2024年吉林省長(zhǎng)春市南關(guān)區(qū)多校聯(lián)考中考數(shù)學(xué)三模試卷

2024年吉林省長(zhǎng)春市南關(guān)區(qū)多校聯(lián)考中考數(shù)學(xué)三模試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）1．（3分）﹣5的絕對(duì)值是（）A． B．5 C．﹣5 D．﹣2．（3分）華為麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工藝制程，數(shù)0.000000007用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．7×10﹣9 B．7×10﹣8 C．0.7×10﹣9 D．0.7×10﹣83．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．5+＝5 B．（x2）3＝x5 C．＝﹣3 D．4x2?x＝4x34．（3分）如圖，直角三角板的直角頂點(diǎn)落在矩形紙片的一邊上．若∠1＝68°，則∠2的度數(shù)是（）A．30° B．32° C．22° D．68°5．（3分）我國(guó)楊秉烈先生在上世紀(jì)八十年代發(fā)明了繁花曲線規(guī)畫圖工具，利用該工具可以畫出許多漂亮的繁花曲線，繁花曲線的圖案在服裝、餐具等領(lǐng)域都有廣泛運(yùn)用．下面四種繁花曲線中，是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．6．（3分）學(xué)校開放日即將來臨，負(fù)責(zé)布置的林老師打算從學(xué)校圖書館的頂樓拉出一條彩旗繩AB到地面，如圖所示．已知彩旗繩與地面形成25°角（即∠BAC＝25°），彩旗繩固定在地面的位置與圖書館相距32米（即AC＝32米），則彩旗繩AB的長(zhǎng)度為（）A．32sin25°米 B．32cos25°米 C．米 D．米7．（3分）“烏鴉喝水”的故事耳熟能詳．如圖，烏鴉看到一個(gè)水位比較低的瓶子，此時(shí)水位高度為a，喝不著水，沉思了一會(huì)后聰明的烏鴉銜來一個(gè)個(gè)小石子放入瓶中，水位上升至瓶口b處，烏鴉喝到了水．設(shè)烏鴉銜來的石子個(gè)數(shù)為x，水位高度為y，假設(shè)石子的體積一樣，下列圖象中最符合故事情境的大致圖象是（）A． B． C． D．8．（3分）如圖是甲、乙兩名同學(xué)的作業(yè)（題中△ABC為等腰三角形，AB＝AC）；甲：1．過點(diǎn)A作AD⊥BC．垂足為D；2．延長(zhǎng)BA到N，作∠CAN的角平分線AE；3．過點(diǎn)C作CE⊥AE，垂足為E．四邊形ADCE為矩形．乙：1．過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D；2．以A為圓心，BD長(zhǎng)為半徑畫??；以B為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫??；3．兩弧交于AD上方一點(diǎn)E，連接BE，AE；四邊形ADBE為矩形．對(duì)于兩人的作業(yè)，下列說法正確的是（）A．兩人都對(duì) B．兩人都不對(duì) C．甲對(duì)，乙不對(duì) D．甲不對(duì)，乙對(duì)二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）9．（3分）因式分解：x3﹣x＝．10．（3分）光明中學(xué)初三（6）班十幾名同學(xué)畢業(yè)前和數(shù)學(xué)老師合影留念，一張彩色底片要0.6元，擴(kuò)印一張相片0.5元，每人分一張，免費(fèi)贈(zèng)送老師一張（由學(xué)生出錢），每個(gè)學(xué)生交0.6元?jiǎng)偤?，則相片上共有人．11．（3分）如圖是一個(gè)隧道的橫截圖，它的形狀是以點(diǎn)O為圓心的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中點(diǎn)，EM經(jīng)過圓心O交⊙O于點(diǎn)E，若CD＝4m，EM＝6m，則⊙O的半徑為m．12．（3分）下列4個(gè)函數(shù)，①y＝3x﹣1；②；③y＝2x2；④y＝2x（﹣1≤x＜1），其中圖象是中心對(duì)稱圖形，且對(duì)稱中心在原點(diǎn)的共有個(gè)．13．（3分）某校舉行春季運(yùn)動(dòng)會(huì)時(shí)，由若干名同學(xué)組成一個(gè)25列的長(zhǎng)方形隊(duì)陣．如果原隊(duì)陣中增加64人，就能組成一個(gè)正方形隊(duì)陣；如果原隊(duì)陣中減少64人，也能組成一個(gè)正方形隊(duì)陣．則原長(zhǎng)方形隊(duì)陣中有同學(xué)人．14．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分別以△ABC的三邊為邊向外作三個(gè)正方形ABHL，ACDE，BCFG，連接DF．過點(diǎn)C作AB的垂線CJ，垂足為J，分別交DF，LH于點(diǎn)I，K．若CI＝5，CJ＝4，則四邊形AJKL的面積是．三、解答題（本大題共10小題，共78分）15．（6分）計(jì)算：．16．（6分）小紅的爸爸一共買了四杯茶，其中一杯是綠茶，其余三杯是紅茶，這四杯茶的外觀完全一樣，爸爸在拿回家的過程中弄混了，不知道哪一杯是綠茶，在不打開蓋子的情況下，小紅先從四杯茶中隨機(jī)拿走一杯，然后小紅的哥哥再?gòu)氖Ｏ碌娜须S機(jī)拿走一杯．請(qǐng)用樹狀圖或列表法求小紅和哥哥中有一人拿走綠茶的概率．17．（6分）清明假期，泰山受到廣大市民和全國(guó)游客的熱烈歡迎．據(jù)統(tǒng)計(jì)，假期第一天A入口比B入口登山游客多1.2萬人，第二天A入口登山游客增加了10%，B入口登山游客減少了10%，當(dāng)天A，B入口登山游客總?cè)藬?shù)比第一天增加了3%，試求第二天A，B入口登山游客的人數(shù)各是多少萬人？18．（7分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AE過BC中點(diǎn)O且交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：△AOB≌△EOC；（2）連接AC，BE，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使四邊形ABEC為矩形．（不需要說明理由）19．（7分）某校為落實(shí)“雙減”政策，增強(qiáng)課后服務(wù)的豐富性，充分用好課后服務(wù)時(shí)間，3月份學(xué)校開展數(shù)學(xué)學(xué)科活動(dòng)，其中七年級(jí)開展了五個(gè)項(xiàng)目（每位學(xué)生只能參加一個(gè)項(xiàng)目）：A．閱讀數(shù)學(xué)名著；B．講述數(shù)學(xué)故事；C．制作數(shù)學(xué)模型；D．參與數(shù)學(xué)游戲；E．挑戰(zhàn)數(shù)學(xué)競(jìng)賽．為了解學(xué)生對(duì)以上活動(dòng)的參與情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)圖中信息，解答下列問題：（1）①此次調(diào)查一共隨機(jī)抽取了名學(xué)生；②補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖（要求在條形圖上方注明名數(shù)）；③扇形統(tǒng)計(jì)圖中圓心角α＝度；（2）若該年級(jí)有1100名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)該年級(jí)參加D項(xiàng)目的學(xué)生大約有多少名；（3）在C項(xiàng)目展示活動(dòng)中，某班獲得一等獎(jiǎng)的學(xué)生有3名男生，2名女生，則從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生代表本班參加學(xué)校制作數(shù)學(xué)模型活動(dòng)，請(qǐng)直接寫出恰好抽到2名男生的概率．20．（7分）方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，D和點(diǎn)E，F(xiàn)，H均在小正方形的頂點(diǎn)上．（1）在圖1中畫出四邊形ABCD，使得四邊形ABCD既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，且點(diǎn)C在小正方形的頂點(diǎn)上；（2）在圖2中畫出四邊形EFGH，使得四邊形EFGH是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，且點(diǎn)G在小正方形的頂點(diǎn)上．在線段HG所經(jīng)過的小正方形頂點(diǎn)中，找一點(diǎn)K，滿足GF＝GK，連接FK，并直接寫出tan∠GFK的值．21．（8分）心理學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，在一節(jié)40分鐘的數(shù)學(xué)課中，學(xué)生的注意力隨上課時(shí)間的變化而變化．開始上課時(shí)，學(xué)生的注意力逐步增強(qiáng)，10分鐘后保持平穩(wěn)一段時(shí)間，平穩(wěn)時(shí)間持續(xù)14分鐘，隨后學(xué)生的注意力開始分散．通過實(shí)驗(yàn)分析可知，學(xué)生的注意力指標(biāo)數(shù)y隨時(shí)間x（分鐘）的變化規(guī)律如圖所示，CD為反比例函數(shù)圖象的一部分．（1）當(dāng)0≤x≤10時(shí)，請(qǐng)求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）數(shù)學(xué)老師計(jì)劃在課堂上講解一道23分鐘的推理題，請(qǐng)問他能否經(jīng)過適當(dāng)?shù)陌才牛箤W(xué)生在聽這道題目的講解時(shí)注意力指標(biāo)數(shù)不低于32？并說明理由．22．（7分）（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝2∠B＝90°，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，沿AD折疊△ADC，使得點(diǎn)C恰好落在AB上的點(diǎn)E處．請(qǐng)寫出AB、AC、CD之間的關(guān)系；（2）問題解決：如圖②，若（1）中∠C≠90°，其他條件不變，請(qǐng)猜想AB、AC、CD之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）類比探究：如圖③，在四邊形ABCD中，∠B＝120°，∠D＝90°，AB＝BC，AD＝DC，連接AC，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)，沿AE折疊，使得點(diǎn)D正好落在AC上的F處，若BC＝，直接寫出DE的長(zhǎng)．23．（12分）如圖，Rt△ABC，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2．P，Q兩點(diǎn)分別從A，C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿折線A→B→C向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，在AB上的速度為每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度，在BC上的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度；點(diǎn)Q以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段CA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)P作PD⊥AC于點(diǎn)D，以PD，DQ為鄰邊作矩形PDQE．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，矩形PDQE和△ABC重疊部分的圖形面積為y．（1）當(dāng)點(diǎn)Q和點(diǎn)D重合時(shí)，x＝；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；（3）在運(yùn)動(dòng)過程中，連接PQ，取PQ中點(diǎn)O，連接OC，直接寫出OC的最小值．24．（12分）已知，在以點(diǎn)O為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的原點(diǎn)的頂點(diǎn)為A（﹣1，﹣4），且經(jīng)過點(diǎn)B（﹣2，﹣3）與x軸分別交于C、D兩點(diǎn)．（1）求直線OB及拋物線的解析式；（2）如圖1點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線OB的下方，過點(diǎn)M作x軸的平行線與直線OB交于點(diǎn)N，求MN的最大值；（3）如圖2，過點(diǎn)A的直線交x軸于點(diǎn)E，且AE∥y軸．點(diǎn)P是拋物線上A、D之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線PC、PD分別與AE交于F、G兩點(diǎn)．當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，EF+EG是否為定值？若是，試求出該定值．若不是．請(qǐng)說明理由．參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）1．（3分）﹣5的絕對(duì)值是（）A． B．5 C．﹣5 D．﹣【解答】解：﹣5的絕對(duì)值是5，故選：B．2．（3分）華為麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工藝制程，數(shù)0.000000007用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．7×10﹣9 B．7×10﹣8 C．0.7×10﹣9 D．0.7×10﹣8【解答】解：數(shù)0.000000007用科學(xué)記數(shù)法表示為7×10﹣9．故選：A．3．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．5+＝5 B．（x2）3＝x5 C．＝﹣3 D．4x2?x＝4x3【解答】解：A、5，故選項(xiàng)A不符合題意；B、（x2）3＝x6，故選項(xiàng)B不符合題意；C、＝3，故選項(xiàng)C不符合題意；D、4x2?x＝4x3，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．4．（3分）如圖，直角三角板的直角頂點(diǎn)落在矩形紙片的一邊上．若∠1＝68°，則∠2的度數(shù)是（）A．30° B．32° C．22° D．68°【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠3＝∠1＝68°，∵∠2+∠4+3＝180°，∠4＝90°，∴∠2＝180°﹣90°﹣68°＝22°．故選：C．5．（3分）我國(guó)楊秉烈先生在上世紀(jì)八十年代發(fā)明了繁花曲線規(guī)畫圖工具，利用該工具可以畫出許多漂亮的繁花曲線，繁花曲線的圖案在服裝、餐具等領(lǐng)域都有廣泛運(yùn)用．下面四種繁花曲線中，是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；D、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．6．（3分）學(xué)校開放日即將來臨，負(fù)責(zé)布置的林老師打算從學(xué)校圖書館的頂樓拉出一條彩旗繩AB到地面，如圖所示．已知彩旗繩與地面形成25°角（即∠BAC＝25°），彩旗繩固定在地面的位置與圖書館相距32米（即AC＝32米），則彩旗繩AB的長(zhǎng)度為（）A．32sin25°米 B．32cos25°米 C．米 D．米【解答】解：如圖，由題意得，AC＝32m，∠A＝25°，在Rt△ABC中，∵cosA＝，∴AB＝＝（m），故選：D．7．（3分）“烏鴉喝水”的故事耳熟能詳．如圖，烏鴉看到一個(gè)水位比較低的瓶子，此時(shí)水位高度為a，喝不著水，沉思了一會(huì)后聰明的烏鴉銜來一個(gè)個(gè)小石子放入瓶中，水位上升至瓶口b處，烏鴉喝到了水．設(shè)烏鴉銜來的石子個(gè)數(shù)為x，水位高度為y，假設(shè)石子的體積一樣，下列圖象中最符合故事情境的大致圖象是（）A． B． C． D．【解答】解：∵烏鴉銜來一個(gè)個(gè)小石子放入瓶中，水位將會(huì)上升，但是下面容器截面面積大于上面，∴水位上升的幅度較慢，后面水位上升的較快，∴A符合題意，B，C，D不符合題意．故選：A．8．（3分）如圖是甲、乙兩名同學(xué)的作業(yè)（題中△ABC為等腰三角形，AB＝AC）；甲：1．過點(diǎn)A作AD⊥BC．垂足為D；2．延長(zhǎng)BA到N，作∠CAN的角平分線AE；3．過點(diǎn)C作CE⊥AE，垂足為E．四邊形ADCE為矩形．乙：1．過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D；2．以A為圓心，BD長(zhǎng)為半徑畫弧；以B為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧；3．兩弧交于AD上方一點(diǎn)E，連接BE，AE；四邊形ADBE為矩形．對(duì)于兩人的作業(yè)，下列說法正確的是（）A．兩人都對(duì) B．兩人都不對(duì) C．甲對(duì)，乙不對(duì) D．甲不對(duì)，乙對(duì)【解答】解：甲的作業(yè)，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAC，∠ADC＝90°，∵AE平分∠CAN，∴∠CAE＝∠CAN，∴∠CAD+∠CAE＝（∠BAC+∠CAN），∴∠DAE＝∠BAN＝×180°＝90°，∵CE⊥AE，∴∠E＝90°，∴四邊形ADCE是矩形，∴甲的作業(yè)正確；乙的作業(yè)，由題意知AD＝BE，AE＝BD，∴四邊形ADBE是平行四邊形，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四邊形ADBE是矩形，∴乙的作業(yè)正確，故選：A．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）9．（3分）因式分解：x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）．【解答】解：原式＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1），故答案為：x（x+1）（x﹣1）10．（3分）光明中學(xué)初三（6）班十幾名同學(xué)畢業(yè)前和數(shù)學(xué)老師合影留念，一張彩色底片要0.6元，擴(kuò)印一張相片0.5元，每人分一張，免費(fèi)贈(zèng)送老師一張（由學(xué)生出錢），每個(gè)學(xué)生交0.6元?jiǎng)偤?，則相片上共有12人．【解答】解：設(shè)相片上共有x人．0.6+0.5x＝0.6×（x﹣1），解得x＝12，故答案為12．11．（3分）如圖是一個(gè)隧道的橫截圖，它的形狀是以點(diǎn)O為圓心的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中點(diǎn)，EM經(jīng)過圓心O交⊙O于點(diǎn)E，若CD＝4m，EM＝6m，則⊙O的半徑為m．【解答】解：∵M(jìn)是⊙O弦CD的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理：EM⊥CD，又CD＝4則有：CM＝CD＝2m，設(shè)圓的半徑是x米，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，即：x2＝22+（6﹣x）2，解得：x＝，所以圓的半徑長(zhǎng)是m．故答案為：．12．（3分）下列4個(gè)函數(shù)，①y＝3x﹣1；②；③y＝2x2；④y＝2x（﹣1≤x＜1），其中圖象是中心對(duì)稱圖形，且對(duì)稱中心在原點(diǎn)的共有1個(gè)．【解答】解：①y＝3x﹣1的圖象是中心對(duì)稱圖形，但對(duì)稱中心不是原點(diǎn)，故①不符合題意；②的圖象是中心對(duì)稱圖形，且對(duì)稱中心在原點(diǎn)，故②符合題意；③y＝2x2的圖象不是中心對(duì)稱圖形，故③不符合題意；④y＝2x（﹣1≤x＜1）的圖象不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的中心對(duì)稱圖形，故④不符合題意．其中圖象是中心對(duì)稱圖形，且對(duì)稱中心在原點(diǎn)的共有1個(gè)．故答案為：1．13．（3分）某校舉行春季運(yùn)動(dòng)會(huì)時(shí)，由若干名同學(xué)組成一個(gè)25列的長(zhǎng)方形隊(duì)陣．如果原隊(duì)陣中增加64人，就能組成一個(gè)正方形隊(duì)陣；如果原隊(duì)陣中減少64人，也能組成一個(gè)正方形隊(duì)陣．則原長(zhǎng)方形隊(duì)陣中有同學(xué)1025人．【解答】解：設(shè)原長(zhǎng)方形隊(duì)陣中有同學(xué)25x（x為正整數(shù)）人，則由已知25x+64與25x﹣64均為完全平方數(shù)，設(shè)正方形方陣的邊長(zhǎng)分別為m，n，可得，其中m，n為正整數(shù)．兩式相減，得m2﹣n2＝128，即（m+n）（m﹣n）＝128．∵128＝1×128＝2×64＝4×32＝8×16，m+n和m﹣n同奇或同偶，所以或或，解得或或，當(dāng)m＝33時(shí)，25x＝332﹣64＝1025，x＝41，當(dāng)m＝18時(shí)，25x＝182﹣64＝260，x＝10.4，不合題意，舍去；當(dāng)m＝12時(shí)，25x＝122﹣64＝80，x＝3.2，不合題意，舍去；故原長(zhǎng)方形隊(duì)陣中有同學(xué)1025人．故答案為：1025．14．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分別以△ABC的三邊為邊向外作三個(gè)正方形ABHL，ACDE，BCFG，連接DF．過點(diǎn)C作AB的垂線CJ，垂足為J，分別交DF，LH于點(diǎn)I，K．若CI＝5，CJ＝4，則四邊形AJKL的面積是80．【解答】解：過點(diǎn)D作DM⊥CI，交CI的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作FN⊥CI于點(diǎn)N，∵△ABC為直角三角形，四邊形ACDE，BCFG為正方形，過點(diǎn)C作AB的垂線CJ，CJ＝4，∴AC＝CD，∠ACD＝90°，∠AJC＝∠CMD＝90°，∠CAJ+∠ACJ＝90°，BC＝CF，∠BCF＝90°，∠CNF＝∠BJC＝90°，∠FCN+∠CFN＝90°，∴∠ACJ+∠DCM＝90°，∠FCN+∠BCJ＝90°，∴∠CAJ＝∠DCM，∠BCJ＝∠CFN，∴△ACJ≌△CDM（AAS），△BCJ≌△CFN（AAS），∴AJ＝CM，DM＝CJ＝4，BJ＝CN，NF＝CJ＝4，∴DM＝NF，∴△DMI≌△FNI（AAS），∴DI＝FI，MI＝NI，∵∠DCF＝90°，∴DI＝FI＝CI＝5，在Rt△DMI中，由勾股定理可得：MI＝＝＝3，∴NI＝MI＝3，∴AJ＝CM＝CI+MI＝5+3＝8，BJ＝CN＝CI﹣NI＝5﹣3＝2，∴AB＝AJ+BJ＝8+2＝10，∵四邊形ABHL為正方形，∴AL＝AB＝10，∵四邊形AJKL為矩形，∴四邊形AJKL的面積為：AL?AJ＝10×8＝80，故答案為：80．三、解答題（本大題共10小題，共78分）15．（6分）計(jì)算：．【解答】解：＝＝＝．16．（6分）小紅的爸爸一共買了四杯茶，其中一杯是綠茶，其余三杯是紅茶，這四杯茶的外觀完全一樣，爸爸在拿回家的過程中弄混了，不知道哪一杯是綠茶，在不打開蓋子的情況下，小紅先從四杯茶中隨機(jī)拿走一杯，然后小紅的哥哥再?gòu)氖Ｏ碌娜须S機(jī)拿走一杯．請(qǐng)用樹狀圖或列表法求小紅和哥哥中有一人拿走綠茶的概率．【解答】解：列表如下：綠茶紅茶紅茶紅茶綠茶（綠茶，紅茶）（綠茶，紅茶）（綠茶，紅茶）紅茶（紅茶，綠茶）（紅茶，紅茶）（紅茶，紅茶）紅茶（紅茶，綠茶）（紅茶，紅茶）（紅茶，紅茶）紅茶（紅茶，綠茶）（紅茶，紅茶）（紅茶，紅茶）共有12種等可能的結(jié)果，其中小紅和哥哥中有一人拿走綠茶的結(jié)果有：（綠茶，紅茶），（綠茶，紅茶），（綠茶，紅茶），（紅茶，綠茶），（紅茶，綠茶），（紅茶，綠茶），共6種，∴小紅和哥哥中有一人拿走綠茶的概率為．17．（6分）清明假期，泰山受到廣大市民和全國(guó)游客的熱烈歡迎．據(jù)統(tǒng)計(jì)，假期第一天A入口比B入口登山游客多1.2萬人，第二天A入口登山游客增加了10%，B入口登山游客減少了10%，當(dāng)天A，B入口登山游客總?cè)藬?shù)比第一天增加了3%，試求第二天A，B入口登山游客的人數(shù)各是多少萬人？【解答】解：設(shè)假期第一天A入口登山游客的人數(shù)是x萬人，B入口登山游客的人數(shù)是y萬人，根據(jù)題意得：，解得：，∴（1+10%）x＝（1+10%）×2.6＝2.86（萬人），（1﹣10%）y＝（1﹣10%）×1.4＝1.26（萬人）．答：假期第二天A入口登山游客的人數(shù)是2.86萬人，B入口登山游客的人數(shù)是1.26萬人．18．（7分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AE過BC中點(diǎn)O且交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：△AOB≌△EOC；（2）連接AC，BE，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使四邊形ABEC為矩形．（不需要說明理由）【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∠B＝∠D，∴∠B＝∠BCE，∵O是BC中點(diǎn)，∴BO＝CO，∵BO＝CO，∠B＝∠BCE，∠AOB＝∠COE，∴△AOB≌△EOC；（2）解：添加條件是OA＝OB，四邊形ABEC是矩形．理由如下：∵△AOB≌△EOC，∴BO＝CO，AO＝EO，∴四邊形ABEC是平行四邊形，∵OA＝OB，∴BC＝AE，且四邊形ABEC是平行四邊形，∴四邊形ABEC是矩形．19．（7分）某校為落實(shí)“雙減”政策，增強(qiáng)課后服務(wù)的豐富性，充分用好課后服務(wù)時(shí)間，3月份學(xué)校開展數(shù)學(xué)學(xué)科活動(dòng)，其中七年級(jí)開展了五個(gè)項(xiàng)目（每位學(xué)生只能參加一個(gè)項(xiàng)目）：A．閱讀數(shù)學(xué)名著；B．講述數(shù)學(xué)故事；C．制作數(shù)學(xué)模型；D．參與數(shù)學(xué)游戲；E．挑戰(zhàn)數(shù)學(xué)競(jìng)賽．為了解學(xué)生對(duì)以上活動(dòng)的參與情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)圖中信息，解答下列問題：（1）①此次調(diào)查一共隨機(jī)抽取了400名學(xué)生；②補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖（要求在條形圖上方注明名數(shù)）；③扇形統(tǒng)計(jì)圖中圓心角α＝54度；（2）若該年級(jí)有1100名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)該年級(jí)參加D項(xiàng)目的學(xué)生大約有多少名；（3）在C項(xiàng)目展示活動(dòng)中，某班獲得一等獎(jiǎng)的學(xué)生有3名男生，2名女生，則從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生代表本班參加學(xué)校制作數(shù)學(xué)模型活動(dòng)，請(qǐng)直接寫出恰好抽到2名男生的概率．【解答】解：（1）①100÷25%＝400（名），故答案為400；②A閱讀數(shù)學(xué)名著400×15%＝60（名），∴C制作數(shù)學(xué)模型400﹣60﹣100﹣140﹣40＝60（名），補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如下：③，故答案為：54；（2）D項(xiàng)目的學(xué)生：（名）；（3）男1男2男3女1女2男1（男1，男2）（男1，男3）（男1，女1）（男1，女2）男2（男2，男1）（男2，男3）（男2，女1）（男2，女2）男3（男3，男1）（男3，男2）（男3，女1）（男3，女2）女1（女1，男1）（女1，男2）（女1，男3）（女1，女2）女2（女2，男1）（女2，男2）（女2，男3）（女2，女1）共有20種等可能的情況，其中抽到2名男生的情況數(shù)為6種，∴．20．（7分）方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，D和點(diǎn)E，F(xiàn)，H均在小正方形的頂點(diǎn)上．（1）在圖1中畫出四邊形ABCD，使得四邊形ABCD既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，且點(diǎn)C在小正方形的頂點(diǎn)上；（2）在圖2中畫出四邊形EFGH，使得四邊形EFGH是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，且點(diǎn)G在小正方形的頂點(diǎn)上．在線段HG所經(jīng)過的小正方形頂點(diǎn)中，找一點(diǎn)K，滿足GF＝GK，連接FK，并直接寫出tan∠GFK的值．【解答】解：（1）如圖，四邊形ABCD即為所求；（2）如圖，四邊形EFGH即為所求；根據(jù)網(wǎng)格可知：tan∠GFK＝＝2．21．（8分）心理學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，在一節(jié)40分鐘的數(shù)學(xué)課中，學(xué)生的注意力隨上課時(shí)間的變化而變化．開始上課時(shí)，學(xué)生的注意力逐步增強(qiáng)，10分鐘后保持平穩(wěn)一段時(shí)間，平穩(wěn)時(shí)間持續(xù)14分鐘，隨后學(xué)生的注意力開始分散．通過實(shí)驗(yàn)分析可知，學(xué)生的注意力指標(biāo)數(shù)y隨時(shí)間x（分鐘）的變化規(guī)律如圖所示，CD為反比例函數(shù)圖象的一部分．（1）當(dāng)0≤x≤10時(shí)，請(qǐng)求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）數(shù)學(xué)老師計(jì)劃在課堂上講解一道23分鐘的推理題，請(qǐng)問他能否經(jīng)過適當(dāng)?shù)陌才牛箤W(xué)生在聽這道題目的講解時(shí)注意力指標(biāo)數(shù)不低于32？并說明理由．【解答】解：（1）設(shè)反比例函數(shù)解析式為y＝，由題意可得：C（24，40），則a＝24×40＝960，故y＝，則x＝40時(shí)，y＝＝24，則D（40，24），故A（0，24）；設(shè)線段AB所在的直線的解析式為y＝kx+b，把B（10，40），（0，24）代入得，，解得：，∴y＝1.6x+24；（2）令直線AB函數(shù)中，y＝32，∴32＝1.6x+24，∴x＝5，令反比例函數(shù)中y＝32，∴32＝，∴x＝30，∵30﹣5＝25＞23，∴經(jīng)過適當(dāng)?shù)陌才?，老師能在學(xué)生注意力達(dá)到所需的狀態(tài)下講解完這道題目．22．（7分）（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝2∠B＝90°，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，沿AD折疊△ADC，使得點(diǎn)C恰好落在AB上的點(diǎn)E處．請(qǐng)寫出AB、AC、CD之間的關(guān)系A(chǔ)B＝AC+CD；（2）問題解決：如圖②，若（1）中∠C≠90°，其他條件不變，請(qǐng)猜想AB、AC、CD之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）類比探究：如圖③，在四邊形ABCD中，∠B＝120°，∠D＝90°，AB＝BC，AD＝DC，連接AC，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)，沿AE折疊，使得點(diǎn)D正好落在AC上的F處，若BC＝，直接寫出DE的長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵∠C＝2∠B＝90°，∴∠B＝45°，∠BAC＝45°，∴△ABC為等腰直角三角形，∴AC＝BC，由翻折的性質(zhì)可知AC＝AE，CD＝CE，∠AED＝∠C＝90°，∴∠BED＝90°，∴△BDE為等腰直角三角形，∴BE＝DE＝CD．∴AB＝AE+BE＝AC+CD．故答案為：AB＝AC+CD；（2）AB＝AC+CD．理由如下：如圖②，∵AD折疊△ADC，使得點(diǎn)C恰好落在AB上的點(diǎn)E處，∴DC＝DE，∠AED＝∠C，AE＝AC，∵∠C＝2∠B，∴∠AED＝2∠B，而∠AED＝∠B+∠BDE，∴∠B＝∠BDE，∴EB＝ED，∴ED＝CD，∴AB＝AE+BE＝AC+CD；（3）作BH⊥AC于H，如圖③，設(shè)DE＝x，由（1）的結(jié)論得AC＝（2+）x，∵BA＝BC，∠CBA＝120°，∴∠BCA＝∠BAC＝30°，∵BH⊥AC，∴CH＝AH＝AC＝x，在Rt△BCH中，∠BCH＝30°∴BH＝BC＝＝+1，∵BH2+CH2＝BC2∴（+1）2+（x）2＝（2+2）2，解得x＝或﹣（舍去），即DE的長(zhǎng)為．23．（12分）如圖，Rt△ABC，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2．P，Q兩點(diǎn)分別從A，C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿折線A→B→C向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，在AB上的速度為每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度，在BC上的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度；點(diǎn)Q以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段CA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)P作PD⊥AC于點(diǎn)D，以PD，DQ為鄰邊作矩形PDQE．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，矩形PDQE和△ABC重疊部分的圖形面積為y．（1）當(dāng)點(diǎn)Q和點(diǎn)D重合時(shí)，x＝；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；（3）在運(yùn)動(dòng)過程中，連接PQ，取PQ中點(diǎn)O，連接OC，直接寫出OC的最小值．【解答】解：（1）如圖1，∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝2BC＝4，∴AC＝＝＝2，∵PD⊥AC于點(diǎn)D，∴∠ADP＝90°，∵AP＝4x，CQ＝x，∴PD＝AP＝2x，AD＝AP?cos30°＝×4x＝2x，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)Q重合時(shí)，則2x+x＝2，∴x＝，故答案為：．（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，則4x＝4，∴x＝1；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，則2（x﹣1）＝2，∴x＝2，此時(shí)CQ＝2，則點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，當(dāng)0＜x＜時(shí)，如圖1，PD＝2x，DQ＝2﹣3x，∴y＝2x（2﹣3x）＝﹣6x2+4x；當(dāng)＜x≤1時(shí)，如圖2，EQ交AB于點(diǎn)R，∵PD＝2x，DQ＝3x﹣2，AQ＝2﹣x，∴RQ＝AQ?tan30°＝（2﹣x）＝2﹣x，∴y＝（2﹣x+2x）（3x﹣2）＝x2+2x﹣2；當(dāng)1＜x＜2時(shí)，