高中數(shù)學(xué)- 橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

《3.1.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》第一課時(shí)

1廂國(guó)雨國(guó)而回而同雨國(guó)雨團(tuán)而團(tuán)3團(tuán)b團(tuán)閨而而

2.甌通過(guò)對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，理解在解析幾何中是怎樣用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題

教學(xué)

目標(biāo)的，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

3初.步利用橢圓的幾何性質(zhì)解決問(wèn)題，提高學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

重難教學(xué)重點(diǎn):橢圓的幾何性質(zhì).通過(guò)幾何性質(zhì)求橢圓方程并畫(huà)圖

點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn):橢圓離心率的概念的理解.

教學(xué)

講授法、探究法

方法

教學(xué)

多媒體教學(xué)

手段

教學(xué)

教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

步驟

一、復(fù)習(xí)回顧

1.橢圓定義：在平面內(nèi)，到兩定點(diǎn)距離之和等于定長(zhǎng)（定長(zhǎng)大于

兩定點(diǎn)間的距離）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡.

（一通過(guò)復(fù)習(xí)，一

2222方面檢驗(yàn)學(xué)

）復(fù)2.標(biāo)準(zhǔn)方程：——+=1,"yd——\（6!>Z>>0）

a2b2a2b2學(xué)生回答生的掌握程

習(xí)導(dǎo)度，另一方面

為學(xué)習(xí)新課

入3.橢圓中a,b,c的大小關(guān)系

做好鋪墊。

二、探究新知

22

(-觀察橢圓^狀，你能從圖形上看出，通過(guò)提出問(wèn)研究橢圓

a"b題、分析問(wèn)在直角坐標(biāo)

)探題、解決問(wèn)系中的范圍，

它的范圍嗎？它具有怎樣的對(duì)稱他U?橢圓一上哪些點(diǎn)比較

究新題激發(fā)學(xué)生就是研究橢

特殊？的學(xué)習(xí)興趣，圓在哪個(gè)區(qū)

知

1.范圍在掌握新知域里，只要討

由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，橢識(shí)的同時(shí)培論方程中x,y

圓上點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)都適合不等式7養(yǎng)能力.的范圍就知

B2

v2道了.

尸。Ai

一JAa

晨X

2

bB1

即X2,2,

y2^b2

所以|x|Wa,|y|Wb復(fù)習(xí)關(guān)于X

即一aWxWa,一bw“Wb軸，y軸，原

這說(shuō)明橢圓位于直線x=±a,y=±b所圍成trJ矩形里。點(diǎn)，對(duì)稱的點(diǎn)歸納提問(wèn)：從

2.對(duì)稱性的坐標(biāo)之間上面三種情

的關(guān)系況看出，橢圓

點(diǎn)(x,y)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為x,-y)；

具有怎樣的

點(diǎn)(x,y)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為-x,M；

點(diǎn)(x,y)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-x,-y)；對(duì)稱性.

(1)在曲線的方程里，如果以一y代、

iXt

方程不變，那么當(dāng)點(diǎn)P(x,y)在曲線

P(x.y

上時(shí)，它關(guān)于X的軸對(duì)稱點(diǎn)P，(x發(fā)現(xiàn)在橢歸納出：從上

圓的標(biāo)準(zhǔn)方面三種情況

-y)也在曲線上，所以曲線關(guān)于，j。一

/X

軸對(duì)稱。程中①以一y看出，橢圓具

P，G,-y)

(2)如果以一X代x方程方程不變，代y②以-x有怎樣的對(duì)

代X③同時(shí)稱性.

那么說(shuō)明曲線的對(duì)稱性怎樣呢？［曲線關(guān)于y軸對(duì)稱,]

(3)如果同時(shí)以一x代X、以一y代y,方程不變，這時(shí)lit1線又以一X代X、

關(guān)于什么對(duì)稱呢？［曲線關(guān)于原4?對(duì)稱。］以一y代y.

橢圓關(guān)于x軸，y軸和原點(diǎn)都是對(duì)不米的。

這時(shí)，橢圓的對(duì)稱軸是什么？［坐標(biāo)軸］求曲線與X

橢圓的對(duì)稱中心是什么？［原點(diǎn)］軸、y軸的交研究曲線的

橢圓的對(duì)稱中心叫做橢圓的中心。點(diǎn).上的某些特

3.頂點(diǎn)殊點(diǎn)的位置，

觀察可以確定曲

在橢圓,的標(biāo)準(zhǔn)方程里，圖形，由橢線的位置。要

令x=0,得y=±b。這說(shuō)明了Bi。-圓的對(duì)稱性確定曲線在

hlFUfTh)呈橢圓±5v珅的兩個(gè)點(diǎn)占.、\加一可知，橢圓坐標(biāo)系中的

*，一,\F,QIF?/［

令y=0,得x=±a?這說(shuō)明了Ai(——,1---，短軸的端點(diǎn)位置，常常需

a,O)A(a,O)是橢圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)。到兩個(gè)焦點(diǎn)要求出曲線

因?yàn)閤軸，y軸是橢圓的對(duì)稱軸，所以橢圓和它的對(duì)稱軸有的距離相與x軸，y軸

四個(gè)交點(diǎn)，這四個(gè)交點(diǎn)叫做橢圓的.頂點(diǎn)。等，且等于的交點(diǎn)坐標(biāo).

線段A1A2,B】B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸。長(zhǎng)半,軸長(zhǎng).

它們的長(zhǎng)|AiA2|=2a,|BiBz|=2b(a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半

軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng))

在R.tZ\OB2F2中，由勾股定理有

222

|OF2|=|B2F2|-|OB2|,即c2=a2-b2

這就是在前面一節(jié)里，我們令a2-c2=b2的幾何意義。

思考2:畫(huà)出橢圓G:差+g=1與橢圓。2：系+￡=1的草

圖

4.離心率

定義：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比e=￡,叫做橢圓的離心率。

a

因?yàn)閍>c>0,所以0<e<l.

調(diào)用幾何畫(huà)

觀察圖形，說(shuō)

板，演示離心

得出結(jié)論：(l)e越接近1時(shí)，則c越接近a,從而b越小，因此橢明當(dāng)離心率

率變化(分越

圓越扁；e變化時(shí)，橢

接近1和越

(2)e越接近0時(shí)，則c越接近0,從而b越接近于a,圓形狀是怎

接近0兩種

這時(shí)橢圓就越接近于圓。樣隨之變化

情況討論)對(duì)

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，c=0,這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合于橢圓的的.

橢圓形狀的

中心，圖形變成圓。

影響］

當(dāng)e=l時(shí)，圖形變成了一條線段。為什么？留

給學(xué)生課后

思考.

三、例題

例1求橢圓16x2+25y2=400的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂

點(diǎn)的坐標(biāo),并用描點(diǎn)法畫(huà)出它的圖形.

［根據(jù)剛剛學(xué)過(guò)的橢圓的幾何性質(zhì)知，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a,短軸長(zhǎng)

2b,該方程中的a=?b=?c-?因?yàn)轭}目給出的橢圓方程不是標(biāo)

準(zhǔn)方程，所以必須先把它轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再討論它的幾何性質(zhì)］

解：把已知方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程0+1=1,這里a=5,b=4,

5242

所以c=j25-16=3

因此，橢圓的長(zhǎng)軸和短軸長(zhǎng)分別是2a=10,2b=8

c3

離心率e=—=—

a5

兩個(gè)焦點(diǎn)分別.是Fi(—3,0)后(3,0),

四個(gè)頂點(diǎn)分別是Ai(-5,0)Ai(5,0)Ai(0,-.4)Fi(0,4).

根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，用下面的方法可以快捷地畫(huà)出反映橢

圓基本形狀和大小的草圖：

(1)以橢圓的長(zhǎng)軸、短軸為鄰邊畫(huà)矩形；

(2)由矩形四邊的中點(diǎn)確定橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)；畫(huà)圖時(shí)

(3)用平滑的曲線將四個(gè)頂點(diǎn)連成一個(gè)橢圓。學(xué)生演板，要注意

例2、求符合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：教師點(diǎn)評(píng).它們的

⑴經(jīng)過(guò)點(diǎn)卜3,0)、(0,-2);對(duì)稱性

⑵長(zhǎng)軸的長(zhǎng)等于離心率等于0.6

20,及頂點(diǎn)

附近的

例3：橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2.0),其長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，求

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.平滑性.

焦點(diǎn)在x軸、y軸上的橢圓的幾何性質(zhì)對(duì)比.

四、小結(jié)

⑴理解橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，給出方程會(huì)求橢圓的焦點(diǎn)、頂

點(diǎn)和離心率；

(2)了解離心率變化對(duì)橢圓形狀的影響；

(3)通過(guò)曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)并畫(huà)圖是解析幾何的

基本方法.

培養(yǎng)學(xué)生思

考問(wèn)題、并能

…-一一2

探究發(fā)現(xiàn)一

困

A1JBZ學(xué)生思考并些問(wèn)題的能

形Rd

尸總結(jié).力，探究解決

問(wèn)題的一般

標(biāo)準(zhǔn)+^2—1力+磊=1(o>〃>0)的思想、方法

方程

和途徑.

焦點(diǎn)(-C,0),(c,0)(0,-C),(0,c)

范圍|xWa,|y|Wb1X1Wb,yWa

對(duì)稱性關(guān)于X軸，y軸，原點(diǎn)對(duì)稱

頂點(diǎn)(土a,0),(0,±b)(0,±a),(±b,0)

離心率e=-^-,0<e<l

五、布置作業(yè)

課本習(xí)題2.1(A)組第4、5題

學(xué)情分析

我所任教的班級(jí)學(xué)生是高二純文的一些學(xué)生，他們經(jīng)過(guò)一年多的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，已經(jīng)有

一定的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。但是作為純文的學(xué)生，大部分學(xué)生的數(shù)學(xué)基

礎(chǔ)較為薄弱,獨(dú)立分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力不是很強(qiáng)。但是他們能意識(shí)到自己學(xué)習(xí)的不足，

對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣高。因此依據(jù)以上特點(diǎn)，在教學(xué)設(shè)計(jì)方面，我借助多媒體手段，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題

情境，結(jié)合圖形啟發(fā)引導(dǎo)，通過(guò)提問(wèn)、小組合作、學(xué)生板書(shū)等形式，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一節(jié)生動(dòng)的

數(shù)學(xué)課。

效果分析

本節(jié)課是《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)》第三章第一節(jié)2課時(shí)的內(nèi)容，

它是在學(xué)完橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上,通過(guò)研究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來(lái)探究橢圓的簡(jiǎn)單兒何性質(zhì)。

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，既讓學(xué)生了解了橢圓的幾何性質(zhì)，又讓學(xué)生初步體會(huì)了利用曲線方程來(lái)

研究其性質(zhì)的過(guò)程，同時(shí)也為下一步學(xué)習(xí)雙曲線和拋物線的性質(zhì)做了鋪墊。

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，絕大多數(shù)的同學(xué)都能掌握橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)：范圍、對(duì)稱性、頂

點(diǎn)、離心率，特別是對(duì)于本節(jié)的重難點(diǎn)離心率的講解，我在設(shè)計(jì)時(shí)先通過(guò)直觀的兒何畫(huà)板制

作出橢圓的扁平程度和離心率的大小關(guān)系，然后又定量分析了這一結(jié)論，加深了學(xué)生對(duì)橢圓

離心率的理解。另外，通過(guò)提問(wèn)、小組合作、學(xué)生板書(shū)等形式，讓學(xué)生參與課堂，提高了學(xué)

生的學(xué)習(xí)積極性，收到了不錯(cuò)的效果。

教材分析

1.教材的地位和作用

本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)》第三章第一節(jié)2課時(shí)：橢圓

的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)。學(xué)生在初中曾學(xué)習(xí)過(guò)圓，也用代數(shù)方法研究過(guò)圓的一些性質(zhì)，但真正系統(tǒng)

地用代數(shù)方法研究曲線性質(zhì)這還是第一次。本節(jié)課先用幾何眼光觀察圖形，再利用橢圓的方

程探討幾何性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的完美結(jié)合。

根據(jù)曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫(huà)出它的圖形，是解析幾何的基本問(wèn)題

之一。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，一方面要讓學(xué)生掌握橢圓的幾個(gè)幾何性質(zhì)，另一方面要通過(guò)對(duì)橢

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的討論來(lái)研究它的幾何性質(zhì)是，體會(huì)用坐標(biāo)法研究曲線幾何性質(zhì)的基本思路和

方法，感受通過(guò)代數(shù)運(yùn)算研究曲線性質(zhì)所具有的程序化、普適性特點(diǎn)，為后面學(xué)習(xí)雙曲線、

拋物線奠定了基礎(chǔ)。

2.重難點(diǎn)

重點(diǎn)：掌握橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的作用。

難點(diǎn)：根據(jù)方程研究橢圓形性質(zhì)，離心率對(duì)橢圓形狀的影響。

3.教材的處理安排

本課為"橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)"這部分內(nèi)容的第一課時(shí)，主要介紹橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)及

其初步運(yùn)用，在解析幾何中，利用曲線的方程討論曲線的幾何性質(zhì)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是第一次，因

此可根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況及認(rèn)知特點(diǎn)，改變了教材中原有研究順序，引導(dǎo)學(xué)生先從觀察課前預(yù)

習(xí)所作的具體圖形入手，按照通過(guò)圖形先發(fā)現(xiàn)性質(zhì)，在利用方程去說(shuō)明性質(zhì)的研究思路，循

序漸近進(jìn)行探究。在教學(xué)中不僅要注重對(duì)橢圓幾何性質(zhì)的理解和運(yùn)用，而且更應(yīng)重視對(duì)學(xué)生

進(jìn)行這種研究方法的思想滲透，通過(guò)教師合理的情境創(chuàng)設(shè)，師生的共同討論研究，學(xué)生的親

身實(shí)踐體驗(yàn)，使學(xué)生真正意義上理解在解析幾何中，怎樣用代數(shù)方法研究曲線的性質(zhì)，鞏固

數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，達(dá)到切實(shí)地用數(shù)學(xué)分析解決問(wèn)題的能力。

《3.1.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、掌握橢圓的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、理解a,b,c,e的幾何意義

2、通過(guò)對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，理解在解析幾何中是怎樣用代數(shù)方法研究幾何

問(wèn)題的。

3、初步利用橢圓的幾何性質(zhì)解決問(wèn)題。

學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn)

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)的探討以及a,b,c,e的關(guān)系

復(fù)習(xí)舊知

（1）橢圓的定義J.

（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

焦點(diǎn)在x軸上時(shí)：焦點(diǎn)在y軸上時(shí)：.

（3）橢圓中a,b,c的關(guān)系是:.

學(xué)習(xí)過(guò)程

一、課內(nèi)探究

2j2

探究一：觀察橢圓A+=1（。>〃>0）的形狀，你能從圖形上看出它的范圍嗎？

a

它具有怎樣的對(duì)稱性？橢圓上哪些點(diǎn)比較特殊?

1、范圍：

由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程=l(a>b>0)知:

V2

①I1,即<%<1,即<y<

a

22

因此j3=1（">"0）位于直線_________和__________圍成的矩形里。

ab~

2、對(duì)稱性：

（1）從圖形上看，橢圓關(guān)于,,對(duì)稱

（2）從方程上看，在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程］+工=1（。>6>0）中

ab

①把X換成-X方程不變，說(shuō)明圖像關(guān)于軸對(duì)稱。

②把y換成-y方程不變，說(shuō)明圖像關(guān)于軸對(duì)稱。

③把x換成-x,同時(shí)把y換成-y方程不變，說(shuō)明圖形關(guān)于對(duì)稱，

因此是橢圓的對(duì)稱軸，是橢圓的對(duì)稱中心，

橢圓的對(duì)稱中心叫做

O

3、頂點(diǎn)：

（1）橢圓的頂點(diǎn)：橢圓與對(duì)稱軸有個(gè)交點(diǎn)，

分別為：4（)M）與（）當(dāng)（)

(2)線段A叫做橢圓的，其長(zhǎng)度為

線段B|B2叫做橢圓的,其長(zhǎng)度為

。和人分別叫做橢圓的和

探究二：同為橢圓為什么有些橢圓“圓”些，有些橢圓“扁”些？是什么因素影響

了橢圓的扁平程度？

4、橢圓的離心率：

(1)定義:叫做橢圓的離心率，

用表示，即=

(2)由于a>c>0,所以離心率e的取值范圍是

(3)若e越接近1,則c越接近a,從而人=后=7越____，因而橢圓越_________;

若e越接近0,則c越接近0,從而力=八2一。2越____,因而橢圓越接近于_

練習(xí)：比較下列每組橢圓的形狀，哪一個(gè)更圓，哪一個(gè)更扁？為什么？

22

(l)9x2+/=36-^—+—=1；

1612

22

(2)x2+9y2=36與二+乙=1。

610

要點(diǎn)總結(jié):

標(biāo)準(zhǔn)方程2222

—+3=1(H>8>0)二+J=l(a>b>0)

ab

圖形

范圍

對(duì)稱性

頂點(diǎn)坐標(biāo)

焦點(diǎn)坐標(biāo)

軸長(zhǎng)短軸長(zhǎng)_________________，長(zhǎng)軸長(zhǎng)___________________.

焦距

a,b,c關(guān)系

離心率

二、典例剖析

例1：求橢圓16—+25^=40°的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的

坐標(biāo)。

跟蹤訓(xùn)練1：已知橢圓方程為6/+；/=6,

它的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是：o短軸長(zhǎng)是：o焦距是：—.離心率是:

焦點(diǎn)坐標(biāo)是：o

頂點(diǎn)坐標(biāo)是：o

例2：求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

3

(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)產(chǎn)(一3，0),；(2)長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于20,離心率等于二

跟蹤訓(xùn)練2橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)是(0,2),離心率'求橢

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

三、當(dāng)堂檢測(cè):

1、對(duì)于橢圓9一+25/=225,下列說(shuō)法正確的是（）.

4

A.焦點(diǎn)坐標(biāo)是（°，±4）B.長(zhǎng)軸長(zhǎng)是5C.焦距是4D.離心率是5

皂

2、離心率為-T、且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,0）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）.

x,

—+v2=1

A.4

C.x2+41/=l口./+4J=4或4,+/=16

x22J

3、若焦點(diǎn)在x軸上的橢圓一+v二=1的離心率為士，則m=()

2m2

A.V3B.-C.-