全國數(shù)學(xué)建模 DVD在線租賃的優(yōu)化設(shè)計

承諾書我們仔細閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的,如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽的題目是：DVD在線租賃 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報名號的話）：所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜呼敄|大學(xué)參賽隊員(打印并簽名)：1.龔飛2.王開泰3.那曉棟指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負責(zé)人(打印并簽名)：劉偉日期：2013年08月17日DVD在線租賃的優(yōu)化設(shè)計摘要本文通過對網(wǎng)絡(luò)DVD在線租賃問題的研究和分析，對實際中的DVD租賃公司可能遇到的租賃問題進行了分析并得出了一些合理的結(jié)論，設(shè)計出了滿意度較高的租賃分配方案。首先，針對問題一，通過對1000個會員愿意觀看五種DVD的人數(shù)進行抽樣分析，可以得到100000個會員中愿意觀看五種DVD的人數(shù)分布。通過分析題意我們知道每張DVD每個月的實際租賃次數(shù)為1.6次，相當(dāng)于每張DVD實際每個月變成了1.6張，另外第二小問，我們可以算出每張DVD三個月的實際租賃次數(shù)為4.8次，相當(dāng)于4.8張。由于實際中這樣的一些問題通常都是隨機的，因此我們近似認為希望看到某種DVD的會員數(shù)量服從正態(tài)分布，由此我們可以采用置信區(qū)間估計的方法，建立模型，求出會員愿意觀看五種DVD的數(shù)量。此模型簡單易懂，美中不足的是很多我們忽略細節(jié)對該問題結(jié)果的影響。然后，我們根據(jù)表中給出的數(shù)據(jù)來分配DVD，使得會員對DVD分配的滿意度最大。關(guān)鍵問題是要把會員對DVD的偏好程度轉(zhuǎn)換為會員滿意度，由題意可知，數(shù)字越小表示會員的偏愛程度越高，數(shù)字0表示對應(yīng)的DVD當(dāng)前不在會員的在線訂單中，通過觀察我們用一個大于9的固定數(shù)值來減偏愛數(shù),把這個差值作為滿意度，定義總的滿意度為maxZ，那么求得maxZ的值越大，即表示會員越滿意。隨后建立0-1整數(shù)規(guī)劃模型，運用LINGO編程求解。很好的解決了如何再獲得最大滿意度的情況下如何去分配100種DVD。接著，對于問題三，我們將DVD的購買和分配分開處理。首先考慮DVD的購買量，我們通過把DVD訂單需求量和會員對某種DVD的滿意度標(biāo)準化處理，再加權(quán)求和，運用LINGO編程求解，得出了100種DVD的購買數(shù)量。其次，再考慮DVD的分配問題，我們圍繞著DVD租賃商家的利潤和會員滿意度展開分析，在不考慮二次分配的情況下，運用問題二的方法進行分配，建立規(guī)劃模型，在盡可能使會員滿意度最大的情況下，編程求解得到最佳分配方案。再考慮二次分配的問題，將第一次分配時未分配的DVD和第一次借出又還回的DVD進行第二次分配，由于第二次只對60%的會員進行分配，所以我們運用C程序編程隨機求取600個會員，在排除了會員最滿意的三張DVD后，對其進行第二次分配，在滿足要使這600個會員在第二次租賃時也能租到想看的DVD的情況下，建立模型，求最大滿意度和分配情況。最后，基于以上通過對DVD租賃公司在運營過程中如何購買DVD，分配DVD，如何獲得會員的支持等問題來獲得最大利潤的分析和研究，我們自己提出了這樣一個問題：會員的誠信，租賃公司預(yù)測會員租借DVD的種類與數(shù)量，多次少量購買DVD，平衡短期利潤和長期利潤這四種因素會對租賃公司的利潤產(chǎn)生影響，于是我們建立它們之間的聯(lián)系，建立模型進行分析，為實際中的DVD租賃公司運營提供了一定的參考。關(guān)鍵字：正態(tài)分布，置信區(qū)間估計，二次分配,0-1整數(shù)規(guī)劃模型，LINGO,。1問題提出隨著信息時代的到來，網(wǎng)絡(luò)成為人們生活中越來越不可或缺的元素之一。許多網(wǎng)站利用其強大的資源和知名度，面向其會員群提供日益專業(yè)化和便捷化的服務(wù)。例如，音像制品的在線租賃就是一種可行的服務(wù)。這項服務(wù)充分發(fā)揮了網(wǎng)絡(luò)的諸多優(yōu)勢，包括傳播范圍廣泛、直達核心消費群、強烈的互動性、感官性強、成本相對低廉等，為顧客提供更為周到的服務(wù)?？紤]如下的在線DVD租賃問題。顧客繳納一定數(shù)量的月費成為會員，訂購DVD租賃服務(wù)。會員對哪些DVD有興趣，只要在線提交訂單，網(wǎng)站就會通過快遞的方式盡可能滿足要求。會員提交的訂單包括多張DVD，這些DVD是基于其偏愛程度排序的。網(wǎng)站會根據(jù)手頭現(xiàn)有的DVD數(shù)量和會員的訂單進行分發(fā)。每個會員每個月租賃次數(shù)不得超過2次，每次獲得3張DVD。會員看完3張DVD之后，只需要將DVD放進網(wǎng)站提供的信封里寄回（郵費由網(wǎng)站承擔(dān)），就可以繼續(xù)下次租賃。請考慮以下問題：網(wǎng)站正準備購買一些新的DVD，通過問卷調(diào)查1000個會員，得到了愿意觀看這些DVD的人數(shù)（表1給出了其中5種DVD的數(shù)據(jù)）。此外，歷史數(shù)據(jù)顯示，60%的會員每月租賃DVD兩次，而另外的40%只租一次。假設(shè)網(wǎng)站現(xiàn)有10萬個會員，對表1中的每種DVD來說，應(yīng)該至少準備多少張，才能保證希望看到該DVD的會員中至少50%在一個月內(nèi)能夠看到該DVD？如果要求保證在三個月內(nèi)至少95%的會員能夠看到該DVD呢？表2中列出了網(wǎng)站手上100種DVD的現(xiàn)有張數(shù)和當(dāng)前需要處理的1000位會員的在線訂單，如何對這些DVD進行分配，才能使會員獲得最大的滿意度？請具體列出前30位會員（即C0001~C0030）分別獲得哪些DVD。繼續(xù)考慮表2，并假設(shè)表2中DVD的現(xiàn)有數(shù)量全部為0。如果你是網(wǎng)站經(jīng)營管理人員，你如何決定每種DVD的購買量，以及如何對這些DVD進行分配，才能使一個月內(nèi)95%的會員得到他想看的DVD，并且滿意度最大？如果你是網(wǎng)站經(jīng)營管理人員，你覺得在DVD的需求預(yù)測、購買和分配中還有哪些重要問題值得研究？請明確提出你的問題，并嘗試建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。表1對1000個會員調(diào)查的部分結(jié)果DVD名稱DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5愿意觀看的人數(shù)200100502510表2現(xiàn)有DVD張數(shù)和當(dāng)前需要處理的會員的在線訂單（表格格式示例）DVD編號D001D002D003D004…DVD現(xiàn)有數(shù)量10401520…會員在線訂單C00016000…C00020000…C00030003…C00040000…注：D001~D100表示100種DVD,C0001~C1000表示1000個會員,會員的在線訂單用數(shù)字1,2,…表示，數(shù)字越小表示會員的偏愛程度越高，數(shù)字0表示對應(yīng)的DVD當(dāng)前不在會員的在線訂單中。2模型假設(shè)1.假設(shè)從網(wǎng)站下載的數(shù)據(jù)符合統(tǒng)計規(guī)律；2.假設(shè)郵寄時間可以忽略；3.不考慮DVD的損壞和丟失；4.假設(shè)會員只有將所租的DVD寄回網(wǎng)站后才能繼續(xù)下次租賃；5.假設(shè)每個會員每月最多租2次且至少租一次，一個月租一次的周期時間為30天，租兩次的周期時間為15天；6.假設(shè)租出的DVD返還率在總體上相對穩(wěn)定。7.假設(shè)每月按30天計算。8.假設(shè)從月初會員就被分配了DVD3問題分析3.1問題1在DVD在線租賃時，顧客繳納一定數(shù)量的月費成為會員，訂購DVD租賃服務(wù)，會員只需對感興趣的DVD提交在線訂單，網(wǎng)站就好根據(jù)手頭現(xiàn)有的DVD數(shù)量和DVD在線訂單為會員提供DVD租賃服務(wù)，于是在此問題中，就要考慮到如何滿足雙方最大的利益，DVD在線租賃租賃公司既要滿足會員的需求，又要使自己的成本盡可能的小，即準備的各種DVD的數(shù)量最少。表31000個會員中愿意觀看五種DVD的人數(shù)DVD名稱DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5愿意觀看的人數(shù)200100502510由表1對1000個會員愿意觀看五種DVD的人數(shù)進行抽樣分析，可以得到100000個會員中愿意觀看五種DVD的人數(shù)分布，其分布如下表表4100000個會員中愿意觀看五種DVD的人數(shù)DVD名稱DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5愿意觀看的人數(shù)2000010000500025001000并且由歷史數(shù)據(jù)可知，60%的會員每月租賃DVD兩次，而另外的40%會員每月只租一次,由于希望看到某種DVD的會員數(shù)量是隨機的，會員希望看到某種DVD的概率為p,網(wǎng)站會員總數(shù)為n,因此，希望看到DVD會員的數(shù)量服從二項分布N(n,p)，且當(dāng)n比較大時，近似服從正態(tài)分布N(np,npq)，我們可以根據(jù)以上的條件說明，建立數(shù)學(xué)模型，對要求的DVD數(shù)量進行置信度估計，最終得到所求結(jié)果。具體方法見4.1問題1的模型與求解。3.2問題2問題二是在現(xiàn)有一定數(shù)量DVD的前提下，如何分配以使會員總的滿意度最大。這與“分配問題”或“指派問題（Assignmentproblem）”有很多相同點。我們可以通過一些變化來使求解“分配問題”的模型能運用于該問題。分配問題最常用的方法是0-1型整數(shù)規(guī)劃。在具體使用前，還需要將每個會員對不同DVD的偏愛度轉(zhuǎn)化為滿意度。因為我們的目標(biāo)是總體滿意度最大。根據(jù)題給條件，網(wǎng)站所擁有的DVD數(shù)量有限，但是會員訂單確是不確定的，為了獲得最大利潤，網(wǎng)站必須要最大限度的滿足會員的要求，給會員分配最佳需求的DVD，每個會員最多只能租賃3張DVD，并且對不同種DVD的喜好程度不一。綜上所述，列出滿足要求的規(guī)劃模型，運用LINGO編程即可求得最佳分配方案。具體方法見4.2問題2的模型與求解。3.3問題3問題三是一個完全由我們來設(shè)計解決并優(yōu)化的問題，網(wǎng)站沒有DVD，讓我們根據(jù)表2提供的在線訂單情況來分析需要準備多少張各種DVD，并且分配出去以后還要使得會員對DVD的分配滿意度達到最大。在現(xiàn)實的網(wǎng)站經(jīng)營中需要綜合考慮問題一、二，這就需要我們進一步討論問題三的模型，并結(jié)合問題一、問題二來解決問題三，但問題三中DVD的購買量是自己定的，如何分配DVD也是自己定的，一般情況下，DVD數(shù)量越多，肯定越能滿意會員的需求，這樣會員的滿意度肯定大，但是實際中，DVD越多，網(wǎng)站租賃商家需要付出的成本肯定越高，如果DVD數(shù)量少，那么會員的滿意度肯定比較低，因此，網(wǎng)站購買DVD的數(shù)量和會員的滿意度之間存在一個矛盾，那么我們只有另尋方法，使得在網(wǎng)站購買DVD數(shù)量最少的情況下，讓會員滿意度盡可能達到最大。由實際問題可知，購買DVD數(shù)量越多，網(wǎng)站商家的利潤會相對變小，但此時會員的滿意度比較高，因此，我們把網(wǎng)站商家需要購買的DVD數(shù)量轉(zhuǎn)化為商家的利潤，這樣網(wǎng)站獲得的利潤和DVD之間就有一個關(guān)系，同時，將滿意度也和網(wǎng)站的利潤聯(lián)系起來，建立一種關(guān)系。此過程中利用SPSS軟件對數(shù)據(jù)進行標(biāo)準化處理和加權(quán)處理。具體方法見4.3問題3的模型與求解。3.4問題4顯然該問題是一個開放性的問題，我們?nèi)绻蔷W(wǎng)站DVD租賃公司的管理人員和決策者，在DVD的需求預(yù)測、購買和分配中肯定還有很多問題需要解決。我們可以結(jié)合前三個問題，提出很多可能會影響DVD租賃公司收益和會員滿意度的因素，結(jié)合自己的看法，我們認為DVD租賃公司在實際運營過程中可以考慮一下四種策略或者方法：一，建立誠信制度，記錄會員是否及時歸還DVD，或者會員是否損壞DVD；二，建立預(yù)測制度，由DVD租賃公司內(nèi)部人員通過分析會員歷史租賃記錄，來預(yù)測哪些會員可能會借哪些種類的DVD；三，DVD運營者把握好短期利潤和長期利潤的平衡度，在考慮會員滿意度的情況下，合理獲取利益；四，采取多次購買的方法來購買DVD，節(jié)省成本，盡量兼顧到會員的滿意度。具體方法見4.4問題4的模型與分析。4模型的建立及求解4.1問題1的模型與求解對于問題1的第一小問，由于該問題中n=100000,相比較而言，符合比較大的條件，因此，我們可以近似認為希望看到某種DVD會員的數(shù)量服從正態(tài)分布ξ～N(np,npq)。假設(shè)租出的DVD返還率在總體上相對穩(wěn)定，那么40%的會員每天有1/30的歸還概率，60%的會員每天有1/15的歸還概率，所以每張DVD每個月的實際使用次數(shù)為變量定義：參考部分數(shù)理統(tǒng)計知識（見參考文獻[1]），由ξ～N(np,npq)，q=1-p，可知通常取置信區(qū)水平為于是有得到由題意可知P=50，n=100000;;為保證希望看到該DVD的會員中至少50%在一個月內(nèi)能夠看到該DVD，將p=0.2,q=0.8;p=0.1,q=0.9;p=0.05,q=0.95;p=0.025,q=0.975;p=0.01,q=0.99分別代入上式，可得這五種DVD至少應(yīng)該準備的數(shù)量入下表所示：表5五種DVD至少應(yīng)該準備的數(shù)量DVD名稱DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5至少準備數(shù)量（張）632731821604811331同理，第二小問也可依據(jù)此模型來解決，此時，每張DVD三個月的實際使用次數(shù)為此時其中P=95，n=100000;；為保證希望看到該DVD的會員中至少95%能在3個月內(nèi)能夠看到該DVD，將p=0.2,q=0.8;p=0.1,q=0.9;p=0.05,q=0.95;p=0.025,q=0.975;p=0.01,q=0.99分別代入上式，可得這五種DVD至少應(yīng)該準備的數(shù)量入下表所示：表6五種DVD至少應(yīng)該準備的數(shù)量DVD名稱DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5至少準備數(shù)量（張）4007201610165142104.2問題2的模型與求解問題2是一個典型的優(yōu)化設(shè)計問題，主要目的是如何把現(xiàn)有的DVD合理的分配給會員，以達到會員對DVD分配的最大滿意度。分配問題最常用的方法是0-1型整數(shù)規(guī)劃。在具體使用前，還需要將每個會員對不同DVD的偏愛度轉(zhuǎn)化為滿意度。因為我們的目標(biāo)是使總體滿意度最大。從表2中可以看到：會員的在線訂單用數(shù)字1,2,…表示，數(shù)字越小表示會員的偏愛程度越高，數(shù)字0表示對應(yīng)的DVD當(dāng)前不在會員的在線訂單中，通過觀察我們用一個大于9的固定數(shù)值來減偏愛數(shù),把這個差值作為滿意度，定義Z為總滿意度，那么求得maxZ的值越大，即表示會員越滿意。變量定義：所有會員滿意度總和為：我們的目標(biāo)就是求出其最大值，由題意我們可以建立以下優(yōu)化模型，求出Z的最大值。建立次模型以后，運用LINGO編程求解，可求得最大滿意度為maxZ=30000，此時前30為位會員的DVD分配情況如下表：表7前30位會員的DVD分配情況會員租賃的DVD編號會員租賃的DVD編號會員租賃的DVD編號C0001DVD10,DVD53,DVD95C0011DVD86,DVD68,DVD23C0021DVD96,DVD97,DVD29C0002DVD1,DVD55,DVD92C0012DVD85,DVD24,DVD14C0022DVD98,DVD78,DVD51C0003DVD25,DVD59,DVD78C0013DVD54,DVD35,DVD19C0023DVD72,DVD23,DVD20C0004DVD34,DVD37,DVD66C0014DVD62,DVD37,DVD5C0024DVD91,DVD26,DVD18C0005DVD26,DVD45,DVD89C0015DVD63,DVD60,DVD41C0025DVD95,DVD66,DVD55C0006DVD93,DVD90,DVD39C0016DVD100,DVD50,DVD30C0026DVD70,DVD31,DVD12C0007DVD85,DVD64,DVD38C0017DVD87,DVD71,DVD9C0027DVD61,DVD52,DVD14C0008DVD81,DVD41,DVD6C0018DVD64,DVD48,DVD22C0028DVD89,DVD80,DVD50C0009DVD91,DVD11,DVD20C0019DVD78,DVD16,DVD7C0029DVD85,DVD73,DVD51C0010DVD69,DVD21,DVD2C0020DVD97,DVD72,DVD3C0030DVD83,DVD66,DVD30注：具體結(jié)果由LINGO程序運行可得，程序見附錄。經(jīng)分析可知，此種模型下該種分配比較合理，既了滿足大部分會員的需求，又為DVD租賃公司帶來了方便。另外，還有其他兩種改進模型，將上述模型中的約束條件：改為：的時候，即每個會員可以得到0,1,2,3張DVD，該種情況下求得的最大滿意度仍為maxZ=30000;若將該約束條件改為：此時，每個會員必須得到3張DVD，該情況下的最大滿意度仍為maxZ=30000。因此該條件為一個松約束條件，對目標(biāo)函數(shù)沒有約束性。4.3問題3的模型與求解對于該問題，我們把DVD購買數(shù)量通過標(biāo)準化以后再加權(quán)與網(wǎng)站所得利潤聯(lián)系起來，把DVD購買的數(shù)量標(biāo)準化后再加權(quán)和會員滿意度聯(lián)系起來。變量定義：y1表示滿意度；Z標(biāo)準化以后的DVD需求數(shù)；Zy1標(biāo)準化以后的滿意度；從表2可知，由于DVD偏愛程度越高，網(wǎng)站分配DVD時越不容易滿足會員，DVD偏愛程度越小，越容易滿足會員，因此我們把對每個DVD的偏愛程度之和求出來，再乘以-1，這樣得出的結(jié)果就可以用來表示滿意度了，再對這些數(shù)據(jù)標(biāo)準化處理，然后采用常用的三、七比例進行加權(quán)處理，運用SPSS標(biāo)準化和加權(quán)處理的結(jié)果如下表所述：表8原始數(shù)據(jù)、標(biāo)準化處理的數(shù)據(jù)：DVD種類需求量（原始數(shù)據(jù)）偏愛程度（原始數(shù)據(jù)）滿意度y1標(biāo)準化以后的需求數(shù)Z標(biāo)準化以后的滿意度Zy1DVD184.00433.00-433.00-1.06940.0878DVD292.00418.00-418.00-0.19010.4160DVD387.00373.00-373.00-0.73961.4009DVD499.00429.00-429.000.57920.1753DVD578.00363.00-363.00-1.72881.6197DVD687.00409.00-409.00-0.73970.6130DVD787.00377.00-377.00-0.73971.3133DVD8100.00462.00-462.000.6891-0.5469DVD993.00424.00-424.00-0.80230.2847DVD1090.00434.00-434.00-0.40100.0659DVD1195.00438.00-438.000.1396-0.0217DVD1297.00446.00-446.000.3594-0.1968DVD1385.00410.00-410.00-0.96000.5911DVD14102.00500.00-500.000.9100-1.3786DVD1584.00384.00-384.00-1.06941.1601DVD1694.00394.00-394.000.02970.9413DVD17102.00491.00-491.000.9089-1.1816DVD1891.00429.00-429.00-0.30010.1753DVD19100.00466.00-466.000.6891-0.6345DVD20116.00530.00-530.002.4476-2.0351DVD2196.00419.00-419.000.24950.3942DVD22101.00492.00-492.000.7990-1.2035DVD23109.00515.00-515.001.6783-1.7068DVD2493.00456.00-456.00-0.8023-0.4156DVD2589.00391.00-391.00-0.51991.0069DVD26101.00481.00-481.000.7990-0.9627DVD2787.00413.00-413.00-0.73970.5255DVD2883.00396.00-396.00-1.17930.8975DVD2997.00500.00-500.000.3594-1.3786DVD3097.00437.00-437.000.35940.0002DVD31100.00444.00-444.000.6891-0.1530DVD3287.00367.00-367.00-0.73971.5322DVD3391.00403.00-403.00-0.30000.7443DVD3482.00380.00-380.00-1.28921.2477DVD35109.00474.00-474.001.6783-0.8095DVD3697.00439.00-439.000.3594-0.4355DVD3791.00415.00-415.00-0.30000.4817DVD3894.00438.00-438.000.2967-0.0217DVD3987.00405.00-405.00-0.73970.7006DVD4087.00414.00-414.00-0.73970.5036DVD41119.00498.00-498.002.7773-1.3348DVD42104.00487.00-487.001.1287-1.0941DVD4393.00439.00-439.00-0.0802-0.0436DVD4490.00413.00-413.00-0.41000.5255DVD45106.00485.00-485.001.3486-1.0503DVD4694.00489.00-489.000.0297-1.1378DVD4794.00421.00-421.000.02970.3504DVD4888.00444.00-444.00-0.6298-0.1530DVD4991.00408.00-408.00-0.30000.6349DVD5094.00409.00-409.00-0.19670.6130DVD51107.00481.00-481.001.4585-0.9627DVD5291.00435.00-435.00-0.30000.4400DVD5398.00444.00-444.000.4693-0.1530DVD5492.00463.00-463.00-0.1901-0.5688DVD5597.00464.00-464.000.3594-0.5907DVD5699.00459.00-459.000.5792-0.4813DVD57108.00552.00-552.001.5684-2.5166DVD5877.00349.00-349.00-1.83871.9261DVD5985.00353.00-353.00-0.95951.8386DVD60103.00469.00-469.001.0188-0.7001DVD6194.00455.00-455.000.0297-0.3937DVD62103.00495.00-495.001.0188-1.2691DVD63105.00517.00-517.001.2387-1.7506DVD64108.00470.00-470.001.5684-0.7220DVD6598.00413.00-413.000.46930.5255DVD66105.00492.00-492.001.2387-1.2035DVD6790.00415.00-415.00-0.41000.4817DVD6896.00411.00-411.000.24950.5692DVD69105.00467.00-467.001.2387-0.6663DVD70101.00486.00-486.000.7990-1.0722DVD7195.00448.00-448.000.1396-0.2405DVD72106.00507.00-507.001.3486-1.5318DVD7385.00424.00-424.00-0.95950.2847DVD7482.00355.00-355.00-1.28921.7948DVD7590.00399.00-399.00-0.41000.8319DVD7686.00411.00-411.00-0.84960.5692DVD7788.00480.00-480.00-0.6298-0.9409DVD7889.00478.00-478.000.5792-0.8971DVD7982.00348.00-348.00-1.28921.9480DVD8098.00475.00-475.000.4693-0.8314DVD8199.00476.00-476.000.5792-0.8533DVD8277.00384.00-384.00-1.83881.1601DVD8372.00376.00-376.00-2.38821.3352DVD8484.00428.00-428.00-1.06930.1972DVD8590.00417.00-417.00-0.41000.4379DVD8678.00393.00-393.00-1.72880.9632DVD8795.00435.00-435.000.13960.0440DVD8873.00300.00-300.00-2.27842.9985DVD8994.00449.00-449.000.0297-0.2624DVD9098.00473.00-473.000.4693-0.7877DVD91107.00483.00-483.001.4584-1.0065DVD9294.00432.00-432.000.0297-0.1097DVD9393.00480.00-480.00-0.0802-0.9409DVD9490.00429.00-429.00-0.41000.1753DVD95102.00466.00-466.000.9090-0.6345DVD9678.00378.00-378.00-1.72881.2915DVD9795.00458.00-458.000.1396-0.4594DVD98101.00456.00-456.000.7990-0.4156DVD9980.00413.00-413.00-1.50900.5255DVD10086.00378.00-378.00-0.84961.2915（注：SPSS運行結(jié)果見附錄）由于在考慮會員滿意度時，網(wǎng)站所得利潤和需要購買DVD的數(shù)量之間存在矛盾，對于到底是優(yōu)先考慮網(wǎng)站利潤還是優(yōu)先考慮會員滿意度，在這兩種情況下需要購買的DVD數(shù)量應(yīng)該不一樣，這三者之間存在密切關(guān)系，于是我們對這兩個影響會員滿意度的因素進行加權(quán)處理，我們按照以下方式加權(quán)處理：利潤較大=0.7*Z需要數(shù)+0.3*Zy1.滿意度較大=0.3*Z需要數(shù)+0.7*Zy1.將加權(quán)處理以后的利潤和滿意度單獨列出來，如表9所示：表9加權(quán)以后的利潤和滿足滿意度的值利潤滿意度利潤滿意度利潤滿意度利潤滿意度-0.72-0.260.27-0.430.73-0.24-0.420.14-0.010.23-0.360.15-0.2-0.06-0.72-0.85-0.10.76-0.560.270.280.030.14-0.450.460.3-0.16-0.86-0.3-0.46-0.320.98-0.720.67-0.310.08-0.44-0.330.210.440.10.26-0.160.15-0.42-0.120.7-0.060.850.34-1.29-0.940.260.32-0.180.010.43-0.710.8-1.270.220.030.18-0.530.49-0.121-0.69-0.18-0.27-0.080.93-0.060.5-0.18-90.030.240.08-0.1-0.27-0.920.160.19-0.03-0.070.250.33-0.580.110.07-0.490.130.01-0.010.34-0.85-0.71.420.22-0.69-0.310.270.88-0.03-0.06-0.17-0.40.49-0.370.130.490.510.09-0.410.30.671.54-0.10.51-0.470.72-0.270.28-0.550.46-0.43-50.09-0.160.03-0.07-0.050.350.47-0.34-0.680.29-0.24-7-0.09-0.2301.1-0.690.63-0.330.24-0.510.45-0.170.290.35-0.32-0.790.03-0.13-0.820.390.2-50.48-0.67-0.04-0.280.66-0.69-0.49-0.3-0.59-0.090.43-0.05-0.18-0.31-0.020.35-0.360.87-0.9-0.08-0.060.550.20.44-0.040.46-0.210.65于是我們可以根據(jù)表9的數(shù)據(jù)畫出利潤較大時，所需購買DVD的數(shù)量的一個大致情況，如圖1所示；也可以畫出滿意度較大時DVD所需購買的DVD數(shù)量，如圖2所示。圖1圖2通過比較，我們可以發(fā)現(xiàn)這兩個因素對DVD的購買數(shù)量的影響明顯不一樣。依據(jù)題意，我們應(yīng)當(dāng)優(yōu)先考慮會員對DVD的滿意度，由問題二知道，目標(biāo)是使所有會員滿意度總和達到最大，而且每種DVD數(shù)量是固定的，但問題三中DVD的購買量是自己定的，因此設(shè)置一個新的變量表示當(dāng)前需要購買DVDj的數(shù)量，表示需要購買DVD數(shù)量的總和，而且從盈利角度考慮總的購買數(shù)量越小越好。所以我們可以將目標(biāo)函數(shù)定如下：根據(jù)題意，我們建立以下規(guī)劃模型:運用LINGO編程求解可得每種DVD需要購買的數(shù)量，如表10所示：表10100種DVD的購買數(shù)量DVD編號DVD數(shù)量（張）DVD編號DVD數(shù)量（張）DVD編號DVD數(shù)量（張）DVD編號DVD數(shù)量（張）DVD150DVD2660DVD5164DVD7652DVD255DVD2752DVD5255DVD7753DVD352DVD2850DVD5359DVD7859DVD459DVD2958DVD5455DVD7949DVD547DVD3058DVD5558DVD8059DVD652DVD3160DVD5659DVD8159DVD752DVD3252DVD5765DVD8246DVD860DVD3355DVD5846DVD8343DVD956DVD3449DVD5951DVD8450DVD1054DVD3565DVD6052DVD8554DVD1157DVD3658DVD6156DVD8647DVD1258DVD3755DVD6262DVD8757DVD1351DVD3856DVD6363DVD8844DVD1461DVD3952DVD6465DVD8956DVD1550DVD4052DVD6559DVD9059DVD1656DVD4171DVD6663DVD9164DVD1761DVD4262DVD6754DVD9256DVD1855DVD4356DVD6857DVD9356DVD1960DVD4454DVD6963DVD9454DVD2069DVD4563DVD7060DVD9561DVD2157DVD4656DVD7157DVD9647DVD2260DVD4756DVD7263DVD9757DVD2365DVD4853DVD7351DVD9860DVD2456DVD4955DVD7449DVD9948DVD2553DVD5056DVD7554DVD10052運用LINGO求得每種DVD的分配方法如下表（取前30位會員的分配情況）：表11前30位會員的DVD分配情況會員租賃的DVD編號會員租賃的DVD編號會員租賃的DVD編號C0001DVD46,DVD47,DVD48C0011DVD44,DVD45,DVD46C0021DVD47,DVD48,DVD49C0002DVD46，DVD47,DVD48C0012DVD45,DVD46,DVD48C0022DVD47,DVD48,DVD49C0003DVD45,DVD47,DVD48C0013DVD45,DVD46,DVD47C0023DVD46,DVD47,DVD48C0004DVD46,DVD47,DVD48C0014DVD44,DVD55,DVD46C0024DVD47,DVD48,DVD49C0005DVD45,DVD46,DVD47C0015DVD46,DVD45,DVD48C0025DVD48,DVD49,DVD50C0006DVD45,DVD46,DVD48C0016DVD46,DVD47,DVD48C0026DVD47,DVD48,DVD49C0007DVD46,DVD47,DVD48C0017DVD46,DVD47,DVD47C0027DVD47,DVD49,DVD50C0008DVD45,DVD46,DVD47C0018DVD46,DVD47,DVD48C0028DVD48,DVD49,DVD50C0009DVD45,DVD47,DVD48C0019DVD47,DVD48,DVD49C0029DVD47,DVD49,DVD50C0010DVD46,DVD47,DVD47C0020DVD46,DVD47，DVD49C0030DVD48,DVD49,DVD50由程序運行結(jié)果可知，此時購買的DVD總數(shù)為5612張，最大滿意度maxZ=24388.00。由此結(jié)果可知，在此情況下，網(wǎng)站花費的成本比較小，而且又最大限度地滿足了會員的需求。（注：以上數(shù)據(jù)由代碼二代碼三運行得出，代碼見附錄）以上分析只考慮了第一次如何分配，但實際中有60%的會員可能會進行第二次分配，由于事件的隨機性比較大，我們用軟件隨機產(chǎn)生1~1000之間的600個數(shù)（具體見附錄代碼四），以此當(dāng)做那實際中60%的會員。再從表2中隨機提取出這600個會員對DVD的訂單情況進行分析，以為了更好的滿足會員的需求。具體操作見附錄代碼四和代碼五及其運行結(jié)果。由上面所用的方法，由于第一次分配下去后，還有DVD沒有分配完，對剩下的DVD進行建模處理，所建模型和問題2用到的模型一致，最終我們得到了二次分配的每種DVD數(shù)量和部分會員的DVD分配情況，如下表所示。表11二次分配100種DVD的剩余數(shù)量DVD編號DVD數(shù)量（張）DVD編號DVD數(shù)量（張）DVD編號DVD數(shù)量（張）DVD編號DVD數(shù)量（張）DVD140DVD2636DVD5152DVD7640DVD243DVD2740DVD5243DVD7741DVD340DVD2838DVD5349DVD7845DVD447DVD2946DVD5443DVD7937DVD533DVD3048DVD5546DVD8047DVD640DVD3148DVD5645DVD8149DVD740DVD3240DVD5753DVD8234DVD846DVD3345DVD5834DVD8331DVD944DVD3437DVD5937DVD8440DVD1042DVD3553DVD6050DVD8542DVD1141DVD3646DVD6145DVD8635DVD1246DVD3743DVD6250DVD8745DVD1339DVD3844DVD6351DVD8832DVD1447DVD3942DVD6455DVD8942DVD1538DVD4040DVD6547DVD9047DVD1644DVD4159DVD6651DVD9152DVD1749DVD4250DVD6742DVD9244DVD1845DVD4344DVD6841DVD9344DVD1948DVD4442DVD6951DVD9442DVD2052DVD4551DVD7048DVD9549DVD2147DVD4644DVD7143DVD9635DVD2248DVD4744DVD7251DVD9745DVD2351DVD4841DVD7341DVD9848DVD2440DVD4947DVD7437DVD9936DVD2541DVD5044DVD7544DVD10038運用第二問的模型，用LINGO編程得出部分會員的DVD分配情況如下表所示：表12二次分配部分會員的DVD分配情況（取30位會員）會員租賃的DVD編號會員租賃的DVD編號會員租賃的DVD編號C0224DVD58,DVD59,DVD60C0719DVD57,DVD58,DVD60C0664DVD60,DVD61,DVD62C0402DVD58，DVD59,DVD60C0732DVD58,DVD59,DVD60C0193DVD60,DVD61,DVD62C0126DVD58,DVD59,DVD60C0613DVD59,DVD60,DVD61C0541DVD60,DVD61,DVD62C0758DVD58,DVD59,DVD60C0301DVD59,DVD60,DVD61C0706DVD60,DVD61,DVD62C0012DVD58,DVD59,DVD60C0377DVD59,DVD60,DVD61C0833DVD58,DVD59,DVD62C0044DVD58,DVD59,DVD60C0765DVD60,DVD61,DVD62C0137DVD60,DVD61,DVD62C0625DVD58,DVD59,DVD60C0861DVD59,DVD61,DVD62C0221DVD59,DVD61,DVD62C0907DVD58,DVD59,DVD60C0070DVD60,DVD61,DVD62C0841DVD61,DVD62,DVD63C0793DVD58,DVD59,DVD60C0804DVD59,DVD60,DVD62C0152DVD61,DVD62,DVD63C0419DVD57,DVD58,DVD59C0987DVD60,DVD61，DVD62C0791DVD60,DVD61,DVD63注：此數(shù)據(jù)由代碼五運行得出。這樣第二次分配達到的最大滿意度maxZ=18000,由于第一次已經(jīng)讓95%的會員看到了想看的DVD，因此我們在此對第二次分配進行分析，能更好的保證讓更多的會員看到想看的DVD。4.4問題4的模型與求解對于該問題，我們通過查閱有關(guān)DVD租賃公司的運營情況，發(fā)現(xiàn)了一些值得解決的問題。Netflix是美國最大對的DVD在線租賃公司，通過對netflix租賃公司的運營情況進行分析，我們發(fā)現(xiàn)以下幾種營銷方法和策略可能會對DVD租賃產(chǎn)生一些重要的影響。一，建議DVD租賃公司建立會員誠信度制度，其意思是說：對于那些愛惜DVD，在租賃觀看過程中保護好DVD，不損壞DVD，或者及時歸還DVD的會員，DVD租賃網(wǎng)站可以記錄其長期的租賃歷史記錄，給予這樣的會員誠信度高的評價，同樣對其他會員也記錄其長期租賃的歷史記錄，這樣每個會員都有自己的租賃誠信度，由于實際情況，肯定有一部分會員的誠信度比較低，我們知道，誠信度低的會員可能會對DVD租賃公司的營業(yè)利潤造成一定的不良影響，于是我們給予誠信度高的會員一些優(yōu)惠待遇，可以讓誠信度高的會員每個月多租賃幾次，或者減少對其收費，以這樣的方式來吸引顧客。二，通過我們查閱netflix租賃公司的運營資料（見參考網(wǎng)站），我們發(fā)現(xiàn)這樣一個可以值得參考的建議，租賃網(wǎng)站組織內(nèi)部人員，對會員的租賃情況進行預(yù)測，這樣的預(yù)測是建立在對會員長期租賃記錄的分析上預(yù)測的，具有非常高的精確性和可靠性，顧客需求的DVD中的75%能被公司準確預(yù)測到，其預(yù)測方法已十分成熟。一般只要分析會員之前租賃了什么樣的DVD，就可以大致知道該會員經(jīng)常會租賃那種DVD，這樣網(wǎng)站就可以統(tǒng)計出這些數(shù)據(jù)，提前大致了解一下哪些DVD在寫一次租賃的時候被租出去的可能性比較大。這樣DVD租賃公司就可以提前準備好這些DVD，減少其租賃策略的盲目性，最終減少成本，增加利潤，同樣還會增加會員對DVD分配的滿意度。三，DVD租賃網(wǎng)站的運營管理者可以實行“多次少量購買”的策略，意思就是說不要一次就把所有需求的各種種類的DVD全部買回來，可以實行租多少買多少的方法，這樣可以在一定的時間段內(nèi)為公司的資金周轉(zhuǎn)騰出更多資金，也可以節(jié)約成本，每次需要多少就買多少，這樣更精確，能為DVD租賃公司節(jié)省很多不必要的花費。最終也達到增加DVD租賃公司利潤的目的。四，把握好短期利潤和長期利潤相平衡，DVD租賃公司在實際運營操作中，不要只顧及一時的利潤，為了節(jié)約成本，或者為了吸引顧客，只滿足眼前的需求，不深入思考以后的利潤。但是也不能盲目的只考慮長期利潤，因為市場消費在變化，我們隊以后的預(yù)測也不會那么準確。綜上所述，DVD租賃公司如果考慮短期利潤的話，就少購買點DVD，這樣來滿足會員的需求，雖然這樣不一定能更好的滿足會員的需求，但是租賃公司購買的DVD數(shù)量越少，其經(jīng)營成本越低，長期下來也可以獲得不錯的利潤，DVD租賃公司如果考慮長期利潤，就多購買一些DVD，雖然暫時花費的成本比較高，但是從長遠來考慮，這樣的做法留住了會員，而且滿意度還高，還會吸引更多的顧客，為DVD租賃公司帶來更大的利潤，這樣也有利于DVD租賃公司的發(fā)展。綜上所述，雖然這些方法和策略對DVD租賃公司的發(fā)展都有一定的好處，但是這些方法和策略在實際實施中會有一些互相制約，互相矛盾。為了更好的解決該問題，我們把這四種因素聯(lián)系起來，它們一起決定了DVD租賃公司的運營情況，如下圖所示：DVD租賃問題誠信制度平衡短期長期利潤多次購買誠信制度平衡短期長期利潤多次購買DVD公司預(yù)測公司成本公司成本會員滿意度DVD租賃公司的利潤DVD租賃公司的利潤在實際運營中，DVD租賃公司可以根據(jù)已記錄的數(shù)據(jù)，或者歷史數(shù)據(jù)，依靠次模型來分析，決策出更好的運行方式。另外，在實際的DVD租賃過程中，租賃公司還可以在郵費的問題上進行優(yōu)化改進，由題意知，會員最多只能租賃2次DVD，那么如果想要再租賃DVD的話，公司可以這樣規(guī)定，如若再借，會員自行承擔(dān)郵費，如果會員不愿意承擔(dān)郵費，那么會員就等到下個月再租賃DVD了,如下圖所示：會員租賃DVD第二次免郵第一次免郵第二次免郵第一次免郵第...第...次自付郵費次免郵第三次自付郵費第n次租借（n>3）第二次租借第n次租借（n>3）第二次租借第一次租借這樣，在租借次數(shù)較多的情況下，會員自付郵費，也可以為租賃公司帶來一定的收益。5模型評價5.1問題1的模型評價優(yōu)點所建模型簡單易懂，易于操作，與題目要求聯(lián)系很大。用到了隨機模擬，置信估計這兩種經(jīng)典的數(shù)學(xué)方法。缺點在解決第一個問題的時候，我們忽略了二次租賃的情況，這樣會使得結(jié)果有所不準確，并且把該問題近似看成一個正態(tài)分布問題，再用置信估計的方法來建模解決問題，肯定會存在很多誤差，我們在考慮需求量最大的情況下購買了DVD，這樣買的DVD數(shù)量偏多，在實際中會影響商家的利潤，使得網(wǎng)站的經(jīng)營成本過高。5.2問題2的模型評價優(yōu)點：所建模型可用相應(yīng)軟件工具來實現(xiàn)并解決問題，用LINGO進行優(yōu)化處理，模型簡單易懂，易于操作。缺點：對于此問題，我們自定義了一個最大滿意度，只是簡單得把會員訂單中的DVD進行了相同差別的處理，無法表示出會員的真實滿意度差別。雖然求得了最大滿意度為多少，但是沒有一個比較的標(biāo)準，我們不好確定該種算法下的最大滿意度是否為最佳值。再者，我們忽略了二次租賃，實際中那60%的會員肯能不會只借一次，很有可能借兩次，而且什么時候借，什么時候還，都是不確定的。所以我們忽略了很多會影響結(jié)果的因素，最終導(dǎo)致得到的結(jié)果可能不是很準確。5.3問題3的模型評價優(yōu)點：對問題進行了比較深入的分析，充分考慮到了二次分配可能對結(jié)果的影響，模型易于操作和實現(xiàn)。運用C程序解決部分問題。缺點缺乏對商業(yè)運作的了解，可能對一些因素考慮欠佳，對于一次分配和二次分配中的許多細節(jié)都是人為設(shè)置的，主觀意識過于強烈。從軟件運行的結(jié)果分析，每位會員都分配了3張DVD，這顯然與實際不相符，最終得到的只是一個理想值，可能與實際生活中的DVD租賃問題存在很多不同。5.4問題4的模型評價優(yōu)點：比較充分的發(fā)揮了我們的想象力，考慮了很多可能會影響公司收益的因素，給出了各種因素對收益的影響做了具體的分析?？偠灾紤]的比較全面，有一定的實用價值。缺點：對于此模型，我們主觀意識太強，缺乏對市場經(jīng)濟活動的了解，有些建議或者策略可能在實際中不能應(yīng)用，模型的可靠性不是很強。6.模型推廣本文中針對各問題建立的模型可以應(yīng)用推廣于解決其它類似問題，首先，我們所建的模型對于實際中的DVD租賃公司可以提供一些參考，為DVD公司租賃DVD提供了一些意見和策略，其次我們的模型還可以用于其他分配問題，比如城市公共自行車租借問題，商場進貨問題，景點門票訂購出售問題?？傊覀兊哪Ｐ涂梢詮V泛用于市場經(jīng)濟中的企業(yè)管理，企業(yè)運行等市場經(jīng)濟活動之中。參考文獻：[1]吳贛昌.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(理工類.第四版).人民大學(xué)出版社,2011年。[2]司守奎，孫璽菁，張德存，周剛，韓慶龍.數(shù)學(xué)建模算法與應(yīng)用習(xí)題解答.國防工業(yè)出版社，2013年。[3]袁新生，邵大宏，郁時煉.LINGO和Excel在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用.科學(xué)出版社，2007年。參考網(wǎng)站：[1]/mcm05/problems2005c.asp[2]/300/12685300.shtml[3]/innobase/i-6307.html[4]/allnews/200912/t20091231_505833209.html附件（程序）1代碼一（LINGO程序）：model:sets:n/1..1000/:y;m/1..100/:c;link(n,m):a,x;endsetsdata:a=@file('C:\Users\gongfei\Desktop\dvddata.txt');c=@file('C:\Users\gongfei\Desktop\dvd.txt');enddatamax=@sum(link(i,j):(10-a(i,j))*x(i,j));@for(link:@bin(x));@for(n:@bin(y));@for(m(j):@sum(n(i):x(i,j))<c(j));@for(n(i):@sum(m(j):x(i,j))<3*y(i));End代碼一部分運行結(jié)果：Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:30000.00Objectivebound:30000.00Infeasibilities:0.000000Extendedsolversteps:0Totalsolveriterations:89633ModelClass:PILPTotalvariables:101000Nonlinearvariables:0Integervariables:101000Totalconstraints:1101Nonlinearconstraints:0Totalnonzeros:300418Nonlinearnonzeros:02SPSS運行結(jié)果GETFILE='C:\Users\gongfei\Desktop\大散文\123.sav'.DATASETNAME數(shù)據(jù)集1WINDOW=FRONT.COMPUTE利潤較大=0.7*Z需要數(shù)+0.3*Zy1.EXECUTE.COMPUTE滿意度較大=0.3*Z需要數(shù)+0.7*Zy1.EXECUTE.3代碼二（LINGO程序）：model:sets:n/1..1000/:y;m/1..100/:d,p;link(n,m):a,x;endsetsdata:a=@file('C:\Users\gongfei\Desktop\dvddata.txt');p=@file('C:\Users\gongfei\Desktop\dvddata1.txt');enddatamax=@sum(link(i,j):(10-a(i,j))*x(i,j))-@sum(m:d);@for(link:@bin(x));@for(n:@bin(y));@for(m:@gin(d));@for(n(i):@sum(m(j):x(i,j))<3*y(i));@for(m(j):d(j)*1.6>950*0.001*p(j));@for(m(j):d(j)>=0);end代碼二部分運行結(jié)果：Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:24388.00Objectivebound:24388.00Infeasibilities:0.000000Extendedsolversteps:0Totalsolveriterations:0ModelCl