關(guān)于數(shù)學(xué)校本課《問(wèn)題解決與數(shù)學(xué)建?！返膶?shí)踐與思考

關(guān)于數(shù)學(xué)校本課《問(wèn)題解決與數(shù)學(xué)建模》的實(shí)踐與思考齊齊哈爾中學(xué)數(shù)學(xué)教研室康純芳隨著教育改革的不斷深入，我校在新教材試教的同時(shí)，開(kāi)設(shè)了有“齊鐵一中”特色的校本課。試教兩年來(lái)有一些體會(huì)，總結(jié)出來(lái)，以期各位同仁、專家給予指導(dǎo)。一、開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)校本課《問(wèn)題解決與數(shù)學(xué)建?！返谋尘氨容^我國(guó)與世界其它國(guó)家的中學(xué)數(shù)學(xué)教育，我們比較重視數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的教學(xué)與訓(xùn)練，重視數(shù)學(xué)計(jì)算、邏輯推理能力的培養(yǎng)，而在數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)造能力的培養(yǎng)上還沒(méi)有得到足夠重視，使我國(guó)的中學(xué)數(shù)學(xué)基本功比較扎實(shí)，解答常規(guī)數(shù)學(xué)練習(xí)題的能力較強(qiáng)，但不善于把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，也就不能把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中去?，F(xiàn)在我國(guó)的數(shù)學(xué)教育界已采取了一定的措施，如在近幾年高考試題中就加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)及創(chuàng)造性思維能力的考查，而且在上海、北京等城市先后組織了“中學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用知識(shí)競(jìng)賽”，數(shù)學(xué)應(yīng)用的教育思想和實(shí)踐活動(dòng)越來(lái)越受到人們的重視。如今“問(wèn)題解決與數(shù)學(xué)建?！币殉蔀榘l(fā)達(dá)國(guó)家數(shù)學(xué)教育的核心和信息時(shí)代數(shù)學(xué)教育的特征。所以我們將“問(wèn)題解決與數(shù)學(xué)建?！弊鳛槲覀冃１菊n開(kāi)發(fā)的重點(diǎn)內(nèi)容之一。二、開(kāi)設(shè)《問(wèn)題解決與數(shù)學(xué)建?！氛n的目的意義數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種新的方式，它有助于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的價(jià)值和作用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與日常生活和其他學(xué)科的聯(lián)系，體驗(yàn)綜合運(yùn)用知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程。開(kāi)設(shè)這門課程就是為了更有針對(duì)性地、更有效地培養(yǎng)學(xué)生“運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識(shí)”，養(yǎng)成從實(shí)際生活中觀察、發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題的良好習(xí)慣，著力培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，造就二十一世紀(jì)合格人才。數(shù)學(xué)建模的目的是為了解決問(wèn)題，而問(wèn)題的提出是前提。實(shí)際生產(chǎn)生活中的各種現(xiàn)象，其中都蘊(yùn)含著各種各樣的問(wèn)題，我們必需有一雙善于發(fā)現(xiàn)的“眼睛”，比如說(shuō)：我們?cè)绯科鸫菜⒀烙醚栏?，?xì)心的同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)，牙膏的包裝有大有小，其價(jià)格也有不同，那么大小包裝其價(jià)格的關(guān)系是怎樣的呢？許多日常生活用品都有大小包裝問(wèn)題，假如你是經(jīng)營(yíng)者，如何確定合理的價(jià)格使企業(yè)營(yíng)利，消費(fèi)者滿意呢？生活中我們離不開(kāi)水、電、煤氣，那么水費(fèi)、電費(fèi)、煤氣費(fèi)如何交納呢？當(dāng)我們學(xué)習(xí)時(shí)，如何調(diào)節(jié)燈的位置與角度，才能使照明效果最佳呢？體育彩票的銷售中，中獎(jiǎng)的概率、返本率如何計(jì)算呢？地球環(huán)境的污染對(duì)我們生存的空間造成很大影響，臭氧層被破壞，紫外線強(qiáng)弱與皮膚癌的發(fā)病率是何關(guān)系呢？人口數(shù)量在增加，還要提高生活水平，在擴(kuò)大生活居住面積的同時(shí)，減少著耕地面積，怎樣提高糧食單產(chǎn)，保證生活水平提高呢？等等諸多實(shí)際問(wèn)題我們注意到了嗎？與數(shù)學(xué)知識(shí)有關(guān)嗎？我們?nèi)绾斡盟鶎W(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)去解決這些實(shí)際問(wèn)題呢？要使學(xué)生能夠提出問(wèn)題必須培養(yǎng)其觀察能力、分析判斷能力、歸納推理能力；而要解決問(wèn)題就必須有豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)、邏輯思維能力、抽象概括能力、轉(zhuǎn)化能力等等。學(xué)生在學(xué)習(xí)了一定的數(shù)學(xué)知識(shí)后，應(yīng)用已學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)解決了（或部分解決）若干實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)出學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性。同時(shí)必然感到自己所掌握的知識(shí)不足，就會(huì)激起學(xué)習(xí)更多的數(shù)學(xué)知識(shí)掌握更多的數(shù)學(xué)思想和方法的強(qiáng)烈愿望。如果現(xiàn)有的理論已經(jīng)無(wú)法解決，這將推動(dòng)其轉(zhuǎn)向新的研究領(lǐng)域，揭示新的數(shù)學(xué)理論，這正符合“數(shù)學(xué)的發(fā)展很大程度上是由數(shù)學(xué)的應(yīng)用所推動(dòng)的”的事實(shí)。由于實(shí)際問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)，這將有利于培養(yǎng)學(xué)生深入鉆研的科學(xué)精神。這些都是學(xué)生在“終身學(xué)習(xí)”過(guò)程中必須具備的，也就是通過(guò)《問(wèn)題解決與數(shù)學(xué)建?！啡娴靥岣邔W(xué)生的素質(zhì)。三、開(kāi)設(shè)《問(wèn)題解決與數(shù)學(xué)建?！氛n的原則為了使《問(wèn)題解決與數(shù)學(xué)建?！氛嬲袑?shí)效，必須強(qiáng)調(diào)以下原則：（一）“以人為本”的原則學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，在“建模課”中更要強(qiáng)調(diào)學(xué)生積極主動(dòng)地參與，把教學(xué)過(guò)程更自覺(jué)地變成學(xué)生活動(dòng)的過(guò)程，注重學(xué)生的興趣特長(zhǎng)，滿足他們學(xué)習(xí)需要。（二）民主開(kāi)放原則教師必須改變“一言堂”、“不可侵犯”的權(quán)威地位，做為一名既普通又特殊的成員，與同學(xué)一起參與到問(wèn)題的研究之中。組織無(wú)拘無(wú)束的開(kāi)放式討論，充分發(fā)揮學(xué)生的積極性與創(chuàng)造性，形成百花齊放、百家爭(zhēng)鳴的氛圍。教師要扮演好“普通”與“特殊”的角色，如：“聽(tīng)眾”，傾聽(tīng)同學(xué)們的想法，了解學(xué)生的實(shí)際；“觀眾”，欣賞同學(xué)們?cè)诨顒?dòng)中的“表演”；“模特”，他不僅演示正確的開(kāi)始，也表現(xiàn)失誤的開(kāi)端和“撥亂反正”的思維技能；“參謀”，提一些有見(jiàn)解的建議，提供可參考的信息，但不能代替學(xué)生做出決斷；“詢問(wèn)者”，問(wèn)原因、找漏洞，督促學(xué)生弄清楚、說(shuō)明白，使問(wèn)題脈絡(luò)清楚；“仲裁者與鑒賞者”，評(píng)判學(xué)生工作及成果的價(jià)值、意義、優(yōu)劣，鼓勵(lì)學(xué)生有創(chuàng)造性的想法和作法。（三）最近發(fā)展原則問(wèn)題設(shè)計(jì)過(guò)難，學(xué)生會(huì)喪失信心；過(guò)易，又沒(méi)有效果。因此，必須堅(jiān)持學(xué)生難于達(dá)到又能夠達(dá)到的最佳難度標(biāo)準(zhǔn)。（四）激勵(lì)求異原則探討問(wèn)題，獲得正確答案，予以肯定、認(rèn)同。與此同時(shí)，更要激勵(lì)學(xué)生，對(duì)同一個(gè)問(wèn)題，從各種不同角度，發(fā)掘新奇思路，提出各式各樣的、言之有理的背逆性新見(jiàn)解，即使離奇、荒誕也要容納。四、關(guān)于《問(wèn)題解決與數(shù)學(xué)建?！返膶?shí)施（一）課時(shí)安排：每周一次，排入正式課表。（二）內(nèi)容設(shè)計(jì)：結(jié)合教材內(nèi)容編寫了《問(wèn)題解決與數(shù)學(xué)建?！窋?shù)學(xué)校本課的教材。在理論上闡述了數(shù)學(xué)模型的含義，在實(shí)踐中應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題。探究了函數(shù)模型、數(shù)列模型、三角模型、不等式模型、立體幾何模型、概率模型等等的應(yīng)用。（三）考查形式：以小論文的形式，可以自己完成也可以小組完成。有獨(dú)特見(jiàn)解且具科學(xué)性加分。（四）建模課堂一例：（提出問(wèn)題）例：某工廠今年１月、２月、３月、４月生產(chǎn)某產(chǎn)品的數(shù)量分別為１萬(wàn)件、１.2萬(wàn)件、1.3萬(wàn)件、1.37萬(wàn)件。由于產(chǎn)品符合市場(chǎng)需要，產(chǎn)品銷售狀況很好，預(yù)計(jì)今后幾個(gè)月內(nèi)產(chǎn)銷量還有增長(zhǎng)的可能。為了使產(chǎn)銷平衡，現(xiàn)要估計(jì)以后幾個(gè)月的產(chǎn)量，可以采用什么方法？（建模分析）實(shí)際問(wèn)題是要預(yù)測(cè)今后幾個(gè)月的產(chǎn)量，而估計(jì)的依據(jù)就是這四個(gè)月的產(chǎn)量與時(shí)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即Ａ（1，1），Ｂ（2，1.2）Ｃ（3，1.3），Ｄ（4，1.37）為了估算今后的產(chǎn)量，我們可以根據(jù)現(xiàn)有的數(shù)據(jù)，選擇函數(shù)模型來(lái)反映實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系。（建立數(shù)學(xué)模型）究竟用哪一種函數(shù)關(guān)系來(lái)刻畫呢？我們可以把它看作是近似于直線的一次函數(shù)g(x)=kx+b(k,b是常量且k≠0)來(lái)描述；也可以近似地看作拋物線的一部分，用二次函數(shù)h(x)=ax2+bx+c(a,b,c是常量且a≠0)來(lái)刻畫；還可以選擇其它函數(shù)來(lái)模擬，如我們采用指數(shù)函數(shù)型f(x)=abx+c(a,b,c是常量且a≠0,b>0,b≠1),用這些函數(shù)來(lái)描述，是否與實(shí)際問(wèn)題相符合或相近呢？于是用上述數(shù)據(jù)來(lái)檢驗(yàn)，以便選擇一個(gè)最佳的方案。由g(x)=kx+b(b≠0),將B,C兩點(diǎn)代入有：g(2)=2k+bg(3)=3k+b解得：k=0.1,b=1.g(x)=0.1x+1與A,D兩點(diǎn)比較,g(1)=1.1,g(4)=1.4與實(shí)際誤差值分別為0.1,0.03.由h(x)=ax2+bx+c(a≠0)將A,B,C三點(diǎn)坐標(biāo)代入有:h(1)=a+b+c=1h(2)=4a+2b+ch(3)=9a+3b+c解得：a=-0.05,b=0.35,c=0.7；h(x)=-0.05x2+0.35x+0.7.將D點(diǎn)坐標(biāo)代入得:h(4)=1.3,與實(shí)際誤差為0.07.由f(x)=abx+c(a≠0)將A,B,C三點(diǎn)坐標(biāo)代入有:f(1)=ab+cf(2)=ab2+cf(3)=ab3+c解得：a=-0.8,b=0.5,c=1.4f(x)=-0.8×(0.5)x+1.4;將D點(diǎn)坐標(biāo)代入得：f(4)=1.35與實(shí)際誤差為0.02。（數(shù)學(xué)結(jié)論）從以上所求數(shù)值看出，用第三種指數(shù)函數(shù)型來(lái)模擬該工廠的生產(chǎn)產(chǎn)量較為貼切（因?yàn)檎`差?。?。（對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行定性分析）一次函數(shù)g(x)=0.1x+1隨著時(shí)間的推移，產(chǎn)量將呈現(xiàn)無(wú)限增長(zhǎng)的趨勢(shì)，這不符合生產(chǎn)、銷售的實(shí)際情況。二次函數(shù)h(x)=-0.05x2+0.35x+0.7的對(duì)稱軸x=3.5，即三個(gè)半月的時(shí)候，產(chǎn)品產(chǎn)量最大，以后逐漸降低，也不符合實(shí)際要求。指數(shù)函數(shù)型f(x)=-0.8×0.5x+1.4在開(kāi)始時(shí)產(chǎn)量明顯呈上升趨勢(shì)，產(chǎn)量趨于1.4萬(wàn)件，基本符合該廠的生產(chǎn)情況,根據(jù)現(xiàn)有的數(shù)據(jù),用它來(lái)計(jì)算后幾個(gè)月的產(chǎn)量較好。事實(shí)上評(píng)價(jià)一個(gè)模擬函數(shù)除了要考慮誤差最小外，還要考慮生產(chǎn)的實(shí)際問(wèn)題，比如增產(chǎn)趨勢(shì)的可能性。認(rèn)為f(x)=-0.8×0.5x+1.4函數(shù)模擬效果好，也正是考慮到建廠初期，隨著工人技術(shù)、管理效益逐漸提高，一段時(shí)間內(nèi)產(chǎn)量必然要上升，但到一定時(shí)期后，設(shè)備不更新，那么產(chǎn)量必然要趨于穩(wěn)定，這個(gè)函數(shù)正好反映了這一特點(diǎn)。當(dāng)然實(shí)際產(chǎn)量是很有可能超過(guò)1.4萬(wàn)件的，這時(shí)我們還可以用其它函數(shù)來(lái)模擬。由同學(xué)們根據(jù)上述過(guò)程總結(jié)出：數(shù)學(xué)建模的一般步驟為：1、觀察實(shí)際問(wèn)題現(xiàn)象，認(rèn)識(shí)和分析問(wèn)題，描繪出所給問(wèn)題的情況，并識(shí)別出影響問(wèn)題的重要因素，將問(wèn)題用圖形或用數(shù)學(xué)語(yǔ)言（或符號(hào)）加以描述。2、根據(jù)問(wèn)題的條件，猜測(cè)各種量之間的聯(lián)系，并數(shù)學(xué)地闡明它們，從而構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。3、求解數(shù)學(xué)模型，獲得模型的解。4、確認(rèn)模型的解是否是實(shí)際問(wèn)題的解，證明結(jié)論的有效性。5、根據(jù)需要修改數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步發(fā)展和深入研究這個(gè)問(wèn)題。用框圖表示如下：:實(shí)際問(wèn)題觀察、翻譯數(shù)學(xué)模型中的現(xiàn)象數(shù)學(xué)闡述應(yīng)用分析求解結(jié)論預(yù)測(cè)確認(rèn)數(shù)學(xué)結(jié)論證明在實(shí)際操作中，建立模型的步驟可以相應(yīng)地、靈活地變化。5、學(xué)生練習(xí)一例（女子舉重）2000年悉尼奧運(yùn)會(huì)上第一次列入女子舉重的項(xiàng)目。各級(jí)別冠軍的成績(jī)?nèi)缦拢杭?jí)別運(yùn)動(dòng)員國(guó)籍體重抓舉挺舉總成績(jī)48kg德拉諾娃保加利亞47.48kg82.5kg102.5kg185kg53kg楊霞中國(guó)52.46kg100kg125kg225kg58kg門丁維爾墨西哥56.92kg95kg127.5kg222.5kg63kg陳曉敏中國(guó)62.82kg112.5kg130kg242.5kg69kg李偉寧中國(guó)66.74kg110kg132kg242kg75kg烏魯?shù)賮喐鐐惐葋?3.28kg110kg135kg245kg75kg丁美媛中國(guó)103.56kg135kg165kg300kg試?yán)眠@些數(shù)據(jù)組建模型，描述運(yùn)動(dòng)員舉重的總成績(jī)對(duì)運(yùn)動(dòng)員體重的依賴關(guān)系。根據(jù)模型分析哪些級(jí)別上運(yùn)動(dòng)員舉重的總成績(jī)還有較大的提高潛力。（此問(wèn)題即是第四屆北京高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽初賽試題）6、假期研究性作業(yè)（根據(jù)自己實(shí)際可以選擇其中幾題或自命題目）閱讀一本數(shù)學(xué)科普讀物或?qū)W習(xí)參考書(shū)。發(fā)現(xiàn)并找出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)參考書(shū)中的三處非印刷性錯(cuò)誤，指出錯(cuò)誤的所在并予以更正。收集生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題并試著解決它。寫一篇數(shù)學(xué)小論文。供參考的題目如下（也可自已 選材）：一種數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)或應(yīng)用；學(xué)應(yīng)用的小發(fā)現(xiàn)、小研究、小成果；解題中的發(fā)現(xiàn)或“我的小竅門”；以自己名字命名的定理以及它的證明和應(yīng)用；談?wù)剶?shù)學(xué)某一部分內(nèi)容的學(xué)法和教法；解題失誤談。就你掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)，自編三個(gè)小綜合題。要求寫出：題目、題解、設(shè)計(jì)意圖、易陷入之“坑”和得意之處。五、在設(shè)計(jì)“建?；顒?dòng)”時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題（一）注意結(jié)合學(xué)生的實(shí)際水平，分層次逐步地推進(jìn)。數(shù)學(xué)建模對(duì)教師、對(duì)學(xué)生都有一個(gè)逐步的學(xué)習(xí)和適應(yīng)的過(guò)程。教師在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)時(shí)，特別應(yīng)考慮學(xué)生的實(shí)際能力和水平，起始點(diǎn)要低，形式應(yīng)有利于更多的學(xué)生能參與。對(duì)于初學(xué)者，教師可以在講解知識(shí)的同時(shí)有意識(shí)地介紹數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用背景。在應(yīng)用的重點(diǎn)環(huán)節(jié)有比較多的訓(xùn)練，如實(shí)際語(yǔ)言和數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換等。逐步擴(kuò)展到讓學(xué)生用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)解釋一些實(shí)際結(jié)果，描述一些實(shí)際現(xiàn)象，模仿地解決一些比較確定的應(yīng)用問(wèn)題，再到獨(dú)立地解決教師提供的數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題和建模問(wèn)題，最后發(fā)展到能獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)、提出一些實(shí)際問(wèn)題，并能用數(shù)學(xué)建模的方法解決。（二）注意結(jié)合正常教學(xué)的教材內(nèi)容。數(shù)學(xué)應(yīng)用和建模應(yīng)與現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材有機(jī)結(jié)合，把應(yīng)用和數(shù)學(xué)課內(nèi)知識(shí)的學(xué)習(xí)更好地結(jié)合起來(lái)，而不要形成兩個(gè)系統(tǒng)。教師應(yīng)特別注意把握數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)建模與學(xué)生現(xiàn)實(shí)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的“切入點(diǎn)”，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)中用、在用中學(xué)。（三）注意數(shù)學(xué)應(yīng)用與數(shù)學(xué)建模的“活動(dòng)性”。數(shù)學(xué)應(yīng)用與數(shù)學(xué)建模的目的并不是僅僅為了給學(xué)生擴(kuò)充大量的數(shù)學(xué)課外知識(shí)，也不是僅僅為了解決一些具體問(wèn)題，而是要培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)、數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素質(zhì)。因此應(yīng)重過(guò)程、重參與，更多