2023年上海格致中學高一下期中數學試卷及答案

試卷試卷格致中學高一期中考試數學試卷2023.04一.填空題（本大題滿分36分，本大題共有12題）1.若點是角終邊上的一點，且，則的值是______.2.復數共軛復數的模是______.3.函數的定義域為________.4.在中，，，若點滿足，則________.5.如果，那么______．6.已知向量，點，向量與方向相同，且，則點的坐標為______．7.若復數是純虛數,則=______.8.已知向量在向量方向上的投影向量為，且，則__．(結果用數值表示)9.在中，，，若該三角形為鈍角三角形，則邊的取值范圍是______.10.定義在上的函數既是偶函數又是周期函數，的最小正周期是，且當時，，則的值為______.11.設，為單位向量，非零向量，．若，的夾角為，則的最大值等于________．12.某同學對函數進行研究后，得出以下五個結論：①函數的圖象是軸對稱圖形；②函數對定義域中任意的值，恒有成立；③函數的圖象與軸有無窮多個交點，且每相鄰兩個交點間的距離相等；④對于任意常數，存在常數，函數在上嚴格單調遞減，且；⑤當常數滿足時，函數的圖象與直線有且僅有一個公共點.其中結論正確的序號是______.二.選擇題（本大題滿分12分，本大題共有4題）13.設復平面上表示和的點分別為點A和點B，則表示向量的復數在復平面上所對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限14.若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件15.設函數，其中，，若對任意的恒成立，則下列結論正確的是（）A. B.圖像關于直線對稱C.在上單調遞增 D.過點的直線與函數的圖像必有公共點16.如圖，A，B是半徑為2的圓周上的定點，P為圓周上的動點，是銳角，大小為β.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為A.4β+4cosβ B.4β+4sinβ C.2β+2cosβ D.2β+2sinβ三.解答題（本大題滿分52分，本大題共有4題）17.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．（1）若，且的面積，求a，b的值；（2）若，判斷的形狀．18.已知關于的方程的一個根為.（1）求方程另一個根及實數的值；（2）是否存在實數，使時，不等式對恒成立？若存在，試求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由.19.已知向量，，.（1）求和；（2）若函數的最小值為，求實數的值.20.在某個旅游業(yè)為主的地區(qū)，每年各個月份從事旅游服務工作的人數會發(fā)生周期性的變化.現假設該地區(qū)每年各個月份從事旅游服務工作的人數可近似地用函數來刻畫.其中，正整數表示月份且，例如時表示1月份，A和是正整數，.統(tǒng)計發(fā)現，該地區(qū)每年各個月份從事旅游服務工作的人數有以下規(guī)律：①各年相同月份從事旅游服務工作的人數基本相同；②從事旅游服務工作人數最多的8月份和最少的2月份相差約400人；③2月份從事旅游服務工作的人數約為100人，隨后逐月遞增直到8月份達到最多.（1）試根據已知信息，確定一個符合條件的的表達式；（2）一般地，當該地區(qū)從事旅游服務工作的人數超過400人時，該地區(qū)就進入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪幾個月是該地區(qū)的旅游旺季？請說明理由.試卷試卷格致中學高一期中考試數學試卷2023.04一.填空題（本大題滿分36分，本大題共有12題）1.若點是角終邊上的一點，且，則的值是______.【答案】【解析】【分析】根據三角函數的定義列式求解，注意三角函數符號的判斷.【詳解】由題意可得：，且，解得或（舍去），所以的值是.故答案為：.2.復數的共軛復數的模是______.【答案】【解析】【分析】現根據復數的除法運算花間，再根據共軛復數的定義及復數的莫的計算公式即可得解.【詳解】，則復數的共軛復數為，模為.故答案為：.3.函數的定義域為________.【答案】【解析】【分析】由表達式可得：，結合余弦函數圖象可得結果.【詳解】解：由表達式可得：，即，∴，函數定義域為，故答案為：【點睛】本題考查余弦型復合函數的定義域，考查三角不等式的解法，屬于基礎題.4.在中，，，若點滿足，則________.【答案】【解析】【分析】根據平面向量的線性運算求解即可【詳解】因為，所以－＝(－)，即＝＋，故故答案為：5如果，那么______．【答案】i【解析】【分析】結合復數除法、乘方運算求得正確答案.【詳解】因為，故，所以，故，，故.故答案為：6.已知向量，點，向量與方向相同，且，則點的坐標為______．【答案】【解析】【分析】設出點的坐標，結合題意列出方程組，解出方程組即可求解.【詳解】設，則，因向量與方向相同，且，所以，計算得，因此點的坐標為.故答案為：.7.若復數是純虛數,則=______.【答案】【解析】【詳解】試題分析：考點：本題主要考查復數的概念、已知三角函數值求角．點評：綜合題，純虛數即復數的實部為0且虛部不為0.8.已知向量在向量方向上的投影向量為，且，則__．(結果用數值表示)【答案】【解析】【分析】首先根據投影公式求得，再代入數量積公式，即可求解.【詳解】因為向量在向量方向上的投影向量為，且，所以，所以，則．故答案為：9.在中，，，若該三角形為鈍角三角形，則邊的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據三角形的性質可得，分類討論，結合題意列式求解即可.【詳解】由三角形可得，解得，若該三角形為鈍角三角形，注意到，則角為鈍角或角為鈍角，可得或，即或，解得或，故邊的取值范圍是.故答案為：.10.定義在上的函數既是偶函數又是周期函數，的最小正周期是，且當時，，則的值為______.【答案】##【解析】【分析】根據題意結合周期性和奇偶性分析運算.【詳解】由題意可得.故答案為：.11.設，為單位向量，非零向量，．若，的夾角為，則的最大值等于________．【答案】2【解析】【分析】由題意，可得，，從而可得當時，；當時，，再利用二次函數的性質可得的最大值，比較大小即可得答案．【詳解】解：，為單位向量，和的夾角等于，，當時，則；非零向量，，當時，，故當時，取得最大值為2，綜上，取得最大值為2．故答案為：2．12.某同學對函數進行研究后，得出以下五個結論：①函數的圖象是軸對稱圖形；②函數對定義域中任意的值，恒有成立；③函數的圖象與軸有無窮多個交點，且每相鄰兩個交點間的距離相等；④對于任意常數，存在常數，函數在上嚴格單調遞減，且；⑤當常數滿足時，函數的圖象與直線有且僅有一個公共點.其中結論正確的序號是______.【答案】①②④【解析】【分析】分析函數奇偶性，可判斷①；利用三角函數線以及正弦型函數的有界性可判斷②；取函數與軸的三個相鄰交點、、，可判斷③；取，，可判斷④；取，數形結合可判斷⑤.【詳解】對于①，函數的定義域為，，所以，函數為偶函數，故函數的圖象關于軸對稱，①對；對于②，當時，如下圖所示：在單位圓中，設，過點作軸，垂足為點，則，，，即，可得，則，當時，，又因為函數為偶函數，故對定義域內的任意實數，，②對；對于③，由可得，即，取函數與軸的三個相鄰交點、、，點、之間的距離為，點、之間的距離為，③錯；對于④，當時，函數、在上均為減函數，且當時，，，對于任意常數，存在常數，且，使得，當、時，，即，，即，所以，，所以，函數在上嚴格遞減，取，，則，④對；對于⑤，由④可知，函數在上單調遞減，且，作出函數的圖象如下圖所示：取點，當點在直線上，，可得，結合圖象可知，直線與函數的圖象至少兩個交點，⑤錯.故答案為：①②④.二.選擇題（本大題滿分12分，本大題共有4題）13.設復平面上表示和的點分別為點A和點B，則表示向量的復數在復平面上所對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】由復數的幾何意義求出，即可得出向量的復數在復平面上所對應的點所在象限.【詳解】復平面上表示和點分別為點A和點B，則，所以，所以向量的復數在復平面上所對應的點位于第一象限.故選：A.14.若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據充分條件、必要條件的定義即可得解.【詳解】若，令，滿足，但；若，則一定成立，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B15.設函數，其中，，若對任意的恒成立，則下列結論正確的是（）A. B.的圖像關于直線對稱C.在上單調遞增 D.過點的直線與函數的圖像必有公共點【答案】D【解析】【分析】利用輔助角公式將函數化簡，進而根據函數在處取得最大值求出參數，然后結合三角函數的圖象和性質判斷答案.【詳解】由題意，，，而函數在處取得最大值，所以，所以，，則.對A，因為，即，A錯誤；對B，因為，所以B錯誤；對C，因為，所以函數在上單調遞減，所以C錯誤；對D，因為的最大值為，而，所以過點的直線與函數的圖象必有公共點，D正確.故選：D.16.如圖，A，B是半徑為2的圓周上的定點，P為圓周上的動點，是銳角，大小為β.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為A.4β+4cosβ B.4β+4sinβ C.2β+2cosβ D.2β+2sinβ【答案】B【解析】【分析】由題意首先確定面積最大時點P的位置，然后結合扇形面積公式和三角形面積公式可得最大的面積值.【詳解】觀察圖象可知，當P為弧AB的中點時，陰影部分的面積S取最大值，此時∠BOP=∠AOP=π-β,面積S的最大值為+S△POB+S△POA=4β+.故選B.【點睛】本題主要考查閱讀理解能力、數學應用意識、數形結合思想及數學式子變形和運算求解能力，有一定的難度.關鍵觀察分析區(qū)域面積最大時的狀態(tài)，并將面積用邊角等表示.三.解答題（本大題滿分52分，本大題共有4題）17.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．（1）若，且的面積，求a，b的值；（2）若，判斷的形狀．【答案】（1）；（2）是直角三角形或等腰三角形.【解析】【分析】（1）根據余弦定理可得，由三角形面積得到，進而即得；（2）根據題中條件及兩角和與差的正弦公式，得到，求出或，進而可得出結果.【小問1詳解】因為，又余弦定理可得：，即，又的面積，所以，因此，；解得：；【小問2詳解】因為，所以，即，所以或，因此或，所以是直角三角形或等腰三角形.18.已知關于的方程的一個根為.（1）求方程的另一個根及實數的值；（2）是否存在實數，使時，不等式對恒成立？若存在，試求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】（1），4（2）存在，實數的取值范圍為【解析】【分析】（1）根據題意結合復數的運算求解；（2）根據題意分析可得，結合對數函數、一次函數分析運算即可.【小問1詳解】因為是方程的一個根，則，解得，可得方程，整理得，所以，即，故方程的另一個根為.【小問2詳解】由（1）可知：，則，因為，當且僅當時，等號成立，且在定義域內單調遞增，可得，所以，整理得對恒成立，則，解得，故當時，滿足題意，即實數的取值范圍.19.已知向量，，.（1）求和；（2）若函數的最小值為，求實數的值.【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）根據向量的坐標運算求解；（2）由（1）可得，換元，結合二次函數分類討論運算求解.【小問1詳解】由題意可得：，且，因為，則所以.【小問2詳解】由（1）可得：，令，可得開口向上，對稱軸，注意到，則有：若，即時，則當時，取到最小值，不合題意；若，即時，則當時，取到最小值，解得或（舍去）；若，即時，則當時，取到最小值，解得（舍去）；綜上所述：.20.在某個旅游業(yè)為主的地區(qū)，每年各個月份從事旅游服務工作的人數會發(fā)生周期性的變化.現假設該地區(qū)每年各個月份從事旅游服務工作的人數可近似地用函數來刻畫.其中，正整數表示月份且，例如時表示1月份，A和是正整數，.統(tǒng)計發(fā)現，該地區(qū)每年各個月份從事旅游服務工作的人數有以下規(guī)律：①各年相同的月份從事旅游服務工作的人數基本相同；②從事旅游服務工作的人數最多的8月份和最少的2月份相差約400人；③2月份從事旅游服務工作的人數約為100人，隨后逐月遞增直到8月份達到最多.（1）試根據已知信息，確定一個符合條件的的表達式；（2）一般地，當該地區(qū)從事旅游服務工作的人數超過400人時，該地區(qū)就進入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪幾個月是該地區(qū)的旅游旺