一元線性回歸模型高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

2024/6/28高二數(shù)學(xué)備課組第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析8.2.1一元線性回顧模型8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用課時(shí)目標(biāo)研究當(dāng)兩個(gè)變量線性相關(guān)時(shí)，如何利用成對(duì)樣本數(shù)據(jù)建立適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)模型，能結(jié)合具體實(shí)例了解模型及其參數(shù)的含義.提出問題確定研究變量收集數(shù)據(jù)畫散點(diǎn)圖求回歸模型做出預(yù)報(bào)(一元線性回歸模型)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，回歸分析指的是定量分析兩種或兩種以上變量間相關(guān)關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)分析方法?；貧w分析按照涉及的變量的個(gè)數(shù)，分為一元回歸分析和多元回歸分析?；貧w回歸分析定相關(guān)關(guān)系計(jì)算r復(fù)習(xí)回顧1.樣本相關(guān)系數(shù)：2.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：①當(dāng)r>0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).②|r|≤1；③當(dāng)|r|越接近1時(shí)，成對(duì)數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；當(dāng)|r|越接近0時(shí)，成對(duì)數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱；特別地，當(dāng)|r|＝0時(shí)，成對(duì)數(shù)據(jù)的沒有線性相關(guān)關(guān)系；當(dāng)|r|＝1時(shí)，成對(duì)數(shù)據(jù)都落在一條直線上.問題導(dǎo)入

通過前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)了解到，根據(jù)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖和樣本相關(guān)系數(shù)，可以推斷兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系、是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)，以及線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱等.思考

是否可以能像建立函數(shù)模型刻畫兩個(gè)變量之間的確定性關(guān)系那樣，通過建立適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)模型來刻畫兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系？并通過模型進(jìn)行預(yù)測？下面我們研究當(dāng)兩個(gè)變量線性相關(guān)時(shí)，如何利用成對(duì)樣本數(shù)據(jù)建立統(tǒng)計(jì)模型，并利用模型進(jìn)行預(yù)測的問題.新知探究生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，兒子身高與父親身高存在正線性相關(guān)關(guān)系，即父親的身高較高時(shí)，兒子的身高通常也較高.

以橫軸表示父親身高、縱軸表示兒子身高建立直角坐標(biāo)系，由表中的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖，如圖所示.可以發(fā)現(xiàn)，散點(diǎn)大致分布在一條從左下角到右上角的直線附近，表明兒子身高和父親身高線性相關(guān).利用統(tǒng)計(jì)軟件，求得樣本相關(guān)系數(shù)為r≈0.886，表明兒子身高和父親身高正線性相關(guān)，且相關(guān)程度較高.

為了進(jìn)一步研究兩者之間的關(guān)系，有人調(diào)查了14名男大學(xué)生的身高及其父親的身高，得到的數(shù)據(jù)如表所示.新知探究思考1：根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)或散點(diǎn)圖，兒子身高和父親身高這兩個(gè)變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)模型刻畫嗎？存在父親身高相同，而兒子身高不同的情況.也存在兒子身高相同，而父親身高不同的情況。不符合函數(shù)的定義，可見兒子身高和父親身高之間不是函數(shù)關(guān)系，不能用函數(shù)模型刻畫.思考2：為什么兒子身高和父親身高有相關(guān)關(guān)系而不是函數(shù)關(guān)系？因?yàn)橛绊憙鹤由砀叩囊蛩爻烁赣H身高這個(gè)主要因素外，還受其他隨機(jī)因素的影響，如母親身高、生活環(huán)境、飲食習(xí)慣、鍛煉時(shí)間（隨機(jī)誤差e)等.思考3：考慮上述隨機(jī)因素的影響，你能否用類似于函數(shù)的表達(dá)式來表示父親身高x和兒子身高Y的關(guān)系？新知探究用x表示父親身高，Y表示兒子身高，e表示隨機(jī)誤差.假定隨機(jī)誤差e的均值為0，方差為與父親身高無關(guān)的定值σ2，則它們之間的關(guān)系可以表示為：稱為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型.Y稱為因變量或響應(yīng)變量；x稱為自變量或解釋變量；a稱為截距參數(shù)，b稱為斜率參數(shù)；e是Y與bx+a之間的隨機(jī)誤差.思考4：為什么要假設(shè)E(e)=0，而不假設(shè)它為某個(gè)不為0的常數(shù)？因?yàn)殡S機(jī)誤差表示大量已知和未知的影響因素之和，因?yàn)檎`差是隨機(jī)的，即取各種正負(fù)誤差的可能性一樣，它們會(huì)相互抵消，所以隨機(jī)誤差的期望值應(yīng)為0.模型中的Y也是隨機(jī)變量，其值雖然不能由變量x的值確定，但是卻能表示為bx+a與e的和(疊加)，前一部分由x所確定，后一部分是隨機(jī)的.如果e=0，那么Y與x之間的關(guān)系就可用一元線性函數(shù)模型來描述.新知探究追問

為什么要假設(shè)E(e)=0，而不假設(shè)其為某個(gè)不為0的常數(shù)？(另解）因?yàn)檎`差是隨機(jī)的，即取各種正負(fù)誤差的可能性一樣，所以它們均值的理想狀態(tài)應(yīng)該為0.

新知探究追問

如何理解隨機(jī)誤差e對(duì)兒子身高的影響？假設(shè)沒有隨機(jī)誤差，則兒子身高Y只受父親身高x影響，則事實(shí)上，相關(guān)系數(shù)，故也可以記作Y=bx+a+e隨機(jī)誤差e隨機(jī)誤差e的特征隨機(jī)誤差e是一個(gè)隨機(jī)變量①可取正或取負(fù)②有些無法測量③不可事先設(shè)定

新知探究用x表示父親身高，Y表示兒子身高，e表示隨機(jī)誤差.則它們之間的關(guān)系可以表示為下面的一元線性回歸模型：思考5：你能結(jié)合身高案例解釋上述模型的意義嗎？由于E(Y)=bx+a，故模型可解釋為父親身高為xi的所有男大學(xué)生的身高(子總體)的均值E(Y)為bxi+a，即該子總體的均值與父親身高是線性函數(shù)關(guān)系。yi不一定為bxi+a，yi=bxi+a+ei，bxi+a是子總體的均值，yi只是該子總體中的一個(gè)樣本值，這個(gè)樣本值yi與均值E(Y)有一個(gè)誤差項(xiàng)ei=yi?(bxi+a).思考6：父親身高為xi的某一名男大學(xué)生，他的身高yi一定為bxi+a嗎？理解為新知探究思考7：你能結(jié)合上述身高案例解釋模型中產(chǎn)生隨機(jī)誤差項(xiàng)e的原因嗎？(1)存在其他可能影響兒子身高Y的因素，如母親身高、生活環(huán)境、飲食習(xí)慣和鍛煉時(shí)間等；(2)測量身高時(shí)，可能存在由測量工具、測量精度導(dǎo)致的測量誤差；(3)實(shí)際問題中，我們不知道兒子身高和父親身高的相關(guān)關(guān)系是什么，而利用一元線性回歸模型來近似刻畫這種關(guān)系，這種近似產(chǎn)生了誤差.用x表示父親身高，Y表示兒子身高，e表示隨機(jī)誤差.則它們之間的關(guān)系可以表示為下面的一元線性回歸模型：理解為以上三項(xiàng)誤差越小，說明我們的回歸模型的擬合效果越好。課堂練習(xí)1.說明函數(shù)模型與回歸模型的區(qū)別，并分別舉出兩個(gè)應(yīng)用函數(shù)模型和回歸模型的例子.函數(shù)模型與回歸模型之間的差別函數(shù)模型：回歸模型：

一元線性回歸模型Y=bx+a+e增加了隨機(jī)誤差項(xiàng)e,因變量Y

的值由自變量x和隨機(jī)誤差項(xiàng)e共同確定,即自變量x只能解釋部分Y的變化.解釋變量x(身高)模型誤差e

(其它所有變量)響應(yīng)變量Y(體重)

解析：函數(shù)模型刻畫的是變量之間具有的函數(shù)關(guān)系，是一種確定性的關(guān)系.回歸模型刻畫的是變量之間具有的相關(guān)關(guān)系，不是一種確定性關(guān)系，即回歸模型刻畫的是兩個(gè)變量之間的隨機(jī)關(guān)系.

舉例：路程與速度的關(guān)系、正方體體積與邊長的關(guān)系可以應(yīng)用函數(shù)模型刻畫，體重與身高的關(guān)系、冷飲銷量與氣溫的關(guān)系可以用回歸模型刻畫。課本107頁鞏固練習(xí)課本107頁2.在一元線性回歸模型(1)中，參數(shù)b的含義是什么?解：參數(shù)b的含義可以解釋為解釋變量x對(duì)響應(yīng)變量Y的均值的影響，變量x每增加1個(gè)單位，響應(yīng)變量Y的均值將增加b個(gè)單位.

例如，教科書中父親身高為175cm的兒子身高的均值比父親身高為174cm的兒子身高的均值高出0.839cm.注意：因?yàn)轫憫?yīng)變量Y最終取值，除了受變量x的影響，還要受隨機(jī)誤差e的影響，所以不能解釋成解釋變量x每增加一個(gè)單位，響應(yīng)變量Y一定增加b個(gè)單位.鞏固練習(xí)3.將圖8.2-1中的點(diǎn)按父親身高的大小次序用折線連起來，所得到的圖象是一個(gè)折線圖，可以用這條折線表示兒子身高和父親身高之間的關(guān)系嗎？課本107頁解：不能.一是父親的身高與兒子的身高之間是隨機(jī)關(guān)系，不是函數(shù)關(guān)系；二是這組數(shù)據(jù)僅是總體的一個(gè)樣本，不一定能很好地描述兩個(gè)變量之間的關(guān)系.課堂小結(jié)1.一元線性回歸模型：2.一元線性回歸模型與函數(shù)模型的區(qū)別若Y與x呈現(xiàn)線性相關(guān)，則Y關(guān)于x的一元線性回歸模型為：Y稱