高中數(shù)學高考沖刺數(shù)列通項

高中數(shù)學高考沖刺數(shù)列通項專題

⑴利用.觀察法求數(shù)列的通項.

⑵利用公式法求數(shù)列的通項：①%,、；②"｝等差、等比數(shù)

列｛/｝公式.

(3)應用迭加(迭乘、迭代)法求數(shù)列的通項:①％=a.+/(〃)；②％=《"(〃).

⑶構造等差、等比數(shù)列求通項：.

n

4+1=P4+q;②a,,.=pa?+q；③an+l=pan+/(〃)；④an+2=p.an+1+q-an.

［示例］已知下列各數(shù)列｛七｝的前n項和S.的公式為S“=3〃2—2〃(〃GN*),求

｛七｝的通項公式。

題型一利用公式法求通項

［例］數(shù)列｛a｝的前〃項和記為S,si=l,a〃+i=2S〃+l(〃>1).

(1)求｛晶｝的通項公式；

(2)等差數(shù)列｛4｝的各項為正數(shù)，前〃項和為L,且北=15,又4+從,

色+勿，備+友成等比數(shù)列，求Tn.

［練3］數(shù)列｛aj是公差大于零的等差數(shù)列，牝，%是方程1筋+27=0的

兩根。數(shù)列也,｝的前八項和為T.，且7>1-3，(〃eN*),求數(shù)列｛%｝,h｝的通

項公式。

3.已知數(shù)列｛aj中，a,=—1,a?+1?a?=a?+1—a?,則數(shù)列通項a.=

［例］已知｛%｝的首項q=1,%=a“+2〃，5eN*),求｛6｝的通項公式,并求％oo

的值。

題型二應用迭加(迭乘、迭代)法求通項

［練1］數(shù)列｛"“｝中，-l,an=n(a?+i-a?)?則數(shù)列｛。“｝的通項。.=()

A2n-lB.n2C..D.n

n

2

［練2］已知S“為數(shù)列｛a,,｝的前〃項.和，q=l,Sn=n-an,求數(shù)列｛”.｝的通項

公式.

［例］數(shù)列｛%｝中，a“+i=3a“+2（〃G心，且60=8,則4=（）

題型三構造等比數(shù)列求通項

［練1］數(shù)列｛/｝中，q=l,a“=ga“_1+1(〃22),求通項公式明。

［例］已知數(shù)列｛“〃｝中，q=1/=2%+3",求數(shù)列a｝的通項公式.

［練2］設數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,,,已知％=”,%=S“+3"5GN,),.設

b—,求數(shù)列h｝的通項公式.

數(shù)列求和方法

基本.數(shù)列的前〃項和

〃（囚+%）

2

⑴等差數(shù)列｛%｝的前"項和:S"=,叫+—7t（n-l）d

⑵等比數(shù)列a｝的前〃項和5“：

①當q=l時，S,,=〃q；②當#1時，S“L'）二二嗎

-----\-q\-q

2.數(shù)列求和的常用方法：公式法；性質法；拆項分組法；裂項相消法;

錯位相減法;倒序相加法.

題型一公式法、性質法求和

1.已知5?為等比數(shù)列［a,,｝的前〃項和，公比＜7=2.9=7,則

。3+。6++?*,+Clgg—

2.等差數(shù)列｛a,,｝中，公差d=g,且a〕+%+%+…+。99=6°?則

q+%+%+…+即）0=一-

［例1］求數(shù)列1：,2：,3：,……的前〃項和Sn.

2482

題型二拆項分組法求和

［練2］在數(shù)列｛%｝中，已知a=2,%+i二4/一3〃+1,2N*.

(1)求數(shù)列｛a,J的通項公式；(2)設數(shù)列",｝的前〃項和為S,求S。

［練］.求數(shù)歹■］上〃_］丹的前“項和s”.

［例］.求和:L+JJ…+-----1----

1x22x33x4n{n+1)

題型三裂項相消法求和

1111

［例］.求和:-i-----j----,-------,H-???,-------,

-JT.+1V3+V2V?+V3J〃+1+Vn

1

［例］求和:1++

1+21+2+31+2+3+??,+〃

［練4］已知數(shù)歹!］｛a“｝滿足-=1,%=2an+1(〃wN*)

求數(shù)列｛凡｝的通項公式。(2)若數(shù)列也｝滿足4"L42f爐中…*+i=(an+J,

求數(shù)列物,｝的通項公式。(3)若％=二二，求數(shù)列匕｝的前n項和S.。

a“a“+i

【示例】以辦為首項等比數(shù)列，q為公比，前n項和Sn的推導

題型四錯位相減法求和

［例］.設數(shù)列｛4｝為122.22,3.23,4.23……“2…(xwO)求此數(shù)列前〃項的和.

［例］.設數(shù)列｛an｝滿足ai+3a2+3-3+...+3"一痣=￡,n@N*.

o

(1)求數(shù)列｛aj的通項公式;(2)設bn=R,求數(shù)列｛bn｝的前n項和Sn.

［練1］已知數(shù)列｛4｝、｛￡｝滿足％=1,%=3,=,bn=an+l-ano

b.

求數(shù)列｛2｝的通項公式；

（2）數(shù)列｛%｝滿足c“=a」og2（a“+l）（〃eN*）,求S“=q+02+...+c〃o

［練4］等比數(shù)列也｝中，已知對任意自然數(shù)n,q+4+a,+.F=2"-1,求

幻+婚+,+…+4；的值

A（2"T，R1（2,,-1）CAn-\D；（4"-1）

課后練習

_1

1設正項等比數(shù)列同｝的首項的=5,前n項和為工，且

210s30—(21°+1)凡0+曷。=0-

（I）求w的通項；（II）求｛*｝的前n項和九

2數(shù)列⑷的前外項和記為凡嗎=L%+】=2凡+1（心1）求⑷的通項公式;

3在數(shù)列｛aj與｛bn｝中，ai=l,bi=4,數(shù)列｛aj的前n項和Sn滿足nSn+i-

(n+3)Sn=0,n￡N*.

（1）求a2,的值；（2）求數(shù)列｛aj通項公式;

4設數(shù)列也｝的前〃項和為S.，對任意的正整數(shù)〃，都有q=5S.+l成立,

記b='+%.(〃eN*)o

n1-4

求數(shù)列出｝的通項公式

5設數(shù)列以｝的前n項和為Sn,且對任意正整數(shù)n,an+Sn=4096.

(1)求數(shù)列｛aj的通項公式：

⑵設數(shù)列｛logzaj的前n項和為I.對數(shù)歹?。荩鸗J,從第幾項起Tn<-

509?

41n+12

6設數(shù)列｛aj的前n項和鏟"一/2"++5'”=123,…。

⑴求首項出求證仇+2"是等比數(shù)列

(2)求數(shù)列｛aj的通項公式

7設等差數(shù)列｛《,｝的前〃項和為小公比是正數(shù)的等比數(shù)列｛3｝的前〃

項和為了“，

已知％==3,%+%=17石—S3=12,求｛a“｝也｝的通項公式.

2

8已知數(shù)列｛為｝的前n項和sn=2n+2nf數(shù)列昆｝的前n項和7；=2-a

(I)求數(shù)列｛%｝與匕｝的通項公式；

(II)設％”初,證明：當且僅當n23時，ci?

9等比數(shù)列