2023年上海建平中學(xué)高二下期中數(shù)學(xué)試卷及答案

高中高中建平中學(xué)高二期中考試數(shù)學(xué)試卷2023.04說明：（1）本場(chǎng)考試時(shí)間為120分鐘，總分150分；（2）請(qǐng)認(rèn)真答卷，并用規(guī)范文字書寫.一?填空題（本大題共12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1.已知，則正整數(shù)__________.2.__________.3.函數(shù)的駐點(diǎn)為__________.4.的二項(xiàng)展開式中常數(shù)項(xiàng)是__________.5.函數(shù)的極大值為__________.6.男女學(xué)生共有8人，從男生中選取2人，從女生中選取1人，共有30種不同的選法，其中女生有____人.7已知函數(shù)，則__________.8.的二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為__________.9.一場(chǎng)晩會(huì)共有5個(gè)唱歌節(jié)目和3個(gè)舞蹈節(jié)目，隨機(jī)排序形成一個(gè)節(jié)目單，則節(jié)目單中前3個(gè)節(jié)目?jī)H有2個(gè)舞蹈節(jié)目的概率為__________.10.已知關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.11若對(duì)任意恒成立，則__________.12.已知，其中，過分別作二次函數(shù)的切線，則兩條切線與軸圍成的三角形面積的最小值為__________.二?選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）13.在古典概率模型中，是樣本空間，是樣本點(diǎn)，是隨機(jī)事件，則下列表述正確的是（）A. B.C. D.14.已知為兩個(gè)隨機(jī)事件，則“為互斥事件”是“為對(duì)立事件”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.非充分非必要條件15.下列關(guān)于排列數(shù)和組合數(shù)的計(jì)算中正確的是（）A. B.C. D.16.已知，則方程解的組數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.無窮多個(gè)三?解答題（本大題共5題，共分）17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）若函數(shù)在上嚴(yán)格遞減，求實(shí)數(shù)取值范圍.18.甲?乙兩人進(jìn)行乒乓球決賽，采用五局三勝制.對(duì)于每局比賽，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且每局比賽的結(jié)果互相獨(dú)立.（1）在乒兵球比賽中，如果一方連勝最終獲得比賽的勝利，那么將其形象地稱之為“剃光頭”.求甲?乙的這場(chǎng)乒乓球決賽“剃光頭”的概率；（2）在乒乓球比賽中，如果實(shí)力較弱的一方最終獲得比賽的勝利，那么將其稱之為“爆冷門”，求甲?乙的這場(chǎng)乒乓球決賽“爆冷門”的概率.19.“得地率”是指可供人活動(dòng)的區(qū)域的占地面積與總占地面積之比.“得地率”越高，也就意味著人們可活動(dòng)的區(qū)域更大，因此在設(shè)計(jì)活動(dòng)場(chǎng)地時(shí)，通常會(huì)將“得地率”作為一個(gè)重要的指標(biāo)進(jìn)行考慮.上海某大型購物商場(chǎng)欲將地下一層的一塊半圓形空地改建為親子樂園，建造一個(gè)供親子游玩的海洋球池和兩個(gè)供人們休息和娛樂，且大小完全相同的休息區(qū).除海洋球池和休息區(qū)外的剩余空地全部用氣墊筑起“高墻”，以保護(hù)親子樂園中的人們.如圖所示，設(shè)半圓形空地的圓心為，半徑為，為直徑，矩形海洋球池的頂點(diǎn)在上，頂點(diǎn)在半圓的圓周上.矩形休息區(qū)和的頂點(diǎn)在上，頂點(diǎn)在半圓的圓周上，頂點(diǎn)分別在線段上.已知，設(shè)，其中.（1）求當(dāng)時(shí)該親子樂園可供人活動(dòng)的區(qū)域面積，并求出此時(shí)的“得地率”（結(jié)果精確到）；（2）求當(dāng)為多大時(shí)，該親子樂園的“得地率”最大？20.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為.橢圓上有互異的且不在軸上的三點(diǎn)滿足直線經(jīng)過，直線經(jīng)過.（1）若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為，求的值；（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為的面積，求的值；（3）若，直線經(jīng)過點(diǎn)，求的坐標(biāo).21.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意恒成立，則稱函數(shù)為“線性控制函數(shù)”.（1）判斷函數(shù)和否為“線性控制函數(shù)”，并說明理由；（2）若函數(shù)為“線性控制函數(shù)”，且在上嚴(yán)格增，設(shè)為函數(shù)圖像上互異的兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，判斷命題“”的真假，并說明理由；（3）若函數(shù)為“線性控制函數(shù)”，且是以為周期的周期函數(shù)，證明：對(duì)任意都有.高中高中建平中學(xué)高二期中考試數(shù)學(xué)試卷2023.04說明：（1）本場(chǎng)考試時(shí)間為120分鐘，總分150分；（2）請(qǐng)認(rèn)真答卷，并用規(guī)范文字書寫.一?填空題（本大題共12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1.已知，則正整數(shù)__________.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由，得或，解得或，所以正整數(shù).故答案為：.2.__________.【答案】462【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：.故答案為：462.3.函數(shù)的駐點(diǎn)為__________.【答案】1【解析】【分析】由求得正確答案.【詳解】的定義域?yàn)?，由解得，所以的駐點(diǎn)為.故答案為：4.的二項(xiàng)展開式中常數(shù)項(xiàng)是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理可得展開式通項(xiàng)，代入即可得到常數(shù)項(xiàng).【詳解】展開式通項(xiàng)公式為：，令，解得：，展開式中常數(shù)項(xiàng).故答案為：.5.函數(shù)的極大值為__________.【答案】##【解析】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用單調(diào)性即可得出函數(shù)的極大值.【詳解】依題意，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.所以在處取得極大值，且.故答案為：.6.男女學(xué)生共有8人，從男生中選取2人，從女生中選取1人，共有30種不同的選法，其中女生有____人.【答案】2或3【解析】【分析】設(shè)女生有人，則男生有人，由條件列方程求解.【詳解】設(shè)女生有人，則男生有人，由已知至有1名女生，至少2名男生，則，由題意得：，即，所以，所以，，解得或或（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)，，都是方程的解，所以女生有2人或3人.故選：BC.7.已知函數(shù)，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，結(jié)合求導(dǎo)公式直接求解即可.【詳解】由導(dǎo)數(shù)定義可知，因?yàn)?，所以，?故答案為：8.的二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為__________.【答案】【解析】【分析】先求得展開式的通項(xiàng)為，設(shè)系數(shù)最大的項(xiàng)為第項(xiàng)，列出不等式組，求得的值，代入即可求解.【詳解】由二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，設(shè)系數(shù)最大的項(xiàng)為第項(xiàng)，可得，即，即，解得，因，所以，所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為.故答案為：.9.一場(chǎng)晩會(huì)共有5個(gè)唱歌節(jié)目和3個(gè)舞蹈節(jié)目，隨機(jī)排序形成一個(gè)節(jié)目單，則節(jié)目單中前3個(gè)節(jié)目?jī)H有2個(gè)舞蹈節(jié)目的概率為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理結(jié)合古典概型分析運(yùn)算.【詳解】由題意可得：所有節(jié)目的排序總數(shù)為，若前3個(gè)節(jié)目?jī)H有2個(gè)舞蹈節(jié)目，先選擇2個(gè)舞蹈節(jié)目與1個(gè)唱歌節(jié)目排序，再將剩余的節(jié)目排序，所以總數(shù)為，所以節(jié)目單中前3個(gè)節(jié)目有2個(gè)舞蹈節(jié)目的概率.故答案為：.10.已知關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】該題中不等式恒成立問題可以先分離參數(shù)，得到對(duì)任意恒成立，令新函數(shù)，只需求即可.【詳解】關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，則有對(duì)任意恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：11.若對(duì)任意恒成立，則__________.【答案】【解析】【分析】將等式左側(cè)變型為，根據(jù)二項(xiàng)式定理可整理得到展開式通項(xiàng)，代入即可求得結(jié)果.【詳解】，展開式通項(xiàng)為：；展開式通項(xiàng)為：；為的系數(shù)，令，.故答案為：.12.已知，其中，過分別作二次函數(shù)的切線，則兩條切線與軸圍成的三角形面積的最小值為__________.【答案】##【解析】【分析】先求得過的切線方程，求得兩條切線的交點(diǎn)坐標(biāo)以及切線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，由此求得圍成的三角形的面積的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求得面積的最小值.【詳解】由二次函數(shù)，可得，因?yàn)樵诙魏瘮?shù)的圖象上，所以曲線在處的切線方程為，即，同理可求得曲線在處的切線方程為，由于，所以不妨設(shè)，直線與軸的交點(diǎn)為，直線與軸的交點(diǎn)為，由解得，即兩條切線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以兩條切線與軸圍成的三角形面積為，假設(shè)時(shí)，取得最小值，令，則，令得①，，即時(shí)，取得最小值.令，則，令得②，由，以及①②解得，所以的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】求曲線的切線方程，首先要判斷題目所給的點(diǎn)是在曲線上還是在曲線外，然后根據(jù)切點(diǎn)和斜率求得切線方程，斜率是利用導(dǎo)數(shù)來求得，切點(diǎn)可利用切線或曲線來求得.二?選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）13.在古典概率模型中，是樣本空間，是樣本點(diǎn)，是隨機(jī)事件，則下列表述正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由古典概型的概念即可得到結(jié)果.【詳解】由古典概率模型可知，，故選:A14.已知為兩個(gè)隨機(jī)事件，則“為互斥事件”是“為對(duì)立事件”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.非充分非必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的概念直接判斷即可.【詳解】根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的概念可知，互斥不一定對(duì)立，對(duì)立一定互斥，所以“A?B為互斥事件”是“A?B為對(duì)立事件”的必要非充分條件.故選：B15.下列關(guān)于排列數(shù)和組合數(shù)的計(jì)算中正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)排列數(shù)與組合數(shù)的計(jì)算公式，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，由排列數(shù)的計(jì)算公式，可得，所以A、B不正確；對(duì)于C中，由組合數(shù)的計(jì)算公式，可得，所以C正確，D不正確.故選：C.16.已知，則方程的解的組數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.無窮多個(gè)【答案】B【解析】【分析】首先等式兩邊取對(duì)數(shù)，變形等式后，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷方程解的個(gè)數(shù).【詳解】，兩邊取對(duì)數(shù)，得，即，設(shè)，，當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，所以滿足，則方程的解的組數(shù)為1組.故選：B三?解答題（本大題共5題，共分）17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）若函數(shù)在上嚴(yán)格遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合一元二次方程根的判別式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】函數(shù)在處的切線方程為；【小問2詳解】對(duì)任意恒成立故，解得，故的取值范圍為.18.甲?乙兩人進(jìn)行乒乓球決賽，采用五局三勝制.對(duì)于每局比賽，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且每局比賽的結(jié)果互相獨(dú)立.（1）在乒兵球比賽中，如果一方連勝最終獲得比賽的勝利，那么將其形象地稱之為“剃光頭”.求甲?乙的這場(chǎng)乒乓球決賽“剃光頭”的概率；（2）在乒乓球比賽中，如果實(shí)力較弱的一方最終獲得比賽的勝利，那么將其稱之為“爆冷門”，求甲?乙的這場(chǎng)乒乓球決賽“爆冷門”的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分別計(jì)算甲、乙連勝三局的概率，相加即可得到結(jié)果；（2）分析可知乙實(shí)力較弱，將乙共用三局、四局和五局獲得比賽勝利的概率相加即可求得結(jié)果.【小問1詳解】甲連勝三局的概率為，乙連勝三局的概率為，甲?乙的這場(chǎng)乒乓球決賽“剃光頭”的概率為.【小問2詳解】甲每局比賽獲勝的概率大于乙每局比賽獲勝的概率，乙實(shí)力較弱，“爆冷門”的概率.19.“得地率”是指可供人活動(dòng)的區(qū)域的占地面積與總占地面積之比.“得地率”越高，也就意味著人們可活動(dòng)的區(qū)域更大，因此在設(shè)計(jì)活動(dòng)場(chǎng)地時(shí)，通常會(huì)將“得地率”作為一個(gè)重要的指標(biāo)進(jìn)行考慮.上海某大型購物商場(chǎng)欲將地下一層的一塊半圓形空地改建為親子樂園，建造一個(gè)供親子游玩的海洋球池和兩個(gè)供人們休息和娛樂，且大小完全相同的休息區(qū).除海洋球池和休息區(qū)外的剩余空地全部用氣墊筑起“高墻”，以保護(hù)親子樂園中的人們.如圖所示，設(shè)半圓形空地的圓心為，半徑為，為直徑，矩形海洋球池的頂點(diǎn)在上，頂點(diǎn)在半圓的圓周上.矩形休息區(qū)和的頂點(diǎn)在上，頂點(diǎn)在半圓的圓周上，頂點(diǎn)分別在線段上.已知，設(shè)，其中.（1）求當(dāng)時(shí)該親子樂園可供人活動(dòng)的區(qū)域面積，并求出此時(shí)的“得地率”（結(jié)果精確到）；（2）求當(dāng)為多大時(shí)，該親子樂園的“得地率”最大？【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合，利用，再設(shè)親子樂園的“得地率”為，得出的值，即可求解；（2）由函數(shù)，求得，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與極值，即可求解.【小問1詳解】解：由題意，可得當(dāng)時(shí)，，設(shè)親子樂園的“得地率”為，則，可得，故當(dāng)時(shí)該親子樂園可供人活動(dòng)的區(qū)域面積，此時(shí)的“得地率”為.【小問2詳解】解：由函數(shù)可得令，可得或（舍），故+0-極大值經(jīng)檢驗(yàn)，故當(dāng)時(shí)，該親子樂園的“得地率”最大.20.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為.橢圓上有互異的且不在軸上的三點(diǎn)滿足直線經(jīng)過，直線經(jīng)過.（1）若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為，求的值；（2）若點(diǎn)坐標(biāo)為的面積，求的值；（3）若，直線經(jīng)過點(diǎn)，求的坐標(biāo).【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，求得的值，結(jié)合，即可求解；（2）由的坐標(biāo)為，設(shè)，根據(jù)三角形的面積列出關(guān)于的方程，求得的值，進(jìn)而求得的值；（3）設(shè)，得到，根據(jù)直線經(jīng)過，直線經(jīng)過，直線經(jīng)過，列出的關(guān)系式，得到是方程的兩個(gè)互異實(shí)根，得到，同理可得和，從而求得，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo).【小問1詳解】解：由橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，離心率為，可得且，所以，所以.【小問2詳解】解：設(shè)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故，由，所以，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，解得或，所以的面積，整理得.即因?yàn)?，可得，因?yàn)?，可得，所以，所以所以，解得，所?【小問3詳解】解：由，可得橢圓且，設(shè)，可得因?yàn)橹本€經(jīng)過，直線經(jīng)過，直線經(jīng)過，可得，即，即，故是方程的兩個(gè)互異實(shí)根，根據(jù)韋達(dá)定理易知，①故是方程的兩個(gè)互異實(shí)根，根據(jù)韋達(dá)定理易知，②故是方程的兩個(gè)互異實(shí)根，根據(jù)韋達(dá)定理易知，③將②?③代入①可得，化簡(jiǎn)得，解得或（舍去）故，此時(shí)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，綜上所述，的坐標(biāo)為或.【點(diǎn)睛】方法策略：解答圓錐曲線的綜合問題的策略：1、參數(shù)法：參數(shù)解決定點(diǎn)問題的思路：①引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)直線中的參數(shù)表示變化量，即確定題目中核心變量（通常為變量）；②利用條件找到過定點(diǎn)的曲線之間的關(guān)系，得到關(guān)于與的等式，再研究變化量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，得出定點(diǎn)的坐標(biāo)；2、由特殊到一般發(fā)：由特殊到一般法求解