專題06 特殊平行四邊形中折疊、旋轉(zhuǎn)、最值、新定義問題期末真題匯編【四大題型+提升題】（原卷版）-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期末真題分類匯編人教版

專題06特殊平行四邊形中折疊、旋轉(zhuǎn)、最值、新定義問題期末真題匯編之四大題型特殊平行四邊形中折疊問題例題：（23-24八年級(jí)上·上海青浦·期末）如圖已知長方形中，，，在邊上取一點(diǎn)，將折疊使點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)，則的長為cm．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)上·山東青島·期末）如圖，正方形紙片的邊長為2，先將正方形紙片對(duì)折，折痕為，再把點(diǎn)B折疊到上，折痕為，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)為H，則線段的長度為．2．（22-23八年級(jí)下·江蘇無錫·期末）如圖，在菱形中，，折疊該菱形，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕分別與邊、交于點(diǎn)、當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的長為；當(dāng)點(diǎn)的位置變化時(shí)，長的最大值為．

特殊平行四邊形中旋轉(zhuǎn)問題例題：（23-24九年級(jí)上·重慶合川·期末）如圖，菱形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，將繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)得到，若菱形的面積為，，則．【變式訓(xùn)練】1．（23-24九年級(jí)上·福建莆田·期末）已知如圖，將矩形繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形，點(diǎn)B與點(diǎn)E對(duì)應(yīng)，點(diǎn)E恰好落在邊上，交于點(diǎn)H，求證：(1)(2)．2．（23-24八年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期末）【問題呈現(xiàn)】四邊形和都是正方形，直線，交于點(diǎn)P．【問題解決】（1）如圖1，點(diǎn)G在邊上，判斷線段和的關(guān)系，并證明；【類比探究】（2）如圖2，將正方形繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角．①（1）中線段和的關(guān)系是否仍成立？說明理由；②若正方形的邊長為，對(duì)角線與的交點(diǎn)為O，在正方形的旋轉(zhuǎn)過程中，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P與點(diǎn)O的距離________．特殊平行四邊形中最值問題例題：（22-23九年級(jí)上·四川成都·期末）如圖，在正方形中，，是上的一點(diǎn)，且，是上的動(dòng)點(diǎn)，且，，連接，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的長為．

【變式訓(xùn)練】1．（22-23八年級(jí)下·河南駐馬店·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)D在y軸上，．

(1)求點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)．(2)點(diǎn)P是對(duì)角線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最短時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．2．（22-23八年級(jí)下·廣東廣州·期末）如圖，菱形中，，，點(diǎn)P為邊上任意一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），連結(jié)，過點(diǎn)P作邊點(diǎn)Q，點(diǎn)R線段上的一點(diǎn)．

(1)若點(diǎn)R為菱形對(duì)角線的交點(diǎn)，為的中位線，求的值；(2)當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，請(qǐng)確定點(diǎn)R的位置，并求出的最小值；(3)當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，在備用圖中作出此時(shí)點(diǎn)P，Q的位置，寫作法并寫出的最小值．特殊平行四邊形中新定義問題例題：（23-24九年級(jí)上·吉林松原·期末）定義：對(duì)多邊形進(jìn)行折疊，若翻折后的圖形恰能拼成一個(gè)無縫隙、無重疊的四邊形，則這樣的四邊形稱為鑲嵌四邊形．(1)如圖1，將紙片沿中位線折疊，使點(diǎn)落在邊上的處，再將紙片分別沿，折疊，使點(diǎn)和點(diǎn)都與點(diǎn)重合，得到雙層四邊形，則雙層四邊形為______形．(2)紙片按圖2的方式折疊，折成雙層四邊形為矩形，若，，求的長．(3)如圖3，四邊形紙片滿足，，，，．把該紙片折疊，得到雙層四邊形為正方形．請(qǐng)你畫出一種折疊的示意圖，并直接寫出此時(shí)的長．【變式訓(xùn)練】1．（22-23八年級(jí)下·江蘇南京·期末）定義：若一個(gè)四邊形只有一組鄰邊相等，且這組鄰邊夾角所對(duì)的對(duì)角線平分一個(gè)內(nèi)角，則稱這樣的四邊形為“近似菱形”．例如：如圖①，在四邊形中，，若平分，則四邊形是近似菱形．

(1)如圖②，在四邊形中，，，．求證：四邊形是“近似菱形”，(2)如圖③，已知線段BD，求作“近似菱形”，使得，平分，且與互補(bǔ)．要求：①尺規(guī)作圖；②保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明．(3)在（2）的條件下，“近似菱形”中的取值范圍是________________．2．（22-23八年級(jí)下·湖北咸寧·期末）定義：我們把對(duì)角線相等的凸四邊形叫做“等角線四邊形”．理解：（1）在已經(jīng)學(xué)過的“①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角線四邊形”的是__________（填寫序號(hào)）；（2）如圖1，在正方形中，點(diǎn)，分別在邊，上，且連接，，求證：四邊形是等角線四邊形；運(yùn)用：（3）如圖2，中，已知，，，點(diǎn)為線段的垂直平分線上的一動(dòng)點(diǎn)，若以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是等角線四邊形，求該四邊形的面積．

一、單選題1．（23-24七年級(jí)上·江西上饒·期末）如圖，把一長方形紙片ABCD的一角沿AE折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在內(nèi)部．若，且，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（23-24九年級(jí)上·山西晉中·期末）如圖，在中，，，，P為邊上一動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，點(diǎn)M為中點(diǎn)，則最小值為（）A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．53．（23-24八年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期末）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)和是邊上的兩點(diǎn)，連結(jié)，將和沿折疊后，點(diǎn)和點(diǎn)重合于點(diǎn)，則的長是（

）A． B．3 C． D．44．（23-24九年級(jí)上·廣西柳州·期末）如圖，正方形，邊長，對(duì)角線、相交于點(diǎn)O，將直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，三角板兩邊足夠長，與、交于、兩點(diǎn)，當(dāng)三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，線段的最小值為（）A．1 B．2 C． D．5．（22-23八年級(jí)下·安徽淮南·期末）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，以為對(duì)稱軸將折疊得到，以為對(duì)稱軸將折疊得到，使得點(diǎn)落到上，連接．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A． B． C． D．6．（23-24九年級(jí)上·陜西漢中·期末）如圖，矩形的對(duì)角線交于點(diǎn)，，，為等邊三角形，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，連接，則線段的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．二、填空題7．（23-24八年級(jí)上·吉林松原·期末）如圖，將矩形紙片沿折疊，點(diǎn)C落在邊上的點(diǎn)H處，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，若，則的度數(shù)為．8．（23-24八年級(jí)上·浙江寧波·期末）如圖，菱形中，，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，將菱形沿著折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，與交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，則的長為．9．（23-24九年級(jí)上·陜西咸陽·期末）如圖，P為菱形的對(duì)角線上的一定點(diǎn)，Q為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的垂直平分線分別交，于點(diǎn)E，G，，若的最小值為2，則的長為．10．（22-23九年級(jí)上·安徽蕪湖·期末）定義：點(diǎn)P與圖形M上任意一點(diǎn)所連線段的最小值叫點(diǎn)P到圖形M的距離，記為d．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)O為矩形對(duì)角線交點(diǎn)，，當(dāng)矩形繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)P到矩形的距離d的取值范圍是．11．（22-23八年級(jí)下·四川瀘州·期末）如圖，線段的長為12，點(diǎn)D在線段上運(yùn)動(dòng)，以為邊長作等邊．再以為邊長，在線段上方作正方形，記正方形的對(duì)角線交點(diǎn)為O．連接，則線段的最小值為．12．（22-23八年級(jí)下·北京西城·期末）小杰利用教材中的剪紙活動(dòng)設(shè)計(jì)了一個(gè)魔術(shù)．他將一個(gè)長方形紙片對(duì)折兩次，剪下一個(gè)角（圖1），展平后得到一個(gè)帶正方形孔洞的魔術(shù)道具（圖2），這個(gè)正方形孔洞的邊長為（圖4）．他試圖將一個(gè)直徑為的圓形鐵環(huán)（鐵環(huán)厚度忽略不計(jì)）穿過這個(gè)孔洞，沒有成功，于是他對(duì)這個(gè)道具進(jìn)行折疊、旋轉(zhuǎn)（圖5、圖6），并調(diào)整紙片產(chǎn)生一個(gè)新的“孔洞”（圖3）．請(qǐng)你計(jì)算調(diào)整前后的孔洞最“寬”處的“寬度”來說明魔術(shù)的效果．圖4中的“寬度”；圖6中的“寬度”．

三、解答題13．（22-23九年級(jí)上·海南省直轄縣級(jí)單位·期末）如圖1，將一張矩形紙片沿著對(duì)角線向上折疊，頂點(diǎn)C落到點(diǎn)E處，交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)如圖2，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)G，連接交于點(diǎn)O．①判斷四邊形的形狀，并說明理由；②若，，求的長．14．（22-23八年級(jí)下·江蘇蘇州·期末）如圖，已知菱形中，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，點(diǎn)為線段上動(dòng)點(diǎn)，連接、．

(1)的最小值為______；(2)在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，能否為直角，若可以，求出的長度，若不可以，請(qǐng)說明理由；(3)能否為，若可以，求出的長度，若不可以，請(qǐng)說明理由．15．（23-24九年級(jí)上·山東淄博·期末）已知矩形（如圖1）的一邊和對(duì)角線分別與矩形的對(duì)角線及邊重合，連接，取的中點(diǎn)，連接，試探索解決下列問題：

(1)求證：；(2)如圖2，若將（1）中的矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度，其它條件不變，你認(rèn)為（1）中的結(jié)論是否成立？若成立請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．16．（22-23八年級(jí)下·江蘇連云港·期末）定義：若四邊形有一組對(duì)角互補(bǔ)，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角，像這樣的圖形稱為“角等鄰對(duì)補(bǔ)”四邊形，簡稱“直等補(bǔ)”四邊形．根據(jù)以上定義，解決下列問題：(1)如圖1，以菱形的一邊為邊向外作正方形，、分別是菱形和正方形的對(duì)角線交點(diǎn)，連接．

求證：四邊形是“直等補(bǔ)”四邊形．②若，求四邊形的面積．(2)如圖2，已知四邊形是“直等補(bǔ)”四邊形，其中，，過點(diǎn)作于點(diǎn)且，連接，若點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)你直接寫出周長的最小值．

17．（22-23八年級(jí)下·吉林四平·期末）如圖1，四邊形為菱形，．，，．(1)點(diǎn)A坐標(biāo)為，四邊形的面積為；(2)如圖2，點(diǎn)E在線段上運(yùn)動(dòng)，為等邊三角形．①求證：，并求的最小值；②點(diǎn)E在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出點(diǎn)F的橫坐標(biāo)．若變化，請(qǐng)說明理由．18．（22-23八年級(jí)下·江蘇徐州·期末）如圖，已知四邊形為正方形，，點(diǎn)E為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），連接，以為邊作正方形，連接．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在對(duì)角線上移動(dòng)時(shí)：①求證：；②探究：的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由；③求證：點(diǎn)F在直線上．(2)如圖2，連接，則的最小值等于_______．19．（22-23八年級(jí)下·湖南長沙·期末）定義：對(duì)于一個(gè)凸四邊形，我們把依次連接它的各邊中點(diǎn)得到的新四邊形叫做原四邊形的“中點(diǎn)四邊形”，如果原四邊形的中點(diǎn)四邊形是個(gè)正方形，我們把這個(gè)原四邊形叫做“中正四邊形”．

(1)概念理解：下列四邊形中一定是“中正四邊形”的是______；A．平行四邊形

B．矩形

C．菱形

D．正方形(2)性質(zhì)探究：如圖，四邊形是“中正四邊形”，觀察圖形，直接寫出關(guān)于四邊形對(duì)角線的兩條結(jié)論；(