高中數(shù)學(xué)第八章《立體幾何初步》提高訓(xùn)練題 (63)(含答案解析)

第八章《立體幾何初步》提高訓(xùn)練題（63）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共6小題，共30.0分）

1.己知三棱錐P-48c中，AC1BC,AC=6,BC=2夕，PC=PB=2^14,當(dāng)三棱錐P-4BC的

體積最大時(shí)，其外接球的表面積等于（）

A.""B.50TTC.IOOTTD.967r

2.已知三棱錐P-ABC的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上,PC是球。的直徑.若平面PC41平面PCB,

PA=AC,PB=BC,三棱錐P-ABC的體積為m則球。的體積為（）

A.2itaB.47raC.-2naD.4-na

33

3.如圖在長方體中，AB=AD=2g，CCi=E，則二面角G-BD-C的大

小為（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

4.已知邊長為4的正四面體ABC。的四個(gè)頂點(diǎn)均在平面a的同側(cè)，且分別記4B,C,D到平面a的

距離為服,dp,立,d。，若服==2,d0=3,則d。=（）

A.2+2V2B.2+2V3C.2+|V6D.2+V6

5.己知球。表面上的四點(diǎn)A,B,C,P滿足4C=BC=e，4B=2.若四面體PA8C體積的最大

值為J,則球。的表面積為（）

25n25萬25c

AAB.-nC,-nD.87T

6.設(shè)，小〃是兩條不重合的直線，a,夕是兩個(gè)不同的平面，有下列四個(gè)命題：

①若m〃n,nua,則m〃a；②若mua,nc.fi,a〃氏則m〃n；

③若m_La,nl0,mln,則a_L。；④若m_La,nl。，m//n,則a〃夕.

則正確的命題為（）

A.①②③B.②③C.③④D.②④

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共5小題，共20.0分）

7.如圖所示，正方體4BCD—AB'C'D'的棱長為1,E,尸分別是棱44'、CC'的中點(diǎn)，過直線￡、F

的平面分別與棱BB',DD'交于M,N,設(shè)BM=x,xG[0,1].則下列命題中正確的是（）

A.平面MENF，平面BOD'B'

B.當(dāng)且僅當(dāng)x=g時(shí)，四邊形MEN尸的面積最小

C.四邊形MENF周長L=/（x）是單調(diào)函數(shù)

D.四棱錐C'—MENF的體積U=/i（x）為常函數(shù)

8.正方體4BCD-4/1的。1中，E是棱的中點(diǎn)，B在側(cè)面CDDiG上運(yùn)動，且滿足&F〃平面

&BE.以下命題錯誤的有（）

A.側(cè)面CD5G上存在點(diǎn)F,使得1CDj

B.直線BiF與直線BC所成角可能為30°

C.平面4BE與平面CODiG所成銳二面角的正切值為2V2

D.設(shè)正方體棱長為1,則過點(diǎn)E,F,4的平面截正方體所得的截面面積最大為*!

2

9.如圖，在三棱錐P-48C中，PAl^ABC,AB1BC，PA=AB,0,E分別為PB,P4的中點(diǎn),

則下列結(jié)論正確的有（）

E

D

\\——

B

A.BC_L平面PABB.DE〃平面ABC

C.平面ABD_L平面PBCD.PB_L平面ADC

10..20世紀(jì)50年代，人們發(fā)現(xiàn)利用靜態(tài)超高壓和高溫技術(shù)，通過石墨

等碳質(zhì)原料和某些金屬反應(yīng)可以人工合成金剛石.人工合成金剛石的

典型晶態(tài)為立方體（六面體）、八面體和立方八面體以及它們的過渡形

態(tài).其中立方八面體（如圖所示）有24條棱、12個(gè)頂點(diǎn)、14個(gè)面（6個(gè)

正方形、8個(gè)正三角形），它是將立方體“切"去8個(gè)''角”后得到的幾何體.已知一個(gè)立方八

面體的棱長為1,則

A.它的所有頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，且該球的直徑為2

B.它的任意兩條不共面的棱所在直線都相互垂直

C.它的體積為辿

3

D.它的任意兩個(gè)共棱的面所成的二面角都相等

11.如圖，在棱長為a的正方體4BCD-A/iGDi中，E,尸分別是8C,

必么的中點(diǎn).下列結(jié)論正確的是（）

A.四邊形BiFDE是菱形

B.直線&C與CW所成角為90。

C.直線AD與平面&FDE所成角的正弦值為當(dāng)

D.點(diǎn)兒到平面BGD的距離為苧a

三、填空題（本大題共9小題，共45.0分）

12.如圖，正方體48。。-481（71。1的棱長為2遮，動點(diǎn)尸在對角線BDi上，過點(diǎn)P作垂直于的

平面，記這樣得到的截面多邊形（含三角形）的面積為》設(shè)BP=x,則當(dāng)xe[1,5]時(shí)，函數(shù)y=f（x）

的值域?yàn)開_______

13.在平行四邊形A8C。中，AB^BD,4-AB2+2-BD2=1,將此平行四邊形沿對角線8。折疊,

使平面ABD，平面CB。，則三棱錐4-BCD外接球的體積是

14.如圖，正四面體4-BCD的棱長為2,點(diǎn)E、尸分別是棱8力、BC的中點(diǎn)，則該正四面體的內(nèi)切

球半徑為；平面AEF截該內(nèi)切球所得截面的面積為

15.在四面體ABCQ中，4B=4C=DB=0C=3,則四面體體積最大值為;此時(shí)它的外

接球表面積為.

16.在三棱錐P-4BC中，P4_L平面ABC,AB=AC,^BAC=p其外接球表面積為16兀，則三棱

錐P-ABC的體積的最大值為.

17.已知長方體ABCD-A/iGDi的高44=2,/lC=2V^ABi=x,4Di=y，則當(dāng)x+y最大時(shí)，二

面角a-當(dāng)。1-G的余弦值為.

18.(1)已知某圓錐底面直徑為2,側(cè)面展開圖扇形的圓心角為g,則該圓錐體積為.

(2)如圖正方形A8C。邊長為2.則它的水平放置的直觀圖(用斜二測畫法)的圖形面積為.

(3)在ElABC中，AB=8,BC=6,AC=10,P為12ABe外一點(diǎn)，滿足P4=PB=PC=5近,

則三棱錐P-ABC的外接球的半徑為

(4)如圖，正方體4BCD-4B1GD1的棱長為遍，動點(diǎn)尸在線段BC】上，過點(diǎn)P作垂直于的

平面，記：這樣得到的截面多邊形(含三角形)的面積為y,設(shè)BP=x,則當(dāng)xe*,|］時(shí)，函數(shù)y=

f(x)的值域?yàn)?

19.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載，斜解立方為“塹堵”，

即底面是直角三角形的直三棱柱.如右上圖所示，棱柱力BC-

&B1G為一個(gè)“塹堵”，底面A8C的三邊中的最長邊與最短邊

分別為AB,AC,且4B=5,AC=3,點(diǎn)尸在棱上，且PC1PCr,

則當(dāng)△APCi的面積取最小值時(shí)，異面直線力4與PC】所成的角的

余弦值為一.

20.在三棱錐S-ABC中，/.SBA=^SCA=90°,底面ABC是等邊三角形，三棱錐S-ABC的體積為

V3,則三棱錐S-/WC的外接球表面積的最小值是.

四、解答題(本大題共10小題，共120.0分)

21.四棱錐P-4BCD中，底面ABC。為矩形，AB=2,BC=a.P4=PB，側(cè)面P4B1底面ABCD.

(1)證明：PC1BD；

(2)設(shè)30與平面尸40所成的角為45。，求二面角PC-。的余弦值.

22.如圖1,在直角梯形ABC。中，AD//BC,ABIBC,BDLDC,點(diǎn)E是8c邊的中點(diǎn)，將△ABD沿

8。折起，使平面4BD工平面BCD,連接AE,AC,DE,得到如圖2所示的幾何體.

(I)求證：AB平面ADC；

(11)若4。=1,AB=V2,求點(diǎn)8到平面4OE的距離.

23.如圖，三棱錐P-4BC中，PA=PC,AB=BC,^APC=120°,/.ABC=90°,AC=V3PB.

(1)求證：AC1PB；

(2)求直線4c與平面PAB所成角的正弦值.

24.如圖，在四棱錐P?-ABCD中，4B1PC,AD//BC,AD1CD,且PC=BC=2AD=2CD=2魚，

PA=2.

(1)證明：PAIffiABCD；

(2)在尸。上是否存在點(diǎn)M,使PB〃平面MAC,若存在，請計(jì)算器的值，若不存在，請說明理

由;

(3)若PM=2MD,求點(diǎn)D到平面MAC的距離.

25.已知直角梯形ABC。，ZC=ZD=90。，AD=6,CO=CB=3.沿8。將團(tuán)48。折起，使得A

到P的位置，且平面PBD_L平面BCD.

(1)求證：PB工CD；

(2)求二面角B-PD-C的余弦值大小.

26.如圖，在幾何體A8CDMN中，四邊形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面40NM1平面ABCD,

E為AB中點(diǎn).

(1)求證：AN〃平面AIEC；

(2)若M4=4。=2,月=60。求直線A/E與平面MBC所成角的正弦值.

N

27.如圖所示，四棱錐P-4BCD中，AB1AD,AD1DC,PA_L底面ABCD,PA=AD=AB=^CD=

1,M為PB的中點(diǎn).

(1)試在CO上確定一點(diǎn)N,使得MN〃平面PAD；

(2)點(diǎn)N在滿足(1)的條件下，求直線與平面H4B所成角的正弦值.

B

28.如圖，在多面體A8C￡>E尸中，平面4DEF1平面ZBCD,四邊形AOE尸為正方形，四邊形ABC。

為梯形，且4D〃BC,4ABD是邊長為1的等邊三角形，M為線段中點(diǎn)，BC=3.

(1)求證：AF1BD；

(2)求直線“產(chǎn)與平面CDE所成角的正弦值；

(3)線段B。上是否存在點(diǎn)N,使得直線CE〃平面AFN?若存在，求黑的值；若不存在，請說明

DU

理由.

29.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A8C￡>為菱形，PAJ■平面ABCC,

44BC=60。，點(diǎn)E,F分別是3C,PC的中點(diǎn)，用向量方法解決以下問

題：

(/)求異面直線AE與PD所成角的大??；

(口)若48=4/\求二面角E-4F-C的余弦值的大小.

30.如圖，在長方體ABC。-4道傳山1中，。為0/1的中點(diǎn)，AB=AD=2y/2,AAt=2.

(1)證明：COJ■平面ABmi；

(2)求三棱錐。-的體積.

【答案與解析】

1.答案：C

解析：

本題重點(diǎn)考查棱錐的外接球問題，屬于較難題.

取BC的中點(diǎn)H,連接產(chǎn)〃，利用當(dāng)平面ABC時(shí)，三棱錐的體積最大，連接OP,MH,過。作

0N1PH于點(diǎn)N,則四邊形0M印V為矩形，從而求出外接球半徑，進(jìn)一步可得其表面積.

解：如圖，取8c的中點(diǎn)H,連接PH,貝IJPH_LBC,因?yàn)閆L4BC的面積為定值，

所以當(dāng)PH1平面ABC時(shí)，三棱錐的體積最大，

因?yàn)?48C為直角三角形，

故其外接圓圓心為AB的中點(diǎn)M,

則。MJ_平面ABC,

又PH，平面ABC,

所以O(shè)M//PH,連接OP,MH,過。作ONJLPH于點(diǎn)N,則四邊形OMAN為矩形,

ON=MH,在4aBe中，MH=\AC=3,AB=\/AC2+CB2=8）所以MB=8,

連接。B,設(shè)三棱錐的外接球半徑為上OM=d,

則在AOMB中，R2=d2+16,①,

在UPON中，OP2=ON2+NP2,即R2=32+(7—(//，②,

聯(lián)立①②并求解得d=3,所以產(chǎn)=32+16=25,

所以三棱錐的外接球的表面積為：4兀?R2=I。07r.

故選：C.

2.答案：B

解析：

設(shè)球。的半徑為R,由已知條件得出APAC和APBC是兩個(gè)公共斜邊為PC的等腰直角三角形，以及

證明04_L平面P8C,進(jìn)而用R表示三棱錐P-4BC的體積，得出。與R的關(guān)系，即可得出球。的體

積.

本題考查球的體積的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵主要找出球的直徑，考查計(jì)算能力與推理能力，屬于中

等題.

設(shè)球。的半徑為R,由于PC是球。的直徑，則NP4C和NPBC都是直角，

由于P4=4C,PB=BC,所以，△P4C和APBC是兩個(gè)公共斜邊為PC的等腰直角三角形，

且^P8C的面積為S“Bc=\PCOB=R2,

■■■PA=AC,。為PC的中點(diǎn)，^AOA1PC,

???平面P4C1平面PBC,平面H4CC平面PBC=PC,04u平面P4C,所以，OAPBC,

所以，三棱錐P-ABC的體積為:xOAxS4PBe=xR2==訪

因此，球0的體積為9兀/?3=47Tx|/?3=4na,

故選：B.

3.答案：A

解析：

本題考查二面角的平面角及求法，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計(jì)算能力，屬于中檔題.

取8。的中點(diǎn)E,連接QE,CE,根據(jù)三垂線定理可知QEJ.BD,從而4的EC為二面角C-BD-「

的平面角，在三角形GEC中求出此角即可.

解：取8。的中點(diǎn)E,連接GE,CE,

?：AB=AD=24，

AC1BD,

???根據(jù)三垂線定理可知GE1BD,

4GEC為二面角G-BD-。的平面角，

易知ICE=^AC=V6,而CG=V2>

CCix/2瓜

..tanZGEC=-=-^=T)

二面角a-BD-C'的大小為30。.

故選A.

4.答案：A

解析:

本題考查空間中的距離，屬于中檔題，作出右側(cè)視圖，dD=AMsin^l+dB,求出即可.

解：記平面ABC為0,取AC中點(diǎn)連接作。H_L6于“，則〃在8M三等分點(diǎn)處，作右側(cè)

視圖，a與夕所成二面角為42,

?！迸c夕所成線面角為41,易得41+42=今

過AN1CC'于N,AC=4,CN=dc-dA=2,

C冗Y冗

???z2=zl=

65

：.dD=/IMsinzl+dB=4-y-y+2=2+2也

5.答案：A

解析：

本題考查多面體外接球表面積與體積的求法，是中檔題.

可知當(dāng)平面A8P與平面ABC垂直時(shí)，四面體A8CO體積最大，求出P到底面ABC的距離，設(shè)外接

球半徑為R,再由勾股定理列式求得R，則答案可求.

解：當(dāng)平面ABP與平面ABC垂直時(shí)，四面體ABCP的體積最大，

由4C=BC=VLAB=2,得44cB=90。?

設(shè)點(diǎn)P到平面ABC的距離為〃，

則gxgx或x&xh=|,解得九=2.

設(shè)四面體ABCP外接球的半徑為R,則R2=(2-R)2+I2,解得R=：.

所以球0的表面積為47rx(》2=,兀.

故選A.

6.答案：C

解析：

本題考查直線與平面，平面與平面間位置關(guān)系的判定，涉及到直線與平面垂直的判定，直線與平面

平行的判定，屬于中檔題目.

對各選項(xiàng)逐一判斷，即可得到答案.

解：①若%ua,則結(jié)論不成立；故此結(jié)論錯誤；

②分別位于兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線肯平行也可能異面，故此結(jié)論錯誤；

③若則〃〃a或”ua,又〃10,所以a10.此結(jié)論正確；

④若7nla,m〃n,則n_La,又九1￡,則a〃夕.此結(jié)論正確.

則正確的命題為③④.

故選C.

7洛案：ABD

解析：

本題主要考查空間立體幾何中的面面垂直關(guān)系以及空間幾何體的體積公式，本題巧妙的把立體幾何

問題和函數(shù)進(jìn)行有機(jī)的結(jié)合，綜合性較強(qiáng)，設(shè)計(jì)巧妙，對學(xué)生的解題能力要求較高，屬于較難題.

A,利用線面垂直的判定定理去證明平面MENF1平面BDD'B'；

B,四邊形MENF的對角線EF是固定的，所以要使面積最小，則只需MN的長度最小即可；

C,判斷周長的變化情況；

D,對所求體積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，分為兩個(gè)三棱錐，進(jìn)行判斷.

解：對于A選項(xiàng)，連接BD,B'D',E,F分別是棱44,CC'的中點(diǎn)，

貝（IEF//4C,

則由正方體的性質(zhì)可知，EF_L平面BDD'牙，

因?yàn)镋Fu平面MENF,

所以平面MENFL平面BDD'/T，所以A正確；

對于8選項(xiàng)，連接MN,

因?yàn)镋F_L平面BDD'Z/，”'<2平面13口。療，

所以EF1MN,

四邊形MENF的對角線EF是固定的，

所以要使面積最小，

則只需MN的長度最小即可，

此時(shí)當(dāng)M為棱的中點(diǎn)時(shí)，

即x=?時(shí)，

此時(shí)MN長度最小，對應(yīng)四邊形MENF的面積最小，所以B正確；

對于C選項(xiàng)，因?yàn)镋FJ.MN,

所以平行四邊形MENF是菱形，

當(dāng)尤G[0,1]時(shí)，EM的長度由大變小，

當(dāng)XG七,1]時(shí)，EM的長度由小變大，

所以函數(shù)L=/(%)不單調(diào)，所以C錯誤；

對于。選項(xiàng)，連接C'E,CM,C'N,

則四棱錐可分割為兩個(gè)小三棱錐，它們以LEF為底，

以歷，N分別為頂點(diǎn)的兩個(gè)小棱錐，

因?yàn)槿切巍?EF的面積是個(gè)常數(shù)，點(diǎn)M，N分別到平面J，EF的距離是個(gè)常數(shù)，

所以四棱錐L-MENF的體積U=/i(x)為常函數(shù)，所以。正確，

所以四個(gè)命題中48。為真命題，

故選ABD.

8.答案：BD

解析：

本題考查空間直線與直線的位置關(guān)系、異面直線所成角及二面角的正切值，屬于較難題.

根據(jù)條件，結(jié)合直線與直線垂直證明及線線所成角、二面角知識逐項(xiàng)驗(yàn)證即可.

解：取中點(diǎn)例，CG中點(diǎn)N,連接B1M,B]N,MN,

則易證得〃4E,MN//AXB,

從而平面/MN〃平面&BE,

所以點(diǎn)F的運(yùn)動軌跡為線段MN.

取尸為的中點(diǎn)，

因?yàn)閍BiMN是等腰三角形，所以BiF1MN,

又因?yàn)镸N〃CD1,所以故A正確；

設(shè)正方體的棱長為。，當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)M或點(diǎn)N重合時(shí)，直線名尸與直線8c所成角最大,

此時(shí)tan/CiB/=：＜巖=tan30。，所以8錯誤；

平面/MN〃平面&BE,取尸為MN的中點(diǎn)，則MN1C1F,MN1BrF,

???NaFC1即為平面/MN與平面CDDiG所成的銳二面角，

tan/BiFG=警=2尤，所以C正確；

當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)例時(shí)，截面為等腰梯形，易得其面積為2＞立，故。錯誤.

82

故選8D

9.答案：ABC

解析：

本題考查了線面平行的判定，線面垂直的判定與性質(zhì)，考查面面垂直的判定，屬于中檔題.

根據(jù)線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理及線面平行的判定定理逐項(xiàng)判斷即可.

解：對于A,由PAJ_平面ABC,BCa^ABC,.-.PA^BC；

乂AB1BC,PAOABA,PA,ABu平面PAB,

???BCl￥ffiPAB,故A正確；

對于B,?；0,E分別為PB,P4的中點(diǎn)，:?DEHAB,

乂ABu平面ABC,DE仁平面ABC,

DE〃平面ABC,故B正確；

對于C,由BCL平面P48,ADcT?PAB,：.BC1AD；

又PA=4B,力為PB的中點(diǎn)，AD1PB；

又PBCBC=B,PB,BCu平面PBC,

???AD1平面PBC,

又4。u平面ABC,??.平面4BD1平面PBC,故C正確；

對于。，由題意知PB與4c不垂直，所以P8與平面4OC不垂直，故力錯誤.

故選ABC.

10.答案：ACD

解析:

本題考查棱錐和棱柱的體積公式，異面直線的夾角，二面角，屬于較難題.

A,計(jì)算出MR,NM,BH,由對稱性可得它的所有頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，且直徑為2;

B,由圖可知4AV/PB,直線AM和直線8c不在同一平面內(nèi)

C,將八面體分解成直四棱柱和四棱錐，利用體積公式求解即可；

D,根據(jù)對稱性可知，它的任意兩個(gè)共棱的面所成的二面角都相等，

解：由題意，可將該立方八面體理解為1個(gè)直四棱柱和4個(gè)四棱錐組成，如圖所示：

對于4選項(xiàng)，取AE,DH,MN的中點(diǎn)K,S,O,連接MR,SN,

???立方八面體的棱長為1,AAER為等邊三角形，

MR=*AB=也根據(jù)對稱性可知梯形MRSN的高為手=爭

則NM=1+2XJ(y)2-(y)2=2-

在棱柱E4DH-FBCG中，BH=J/+/+（或『=

根據(jù)對稱性可知，。為MN和B4的交點(diǎn)，0M=ON=OB=OH=1,

故該立方八面體的12個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，其直徑為2,故A正確；

對于2選項(xiàng)，可知4M〃PB,直線AM和直線BC不在同一平面內(nèi)，

4PBe為直線AM和直線8C的夾角，其大小為60。，故B錯誤；

對于C選項(xiàng)，分別計(jì)算直四棱柱和四棱錐的體積，

所以該立方八面體的體積為V=lxlx-/2+4xixlx-/2x—=—,故C正確；

323

對于。選項(xiàng)，該立方八面體的每一條棱所相交而來的兩個(gè)面均是一個(gè)正方形和一個(gè)三角形,

根據(jù)對稱性可知，它的任意兩個(gè)共棱的面所成的二面角都相等，故。正確；

故選ACD.

11.答案：ABD

解析：

本題考查線線角，線面角，菱形的證法以及點(diǎn)到面的距離的相關(guān)運(yùn)算.屬于一般題目，利用線線角,

線面角，菱形的證法以及點(diǎn)到面的距離等知識，逐一計(jì)算證明即可。

解：對于A,由勾股定理，得=ED=。尸=FBi=苧心下證E、。、尸四點(diǎn)共面，取

中點(diǎn)G,連接4G、EG,由EGg&Bi，知&EG41是平行四邊形.

所以&E〃aG,乂A、F匕DG，所以&GDF為平行四邊形.

所以&G〃FD,所以為、E、D、尸四點(diǎn)共面，

故四邊形/EDF是菱形.故A正確；

對于B,連接CD],由題意可得,GD1CQ,必1/1_LCM可得GD1平面，所以6。1ArC,

故B正確；

對于C,因?yàn)?所以4。在平面&EDF內(nèi)的射影在角平分線上.

如下圖所示.

又因?yàn)锽iEDF為菱形,所以O(shè)B1為4EDF的平分線，故直線AO與平面BiEDF所成的角為乙

在RtABiAD中，AD=a,ABX=\[2a,B/=島，

則COS4WB1=y.

故AO與平面BiFDE所成的角正弦值為爭故C不正確;

對于力，設(shè)點(diǎn)C到平面BGD的距離為d「在三棱錐C—BGD中，

CG1平面4BD,CD=BC=Cg=a,BD=BCr=CXD=V2a,ArC=V3a

KC-BCXD=UQ-BCD，.,?^x|a2xa=^x^xy/2ax號xV2aXdy心=曰a.

又?.?AiC，平面BCi。.

???點(diǎn)占到平面BQD的距離d=&C—di=/a.故。正確；

故選ABD.

12.答案：［苧,9百］

解析:

本題考查了空間線面位置關(guān)系，正方體的結(jié)構(gòu)特征，幾何體中的截面問題等知識，屬于中檔題.

根據(jù)對稱性可得：當(dāng)x=l或5時(shí)，三角形的面積最小，當(dāng)x=3,即尸在BD1中點(diǎn)時(shí)，截面為正六邊

形的面積最大，分別求得最值即可.

解：如圖：

?.?正方形力BCD的棱長為2百，

???正方體的對角線長為6,

???尤6[1,5],根據(jù)對稱性可得：當(dāng)％=1或5時(shí)，三角形的面積最小,

設(shè)截面三角形的邊長為f,

由等體積法得：ix^t2Xl=ixix(^t)2X^t，

3432k272

:，t—瓜,

???ymin=fX(V6)2=手.

當(dāng)x=3,即尸在BA中點(diǎn)時(shí)，截面為正六邊形的面積最大,

此時(shí)正六邊形的邊長為J(V3)2+(V3)2=V6>

故截面面積為6Xyx(V6)2=9V3.

故答案為：［苧,9遙］.

13.答案：叵

24

解析：

本題主要考查了面面垂直的性質(zhì)，球的體積公式，屬于較難題.先確定外接球的球心，求得半徑，代

入公式可得結(jié)果.

因?yàn)槠矫?B。_L平面CBD,所以AB_L平面BDC,CDL平面ABD,

得AB_LBC,CDLAD,

取4c的中點(diǎn)0,則04=OB=OC=OD,

于是外接球的球心是O,OA=^AC,

222222

OA=^AC,而4c2=AB2+BC2=2AB+BD=^(4AB+2BD)=

所以半徑04=工AC=①，

24

于是外接球的體積為生（立丫=衛(wèi).

3\4724

故答案為

24

14.答案：*g

解析:

本題主要考查了幾何體的截面問題，屬于較難題.

求出正四面體A-BCD的體積，表面積，從而得出正四面體力-BCD的內(nèi)切球半徑，平面AEF截該

正四面體的內(nèi)切球所得截面一定是圓，設(shè)圓心為P,由黑=*可得cp_第，即可得平面AE尸截該

MNAMUr------

6

正四面體的內(nèi)切球所得截面一定是圓半徑ri=77匚布=盍,從而得出平面AEF截該正四面體的

內(nèi)切球所得截面的面積.

解：易知正四面體的高為也一（竿j=竽,

故正四面體A-BCD的體積為U=工工速x3x4=2，

3343

表面積為S=4x3x22sin^=46,

所以，正四面體4一8。）的內(nèi)切球半徑為「=叱=出=乎

S4736

如圖,

平面AE尸截該正四面體的內(nèi)切球所得截面一定是圓，

設(shè)圓心為P,內(nèi)切球的球心為。，取EF中點(diǎn)M,取CD中點(diǎn)”，延長A。交于點(diǎn)N,

則。P1AM,ON=―,MN=―,AN=—.AO=―,

6632

由4M2=NM2+4N2,可得AM=叵,

2

△APOANM,

.??平面AE產(chǎn)截該正四面體的內(nèi)切球所得截面圓的半徑為6="2-op2=言,

2

平面AEF截該正四面體的內(nèi)切球所得截面的面積為兀xJL)=竺.

VV33/33

故答案為生.

15.答案：鄉(xiāng);157r

解析：

【試題解析】

本題考查四面體的體積的最大值和外接球的表面積，屬于難題.

當(dāng)平面4BC1平面8OC時(shí)，該四面體體積最大；結(jié)合圖形，求出外接球的半徑即可求解.

解：???四面體4BCO中，AB=AC=BC=BD=CD=1,

當(dāng)平面48cl平面8￡>C時(shí)，該四面體體積最大，

如圖所示：

此時(shí)，取BC的中點(diǎn)E,連接AE,DE,則DEL8C,

因?yàn)槠矫?BC_L平面BCC,且平面ABCfl平面BDC=BC,DEBDC,

得DE_L平面ABC,

則AE=DE=心—（|）2=苧，

該四面體體積的最大值：

113V33V327

V=-x—x3x---x---=

mmaxa*32228

記A/IBC的外心為。1，四面體A8CD的外接球球心為0,半徑為R,

如圖所示，

設(shè)。。1=九,

R2=（V3）2+h2

則叫停，晨）I+呼八百f、）2,解得出=丁4

則四面體ABC。的外接球表面積為4兀/?2=4兀x竺=157r.

4

故答案為g157r.

O

16.答案：I

解析：

本題考查了球的表面積，考查求三棱錐的體積，考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查空間想象能

力與思維能力，屬較難題.

由題意設(shè)AB=a,PD=DA=00'=h,由竹+OP?=「。2,即謂。）2+層=%從而求得三

棱錐P-4BC的體積％_旃；=q。2無=苧（4八一八3）,令/（/i）=苧（和一/?）（九＞0）,利用導(dǎo)數(shù)判斷

/（九）的單調(diào)性即可求解.

解：如圖所示，

令A(yù)B=a,PD=DA=00'=九，貝ijB。z=AO'=DO=—a.

3

外接球表面積為16兀，所以球半徑R=2,

在RtAPOO中，DO2+DP2=P02,即譚a)2+/i2=4,

即^a2+h.2=4,得a?=3(4-h.2~),

2

所以體積VP_ABC=lshABC-PA=^-^a-2h

JO4

=—a2h=—(4h—公)，

62

令fW=y(4/i-h3Xh>0)，f(/i)=y(4-3ft2),

所以/(/i)在(0,苧)上單調(diào)遞增，在+x)上單調(diào)遞減,

所以/1=竽時(shí)，UPTBC的最大值為〃誓）=|?

故答案為|.

17.答案：一手

解析：

本題考查二面角計(jì)算，屬于較難題.

解題時(shí)先根據(jù)基本不等式得到x=y=4,取勺歷的中點(diǎn)T,連接AT,GT,ACr,得到乙47cl就是

二面角4-BR_Ci的平面角.

然后利用余弦定理計(jì)算即可.

解：設(shè)4B=Q,BC=b,

則由題意得：。2+￡|2=(2n)2,a2+22=x2,b2+22=y2,

所以久？+y2=32,由基本不等式得：(x+y)2W2(x2+y2)=64,

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=4時(shí)，x+y取得最大值8,此時(shí)a=b=2k，幽=AD1=4,

所以/Di=AC=2述，

取aD1的中點(diǎn)7,連接47,G7,4G，如圖，

則ATJ.B也,G7J.B也,則乙4TG就是二面角4一81。1-0的平面角,

在等腰三角形團(tuán)AB［。］中，因?yàn)榱=4。1=4,B也=2后所以47=國，

在等腰三角形回GBiDi中，因?yàn)镚當(dāng)=Ci%=2%，B、D\=2顯,所以Ck=逐，

在長方體ABCD-&B1QD1，求得AG=2夕，

故在三角形AC］中，由余弦定理得C0SN47G=2巴”=一等

18.答案：(1)率

(2)72

⑶F

(4)［攀常

解析:

⑴

本題考查了圓錐及其結(jié)構(gòu)特征和圓錐的體積，屬于基礎(chǔ)題.

由題意母線長，=3,求出圓錐的高，即可得出體積.

解：由已知圓錐底面半徑r=l，設(shè)母線長為/,

由題意得2乃=弟1,即1=3,

所以圓錐的高無=V/2—r2=V32—I2=2A/2?

22V

所以該圓錐的體積為-?rrh=-7TxIx2\/2=27r.

333

故答案為這7r.

3

(2)

本題考查斜二測畫法，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)斜二測畫法可知平行四邊形AB'C'D'中ND'4B'=45。，O'B'=2,O'D'=1,由此求解即可.

解：由題意可知，平行四邊形力'B'C'D'中ND'4'B'=45。，O'B'=2,O'D'=1,

SBA,BlClD,=O'D'xO'B'xsm/.D'A'B'=1x2xsin450=V2.

故答案為：V2.

(3)

本題考查線面垂直的判定，球與錐體之間的關(guān)系，屬于中檔題.

首先得到PC_L平面ABC,進(jìn)一步求出球心的位置，最后利用勾股定理求出結(jié)果.

解：在A4BC中，AB=8,BC=6,AC=10,

^VXAB2+BC2=AC2,ABIBC,

設(shè)力為AC的中點(diǎn)，則8。=5,

P為4ABC外一點(diǎn)，滿足PA=PB=PC=5V5.

則PD1AC,PD=J(PA)2-(PD)2=10,

所以P￡)2+8。2=PR2,PDLBD,

則PD1平面ABC,

球心。為PC上一點(diǎn)，如圖所示：

p

B

設(shè)球的半徑為R,所以R2=52+（10-幻2,

解得：/?=v

故答案為：

本題考查了正方體的幾何特征，截面面積問題，屬于較難題.

棱長為次，故體對角線8。1=3,根據(jù)截面的形狀求解即可.

解：???正方體4BCD-4B1GD1的棱長為百，

???正方體的體對角線長為3,易知點(diǎn)B到平面4B1C的距離為1,

當(dāng)xe時(shí)，截面多邊形為三角形，

當(dāng)或|時(shí)，三角形的面積最小，

設(shè)此時(shí)截面正三角形的邊長為t,

由等體積法得Zx在t2x3=%xLx（立t）2x立t,

34232v272

t=漁,

根據(jù)對稱性知當(dāng)BP=|時(shí)，即當(dāng)截面過體對角線BA的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)截面為正六邊形,

此時(shí)面積取得最大為6x逋=迪.

84

故答案為日心，力.

84

19.答案：|

解析：

本題考查異面直線所成角的問題，考查線面垂直的判定，考查基本不等式在求最值方面的應(yīng)用，題

目較難.

設(shè)直三棱柱的高為x,BP=y,則BiP=x-y,由PC1Pg,可得x=竺手，再證明GP，平面ACP,

從而得到APLPCi，可得Sfpc,=：x,25+y2xJ16+(x-y)2,將》=竺手代入，利用基本不

等式可求得當(dāng)△APCi的面積取最小值時(shí)，y=26，由〃/1&,所以NGPB1(或其補(bǔ)角)為異面直

線與PC】所成的角，從而可求得答案.

解：設(shè)直三棱柱的高為x,BP=y,則BiP=x-y,

因?yàn)椤鰽BC為直角三角形，且AB=5,4C=3,則BC=4.

所以PC?=+BP2=16+y2,PCI=名匠+8$2=16+(x-y)2,

由PCJLPG，則PC2+p或=c仁，即16+丁2+16+。-3/)2=%2,整理得x=

由棱柱ABC-&BiG為一個(gè)“塹堵”，則側(cè)棱垂直于底面，且底面是直角三角形.

所以CG，平面ABC,又4cu平面ABC,則CC】1AC.

又底面4BC是直角三角形，且最長邊為A8,則BC,4c.

又CG、BC為平面BCG/內(nèi)兩條相交直線，

所以4cl平面BCGBi，GPu平面BCGBi，所以GP14C,且PC1PG，PC,AC為平面PAC內(nèi)

兩條相交直線，

所以qpJ_平面ACP,APu平面ACP,所以4P1C1P.

11___________________

SAApC1=-XAPXCXP=-x05+y2xJ16+(x-y-

=2j41+y2+^>2J41+2.x竿=18,當(dāng)且僅當(dāng)y?=竽，即y=2通時(shí)，取得等號.

故當(dāng)△APCi的面積取最小值時(shí)，y=2V5.

由所以NC1PB1(或其補(bǔ)角)為異面直線A%與PC1所成的角.

DD_?_16+y2_186D18>/5r=8四「c1~/8瓜。12的

BB—x——-————,BPn=x-y=----2nV5=，CP=(16+(—)2=---，

1y1551,M55

8V5

所以cos/GPBi=匿=島=|.

5

故答案為:|.

20.答案：127r

解析：

本題考查了球的表面積的最小值，由題意可知SA是三棱錐S-4BC的外接球的一條直徑，由三棱錐

S-力BC的體積為遮得a?h=12.設(shè)三棱錐S-力BC的外接球半徑為R,則R2=八+矛==2+Q=

h4

-+-+^,利用基本不等式可得最小值.

hh4

解：設(shè)三棱錐外接球的球心為O,三棱錐底面邊長和高分別為a,h,

設(shè)球心到底面ABC的距離為d=3底面ABC的外接圓半徑為r,則r=隹a，

由題意可知SA是三棱錐s-4BC的外接球的一條直徑，

則%-48C=：x曰a?h=6，BPa2/i=12.

設(shè)三棱錐S-4BC的外接球半徑為R,則R2=r2+d2=ia2+>2

34

=i+^=l+1+^>3,當(dāng)且僅當(dāng)九=2等號成立，

h4hh4

故三棱錐S-4BC的外接球表面積為4TTR2>127r.

故答案為127r.

21.答案：(1)證法一：設(shè)AB中點(diǎn)為。，連接P。，由己知■

PA=PB,所以P0J.4B,p

而平面248_1_平面ABCD,交線為AB,

故P01平面ABCD,/\\

以。為原點(diǎn)、0P為z軸，0B為)，軸，如圖建立空間直角廣>C

坐標(biāo)系，并設(shè)PO=/I,F

則P(0,0,h),0),C(V2,1,0),￡>(V2,-l,0)D

所以定=(我,1，-h),~BD=(V2,-2,0)，正?前=0所以PC!?BD

證法二：設(shè)AB中點(diǎn)為O,連接PO,由已知P4=PB,所以P0_L4B,

而平面H4B_L平面ABCQ,交線為AB,

故P。_L平面A8CD,從而8。IP。...①

在矩形4BCO中，連接C。，設(shè)C。與8。交于M,

則由CQ：BC=BC-.M0知ABCDs^OBC,所以4BC0=4CDB,

所以48cM+4CBM=Z.CDB+Z.CBM=90°,故BD1.CO…②

由①②知IBD，平面PCO,

所以PC1BD.

(2)解：由ADJ.4B,平面H4BJL平面ABCQ,交線為AB,可得ADJ■平面PA8,

所以平面P4B_L平面PAD,交線為B4,

過B作1PA,垂足為H,則_L平面PAD,

8。與平面PAO所成的角即為角BDH,

所以BH=—BD=^xV6=V3.

22

從而三角形PAB為等邊三角形，P0=V3.

設(shè)P(0,0,h),則4(0,-1,0),5(0,1,0),Z)(V2,-l,0),

可求得平面PAD的一個(gè)法向量為方=(0,/?,-1),

而前=(V2,-2,0).由cos<p,BD>=s譏45°可解得/i=仃，

=o

設(shè)平面BPC的一個(gè)法向量為沅,則,=OBP=(0,-1,6),BC=(V2,0,0)，可取沆=(0,A])，

前o

設(shè)平面。尸。的一個(gè)法向量為元，則日=

=O(72,-1,73),DC=(0,272,0),可取祐=(遮,0,

DC

-V2)

,—?一、

十qz.是ELcos<m,n>=---V--1-0，

故二面角B—PC-。的余弦值為一噂.

解析：本題考查直線與平面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空

間想象能力以及計(jì)算能力.

(1)證法一：設(shè)AB中點(diǎn)為。，連接P。，由已知P4=PB,所以PO1AB,而平面PAB1平面A8C￡>,

交線為48,以。為原點(diǎn)、。尸為z軸，08為)，軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)PO=h,求出相

關(guān)的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積求解玩?麗=0,推出PC_L80.

證法二：設(shè)AB中點(diǎn)為。，連接尸0,由已知P4=PB,所以P014B,而平面PABJ■平面4BCD,交

線為AB,證明BD1P0,連接CO,設(shè)C。與6。交于M,通過計(jì)算/BCM+乙CBM=4CDB+乙CBM=

90°,推出BD1C。，然后證明PCJ.B。

(2)由ADI48,平面PAB1平面ABC。，交線為AB,可得4D，平面PAB,平面PZB1平面PAD,

交線為PA過8作BH_LP4垂足為H,則BH_L平面PAQ,8。與平面PAQ所成的角即為NBDH,