能借助圖形,用向量方法求出點到直線的距離嗎?在中，由勾股定理，得．思索類比點到直線的距離的求法，如何求兩條平行直線之間的距離？師生活動:老師先引導學生得出在直線上的投影向量的表達式,進而在Rt中,由勾股定理得點到直線的距離公式 探討得出將兩條平行直線之間的距離轉(zhuǎn)化為點到直線的距離.設計意圖:讓學生感悟轉(zhuǎn)化思想,化未知為已知.為后續(xù)把直線與平面間的距離、兩個平行平面間的距離轉(zhuǎn)化為點到平面的距離,在思想方法上作鋪墊.類比探究,推導點到平面的距離公式環(huán)節(jié)四：辨析理解，深化概念問題4:類似于點到直線的距離,如何求平面外一點到平面的距離?我們再來看平面外一點到平面的距離問題．如圖1.4-17，已知平面的法向量為，是平面內(nèi)的定點，是平面外一點．追問1:類似于直線可由一個點和方向向量確定,確定一個平面的條件是什么?師生活動:由學生回答.追問2:你能類比求點到直線的距離的方法,利用向量投影求出點到平面的距離嗎?過點作平面的垂線，交平面于點，則是直線的方向向量，且點到平面的距離就是在直線上的投影向量的長度．因此．師生活動:學生獨立思索,然后分組探討溝通;老師巡察、點撥;學生共享探討成果,多媒體投影展示,師生評價,梳理成果,得出用空間向量求點到平面的距離的步驟:第一步,確定平面的法向量;其次步,選擇“參考向量”;第三步,確定“參考向量”向法向量的的投影向量;第四步,求投影向量的模長,得到 設計意圖:類比點到直線距離的探討過程,合作探究,得到點到平面的距離公式,讓學生進一步體會平面的法向量在刻畫平面、求距離中的作用.在求解點到平面的距離的過程中,平面的法向量的方向和法向量上投影向量的長度既體現(xiàn)了圖形直觀,又供應了代數(shù)定量刻畫.在這個過程中,向量與起點無關的自由性也為求距離帶來了便利.問題5:如何求平行于平面的直線到平面的距離?兩個平行平面之間的距離呢?師生活動:通過學生回答,把問題轉(zhuǎn)化為求平面外一點到平面的距離,由此得到求距離問題的統(tǒng)一公式.設計意圖:師生共析,將平行于平面的直線到平面的距離和兩個平行平面間的距離轉(zhuǎn)化為點到平面的距離,得到統(tǒng)一的向量表達式,進一步體會轉(zhuǎn)化的思想.環(huán)節(jié)五：課堂練習，鞏固運用例6如圖1.4-18，在棱長為1的正方體中，為線段的中點，為線段的中點．（1）求點到直線的距離；（2）求直線到平面的距離．分析：依據(jù)條件建立空間直角坐標系，用坐標表示相關的點、直線的方向向量和平面的法向量，再利用有關公式，通過坐標運算得出相應的距離．解：以為原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖1.4-18所示的空間直角坐標系，則，，，，，，所以，，，，，．（1）取，，則，．所以，點到直線的距離為．（2）因為，所以，所以平面．所以點到平面的距離即為直線到平面的距離．設平面的法向量為，則，所以．所以取，則，．所以，是平面的一個法向量．又因為，所以點到平面的距離為．即直線到平面的距離．師生活動:老師引導學生分析問題的條件和所求,再依據(jù)問題條件建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?用坐標表示相關的點、直線的方向向量、平面的法向量,再利用有關公式,經(jīng)過坐標運算解決問題.本題的第一問師生共同分析完成,老師示范;其次問學生完成,老師評價.設計意圖:通過典型例題,使學生鞏固并逐步駕馭利用向量方法求空間距離的方法,體會向量方法在解決距離問題中的作用,滲透用空間向量解決立體幾何問題的一般過程.課后練習:請同學們課后試一試用綜合幾何的方法求解例題中的兩個距離.與教科書中用向量方法求解進行比較,你有什么體會?設計意圖:通過利用向量方法和綜合幾何方法解決空間距離問題,引導學生體會向量方法的優(yōu)勢.問題6:結(jié)合例1,回顧用空間向量解決距離問題的過程,你能總結(jié)用向量方法解決立體幾何問題的基本步驟嗎?與用平面對量解決平面幾何問題的“三步曲”類似，我們可以得出用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”：（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（2）通過向量運算，探討點、直線、平面之間的位置關系以及它們之間的距離和夾角等問題；（3）把向量運算的結(jié)果“翻譯”成相應的幾何結(jié)論．師生活動:學生先探討回答,師生共同歸納,得到“三步曲”.設計意圖:結(jié)合例1,以及以前的一些用空間向量解決立體幾何的問題,梳理出“三步曲”,體會向量方法是解決立體幾何問題的普適性方法.環(huán)節(jié)六：歸納總結(jié)，反思提升問題7:回顧這節(jié)課的學習,我們學習了哪些內(nèi)容?用的是什么方法?設計意圖:通過課堂小結(jié),梳理總結(jié)本節(jié)課所學學問和學習過程,提煉用向量方法解決距離問題的過程與方法,使學生形成用向量方法探討距離問題的完整相識,進一步體會用向量方法解決立體幾何問題的一般步驟.學問總結(jié)：2.學生反思：（1）通過這節(jié)課，你學到了什么學問？（2）在解決問題時，用到了哪些數(shù)學思想？【設計意圖】通過總結(jié)，讓學生進一步鞏固本節(jié)所學內(nèi)容，提高概括實力,提高學生的數(shù)學運算實力和邏輯推理實力。環(huán)節(jié)七：目標檢測，作業(yè)布置完成教材：第35頁練習第1，2，3題第41頁習題1.4第6,7,13,14題練習（第35頁）1．在棱長為1的正方體中，點到平面的距離等于，直線到平面的距離等于；平面到平面的距離等于．1．答案：1；1；1解析：如圖，點到平面的距離等于線段的長，又，∴點到平面的距離為1．∵直線平面，故直線到平面的距離即為點到平面的距離，又到平面的距離為的長，，∴直線到平面的距離為1．∵平面平面，∴兩平行平面的距離即為點到面的距離，即為的長，又，∴兩平行平面的距離為1．2．如圖，在棱長為1的正方體中，為線段的中點，為線段的中點．（1）求點到直線的距離；（2）求直線到直線的距離；（3）求點到平面的距離；（4）求直線到平面的距離．2．解析：建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，．（1），，．設，，則，，∴點到直線的距離為．（2），，，．∴點到直線的距離