高中數(shù)學(xué)-數(shù)列不等式的放縮法技巧大全

高中數(shù)學(xué)-數(shù)列不等式的放縮法技巧大全

專題：數(shù)列不等式的證明

回顧：

我們會求哪些數(shù)列的和？用什么方法?

數(shù)列求和方法一：公式法等差數(shù)列，等比數(shù)列

數(shù)列求和方法二：分組求和—幾個(gè)特殊數(shù)列的和差運(yùn)算

數(shù)列求和方法三：錯(cuò)位相減法一等差X等比

數(shù)列求和方法四：裂項(xiàng)相消法一分式結(jié)構(gòu)

數(shù)列求和方法五：并項(xiàng)求和法—擺動(dòng)婺列，

數(shù)列求和方法六：倒序相磐周期數(shù)列

數(shù)航為｝滿足%+%/=常數(shù)

類型一、已知數(shù)列通項(xiàng)公式下前n項(xiàng)和的不等式問題：

A：

例1:已知4,｛〃,,｝的前〃項(xiàng)和為S”求證S"<1

-1是S,,+8時(shí)的極限（上確界）

歸納：可求和通項(xiàng)結(jié)構(gòu)的那就把和求出來再論證!

已知4“=*,｛4｝的前〃項(xiàng)和為&試找出］的大致范圍.

￡樣可以提高精度呢？11

—<------------（/?>

、?11117

證明：4-,??H）.

一、把差距較大的項(xiàng)保留下來。

例2：已知~^｛。，的前加頁和為打

七、正.21c11隱身/1

5J"2n+22n+22

n+—

2

法一、從結(jié)果出發(fā)尋找數(shù)列的項(xiàng)，逐項(xiàng)比較即可！

數(shù)學(xué)角度?,無法求得力表達(dá)式的數(shù)列（這是多數(shù)），

則希望能找一個(gè)與它相近（放大和縮?。┑哪芮蟪銮皀

項(xiàng)和表達(dá)式的數(shù)列進(jìn)行近似計(jì)算（產(chǎn)生了數(shù)列不等式）。

法二、目標(biāo)導(dǎo)向下的思考!

3號3型的數(shù)列如何求和（近似求和）？

型的數(shù)列如何求和（近似求和）？

（1）能裂項(xiàng)相消的直接求

（2）不能裂項(xiàng)相消的放大或縮小成可以裂項(xiàng)相消的夾住它

如何操作?

待定系數(shù)法

x-y=\,x+y=8（可調(diào)整）

已知<=福,仇｝的前〃項(xiàng)和為7；,試找出7；的范圍.

〃怎樣可以提高精度呢?

證明：5+*+?+…+'<（（〃GN*）.

一、把差距較大的項(xiàng)保留下來。

二、找到較佳的放縮。

結(jié)論:對于-U精度最好的放縮為：

B：

引子：求證」]_

32

結(jié)論：首項(xiàng)為外⑷>0）,公比為雙0”<1）的等比數(shù)列

的前〃項(xiàng)和為s“則乎言（等比遞縮數(shù)列的極限）

例1：(1)a=—!—，求證：S“=q+%+…+4"v1

〃n2〃??〃i/〃

(2)4二:^■，求證：5“=%+%+~+。"<1

5—1

（2）%二^"7,求證：5〃=%+。2+.…+凡＜1

J—1

分析：*=_L,通項(xiàng)公式與等比相近,（條件。）

"3"—12

（結(jié)論）

放縮依據(jù)：糖水不等式：=

a。+〃?

（2）%=占,求證：S〃

=。］+%+…+。"V1

J—1

根據(jù)通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，我們放大的目標(biāo)是什么數(shù)

列？

目標(biāo)導(dǎo)向下的待定系數(shù)法

叫"

3"-1

B:a=a>\,b>0）型的數(shù)列如何求和（近似求和）

na-b

~糖水不等式

11<曲—9b,

〃a"-b(a"—b)+6

二.待定系數(shù)

設(shè)、/iQ=--1--",——1

〃an-han

a"(a"-b)+b?

則42---=---------=1

ba

取久=1+

獨(dú)勺取值可以隨〃的值進(jìn)行精確度的調(diào)整。

完成本題并歸納

3

已知4=——-——,求證:4++…+<—.

〃3〃_2〃12〃2

歸納.一般地：對于q>l,q>b>0,%=J

a-b

證明：q+%+…+?！?lt;M.

1

設(shè)與nin=A—n

a-ba

1

則4=、a

nin1-(與'人>-----

a-ba-b

a

a11(1Y-1

a<--------=-------

na-ba"a-b\aJ

1

為首項(xiàng)，以,為公比的遞縮數(shù)列

42a-—ba

上界為----。--)

a-ba

練習(xí)：已知％=而3$為｛嗎的前〃項(xiàng)和.

n

(I

求證：(-----X

“33

(2)S〃w---------GN.

3(2/7+3)-2〃+

1

類型:7,(//>O,C>l)

方法1:待定出等比遞縮數(shù)列

方法2：構(gòu)造出裂項(xiàng)相消。

1

B：類型:,(^>O,C>1)

類型二、已知數(shù)列遞推關(guān)系式下的不等式問題

一，、2

例1：已知數(shù)列｛?！ǎ凉M足q=1,%+[=%+—+1,A7eN+.

_3

證明：當(dāng)〃N2時(shí)，n+2<a<—n+1.

〃2

例2：｛?！ǎ凉M足:q=1,%=a；+1.一

求證：了2〃T.

數(shù)學(xué)角度:無法求得｛a"通項(xiàng)公式的數(shù)列（這是多數(shù)），或

者根據(jù)題意根本就無需去計(jì)算通項(xiàng)公式；通過遞推關(guān)系式

的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行代數(shù)變形和分析（函數(shù)性質(zhì)）希望能找一

個(gè)與它相近（放大和縮小）的等差或等比數(shù)列夾住它。

A.類等差數(shù)列的概念與性質(zhì)

對于數(shù)列｛%｝,若從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差

都小于（戰(zhàn)關(guān)于）同一個(gè)常數(shù)d,則數(shù)列6網(wǎng)做類等差數(shù)

列，d稱為類等差數(shù)列的公差。

daa<d7d

a2-Q-2-1,Q2-a

1,(d1,

4-Q2-d累Q-Q2<4-a27d

33,或3

-,-d-,

aQd加Qa<4a7d

43-,43,43,

.."

-港：-

4Q<>

a-a--Ta-a

〃

T〃T

〃

〃

〃

〃

an<(>)q+(〃-l)d,(〃>2)

u

an<(N)q+(〃-l)d,(wN+),(〃=1時(shí)等號成立).

B.類等比數(shù)列的概念與性質(zhì)

C:變式挑戰(zhàn)o

3

已知數(shù)列｛%｝滿足：a[=,,%+]=_〃：+3%+C,（〃GN+）

（一）若。=T,

（1）分析｛%｝的單調(diào)性和取值范圍；

（2）求證：”+1W——<2/7,（77eN+）

%T

3Q

（二）若C=0,（此時(shí)方%三）；

5

求證<an-2<-x

〃247

C:變式挑戰(zhàn)o

3

已知數(shù)列｛%｝滿足：卬=5，?！?]+3%+C,(〃G”

(一)若。=-1,

(1)分析｛%｝的單調(diào)性和取值范圍；隱

/、4、-122〃+1n+2

(2)求證：/?+1<—產(chǎn)2n,”N*)^——<an<--

an-12/7n+1

3Q

(-)若C=0,(止匕時(shí);w。"w：)；

求證出

此類遞推關(guān)系式下尋找類等差(tt)逼近通項(xiàng)的解題五

步法。

%+i=寸+Ba〃+C

1、找出迭代函數(shù)理解迭代函數(shù)

2、計(jì)算迭代函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)與并結(jié)合蛛網(wǎng)圖理解

3、“中心化”后兩邊出現(xiàn)相同的因式?！?1一%,?！ㄒ还?/p>

?

并求出=q(a),并分析“變比”譏?！??

(X)有興趣的

4、計(jì)算“變比”式雁不動(dòng)點(diǎn)處的函數(shù)值外X。)同學(xué)可根

(1)若等于1,則數(shù)列為取倒類等差型

(2)若不等于1,則為類等比型據(jù)待定系

數(shù)法去探

5、根據(jù)4的判斷進(jìn)行求解。究為什

不動(dòng)點(diǎn)的應(yīng)用！

數(shù)歹U｛?！ǎ凉M足：Q〃+i=J3a〃+4,q=7.

(i\n~2?〃

求證4+-<a<4+-

⑴n〃8內(nèi)

類型二、已知數(shù)列遞推關(guān)系式下的不等式問題

2

葭已知：

玩點(diǎn)花樣：抽掉梯子,

3跳過a求和！

求證:q+%+…+%V—n

2、已知數(shù)列｛%｝滿足q=；,?！?]=q,-a：(〃eN').

(I)求證：Iss2(〃eN')；

%

玩點(diǎn)花樣：表面夾和,

(II)設(shè)數(shù)列｛"｝的前〃項(xiàng)和S“,實(shí)質(zhì)夾通項(xiàng)！

證明:

2(n+2)n2(〃+1)

練習(xí):

已知數(shù)列｛%｝中,%=3,2%+]=-2an+4;

(1)證明:

(2)證明:an>2+9

(3)設(shè)數(shù)列，的前〃項(xiàng)和為S”,求證：1-目

4，"

編題:

12_1_

q="。〃+1=_4〃+4〃，s〃為，—，的刖〃項(xiàng)和。

%J

(1)求證：0<?！╙

/C、-4X、T/+7〃c2/72+1077

(2)求證：一^<S〃<―--

類型四：與函數(shù)不等式相結(jié)合。

Y

已知：f(x)=ln(l+x),g(x)=——

l+x

⑴求證：/(x)>g(x)

(2)求證:;+；+…+々〈項(xiàng)〃+1)

函數(shù)不等式群：lnx<x-1=>In—<--1BD-Inx>1--

xxx

/.1--<Inx<x-1=>x<ln(x+1)<x

xx+l\

不能求和：嘗試從

那么就尋找“

練習(xí):

-jxs-rIn2In3ln〃n(n-i)

求證：——+——+…+---<-

34〃+14

有一種裂項(xiàng)叫常規(guī):

H<q=2p---L-

n~4n"4/?~-12〃+1

⑵一!—=——

2"(2〃-1)2"2"

(3)I-------<+2--y/n<=>--------<i--------------T=?！猣=<-------------

yjn+2+2+2>jn+2>+2+J

(4)p---Q.±=_!___________!_

\2n+\2n+3J2"(2n+l)-2n-1(2〃+3)?2”

‘八