2023年上海大同中學(xué)高二下期中數(shù)學(xué)試卷及答案

高中PAGE1高中2022-2023學(xué)年上海市大同中學(xué)高二年級下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷2023.4一?填空題（本大題共有12小題，每題3分，滿分36分）1.過兩點(diǎn)直線的傾斜角為，那么__________.2直線與直線平行，則__________.3.過點(diǎn)與半徑最小的圓的方程為___________.4.已知橢圓的長軸在軸上，若焦距為4，則__________.5.若雙曲線兩個頂點(diǎn)三等分焦距，則該雙曲線的漸近線方程是___________.6.若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則______.7.過點(diǎn)作直線與圓：相切，則直線的一般式方程是_________.8.設(shè)和為橢圓的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且滿足，則的面積是__________.9.若橢圓的弦被點(diǎn)平分，則此弦所在直線的斜率為__________10.從雙曲線上任意一點(diǎn)分別作兩條漸近線的平行線，這4條直線構(gòu)成平行四邊形，則該平行四邊形的面積為__________.11.直線與曲線的公共點(diǎn)的個數(shù)是___________．12.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別的，過點(diǎn)且傾斜角為的直線交的右支于兩點(diǎn)（在軸上方），且滿足，則雙曲線的離心率是__________（結(jié)果用表示）二?選擇題（本大題共有4題，每小題4分，滿分16分）13.已知兩條直線“”是“直線與直線的夾角為”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件14.平面直角坐標(biāo)系上動點(diǎn)，滿足，則動點(diǎn)的軌跡是（）A.直線 B.線段 C.圓 D.橢圓15.雙曲線和的離心率分別為和，若滿足，則下列說法正確是（）A.的漸近線斜率的絕對值較大，的開口較開闊B.的漸近線斜率的絕對值較大，的開口較狹窄C.的漸近線斜率的絕對值較大，的開口較開闊D.的漸近線斜率的絕對值較大，的開口較狹窄16.已知集合.由集合中所有的點(diǎn)組成的圖形如圖中陰影部分所示，中間白色部分形如水滴.給出下列結(jié)論：①“水滴”圖形與軸相交，最高點(diǎn)記作，則點(diǎn)的坐標(biāo)為；②陰影部分與軸相交，最高點(diǎn)和最低點(diǎn)分別記作和，則；③在陰影部分中任取一點(diǎn)，則的最大距離為3；④“水滴”圖形的面積是.其中正確的有（）A.4個 B.3個 C.2個 D.1個三?解答題（本題滿分48分）17.已知的三個頂點(diǎn)，，.（1）求直線的方程；（2）求面積.18.已知圓經(jīng)過，圓.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若圓與圓相切，求的值.19.已知是橢圓上一個動點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，若的最大值和最小值分別為和.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是軸正半軸上的一點(diǎn)，求的最大值.20.已知等軸雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，焦距為.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）斜率為的直線過點(diǎn)，且直線與雙曲線的兩支分別交于、兩點(diǎn)，①求的取值范圍；②若是關(guān)于軸對稱點(diǎn)，證明直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).21.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，設(shè)P是第一象限內(nèi)橢圓Γ上一點(diǎn)，、的延長線分別交橢圓Γ于點(diǎn)、，直線與交于點(diǎn)R．（1）求周長；（2）當(dāng)垂直于x軸時，求直線的方程；（3）記與的面積分別為、，求的最大值．

2022-2023學(xué)年上海市大同中學(xué)高二年級下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷2023.4一?填空題（本大題共有12小題，每題3分，滿分36分）1.過兩點(diǎn)直線的傾斜角為，那么__________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用直線斜率的定義及坐標(biāo)公式求解作答.【詳解】依題意，直線的斜率，又，則，解得，所以.故答案為：12.直線與直線平行，則__________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行的充要條件即可求解.【詳解】法一：兩直線平行，則；法二：兩直線平行，，則,故答案為：.3.過點(diǎn)與半徑最小的圓的方程為___________.【答案】【解析】【分析】由圓心到直線的距離d、半弦長和半徑構(gòu)成的勾股定理得要使半徑R最小，則需d最小，d最小是0,此時圓的圓心為AB的中點(diǎn)，圓的直徑為AB，可得圓的方程.【詳解】設(shè)所求的圓的圓心為C，圓的半徑為R，圓心到直線AB的距離為d,則，由已知得，要使半徑R最小，則需d最小，d最小是0，此時圓的圓心為AB的中點(diǎn)，圓的直徑為AB，圓的方程是，即，故填：．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)條件求圓的方程的問題，關(guān)鍵在于得出何時圓的半徑取得最小值，屬于中檔題.4.已知橢圓的長軸在軸上，若焦距為4，則__________.【答案】8【解析】【分析】根據(jù)橢圓方程列方程，解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)闄E圓的長軸在軸上，焦距為4，所以故答案為：8【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)橢圓方程求參數(shù)，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.5.若雙曲線兩個頂點(diǎn)三等分焦距，則該雙曲線的漸近線方程是___________.【答案】【解析】【分析】由題意知，漸近線方程是，，再據(jù)，得出與的關(guān)系，代入漸近線方程即可．【詳解】∵雙曲線的兩個頂點(diǎn)三等分焦距，∴，，又，∴∴漸近線方程是，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)即雙曲線的漸近線方程為屬于基礎(chǔ)題．6.若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則______.【答案】【解析】【分析】由橢圓方程為，可得橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由拋物線方程為可得其焦點(diǎn)為，由題意有，再求解即可.【詳解】解：由橢圓方程為：，則，則橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，又拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：，又拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則，解得，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)的求法及拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)的求法，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.7.過點(diǎn)作直線與圓：相切，則直線的一般式方程是_________.【答案】【解析】【分析】由題意判斷直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，化為一般式，再由圓心到直線的距離等于半徑，即可解得.【詳解】由題意直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，即.又直線與圓：相切，圓心，半徑為，，化簡得，.直線的一般式方程為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.8.設(shè)和為橢圓的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且滿足，則的面積是__________.【答案】##【解析】【分析】將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可求出、、，由，可得點(diǎn)為短軸頂點(diǎn)，最后由面積公式計(jì)算可得.【詳解】橢圓，即，所以，，，因?yàn)?，所以點(diǎn)為短軸頂點(diǎn)，所以.故答案：9.若橢圓的弦被點(diǎn)平分，則此弦所在直線的斜率為__________【答案】【解析】【詳解】試題分析：設(shè)弦兩端點(diǎn)為，.因?yàn)槭茿,B的中點(diǎn)，所以，將A,B兩點(diǎn)代入橢圓方程得，，兩式相減得，整理得，即．考點(diǎn)：中點(diǎn)弦問題10.從雙曲線上任意一點(diǎn)分別作兩條漸近線的平行線，這4條直線構(gòu)成平行四邊形，則該平行四邊形的面積為__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)和過點(diǎn)的與兩條漸近線的平行線方程，聯(lián)立方程組求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用三角形面積公式即可求解.【詳解】設(shè)，過點(diǎn)分別作兩條漸近線的平行線與漸近線交于點(diǎn)，則直線和的方程分別為和，由方程組，同理可知另一個交點(diǎn)為，則，則，設(shè)直線傾斜角為，則，可得，所以四邊形的面積為.故答案為：.11.直線與曲線的公共點(diǎn)的個數(shù)是___________．【答案】3【解析】【詳解】試題分析：當(dāng)x≥0時，曲線的方程為當(dāng)x＜0時，曲線的方程為，∴曲線的圖象為右圖，在同一坐標(biāo)系中作出直線y=x+3的圖象，可得直線與曲線交點(diǎn)個數(shù)為3個．12.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別的，過點(diǎn)且傾斜角為的直線交的右支于兩點(diǎn)（在軸上方），且滿足，則雙曲線的離心率是__________（結(jié)果用表示）【答案】【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式表示，由直線傾斜角的大小得出，并結(jié)合向量共線的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算得出結(jié)果.【詳解】設(shè)，，由點(diǎn)在雙曲線上得，即.則，同理，，如圖，由直線傾斜角為可知，，，，設(shè)，則，，，.故答案為：.二?選擇題（本大題共有4題，每小題4分，滿分16分）13.已知兩條直線“”是“直線與直線的夾角為”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩條直線夾角公式可以求出當(dāng)兩條直線夾角為時的值,然后根據(jù)充分性、必要性的定義,選出正確答案.【詳解】兩條直線的斜率分別是.當(dāng)兩條直線的夾角為時,則有：或.因此“”是“直線與直線的夾角為”的充分不必要條件.故選B【點(diǎn)睛】本題考查充分不必要條件的判斷,掌握兩直線夾角的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.14.平面直角坐標(biāo)系上動點(diǎn)，滿足，則動點(diǎn)的軌跡是（）A.直線 B.線段 C.圓 D.橢圓【答案】B【解析】【分析】由題意可知，動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)的距離的和為6,又兩個定點(diǎn)的距離為6，即得結(jié)論.【詳解】設(shè)點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，，又，，所以動點(diǎn)的軌跡是線段.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.15.雙曲線和的離心率分別為和，若滿足，則下列說法正確是（）A.的漸近線斜率的絕對值較大，的開口較開闊B.的漸近線斜率的絕對值較大，的開口較狹窄C.的漸近線斜率的絕對值較大，的開口較開闊D.的漸近線斜率的絕對值較大，的開口較狹窄【答案】A【解析】【分析】根據(jù)離心率公式及漸近線方程，得到兩曲線漸近線斜率的關(guān)系，即可判斷.【詳解】因?yàn)椋?，又雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，因?yàn)?，所以，即，即，所以的漸近線斜率的絕對值較大，又離心率越大，雙曲線開口越開闊.故選：A.16.已知集合.由集合中所有的點(diǎn)組成的圖形如圖中陰影部分所示，中間白色部分形如水滴.給出下列結(jié)論：①“水滴”圖形與軸相交，最高點(diǎn)記作，則點(diǎn)的坐標(biāo)為；②陰影部分與軸相交，最高點(diǎn)和最低點(diǎn)分別記作和，則；③在陰影部分中任取一點(diǎn)，則的最大距離為3；④“水滴”圖形的面積是.其中正確的有（）A.4個 B.3個 C.2個 D.1個【答案】C【解析】【分析】對于①②令，可得的范圍，可以進(jìn)行判斷；對于③利用圓的參數(shù)方程,可得點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,結(jié)合三角函數(shù)求最值；對于④“水滴”圖形由一個等腰三角形、兩個全等的弓形和一個半圓組成.【詳解】①由于，，令，，解得，所以“水滴”圖形與軸相交，最高點(diǎn)記作，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，故①正確；②由①得，陰影部分與軸相交，最高點(diǎn)和最低點(diǎn)分別記作和，則，故②錯誤；③由于，設(shè)，，所以點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，當(dāng)時，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離取到最大值3，故③正確；④“水滴”圖形由一個等腰三角形、兩個全等的弓形和一個半圓組成，半圓的半徑為1，弓形半徑為2，圓心角為.所以.故④錯誤.故選：C.三?解答題（本題滿分48分）17.已知的三個頂點(diǎn)，，.（1）求直線的方程；（2）求的面積.【答案】（1）（2）7【解析】【分析】（1）首先求出的斜率，再由點(diǎn)斜式求出直線方程；（2）求出點(diǎn)到直線的距離，再求出的長度，最后由面積公式計(jì)算可得.【小問1詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，化簡可?【小問2詳解】點(diǎn)到直線的距離，，則.18.已知圓經(jīng)過，圓.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若圓與圓相切，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)出圓的方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求解計(jì)算即可；（2）經(jīng)分析兩圓外切，把兩圓外切轉(zhuǎn)化為圓心距離等于半徑之和，列式計(jì)算即可.【小問1詳解】設(shè)圓，因?yàn)閳A過三點(diǎn)，則，所以，所以，即；【小問2詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)閳A與圓的半徑相等，故兩圓不會內(nèi)切，只有外切，且，則有，解得.19.已知是橢圓上一個動點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，若的最大值和最小值分別為和.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是軸正半軸上的一點(diǎn)，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根據(jù)題意列出方程組，解之即可求解；（2）設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式和二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】由題意可得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】設(shè)，則當(dāng)時，當(dāng)時，，所以20.已知等軸雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，焦距為.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）斜率為的直線過點(diǎn)，且直線與雙曲線的兩支分別交于、兩點(diǎn)，①求的取值范圍；②若是關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，證明直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】（1）（2）①；②證明見解析，【解析】【分析】（1）依題意可得，解得、，即可求出方程；（2）設(shè)直線，，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、得到、及；①根據(jù)且得到方程組，解得即可；②表示出的方程，令求出，即可得解.【小問1詳解】由題意可得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】設(shè)直線，聯(lián)立消去整理可得，則，又，，①因直線與雙曲線交于兩支，所以且，即；②設(shè)，令，則，所以直線過定點(diǎn).21.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，設(shè)P是第一象限內(nèi)橢圓Γ上一點(diǎn)，、的延長線分別交橢圓Γ于點(diǎn)、，直線與交于點(diǎn)R．（1）求的周長；（2）當(dāng)垂直于x軸時，求直線的方程；（3）記與的面積分別為、，求的最大值．【答案】（1）8（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義直接可以得出答案；（2）根據(jù)題意可得P，的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，可求得的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線的方程；（3）設(shè)，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理可將，的縱坐標(biāo)用表示，進(jìn)而可得，然后利用三角換元，結(jié)合基本不等式即可求得最值．【小問1詳解】由橢圓的方程可得，可得，可得a＝