2023-2024學(xué)年北京市育英學(xué)校高二下學(xué)期期中練習(xí)數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年北京市育英學(xué)校高二下學(xué)期期中練習(xí)數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知數(shù)列an滿足an+1=an+2，且A.4 B.5 C.6 D.72.函數(shù)y=x+cosx的導(dǎo)數(shù)為(

)A.y′=1+sinx B.y′=1?sinx C.3.《第二十條》、《熱辣滾燙》、《飛馳人生2》三部賀歲片引爆了2024年春節(jié)電影市場(chǎng)．某電影院同時(shí)段播放這三部電影，小李和他的三位同學(xué)每人只能選擇看其中的一場(chǎng)電影，則不同的選擇方案有(

)A.43種 B.34種 C.A43種4.記等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若a5=7，aA.49 B.63 C.70 D.1265.若100件產(chǎn)品中有6件次品，現(xiàn)從中任取3件產(chǎn)品，則至少有1件次品的不同取法的種數(shù)是(

)A.C61C942 B.C66.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是(

)

A.曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率小于零

B.函數(shù)f(x)在區(qū)間(?1,1)上單調(diào)遞增

C.函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值

D.函數(shù)f(x)在區(qū)間(?3,3)內(nèi)至多有兩個(gè)零點(diǎn)7.由1,2,3,4,5,6組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，且1，3不相鄰的六位數(shù)的個(gè)數(shù)是(

)A.240 B.288 C.360 D.4808.已知Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a1=?2，an+1A.?4 B.?8 C.?16 D.?329.已知函數(shù)f(x)=aex?lnx在(1,2)上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)A.1e,+∞ B.12e2,+∞10.若數(shù)列an為等比數(shù)列，則“a3≥1”是“a1A.充要條件 B.既不充分也不必要條件

C.充分不必要條件 D.必要不充分條件11.一個(gè)信息設(shè)備裝有一排六只發(fā)光電子元件，每個(gè)電子元件被點(diǎn)亮?xí)r可發(fā)出紅色光?藍(lán)色光?綠色光中的一種光.若每次恰有三個(gè)電子元件被點(diǎn)亮，但相鄰的兩個(gè)電子元件不能同時(shí)被點(diǎn)亮，根據(jù)這三個(gè)被點(diǎn)亮的電子元件的不同位置以及發(fā)出的不同顏色的光來(lái)表示不同的信息，則這排電子元件能表示的信息種數(shù)共有(

)A.60種 B.68種 C.82種 D.108種12.已知函數(shù)f(x)=ex?①f(x)是奇函數(shù)；②f(x)在R上是增函數(shù)；③方程f(x)=x2+2x④如果對(duì)任意x∈0,+∞，都有fx>kx，那么k的最大值為A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④二、填空題：本題共8小題，每小題5分，共40分。13.設(shè)函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)為f′x，若f′x0=a，則lim14.曲線y=?x2+7x+lnx在點(diǎn)1,615.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，an+1?a16.在等比數(shù)列an中，a1+a3=10，a2+a17.一個(gè)圓桌有八個(gè)座位，編號(hào)為1至8.現(xiàn)有四個(gè)學(xué)生和四個(gè)家長(zhǎng)入座，要求學(xué)生坐在偶數(shù)位．家長(zhǎng)與其孩子相鄰．滿足要求的坐法共有

種．18.設(shè)數(shù)列{an}滿足“a1>a2，a19.如圖：某城市有縱向道路和橫向道路若干條，構(gòu)成如圖所示的矩形道路網(wǎng)(圖中黑線表示道路)，則從西南角A地到東北角B地的最短路線共有

條.(用數(shù)字作答)

20.隨著自然語(yǔ)言大模型技術(shù)的飛速發(fā)展，C?atGPT等預(yù)訓(xùn)練語(yǔ)言模型正在深刻影響和改變著各衍各業(yè).為了解決復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，預(yù)訓(xùn)練模型需要在模擬的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中引入激活函數(shù)，將上一層神經(jīng)元的輸出通過(guò)非線性變化得到下一層神經(jīng)元的輸入.經(jīng)過(guò)實(shí)踐研究，人們發(fā)現(xiàn)當(dāng)選擇的激活函數(shù)不合適時(shí)，容易出現(xiàn)梯度消失和梯度爆炸的問(wèn)題.某工程師在進(jìn)行新聞數(shù)據(jù)的參數(shù)訓(xùn)練時(shí)，采用fx=11+e?x作為激活函數(shù)，為了快速測(cè)試該函數(shù)的有效性，在一段代碼中自定義：若輸x的x滿足fx+1?fx<a①fx是R②當(dāng)b=e時(shí)，?x∈R，輸入x會(huì)提示“可能出現(xiàn)梯度爆炸”；③當(dāng)a=e?5時(shí)，?x≥5，輸入④?a>0,?x∈R，輸入x會(huì)提示“可能出現(xiàn)梯度消失”．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

．三、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。21.(本小題12分)已知函數(shù)fx=x(1)求實(shí)數(shù)a；(2)若x∈14,4，求22.(本小題12分)如圖，在四棱錐P?ABCD中，CD⊥平面ADP，AB/?/CD，CD=2AB=4，?ADP是等邊三角形，E為DP的中點(diǎn)．

(1)證明：AE⊥平面PDC；(2)若PA=6，求平面PBC與平面ABE夾角的余弦值．23.(本小題12分)已知Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，Tn為等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，(1)若b4=8，求(2)從以下三個(gè)條件中選擇一個(gè)條件作為已知，使得bn單調(diào)遞增，求出bn的通項(xiàng)公式以及條件①：a5=3；條件②：a3+b注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．24.(本小題12分)已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=fx在點(diǎn)1,f(2)當(dāng)a<0時(shí)，求fx(3)當(dāng)12≤a≤1時(shí)，判斷f25.(本小題12分)對(duì)于數(shù)列an，如果存在正整數(shù)T，使得對(duì)任意nn∈N?，都有an+T=an，那么數(shù)列an就叫做周期數(shù)列，T叫做這個(gè)數(shù)列的周期.若周期數(shù)列bn，cn(1)判斷下列數(shù)列是否為周期數(shù)列.如果是，寫(xiě)出該數(shù)列的周期，如果不是，說(shuō)明理由；①an(2)若an和bn是“同根數(shù)列”，且周期的最小值分別是3和5，求證：(3)若an和bn是“同根數(shù)列”，且周期的最小值分別是m+2和m+4m∈N?答案1.C

2.B

3.B

4.B

5.D

6.D

7.D

8.C

9.C

10.C

11.D

12.B

13.2a

14.6

15.2n+116.11217.48

18.an=n+319.66

20.①③④

21.解：(1)因?yàn)閒′(x)=2x?5+ax，由題意得f′(2)=0，

即4?5+a2=0，解得a=2;

(2)由(1)得f′(x)=(2x?1)(x?2)x，x∈(14,4)，

由f′(x)>0，得14<x<12或2<x<4，f′(x)<0，得12<x<2，

即22.解：(1)證明：由于?ADP是等邊三角形，E為DP的中點(diǎn)，所以AE⊥PD，又因?yàn)镃D⊥平面ADP，AE?平面ADP，所以CD⊥AE，又CD，PD?平面PDC，且CD∩PD=D，

所以AE⊥平面PDC；(2)取PC的中點(diǎn)F，連接EF,BF，則由E是PD的中點(diǎn)，知EF是三角形PCD的中位線，故EF/?/CD，因?yàn)镃D⊥平面ADP，所以EF⊥平面ADP，

而EA，EP?平面ADP，故EF⊥EA，EF⊥EP，

故EA,EF,EP三線兩兩相互垂直，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EP,EA,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E?xyz，

則由CD=4，AB=2，EF=12CD=2EA=PA2?EP2所以PB=?3,33設(shè)平面PBC的法向量為m=m?PB令x=2，則y=0，z=3，故m=2,0,3顯然平面ABE的一個(gè)法向量為n=1,0,0而cos?故平面PBC與平面ABE夾角的余弦值為2

23.(1)因?yàn)閎n為等比數(shù)列，b1=1設(shè)bn的公比為q，則b解得q=2.所以b2因?yàn)閍2+b因?yàn)閍n為等差數(shù)列，a1=1所以a3(2)若選擇條件①因?yàn)閍n為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，a1=b設(shè)an的公差為d=a5?a所以bn不是遞增數(shù)列，故不符題意，所以不能選條件①若選擇條件②因?yàn)閍n為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，a1=b設(shè)an的公差為d，bn的公比為則a1+d+解得q=2或q=0(舍)，故條件②符合題意，所以bn=b若選擇條件③因?yàn)閍n為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，a1=b所以a3=6，設(shè)an的公差d=a3所以bn不是遞增數(shù)列，故不符題意，所以不能選條件③24.(1)當(dāng)a=1時(shí)fx=xlnx?1所以f′1所以曲線y=fx在點(diǎn)1,f1處的切線方程為(2)函數(shù)fx的定義域?yàn)?,+∞，且f′令gx=f′x因?yàn)閍<0，所以g′x<0恒成立，所以gx即f′x在0,+∞又f′1所以當(dāng)0<x<1時(shí)f′x>0，當(dāng)x>1時(shí)則fx在0,1上單調(diào)遞增，在1,+∞所以fx在x=1處取得極大值f(3)令fx=0，即因?yàn)閤>0，所以aln令Fx所以判斷fx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即判斷F又F′x=a所以當(dāng)0<x<2a時(shí)F′x>0，當(dāng)x>2a時(shí)所以Fx在0,2a上單調(diào)遞增，在2a,+∞所以Fx令Hx=x則H′x=12ln所以Hx在1,2所以Hx所以F2a≤0，當(dāng)且僅當(dāng)所以當(dāng)a=12時(shí)Fx當(dāng)12<a≤1時(shí)Fx綜上可得當(dāng)a=12時(shí)fx有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)1

25.(1){a因?yàn)閍n+1所以數(shù)列{an}是周期數(shù)列，其周期為1(因?yàn)閎n+3所以bn+6所以數(shù)列{bn}是周期數(shù)列，其周期為6(或6(2)假設(shè)k≤6不成立，則有k≥7，即對(duì)于1≤i≤7，都有ai因?yàn)閍7=a又因?yàn)閍6=a所以a1所以an+1=an，即T=1，與所以k≤6．(3)當(dāng)m是奇數(shù)時(shí)，首先證明k≥2m+5不存在數(shù)列滿足條件．假設(shè)k≥2m+5，即對(duì)于1≤i≤2m+5，都有ai因?yàn)閍m+t所以at?2即a1=a又t=m+5時(shí)，a1所以an+1=an，即T=1，與其次證明k=2m+4存