初中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)幾何問題

中考數(shù)學(xué)專題動(dòng)態(tài)幾何問題

第一部分真題精講

【例1】如圖，在梯形45。中，AD//BC,AO=3,DC=5,8c=10,梯形的高為4.動(dòng)

點(diǎn)”從3點(diǎn)出發(fā)沿線段BC以每秒2個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從C點(diǎn)

出發(fā)沿線段CO以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)。運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，（秒）.

（1）當(dāng)時(shí)，求/的值；

（2）試探究：/為何值時(shí)，為等腰三角形.

【思路分析1】本題作為密云卷壓軸題，自然有一定難度，題目中出現(xiàn)了兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，很多同

學(xué)看到可能就會(huì)無從下手。但是解決動(dòng)點(diǎn)問題，首先就是要找誰在動(dòng)，誰沒在動(dòng)，通過分

析動(dòng)態(tài)條件和靜態(tài)條件之間的關(guān)系求解。對(duì)于大多數(shù)題目來說，都有一個(gè)由動(dòng)轉(zhuǎn)靜的瞬間，

就本題而言，M,N是在動(dòng)，意味著BM,MC以及DN,NC都是變化的。但是我們發(fā)現(xiàn)，和這

些動(dòng)態(tài)的條件密切相關(guān)的條件DC,BC長度都是給定的，而且動(dòng)態(tài)條件之間也是有關(guān)系的。

所以當(dāng)題中設(shè)定MN〃AB時(shí)，就變成了一個(gè)靜止問題。由此，從這些條件出發(fā)，列出方程,

自然得出結(jié)果。

【解析】

解：（1）由題意知，當(dāng)M、N運(yùn)動(dòng)到f秒時(shí)，如圖①，過。作。交BC于E點(diǎn)，則

四邊形形區(qū)）是平行四邊形.

VAB//DE,AB//MN.

：.DE//MN.（根據(jù)第一講我們說梯形內(nèi)輔助線的常用做法，成功將MN放在三角形

內(nèi)，將動(dòng)態(tài)問題轉(zhuǎn)化成平行時(shí)候的靜態(tài)問題）

.MCNC（這個(gè)比例關(guān)系就是將靜態(tài)與動(dòng)態(tài)聯(lián)系起來的關(guān)鍵）

EC-CD

匕」.解得f=笆

10-3517

【思路分析2】第二問失分也是最嚴(yán)重的，很多同學(xué)看到等腰三角形，理所當(dāng)然以為是MN=NC

即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN這兩種情況。在中考中如果在動(dòng)態(tài)問題當(dāng)中碰見等腰三

角形，一定不要忘記分類討論的思想，兩腰一底一個(gè)都不能少。具體分類以后，就成為了

較為簡單的解三角形問題，于是可以輕松求解

【解析】

（2）分三種情況討論：

①當(dāng)〃N=NC時(shí)，如圖②作NFJ.BC交8c于尸，則有MC=2FC即.（利用等腰三角

形底邊高也是底邊中線的性質(zhì)）

sinZC=^4

CD5

cosZC=^,

A10-2r=2x—,

5

25

解得.

8

②當(dāng)MN=MC時(shí),如圖③，過“作M"于H.

則CN=2CH,

3

r=2（10-2z）x-.

60

t=—

17

③當(dāng)MC=C7V時(shí)，

貝以0-2r=f.

10

t=—?

3

綜上所述，當(dāng)^="、竺或W時(shí)，△MNC為等腰三角形.

8173

【例2】在aABC中，ZACB=45?.點(diǎn)D(與點(diǎn)B、C不重合)為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD,

以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.

(1)如果AB=AC.如圖①，且點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng).試判斷線段CF與BD之間的位置關(guān)

系，并證明你的結(jié)論.

(2)如果ABWAC,如圖②，且點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng).(1)中結(jié)論是否成立，為什么？

(3)若正方形ADEF的邊DE所在直線與線段CF所在直線相交于點(diǎn)P,設(shè)AC=4a,3C=3,

CD=X,求線段CP的長.(用含X的式子表示)

AA

FF

BD

【思路分析1】本題和上題有所不同，上一題會(huì)給出一個(gè)條件使得動(dòng)點(diǎn)靜止，而本題并未給

出那個(gè)“靜止點(diǎn)”，所以需要我們?nèi)シ治鲇蒁運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的變化圖形當(dāng)中，什么條件是不動(dòng)的。

由題我們發(fā)現(xiàn)，正方形中四條邊的垂直關(guān)系是不動(dòng)的，于是利用角度的互余關(guān)系進(jìn)行傳遞,

就可以得解。

【解析】：

(1)結(jié)論：CF與BD位置關(guān)系是垂直；

證明如下：：AB=AC,ZACB=459,/.ZABC=459.

由正方形ADEF得AD=AF,VZDAF=ZBAC=909,

，NDAB=/FAC,A△DABFAC,，/ACF=/ABD.

AZBCF=ZACB+ZACF=905.即CF±BD.

【思路分析2］這一問是典型的從特殊到一般的問法，那么思路很簡單，就是從一般中構(gòu)筑

一個(gè)特殊的條件就行，于是我們和上題一樣找AC的垂線，就可以變成第一問的條件，然后

一樣求解。

(2)CF_LBD.⑴中結(jié)論成立.

理由是：過點(diǎn)A作AG_LAC交BC于點(diǎn)G,，AC=AG

可證：AGAD^ACAFAZACF=ZAGD=459

ZBCF=ZACB+ZACF=909.即CF_LBDBG

【思路分析3］這一問有點(diǎn)棘手，D在BC之間運(yùn)動(dòng)和它在BC延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)的位置是不一

樣的，所以已給的線段長度就需要分情況去考慮到底是4+X還是4-X。分類討論之后利用相

似三角形的比例關(guān)系即可求出CP.

(3)過點(diǎn)A作ACUBC交CB的延長線于點(diǎn)Q,

①點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

VZBCA=455,可求出AQ=CQ=4.DQ=4-x,

易證△AQDSADCP,\

DQAQ4-x4

CP=------FX?QBD

4

②點(diǎn)D在線段BC延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

VZBCA=459,可求出AQ=CQ=4,/.DQ=4+x.

過A作4GLAC交CB延長線于點(diǎn)G,則A4G0WA4b..?.CF±BD,

AAQD^ADCP,

DQAQ4+x4

CP-----FX?

4

【例3】已知如圖，在梯形ABC。中，AD〃BC,AZ)=2,5c=4,點(diǎn)M是AO的中點(diǎn),

△MBC是等邊三角形.

(1)求證：梯形ABCO是等腰梯形：

(2)動(dòng)點(diǎn)P、。分別在線段BC和MC上運(yùn)動(dòng)，且NA/PQ=60。保持不變.設(shè)

【思路分析1】本題有一點(diǎn)綜合題的意味，但是對(duì)二次函數(shù)要求不算太高，重點(diǎn)還是在考察

幾何方面。第一問純靜態(tài)問題，自不必說，只要證兩邊的三角形全等就可以了。第二問和

例1一樣是雙動(dòng)點(diǎn)問題，所以就需要研究在P,Q運(yùn)動(dòng)過程中什么東西是不變的。題目給定N

MPQ=60°,這個(gè)度數(shù)的意義在哪里？其實(shí)就是將靜態(tài)的那個(gè)等邊三角形與動(dòng)態(tài)條件聯(lián)系了

起來.因?yàn)樽罱K求兩條線段的關(guān)系，所以我們很自然想到要通過相似三角形找比例關(guān)系.怎么

證相似三角形呢？當(dāng)然是利用角度咯.于是就有了思路.

【解析】

(1)證明：是等邊三角形

/.MB=MC,NMBC=NMCB=60°

???”是AD中點(diǎn)

AM=MD

'：AD//BC

：./AMB=/MBC=60°,

ZDMC=ZMCB=60°

/.AAMB沿ADMC

AB=DC

梯形ABC。是等腰梯形.

(2)解：在等邊4MBC中，MB=MC=BC=4,NMBC=/MCB=60°,

ZMPQ=60°

AZBMP+ZBPM=ZBPM+ZQPC=120°(這個(gè)角度傳遞非常重要,大家要仔細(xì)揣

摩)

/BMP=/QPC

...ABMPsAcaP

.PC=CQ

"：PC=x,MQ^y：.BP=4-x,QC=4—y

x4-y124

-=------?*.y=一廠—x+4

44-尤4(設(shè)元以后得出比例關(guān)系,輕松化成二次函數(shù)的樣子)

【思路分析2】第三問的條件又回歸了當(dāng)動(dòng)點(diǎn)靜止時(shí)的問題。由第二問所得的二次函數(shù)，很

輕易就可以求出當(dāng)X取對(duì)稱軸的值時(shí)Y有最小值。接下來就變成了“給定PC=2,求△PQC

形狀''的問題了。由已知的BC=4,自然看出P是中點(diǎn)，于是問題輕松求解。

（3）解：△PQC為直角三角形

2

VJ=1（X-2）+3

...當(dāng)y取最小值時(shí)，x=PC=2

P是3c的中點(diǎn)，MP1.BC,而ZMPQ=60°,

.?.NCPQ=30。，

.'.XPQC=90°

以上三類題目都是動(dòng)點(diǎn)問題，這一類問題的關(guān)鍵就在于當(dāng)動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)中出現(xiàn)特殊條件，例如

某邊相等，某角固定時(shí)，將動(dòng)態(tài)問題化為靜態(tài)問題去求解。如果沒有特殊條件，那么就需

要研究在動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)中哪些條件是保持不變的。當(dāng)動(dòng)的不是點(diǎn)，而是一些具體的圖形時(shí)，思

路是不是一樣呢?接下來我們看另外兩道題.

【例4】已知正方形ABCD中，E為對(duì)角線3D上一點(diǎn)，過E點(diǎn)作EF工BD交BC于F,連

接。尸，G為。尸中點(diǎn)，連接EG,CG.

（1）直接寫出線段EG與CG的數(shù)量關(guān)系；

（2）將圖1中尸繞8點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，如圖2所示，取OF中點(diǎn)G,連接EG,CG,.

你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明.

（3）將圖1中ABE5繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖3所示，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中的

結(jié)論是否仍然成立？（不要求證明）

【思路分析11這一題是一道典型的從特殊到一般的圖形旋轉(zhuǎn)題。從旋轉(zhuǎn)45。到旋轉(zhuǎn)任意

角度，要求考生討論其中的不動(dòng)關(guān)系。第一問自不必說，兩個(gè)共斜邊的直角三角形的斜邊

中線自然相等。第二問將4BEF旋轉(zhuǎn)45°之后，很多考生就想不到思路了。事實(shí)上，本題

的核心條件就是G是中點(diǎn)，中點(diǎn)往往意味著一大票的全等關(guān)系，如何構(gòu)建一對(duì)我們想要的

全等三角形就成為了分析的關(guān)鍵所在。連接AG之后，拋開其他條件，單看G點(diǎn)所在的四邊

形ADFE,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)梯形，于是根據(jù)我們?cè)诘谝恢v專題中所討論的方法，自然想

到過G點(diǎn)做AD,EF的垂線。于是兩個(gè)全等的三角形出現(xiàn)了。

(1)CG=EG

(2)(1)中結(jié)論沒有發(fā)生變化，即CG=EG.

證明：連接AG,過G點(diǎn)作MN_LAO于與的延長線交于N點(diǎn).

在\DAG與&DCG中，

AD=CD,ZADG=NCDG,DG=DG,

：.\DAG烏\DCG.

AG=CG.

在\DMG與RFNG中，

,/ZDGM=NFGN,FG=DG,NMDG=NNFG,

：.ADMG咨AFNG.

：.MG=NG

在矩形AENM中，AM=EN

在RtAAMG與RtXENG中,

'：AM=EN,MG=NG,

：.\AMG名\ENG.

：.AG=EG.

：.EG=CG

圖2

【思路分析2】第三問純粹送分，不要求證明的話幾乎所有人都會(huì)答出仍然成立。但是

我們不應(yīng)該止步于此。將這道題放在動(dòng)態(tài)問題專題中也是出于此原因，如果4BEF任意旋轉(zhuǎn),

哪些量在變化，哪些量不變呢？如果題目要求證明，應(yīng)該如何思考。建議有余力的同學(xué)自

己研究一下，筆者在這里提供一個(gè)思路供參考：在4BEF的旋轉(zhuǎn)過程中，始終不變的依然是

G點(diǎn)是FD的中點(diǎn)。可以延長一倍EG到H,從而構(gòu)造一個(gè)和EFG全等的三角形，利用BE=EF

這一條件將全等過渡。要想辦法證明三角形ECH是一個(gè)等腰直角三角形，就需要證明三角

形EBC和三角形CGH全等，利用角度變換關(guān)系就可以得證了。

(3)(1)中的結(jié)論仍然成立.

圖3

【例5】已知正方形ABCD的邊長為6cm,點(diǎn)E是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE交射

線DC于點(diǎn)F,將△ABE沿直線AE翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)B，處.

(1)當(dāng)——=1時(shí)，CF=cm,

CE

(2)當(dāng)——=2時(shí)，求sinNDAB'的值;

CE

BE

（3）當(dāng)生=X時(shí)（點(diǎn)C與點(diǎn)E不重合），請(qǐng)寫出△ABE翻折后與正方形ABCD公共部

CE

分的面積y與x的關(guān)系式，（只要寫出結(jié)論，不要解題過程）.

【思路分析】動(dòng)態(tài)問題未必只有點(diǎn)的平移，圖形的旋轉(zhuǎn)，翻折（就是軸對(duì)稱）也是一大熱

點(diǎn)。這一題是朝陽卷的壓軸題，第一問給出比例為1,第二問比例為2,第三問比例任意，

所以也是一道很明顯的從一般到特殊的遞進(jìn)式題目。同學(xué)們需要仔細(xì)把握翻折過程中哪些

條件發(fā)生了變化，哪些條件沒有發(fā)生變化。一般說來，翻折中，角，邊都是不變的，所以

軸對(duì)稱圖形也意味著大量全等或者相似關(guān)系，所以要利用這些來獲得線段之間的比例關(guān)系.

尤其注意的是，本題中給定的比例都是有兩重情況的，E在BC上和E在延長線上都是可能

的，所以需要大家分類討論，不要遺漏。

【解析】

（1）CF=6cm；（延長之后一眼看出，EAZY）

（2）①如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，延長AB'交DC于點(diǎn)M,

.BEAB

〃

ABCF,AABE^AFCE,"~CE~~FC

圖1

?祥CF=3.

,/AB〃CF,AZBAE=ZF.

又NBAE=NB'AE,；.NB'AE=/F.MA=MF.

設(shè)MA=MF=k,則MC=k-3,DM=9-k.

在RtAADM中，由勾股定理得：

ias

k2=(9-k)2+62,解得k=MA=‘.ADM=-.(設(shè)元求解是這類題型中比較重要的方

22

法)

_DM5

sinZDAB

AM13

②如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在BC延長線上時(shí)，延長AD交&E于點(diǎn)N,

同①可得NA=NE.

設(shè)NA=NE=m,則B，N=12-m.

在Rt"B，N中,由勾股定理，得

13Q

m2=(12-m)2+62?國用得m=AN=—.:.B'N二一.

22

B'N_3

AN-5,

(3)①當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，丫=弛；

X+1

(所求4AB，E的面積即為4ABE的面積，再由相似表示出邊長)

②當(dāng)點(diǎn)E在BC延長線上時(shí)，y=18x~18.

X

【總結(jié)】通過以上五道例題，我們研究了動(dòng)態(tài)幾何問題當(dāng)中點(diǎn)動(dòng)，線動(dòng)，乃至整體圖形

動(dòng)這么幾種可能的方式。動(dòng)態(tài)幾何問題往往作為壓軸題來出，所以難度不言而喻，但是希望

考生拿到題以后不要慌張,因?yàn)闊o論是題目以哪種形態(tài)出現(xiàn)，始終把握的都是在變化過程中

那些不變的量。只要條分縷析，一個(gè)個(gè)將條件抽出來,將大問題化成若干個(gè)小問題去解決,就

很輕松了.為更好的幫助考生,筆者總結(jié)這種問題的一般思路如下：

第一、仔細(xì)讀題，分析給定條件中那些量是運(yùn)動(dòng)的，哪些量是不動(dòng)的。針對(duì)運(yùn)動(dòng)的量，

要分析它是如何運(yùn)動(dòng)的，運(yùn)動(dòng)過程是否需要分段考慮，分類討論。針對(duì)不動(dòng)的量，要分析

它們和動(dòng)量之間可能有什么關(guān)系，如何建立這種關(guān)系。

第二、畫出圖形，進(jìn)行分析，尤其在于找準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)過程中靜止的那一瞬間題目間各個(gè)變量

的關(guān)系。如果沒有靜止?fàn)顟B(tài)，通過比例，相等等關(guān)系建立變量間的函數(shù)關(guān)系來研究。

第三、做題過程中時(shí)刻注意分類討論，不同的情況下題目是否有不同的表現(xiàn)，很多同學(xué)

丟分就丟在沒有討論，只是想當(dāng)然看出了題目所給的那一種圖示方式，沒有想到另外的方

式，如本講例5當(dāng)中的比例關(guān)系意味著兩種不一樣的狀況，是否能想到就成了關(guān)鍵。

第二部分發(fā)散思考

【思考11已知：如圖(1),射線40〃射線5N,AB是它們的公垂線，點(diǎn)。、C分別

在AM、3N上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)。與點(diǎn)A不重合、點(diǎn)C與點(diǎn)B不重合)，E是48邊上的動(dòng)

點(diǎn)(點(diǎn)E與A、B不重合)，在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持DEJ.EC,且+==

(1)求證：AADEsABEC；

(2)如圖(2),當(dāng)點(diǎn)E為A8邊的中點(diǎn)時(shí)，求證：AD+BC=CD；

(3)設(shè)請(qǐng)?zhí)骄浚篈BEC的周長是否與加值有關(guān)？若有關(guān)，請(qǐng)用含有機(jī)的代

數(shù)式表示ABEC的周長；若無關(guān)，請(qǐng)說明理由.

DMDM

BCBCN

第25題(1)第25題(2)

【思路分析】本題動(dòng)點(diǎn)較多，并且是以和的形式給出長度。思考較為不易，但是圖中有多

個(gè)直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的線段、角關(guān)系去分析。第三問計(jì)算周長,

要將周長的三條線段分別轉(zhuǎn)化在一類關(guān)系當(dāng)中，看是否為定值，如果是關(guān)于M的函數(shù)，那

么就是有關(guān)，如果是一個(gè)定值，那么就無關(guān)，于是就可以得出結(jié)論了。

【思考2】ZiABC是等邊三角形，P為平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，BP^BA,若(TCNP8c<180。,

且/P8c平分線上的一點(diǎn)。滿足DB=DA,

(1)當(dāng)BP與弘重合時(shí)(如圖1),ZBPD=°；

(2)當(dāng)8P在NABC的內(nèi)部時(shí)(如圖2),求/BP。的度數(shù)；

(3)當(dāng)BP在NA8C的外部時(shí)，請(qǐng)你直接寫出N8PD的度數(shù)，并畫出相應(yīng)的圖形.

BE----------------'C

圖1

【思路分析】本題中，和動(dòng)點(diǎn)P相關(guān)的動(dòng)量有NPBC,以及D點(diǎn)的位置，但是不動(dòng)的量就是

BD是平分線并且DB=DA,從這幾條出發(fā)，可以利用角度相等來找出相似、全等三角形。事

實(shí)上，P點(diǎn)的軌跡就是以B為圓心，BA為半徑的一個(gè)圓，那D點(diǎn)是什么呢？留給大家思考

.卜~~

3

【思考3］如圖：已知，四邊形ABCD中，AD//BC,DC±BC,已知AB=5,BC=6,cosB=y.

點(diǎn)。為BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)。D,以。為圓心，B。為半徑的。。分別交邊AB于點(diǎn)P,

交線段0D于點(diǎn)M,交射線BC于點(diǎn)N,連結(jié)MN.

(1)當(dāng)BO=AD時(shí)，求BP的長；

(2)點(diǎn)0運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在BP=MN的情況？若存在，請(qǐng)求出當(dāng)B0為多長時(shí)BP=MN；

若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)在點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的過程中，以點(diǎn)C為圓心，CN為半徑作。C,請(qǐng)直接寫出當(dāng)。C存在時(shí)，

?0與。C的位置關(guān)系，以及相應(yīng)的。C半徑CN的取值范圍。

【思路分析】這道題和其他題目不同點(diǎn)在于本題牽扯到了有關(guān)圓的動(dòng)點(diǎn)問題。在和圓有關(guān)

的問題當(dāng)中，時(shí)刻不要忘記的就是圓的半徑始終相等這一個(gè)隱藏的靜態(tài)條件。本題第一問

比較簡單，等腰梯形中的計(jì)算問題。第二問則需要用設(shè)元的方法表示出MN和BP,從而討

論他們的數(shù)量關(guān)系。第三問的猜想一定要記得分類分情況討論。

【思考4】在ABCO中，過點(diǎn)C作CEJ_CD交AD于點(diǎn)E,將線段EC繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得

到線段EF(如圖1)

(1)在圖1中畫圖探究：

①當(dāng)P為射線CD上任意一點(diǎn)(Pi不與C重合)時(shí)，連結(jié)EPi繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得

到線段EQ判斷直線FQ與直線CD的位置關(guān)系，并加以證明；

②當(dāng)P2為線段DC的延長線上任意一點(diǎn)時(shí)，連結(jié)EP〃將線段EP2繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90

得到線段EC2.判斷直線C1C2與直線CD的位置關(guān)系，畫出圖形并直接寫出你的結(jié)論.

4

(2)若AD=6,tanB=§,AE=l,在①的條件下，設(shè)CPFX,SP1FC1=y＞求＞與X之間的函

數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量X的取值范圍.

【思路分析】本題是去年中考原題，雖不是壓軸，但動(dòng)點(diǎn)動(dòng)線一起考出來，難倒了不少同

學(xué)。事實(shí)上就在于如何把握這個(gè)旋轉(zhuǎn)90°的條件。旋轉(zhuǎn)90°自然就是垂直關(guān)系，于是又出

現(xiàn)了一堆直角三角形，于是證角，證線就手到擒來了。第二問一樣是利用平行關(guān)系建立函

數(shù)式，但是實(shí)際過程中很多同學(xué)依然忘記分類討論的思想，漏掉了很多種情況，失分非常

可惜。建議大家仔細(xì)研究這道中考原題，按照上面總結(jié)的一般思路去拆分條件，步步為營

的去解答。

第三部分思考題解析

【思考1解析】

(1)證明：DEVEC,：.NDEC=90°.，NAED+NBEC=90°.

又NA=NB=90°,ZAED+ZEDA=90°.

ZBEC=NEDA.二AADE-"EC.

(2)證明：如圖，過點(diǎn)E作EFHBC,交CD于點(diǎn)F,

,/E是AB的中點(diǎn)，容易證明EF=g(AO+BC).

在RtbDEC中，,/DF=CF,：.EF=-CD.

2

第25題

^(AD+BC)=^CD.

/.AD+BC=CD.

(3)解：AAEQ的周長=AE+AZ)+OE=a+〃z,BE=a—m.

設(shè)AD=x,則DE=a-x.

???ZA=90°,DE2=AE2+AD2.a1-2ax+x1=nr+x1.

由(1)知AADEsABEC,

.勺周長_AD_2Q_a+m

一ABEC的周長一正一"m-2a'

：.AB￡C的周長=烏一?\ADE的周長=2a.

a+m

，A8EC的周長與加值無關(guān).

【思考2答案】

解：(1)ZBPD=30°:

(2)如圖8,連結(jié)CD.

解一：?.?點(diǎn)。在NPBC的平分線上,

Z1=Z2.

△ABC是等邊三角形，

BA=BC=AC,NACB=60°.

BP=BA,

BP=BC.

BD=BD,

△PBD%ACBD.

ZBPD=Z3.-----------------------------3分

DB=DA,BC=AC,CD=CD,

△88名"CD.

Z3=Z4=izACB=30°.

2

ZBPD=30°.

解二:△ABC是等邊三角形，

BA=BC=AC.

DB=DA,

CD垂直平分A8.

N3=N4」ZACB=30°.

2

BP=BA,

BP=BC.

點(diǎn)。在NPBC的平分線上，

△PBD與△CBD關(guān)于BD所在直線對(duì)稱.

ZBPD=Z3.

ZBPD=30°.

(3)NBPD=30°或150°

圖形見圖9、圖10.

【思考3解析】

3

解：（1）過點(diǎn)A作AE_LBC,在RtAABE中，由AB=5,cosB=S得BE=3.

VCDIBC,AD//BC,BC=6,

/.AD=EC=BC-BE=3.

當(dāng)B0=AD=3時(shí)，在。。中，過點(diǎn)。作OH_LAB,則BH=HP

..BH八.c39

?-----=cosB,..BH=3x—=—.

BO55

18

BP=一.

5

(2)不存在BP=MN的情況-

假設(shè)BP=MN成立，

VBP和MN為。。的弦，則必有/BOP=/DOC.

過P作PQ_LBC,過點(diǎn)。作。H_LAB,

VCD1BC,則有△PQOSADOC-

BH33

設(shè)BO=x,則PO=x^"—?=COS=-,得BH==X,

x55

6

；.BP=2BH=-X.

5

1824

BQ=BPxcosB=——X,PQ,=—x.

2525

??OQ=x-------x=—x.

2525

24.29

,/△PQO^ADOC,絲=變即25X_4,得》=一.

OQOC［