六年級奧數(shù)相遇和追及

相遇和追及問題

知假眼我

一、相遇

甲從A地到B地，乙從B地到A地，然后兩人在途中相遇，實(shí)質(zhì)上是甲和乙一起走了A,B之間這段

路程，如果兩人同時(shí)出發(fā)，那么

??甲.乙.

A“B人B

。時(shí)刻準(zhǔn)備出發(fā)時(shí)間t后相遇

相遇路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度X相遇時(shí)間+乙的速度X相遇時(shí)間

=（甲的速度+乙的速度）X相遇時(shí)間=速度和X相遇時(shí)間.

一般地，相遇問題的關(guān)系式為：速度和X相遇時(shí)間=路程和，即5和=%,

二、追及

有兩個人同時(shí)行走，一個走得快，一個走得慢，當(dāng)走得慢的在前，走得快的過了一些時(shí)間就能追上他.

這就產(chǎn)生了“追及問題”.實(shí)質(zhì)上，要算走得快的人在某一段時(shí)間內(nèi)，比走得慢的人多走的路程，也就是要計(jì)

算兩人走的路程之差（追及路程）.如果設(shè)甲走得快，乙走得慢，在相同的時(shí)間（追及時(shí)間）內(nèi)：

追及路程=甲走的路程-乙走的路程=甲的速度X追及時(shí)間-乙的速度X追及時(shí)間

=（甲的速度-乙的速度）X追及時(shí)間

=速度差X追及時(shí)間.

一般地，追擊問題有這樣的數(shù)量關(guān)系：追及路程=速度差X追及時(shí)間，即S差=%t

三、在研究追及和相遇問題時(shí)，一般都隱含以下兩種條件：

（1）在整個被研究的運(yùn)動過程中，2個物體所運(yùn)行的時(shí)間相同

（2）在整個運(yùn)行過程中，2個物體所走的是同一路徑。

F路程=速度和x相遇

相遇度和二路程+相遇

［相遇=路程+速度和

［追及=追及路程+速度差

追及速度差X追及

［速度差=追及路程+追及

IS咫盛

能夠解決行程中復(fù)雜的相遇與追及問題

能夠畫出多人相遇和追及的示意圖并將問題轉(zhuǎn)化多個簡單相遇和追及環(huán)節(jié)進(jìn)行解題

能夠利用柳卡圖、比例解決多次相遇和追及問題

一\相遇和追及

【例1】在一條筆直的高速公路上，前面一輛汽車以90千米/小時(shí)的速度行駛，后面一輛汽車以108千米/

小時(shí)的速度行駛.后面的汽車剎車突然失控，向前沖去（車速不變）.在它鳴笛示警后5秒鐘撞上

了前面的汽車.在這輛車鳴笛時(shí)兩車相距多少米？

【鞏固】乙二人同時(shí)從A地去5地，甲每分鐘行60米，乙每分鐘行90米，乙到達(dá)B地后立即返回，并與

甲相遇，相遇時(shí)，甲還需行3分鐘才能到達(dá)3地，A、3兩地相距多少米？

【例2】甲、乙二人分別從山頂和山腳同時(shí)出發(fā)，沿同一山道行進(jìn)。兩人的上山速度都是20米/分，下山

的速度都是30米/分。甲到達(dá)山腳立即返回，乙到達(dá)山頂休息30分鐘后返回，兩人在距山頂480

米處再次相遇。山道長米。

【鞏固】小張和小王早晨8點(diǎn)整同時(shí)從甲地出發(fā)去乙地，小張開車，速度是每小時(shí)6。千米.小王步行，速

度為每小時(shí)4千米.如果小張到達(dá)乙地后停留1小時(shí)立即沿原路返回，恰好在10點(diǎn)整遇到正在前往乙

地的小王.那么甲、乙兩地之間的距離是千米.

【例3】如圖，A、3是一條道路的兩端點(diǎn)，亮亮在A點(diǎn)，明明在3點(diǎn)，兩人同時(shí)出發(fā)，相向而行.他

們在離A點(diǎn):100米的C點(diǎn)第一次相遇.亮亮到達(dá)3點(diǎn)后返回A點(diǎn)，明明到達(dá)A點(diǎn)后返回8點(diǎn)，

兩人在離6點(diǎn)80米的。點(diǎn)第二次相遇.整個過程中，兩人各自的速度都保持不變.求A、3間

的距離.要求寫出關(guān)鍵的推理過程.

【鞏固】甲、乙二人同時(shí)分別從A、3兩地出發(fā)，相向勻速而行.甲到達(dá)3地后立即往回走，乙到達(dá)A地

后也立即往回走.已知他們第一次相遇在離A,3中點(diǎn)2千米處靠3一側(cè)，第二次相遇在離A地4千

米處.A、3兩地相距多少千米？

【例4】（這道題就是之前介紹過的蘇步青教授利用巧妙方法解決過的一個問題，當(dāng)時(shí)蘇步青教授在德國

訪問，一位有名的德國數(shù)學(xué)家在電車上給他出了這道題）甲和乙分別從東西兩地同時(shí)出發(fā)，相對

而行，兩地相距100里，甲每小時(shí)走6里，乙每小時(shí)走4里.如果甲帶一只狗，和甲同時(shí)出發(fā)，

狗以每小時(shí)10里的速度向乙奔去，遇到乙后即回頭向甲奔去，遇到甲后又回頭向乙奔去，直到

甲乙兩人相遇時(shí)狗才停住.這只狗共跑了多少里路？

【鞏固】在一次宴會上，一位客人給著名的數(shù)學(xué)大師、“計(jì)算機(jī)之父”馮?諾伊曼先生出了一個蜜蜂問題:

兩列火車相距10°英里，在同一軌道上相向行駛，速度都是每小時(shí)5。英里.火車A的前端有一只蜜蜂

以每小時(shí)100英里的速度飛向火車3,遇到火車3以后.立即回頭以同樣的速度飛向火車A,遇到火

車A后，又回頭飛向火車3,速度始終保持不變，如此下去，直到兩列火車相遇時(shí)才停止.假設(shè)蜜蜂

回頭轉(zhuǎn)身的時(shí)間忽略不計(jì)，那么，這只蜜蜂一共飛了多少英里的路？

【例5】甲、乙兩地之間有一條公路.李明從甲地出發(fā)步行去乙地，同時(shí)張平從乙地出發(fā)騎摩托車去甲地,

80分鐘后兩人在途中相遇.張平到達(dá)甲地后馬上折回往乙地，在第一次相遇后又經(jīng)過20分鐘在

途中追上李明.張平到達(dá)乙地后又馬上折回往甲地，這樣一直下去.問：當(dāng)李明到達(dá)乙地時(shí)，張

平共追上李明多少次？

【鞏固】一輛汽車和一輛摩托車同時(shí)從甲乙兩地相對開出，摩托車每小時(shí)行54千米.汽車每小時(shí)行48千

米.兩車相遇后又以原來的速度繼續(xù)前進(jìn)，摩托車到乙地立即返回.汽車到甲地立即返回.兩車在距

離中點(diǎn)108千米的地方再次相遇，那么甲乙兩地的路程是多少千米？

二、多人相遇和追及

【例6】甲、乙、丙三人，他們的步行速度分別為每分鐘480、540、720米，甲、乙、丙3人同時(shí)動身，

甲、乙二人從A地出發(fā)，向B地行時(shí)，丙從B地出發(fā)向A地行進(jìn)，丙首先在途中與乙相遇，3

分鐘后又與甲相遇，求甲、乙、丙3人行完全程各用多長時(shí)間？

【鞏固】甲乙丙三人沿環(huán)形林蔭道行走，同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲、乙按順時(shí)針方向行走，丙按逆時(shí)針方

向行走。已知甲每小時(shí)行7千米，乙每小時(shí)行5千米，1小時(shí)后甲、丙二人相遇，又過了10分鐘，丙

與乙相遇，問甲、丙相遇時(shí)丙行了多少千米？

【例7】甲、乙、丙三人，甲每分鐘走40米，丙每分鐘走60米，甲、乙兩人從A、8地同時(shí)出發(fā)相向而

行，他們出發(fā)15分鐘后，丙從B地出發(fā)追趕乙。此后甲、乙在途中相遇，過了7分鐘甲又和丙

相遇，又過了63分鐘丙才追上乙，那么A、B兩地相距多少米？

【鞏固】甲、乙兩人從相距490米的A、3兩地同時(shí)步行出發(fā)，相向而行，丙與甲同時(shí)從A出發(fā)，在甲、

乙二人之間來回跑步（遇到乙立即返回，遇到甲也立即返回）.已知丙每分鐘跑240米，甲每分鐘走40

米，當(dāng)丙第一次折返回來并與甲相遇時(shí)，甲、乙二人相距210米，那么乙每分鐘走米；甲下

一次遇到丙時(shí)，甲、乙相距米.

【例8】張、李、趙3人都從甲地到乙地.上午6時(shí)，張、李兩人一起從甲地出發(fā)，張每小時(shí)走5千米，

李每小時(shí)走4千米.趙上午8時(shí)從甲地出發(fā).傍晚6時(shí)，趙、張同時(shí)達(dá)到乙地.那么趙追上李的

時(shí)間是幾時(shí)？

【鞏固】甲、乙、丙三輛車同時(shí)從A地出發(fā)到B地去，出發(fā)后6分甲車超過了一名長跑運(yùn)動員，2分后乙

車也超過去了，又過了2分丙車也超了過去。已知甲車每分走1000米，乙車每分走800米，丙車每分

鐘走多少米？

【例9】甲、乙、丙三車同時(shí)從A地沿同一公路開往B地，途中有個騎摩托車的人也在同方向行進(jìn)，這三

輛車分別用7分鐘、8分鐘、14分鐘追上騎摩托車人。己知甲車每分鐘行1000米，丙車每分鐘

行800米，求乙速車的速度是多少？

【鞏固】快、中、慢3輛車同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，沿同一公路追趕前面的一個騎車人.這3輛車分別用6

分鐘、10分鐘、12分鐘追上騎車人.現(xiàn)在知道快車每小時(shí)走24千米，中車每小時(shí)走20千米，那么，

慢車每小時(shí)走多少千米？

【例10】快、中、慢三輛車同時(shí)同地出發(fā)，沿同一公路去追趕前面一騎車人，這三輛車分別用6分、9分、

12分追上騎車人。已知快、慢車的速度分別為60千米/時(shí)和40千米/時(shí)，求中速車的速度。

【鞏固】A,B兩地相距105千米，甲、乙兩人分別騎車從A,B兩地同時(shí)相向出發(fā)，甲速度為每小時(shí)40

千米，出發(fā)后1小時(shí)45分鐘相遇，然后甲、乙兩人繼續(xù)沿各自方向往前騎.在他們相遇3分鐘后，甲

與迎面騎車而來的丙相遇，而丙在C地追上乙.若甲以每小時(shí)20千米的速度，乙以每小時(shí)比原速度

快2千米的車速，兩人同時(shí)分別從A,B出發(fā)相向而行，則甲、乙二人在C點(diǎn)相遇，問丙的車速是多

少？

三、多次相遇和追及

【例11】甲、乙兩名同學(xué)在周長為300米圓形跑道上從同一地點(diǎn)同時(shí)背向練習(xí)跑步，甲每秒鐘跑3.5米,

乙每秒鐘跑4米，問：他們第十次相遇時(shí)，甲還需跑多少米才能回到出發(fā)點(diǎn)？

【鞏固】甲、乙兩人從400米的環(huán)形跑道上一點(diǎn)A背向同時(shí)出發(fā)，8分鐘后兩人第五次相遇，已知每秒鐘

甲比乙多走0.1米，那么兩人第五次相遇的地點(diǎn)與點(diǎn)A沿跑道上的最短路程是多少米？

【例12】甲、乙兩車同時(shí)從A地出發(fā)，不停的往返行駛于A,B兩地之間。已知甲車的速度比乙車快,

并且兩車出發(fā)后第一次和第二次相遇都在途中C地。問：甲車的速度是乙車的多少倍？

【鞏固】A、B是圓的直徑的兩端，甲在A點(diǎn)，乙在B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行，兩人在C點(diǎn)第一次相遇，在

D點(diǎn)第二次相遇.已知C離A有75米，D離B有55米，求這個圓的周長是多少米？

【例13】甲、乙兩車分別同時(shí)從A、B兩地相對開出，第一次在離A地95千米處相遇.相遇后繼續(xù)前進(jìn)

到達(dá)目的地后又立刻返回，第二次在離B地25千米處相遇.求A、B兩地間的距離是多少千米？

【鞏固】甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A地4

千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地3千米處第二次相遇，求兩次相

遇地點(diǎn)之間的距離.

【例14】每天中午有一條輪船從哈佛開往紐約，且每天同一時(shí)刻也有一艘輪船從紐約開往哈佛.輪船在途

中均要航行七天七夜.試問：某條從哈佛開出的輪船在到達(dá)紐約前（途中）能遇上幾艘從紐約開

來的輪船？

【鞏固】一條電車線路的起點(diǎn)站和終點(diǎn)站分別是甲站和乙站，每隔5分鐘有一輛電車從甲站發(fā)出開往乙站,

全程要走15分鐘.有一個人從乙站出發(fā)沿電車線路騎車前往甲站.他出發(fā)的時(shí)候，恰好有一輛電車到

達(dá)乙站.在路上他又遇到了10輛迎面開來的電車.到達(dá)甲站時(shí)，恰好又有一輛電車從甲站開出.問他

從乙站到甲站用了多少分鐘？

【例15］如圖，學(xué)校操場的400米跑道中套著300米小跑道，大跑道與小跑道有200米路程相重.甲以每秒

6米的速度沿大跑道逆時(shí)針方向跑，乙以每秒4米的速度沿小跑道順時(shí)針方向跑，兩人同時(shí)從兩跑

道的交點(diǎn)A處出發(fā)，當(dāng)他們第二次在跑道上相遇時(shí)，甲共跑了多少米？

甲―

【鞏固】下圖中有兩個圓只有一個公共點(diǎn)A,大圓直徑48厘米，小圓直徑30厘米。兩只甲蟲同時(shí)從A點(diǎn)

出發(fā)，按箭頭所指的方向以相同速度分別沿兩個圓爬行。問：當(dāng)小圓上甲蟲爬了幾圈時(shí)，兩只甲蟲首

次相距最遠(yuǎn)？

【隨練1】自行車隊(duì)出發(fā)12分鐘后，通信員騎摩托車去追他們，在距出發(fā)點(diǎn)9千米處追上了自行車隊(duì),

然后通信員立即返回出發(fā)點(diǎn)；隨后又返回去追自行車隊(duì)，再追上時(shí)恰好離出發(fā)點(diǎn)18千米，求自

行車隊(duì)和摩托車的速度.

【隨練2】甲、乙二人從相距60千米的兩地同時(shí)相向而行，6時(shí)后相遇。如果二人的速度各增加1千

米/時(shí)，那么相遇地點(diǎn)距前一次相遇地點(diǎn)1千米。問：甲、乙二人的速度各是多少？

【隨練3】甲、乙兩車同時(shí)從A、2兩地相對亦開出，兩車第一次距A地32千米處相遇，相遇后兩車?yán)^

續(xù)行駛，各自達(dá)到B、A兩地后，立即沿原路返回，第二次在距A地64千米處相遇，則A、B

兩地間的距離是千米。

【隨練4】小明和小紅兩人在長100米的直線跑道上來回跑步，做體能訓(xùn)練，小明的速度為6米/秒，小

紅的速度為4米/秒.他們同時(shí)從跑道兩端出發(fā)，連續(xù)跑了12分鐘.在這段時(shí)間內(nèi)，他們迎面相

遇了多少次？

【作業(yè)1】池塘周圍有一條道路.A、B、C三人從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā).A和3往逆時(shí)針方向走，C往

順時(shí)針方向走.A以每分鐘80米、B以每分鐘65米的速度行走.c在出發(fā)后的20分鐘遇到A,

再過2分鐘，遇到B.請問，池塘的周長是幾米？

【作業(yè)2】一條路上有東、西兩鎮(zhèn).一天，甲、乙、丙三人同時(shí)出發(fā)，甲、乙從東鎮(zhèn)向西而行，丙從西

鎮(zhèn)向東而行，當(dāng)甲與丙相遇時(shí)，乙距他們20千米，當(dāng)乙與丙相遇時(shí)，甲距他們30千米.當(dāng)甲到

達(dá)西鎮(zhèn)時(shí)，丙距東鎮(zhèn)還有20千米，那么當(dāng)丙到達(dá)東鎮(zhèn)時(shí)，乙距西鎮(zhèn)千米.

【作業(yè)3】A、8兩地間有條公路，甲從A地出發(fā)，步行到3地，乙騎摩托車從3地出發(fā)，不停地往返

于A、3兩地之間，他們同時(shí)出發(fā)，80分鐘后兩人第一次相遇，100分鐘后乙第一次追上甲，

問：當(dāng)甲到達(dá)3地時(shí)，乙追上甲幾次？

【作業(yè)4】甲、乙兩人分別從A、3兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，乙的速度是甲的士，二人相遇后繼續(xù)行進(jìn),

3

甲到3地、乙到A地后立即返回.已知兩人第二次相遇的地點(diǎn)距第三次相遇的地點(diǎn)是100千米,

那么，A、3兩地相距千米.

【作業(yè)5】小王、小李二人往返于甲、乙兩地，小王從甲地、小李從乙地同時(shí)出發(fā)，相向而行，兩人第

一次在距甲地3千米處相遇，第二次在距甲地6千米處相遇（追上也算作相遇），則甲、乙兩地的

距離為千米.

【作業(yè)6】A,B兩地相距540千米。甲、乙兩車往返行駛于A,