高中數(shù)學第八章《立體幾何初步》提高訓練題 (六)(含答案解析)

第八章《立體幾何初步》提高訓練題（6）

2.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為

何視圖

A.24+—B.24+—C.24+兀D.84--

444

3.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）

主視圖左視圖

俯視圖

A.24+—B.24+—C.24+兀D.8+—

444

4.一個幾何體的三視圖如圖，則該兒何體的體積為（）

A.6TT+4B.127r+4C.6TT+12D.12TT+12

5.在三棱錐S-ABC中，團力BC為正三角形，設(shè)二面角S-4B-C,S-BC-A,S-C4-B的平

面角的大小分別為a,/?,y（a，W，yW），則下面結(jié)論正確的是（）

A.高+高+器的值可能是負數(shù)

B.

C.a+夕+y>71

D.京+彘+高的值恒為正數(shù)

6.設(shè)/是直線，a,/?是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）

A.若1〃a,I〃B，則a〃/?B.若l〃a,則aIS

C.若a10,ILa,則/〃0D.若I//a,貝

7.如圖，在正方體ABC。-中，E是棱CG的中點，尸是側(cè)

面BCGB1內(nèi)的一動點，且為F〃平面DiZE,則&F與平面BCG與所

成角的正切值，構(gòu)成的集合是（）

A.[t|<t<2^3]

B.{t|^<t<2}

C.{t|2<t<26}

D.{t\2<t<2V2}

8.已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球。的球面上，P41平面ABC,PA=ABBC=2,PB與

平面PAC所成的角為30。，則球。的表面積為

A.67rB.127rC.16兀D.48兀

9.已知底面為邊長為2的正方形，側(cè)棱長為1的直四棱柱ABCD-AiBiGDi中，P是面為當好5上

的動點.給出以下四個結(jié)論中，則正確的個數(shù)是（）

①與點。距離為舊的點P形成一條曲線，且該曲線的長度是

②若DP〃平面4CB1，則力P與平面ZCG4所成角的正切值取值范圍是存,+8）；

③若。P=V3,則OP在該四棱柱六個面上的正投影長度之和的最大值為6位.

A.0B.1C.2D.3

10.如圖，四棱錐S-力BCO中，底面是正方形，各側(cè)棱都相等，記直線

SA與直線4。所成角為。，直線SA與平面ABC。所成角為i,

二面角S-AB-C的平面角為7,則（）

A.a>p>y

B.y>a>/?

C.a>y>p

D.丫>B>a

11.如圖所示是某幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積為

A..25-7T

-n

B.4

C.2—5n

D.?

二、多項選擇題（本大題共3小題，共12.0分）

12.下圖是棱長為1的正方體的平面展開圖，以下結(jié)論正確的（）

A.點A到M的距離為多

C.EF與0M成角為60。；D.M與平面SV成角的正弦值考

13.如圖四棱錐P-4BCD,平面PAD，平面ABCD,側(cè)面PAO是邊長為2遍的正三角形，底面ABCD

為矩形，CD=2遮，點。是的中點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.CQ1平面PAD

B.PC與平面4QC所成角的余弦值為苧

C.三棱錐B-ACQ的體積為6點

D.異面直線C。與AB所成的角的余弦值為當

14..如圖，在正方體ABCO-中，M,N分別為棱口。1，

&C的中點，其中正確的結(jié)論為（）

A.直線4W與GC是相交直線

B.直線AM與8N是平行直線

C.直線BN與MB1是異面直線

D.直線與AC所成的角為60。

三、填空題（本大題共6小題，共30.0分）

15.農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習慣，粽子又稱粽核，俗稱“粽子”，古稱“角黍”，

是端午節(jié)大家都會品嘗的食品，傳說這是為了紀念戰(zhàn)國時期楚國大臣、愛國主義詩人屈原.如圖,

平行四邊形形狀的紙片是由六個邊長為1的正三角形構(gòu)成的，將它沿虛線折起來，可以得到如

圖所示粽子形狀的六面體，則該六面體的體積為一；若該六面體內(nèi)有一球，則該球體積的最

大值為.

16.在長方體48。。一2$1的。1中，AB=CCj=V2.BC=1,點M在正方形CDDiG內(nèi)，平

面&CM,則三棱錐M-&CC1的外接球表面積為

17.已知正方體4BC。的棱長為2,P為體對角線BDi上的一點，則△「?1（；周長的最小值

是________

18.如圖，在一個底面邊長為2,側(cè)棱長為g的正四棱錐P-A3LO中，

大球01內(nèi)切于該四棱錐，小球。2與大球。1及四棱錐的四個側(cè)面相切,

則小球。2的體積為.

19.在直角梯形ABC。中,48〃C0,40_L4B,4B=2DC=2,E為AO的中點。將△E4B和AEC。

分別沿EB,EC折起，使得點A,。重合于點F,構(gòu)成四面體尸-BCE.若四面體FBCE的四個面

均為直角三角形，則其外接球的表面積為.

20.如圖，矩形ABCD中，AB=2AD,E為邊AB的中點，將△ADE沿直線。E翻轉(zhuǎn)成zMiDE(公仁平

面4BCD),若M、。分別為線段&C,OE的中點，則在Z1ADE翻轉(zhuǎn)過程中，下列說法錯誤的是()

(1)存在某個位置，使MB〃平面4DE

(2)與平面4OE垂直的直線必與直線8M垂直

(3)異面直線8M與4E所成角的定值

(4)一定存在某個位置，使DE_LM。

(5)存在某個位置，使DE14C

四、解答題(本大題共10小題，共120.0分)

21.如圖，已知四棱錐P—4BC。的底面ABC。是邊長為1的正方形，PB=PD=遍,PC=2,E

是側(cè)棱PC上的動點.

(I)求證：不論點E在何位置，都有BDLAE；

(11)若「4〃平面BDE,求直線AE與平面BOE所成角的正弦值.

(HI)在(II)的條件下，求二面角。-4E-B的大小.

22.如圖，正三棱柱ABC—4B1G中，4B=/Mi=2,點P,。分別為必當，8c的中點.

(1)求異面直線8P與4G所成角的余弦值；

(2)求直線CG與平面4QG所成角的正弦值.

23.如圖，在斜三棱柱4BC-&B1G中，底面是等腰三角形，AB=AC,側(cè)面^口也道，底面ABC.

(1)若。是BC的中點，求證：AD1CC1；

(2)過側(cè)面BBiGC的對角線BG的平面交側(cè)棱A4i于點M,若AM=M4,求證：截面MBC11側(cè)

面BBiGC；

⑶如果截面M8G1側(cè)面881GC,那么力M=M①嗎？請你敘述判斷理由.

24.如圖，在正四棱錐U-力BCD中，二面角U-BC—D為60。，E為BC的中點.

(1)證明：BC=VE.

(2)已知E為直線”上一點，且尸與A不重合，若異面直線8尸與VE所成角為60。，求”.

25.如圖，在四棱錐P-4BCD中，PA，平面ABC。，AD//BC,ABJ.AD,E為P3中點且BC=AB=

(I)求證：CE〃平面PA8；

(口)求二面角E-AC-。的余弦值.

26.如圖，在四面體43CC中，△4BC是等邊三角形，平面ABC，平面ABZ),點/為棱AB的中點,

AB=2,AD=2V3,/.BAD=90°.

(I)求證：AD1BC-,

(n)求異面直線8C與例。所成角的余弦值；

(HI)求直線CD與平面ABD所成角的正弦值.

27.如圖，三棱柱48。一48傳1內(nèi)接于圓柱。01，已知圓柱。。1的軸截面為正方形，AB=AC=

熠。01，點P在軸。。1上運動.

6

(1)證明：不論P在何處，總有BC1P4；

(2)當點P為。。1的中點時，求平面4PB與平面BCGBi所成的銳二面角的余弦值.

28.如圖，在三棱柱48。一公8心中，底面ABC為正三角形，側(cè)棱1底面ABC.己知。是BC的

中點，AB=AAt=2.

山

(I)求證：平面48山1平面BBiGC；

(II)求證：&C〃平面4B1D；

(HI)求三棱錐&的體積.

四棱錐P-ABC。中，底面A8CQ為直角梯形，CD//AB,

Z.ABC=90°,AB=2BC=2CD=4,側(cè)面PAD1面ABCD,PA=PD=2

(1)求證：BD1PA

(2)已知平面尸4。與平面PBC的交線為/,在/上是否存在點N,使二面角P-OC-N的余弦值

為［?若存在，請確定N點位置，若不存在，請說明理由

30.如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AB//CD.Z-DAB=60°,AE〃CF、AE=CF,CF1平面

ABCD,DC=BC=AD=CF=1.

(1)求證：EF_L平面BCF；

(2)若FM=AEF,是否存在實數(shù)人使平面例AB與平面ABC所成銳二面角為g?若存在，求出

實數(shù)4;若不存在，請說明理由.

【答案與解析】

1.答案：B

解析：

本題考查了應(yīng)用輔助線，根據(jù)已知條件以及線面角、線線角、面面角的性質(zhì)，得到它們的三角函數(shù)

間等量關(guān)系，并化簡目標三角函數(shù)式，結(jié)合二面角的范圍求目標式的最值.

由題意知了+。=會作輔助線找到。，y及二面角W，四邊形AC"3H2為正方形進而得到

為等腰三角形，利用所得直角三角形用邊表示sin。、cos即有它們的等量關(guān)系，利用sin(y-

0)=1-2siM0結(jié)合二面角aG6,J即可求sin(y-9)的最大值.

解：直線AB與平面a,平面/?所成角均為。，與/所成角為y,而。6[0,芻，ye[0,§,又

sin(y+8)=l,可知：y+0=p

若令二面角a—/—/?為"，作44'_L1于4,BBUL于Bl過A作力C〃Z,過B'作B'C_U與AC交于。

點；

.?"1■面BB'C,又/ua,Icp,故面BB'Cla,面EB'C_L/?,即NBB'C=仍

過B作8?！?，，過4作4D1，與B。交于。點，

面BB'C',又lua,lu6,故面BB'Cla,面BB'CJ_0,即zBB'C=*;

過B作B0〃1,過4'作4'0J.I與BO交于。點；

???I_L面AAD,又1ua,Iu0,故而44。1a,面44。1/?,即乙44。=cp;

作BHilB'C于Hi，AH2LA'D^-H2,連接ZH1、BH2,即有484%=44BH2=。，且

NBAC=/.DBA=y;

rsin。-史^—竺^-cosy=—=—,即B/=AH2=AC=BD,

ABAB'ABAB12

作C“31BB'有四邊形ACH3H2為正方形，即C“3=AC,

ACH3=BHi，有RtAC/B三RtABHC故ZB'BC為等腰三角形且B'B=B'C,

令x-AC,y=BC,貝SB=yjx2+y2>有

$也9=浸聲而

cos2=^'"6翼’又

sin(y-0)=sin(]—20)=cos20=1-2sin20,

y2

sin(y-0)=1-2-^^=1

當8=g時等號成立.

故選：B

2.答案：A

解析：解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為：

一個正方體和一個）的球體組成的組合體，正方體的棱長為2,球的半徑為1,

O

故S=6x4+三x4兀?12+工X兀x/=24+四.

844

故選：A.

首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體，進一步求出該幾何體的表面積.

本題考查的知識要點：三視圖和幾何體之間的轉(zhuǎn)換，兒何體的表面積的應(yīng)用，主要考查學生的運算

能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型.

3.答案：A

解析：

本題主要考查了空間幾何體的三視圖和幾何體表面積的求解，屬基礎(chǔ)題.

由三視圖知該幾何體的為一個組合體，由棱長為2正方體上方放了:個以1為半徑的球體構(gòu)成，進而

O

由球體的表面積計算即可.

解：由三視圖知該幾何體的為一個組合體,

由棱長為2正方體上方放了J個以1為半徑的球體構(gòu)成，

O

所以該幾何體的表面積S=6x224-ix4TTxI2+3X-TTxl2-2x-nxl2=244--,

8444

故選A.

4.答案：A

解析：

本題考查三視圖及圓柱、三棱錐的體積公式，先由三視圖可判斷幾何體為半圓柱與三棱錐的組合體，

由體積公式可求體枳.

解：由三視圖可得，該幾何體是由一個底面半徑為2,高為3的半圓柱與一個底面為直角三角形，

高為3的三棱錐組成.

所以其體積V=|XTTX22X3+|X|X4X2X3=4+67r.

故選A.

5.答案：D

解析：

本題考查空間二面角的綜合問題，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查轉(zhuǎn)

化思想，數(shù)形結(jié)合思想以及空間想象能力，是較難題.

將問題平面化，畫出圖形，分類討論：點S在平面4BC的射影點0在區(qū)域7,4,5,利用三角形面

積公式判定即可得解.

解：記。為點S在平面A8C的射影點，則如圖(4),?？赡苈湓?個區(qū)域，根據(jù)正三角形對稱性，

只需分析落在區(qū)域7,4,5的情況，分別與圖(1),(2),(3)對應(yīng)，

圖(1),若S接近。，則a+4+y-?0,故C錯，顯然此時高+高+高＞°；

圖(2),如圖,

—r/日1?1?1d]+d2-d3

可得,+前+俞=SO

設(shè)AB=2,^^3=ShABC=^ACd1+^BCd2-^ABd3,則di+dz-c^〉。,

故高+扁+品;>°；

圖(3),如圖,

可得」一+—+—=diE,

'tanatan/?tanySO

設(shè)48=2,則舊=503(?=14。慮一13。6/2—：48(/3，則刈一也一心〉。,

故----1------+----->0；

tanatan0tany

故選：D.

6.答案：B

解析：

本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系，考查空間中平面與平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力，屬

于中檔題和易錯題.

由空間中線線，線面的位置即可判斷A,C,D；由線面平行的性質(zhì)定理和面面垂直的判定定理，即

可判斷B.

解：對于4若“/a,〃/0,則a〃?；騛,0相交，故A錯；

對于B.若〃/a,則由線面平行的性質(zhì)定理，得過/的平面yna=m,即有ml。，再

由面面垂直的判定定理，得al/?,故B對；

對于C.若al/5,Zia,則〃"或luO，故C錯；

對于。.若aJ.￡,，〃a,若/平行于a,0的交線，則，〃0,故。錯.

故選：B.

7.答案：D

解析：

本題著重考查了正方體的性質(zhì)、直線與平面所成角、空間面面平行與線面平行的位置關(guān)系判定等知

識，屬于中檔題.

由題意可證出平面4MN〃平面2AE,從而得到&F是平面&MN內(nèi)的直線.由此將點尸在線段MN

上運動并加以觀察，即可得到aF與平面BCGa所成角取最大值、最小值的位置，由此不難得到&F

與平面BCG/所成角的正切取值范圍.

解：設(shè)平面ADiE與直線3c交于點G,連接4G、EG,則G為8c的中點，

分別取BM、BiG的中點M、N,連接為M、MN、A】N,

則41用〃。遂，AXM仁平面Dp4E,DXEu平面D/E,

.??AM〃平面DiAE.

同理可得MN〃平面D"E,

A/N是平面&MN內(nèi)的相交直線

.??平面&MN〃平面A4E,

由此結(jié)合&F〃平面DiAE,可得直線4/u平面4MN,即點尸是線段MN上的動點.

設(shè)直線4/與平面BCGBi所成角為e

運動點F并加以觀察，可得

當尸與M(或N)重合時，&F與平面BCGB1所成角等于乙

此時所成角。達到最小值，滿足tan。=黑=2；

當尸與MN中點重合時，&F與平面BCG&所成角達到最大值，

滿足￡即。=磊=2魚；

2"1

，4/與平面8"181所成角的正切取值范圍為［2,2夜］.

故選D

8.答案：B

解析：

本題考查了棱錐外接球表面積的求解，屬于中檔題.

由題意可知，底面AABC為等腰三角形，根據(jù)題意可證明其為等腰直角三角形，易求棱錐外接球直

徑為PC,即可求解.

解：???AB=BC=2,則AABC為等腰三角形，

取AC中點￡),連接30,則B014C,

vPA1平面ABC,BDu平面ABC,

BD1PA,

又因為PAnAC=4PA,ACC5pffiPAC,

：.BDL平面PAC,

則4BPD即為PB與平面PAC所成的角，則ZBPD=30°,

又???PA=2,二PB=y/PA2+AB2=2或，

則BO=^PB=V2,

則AC=2>JAB2-BD2=2V2.

則脈+B(72=ac2,AB1BC,

則△ABC為等腰直角三角形，

故三棱錐P-ABC外接球直徑為PC=V4T8=2百，

.??球。的半徑為百，表面積為一ITTR?12b，

故選B.

9.答案：C

解析：

本題以命題的真假判斷為載體，考查了軌跡問題、線面角、正投影等知識點，綜合性強，難度較大.

逐個判斷即可.

解：如圖，

①正確，與點。距離為舊的點尸形成以5為圓心，半徑為聲的：圓弧

長度為工?2"?四=—7T；

42

②錯誤，因為平面40G〃平面4CB1，所以點P必須在面對角線&Q上運動，

當P在4（或G）時，勿與面4CG4所成角ND&O（或"GO）的正切值為當最小，

當P在01時，。。與面ACG4所成角NO。1。的正切值為迎最大，所以正切值取值范圍是［當,夜］;

③正確，以。為原點，DA,DC,DDi，分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，

設(shè)P（%,y,1）,則％2+y2+1=3,

即/+y2=2,OP在前后、左右、上下面上的正投影長分別為尸TT,五E,"可，

所以六個面上的正投影長度之和為2（尸五+衍彳+夜）＜2（2J竺土等出+&）=6夜，

當且僅當P在。1時取等號.

故選C.

10.答案：C

解析：

本題考查異面直線所成角、直線和平面所成角和二面角的概念和計算，屬于中檔題.

過S作sea平面ABC。，過O分別作OELAB.OFLAO于E、F,連接04,SE,SF,則

ASAFAO32SE0=：,應(yīng)用正切函數(shù)知識求解，而后比較大小,即可得出答案.

解：如圖，過S作S6XL平面ABCZ),過0分別作OE_LAB.OF_L.AD于E、F,連接04,SE,SF,

則NSAF=a,NSA0=3,NSEO=7)

因為tan0=瑞<tany=澎所以夕<y,

因為tany=叫：<tana=J所以y<a,

UbAr

綜上可得，a>y>p,

故選C.

11.答案：c

解析:

本題考查球的表面積，考查三視圖，屬于基本題型.

解題時由三視圖畫出原幾何體，確定其結(jié)構(gòu)，再確定出外接球球心位置，得出半徑.

解析：

解：

由三視圖可知該幾何體是一個底面邊長為2,高為2a的正四棱錐.設(shè)其外接球的球心到底面的距離

為d,半徑為R,

則R=2近一d=VHyTI，解得6(=：魚，/?=；V2.

44

其外接球的表面積為47TR2=§7T.

故選C.

12.答案：ACD

解析：

本題考查根據(jù)正方體的平面展開圖，畫出它的立體圖形，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔

題.

把棱長為1的正方體的表面展開圖還原成正方體4CFN-MBDE,由此能求出結(jié)果.

解：如圖:

點4到EF的距離為JM+住y=導(dǎo)故A正確；

三棱錐C-DMN是正四面體，它的體積是：l—4x：x：xlxl=|,故B錯誤；

連接MC,NC,則E/7/MC,EF與MN所成的角即為EF與所成的角，

又MC=MN=NC=&，.?.△MNC為等邊三角形，與MN所成的角是60。，故C正確；

連接。N交EF與。，則DNJ.EF,且。是ON中點，又CD=CN=&，

CO1DN,又EFCCO=0,；.DNJL平面EFCM,?：DNu平面BDN,

.。?平面EFCM，平面BDN,

4COF即為EF與平面8OV所成的角，

在RtZirV)77中，CF=1,OF=￥，CO=J/+(今)=乎,...sin“OF=號=9=字故￡)正

確.

故選ACD.

13.答案：BD

解析:

本題考查線面垂直的判定，直線與平面所成角，空間中的距離，棱錐體積的計算，圓錐外接球性質(zhì)

的運用，考查邏輯推理能力和空間想象能力，屬于中檔題.

選項A：根據(jù)兩平面垂直，得到底面是矩形，進而得到C。_L平面PAD,根據(jù)過一點向平面作垂線只

能做一條垂線，即可判斷，

選項8：取的中點E,連接PE,AQ,AC,EC,先證明PE1平面A8C。，進而得到PEJ.EC,

再根據(jù)CD1平面PA。進而得到CD_LPD,通過邊長關(guān)系證明CQ2+AQ2=ZC2,即Q41QC,再利

用三角形面積公式計算出面積，設(shè)點P到平面AQC的距離為d,根據(jù)兩體積相等列等式求解d,進

而求出正弦值，即可得出余弦值，即可判斷，

選項C：根據(jù)/TCQ=VQ-ABCR結(jié)合點。是夕。的中點直接求體積即可.

選項。：NQCD異面直線CQ與AB所成的角，求解即可.

解：對于4

???平面PAD1.平面ABCD,平面PADn平面4BCD=AD,底面ABCD為矩形，

???CD1AD,CDu平面ABCD,

■-■CD1平面PAD,而CQnCD=C,

若CQ_L平面尸AD,則與過一點向平面作垂線只能做一條矛盾，故A錯誤；

對于B:取AO的中點E,連接PE,AQ,AC,EC,

所以PE14D,

又平面平面A8C。，平面PADn平面4BC0=A。，PEu平面PA。，

所以PEl^F?ABCD,

又ECu平面ABCD,

所以PE1EC,

易知PE=4Q=2①X，=3&,EC=y/DE2+DC2=V6+12=3立，

AC=>JAD2+DC2=V24+12=6，

PC=yJPE2+EC2=V18+18=6,

又CD1平面PAD,PDu平面PAD,

所以CD1PD,

所以CQ=yjCD2+DQ2=V12+6=3或，

所以CQ2+頷2=AC2t

所以Q41QC,

所以21QC=卬4?QC=：X3夜x3或=9,

又SAPQA=^PQ?AQ=3x3應(yīng)x遍=3A/3,

設(shè)點P到平面AQC的距圖為d,則由乙一PQ4=^P-ACQ?

則有沁PQ4.CD=lsAQC-d,B|jix3V3x2V3=ix9xd,

所以d=2,

則.PC與平面AQC所成角的正弦值為2=i,

所以PC與平面AQC所成角的余弦值為J1.Q2=半，故B正確;

對于C:

^B-ACQ-VQ-ABC，

???點。是尸。的中點，

???點。到平面ABCD的距離為點P到平面ABCD的距離的一半，即越,

2

S4ABe=|xx2V3=6V2,

^B-ACQ%-ABC=§X6y/2X—^―6>故。借i天；

對于￡>：???4B〃CD,

NQCO異面直線CQ與AB所成的角，

在直角三角形QOC中，“DC=90。,CD=2V3-DQ=*>，

QC=J(2V3)Z+(V6)2=3V2>

CD2V3V6

???COS乙QCD=—=—p=——?

“CQ3V23

故。正確.

故選BD.

14.答案：CD

解析：

本題考查異面直線的判定方法，考查兩條直線的位置關(guān)系，兩條直線有三種位置關(guān)系，異面，相交

或平行.

利用兩條直線是異面直線的判斷方法來驗證A8C的正誤，利用平移法，判斷。，得到結(jié)論.

解：???直線cq在平面cCi5。內(nèi)，

而MC平面CC1C1D,4任平面CC15Z),

二直線AM與直線CG異面，故A不正確，

???直線AM與直線BN異面，故B不正確，

利用A的方法驗證直線8N與直線MB1異面，故C正確，

利用平移法，可得直線MN與AC所成的角為60。，故。正確，

故選CD.

15.答案：①；幽.

6729

解析：

本題考查幾何體的表面積的求法及球的組合體的有關(guān)知識，屬于中檔題.

由題意得出該幾何體的形狀和尺寸，再由球的體積公式可得答案.

解：由題意知幾何體是由兩個正四面體組成的幾何體，正四面體的高為/!=[7二=漁,

733

所以該六面體的體積為1/=lXixlX^X^=^.

32236

若該六面體內(nèi)有一小球，則小球的最大體積時應(yīng)和六個面相切,

下圖為幾何體的上半部分，

由題意知四面體4-BCD為邊長為1的正四面體，。為底面的中心，即球的球心,

取8c的中點E,連接AE,0E,作0F1AE于凡則。尸為這時的球的半徑.

因為AE=今。E所以AO=，郎一田

所以0尸=竽=等=￡

AEv39

2

所以小球的最大體積用X兀xQ經(jīng)粵

故答案為今嚼.

16.答案：117T

解析：

本題主要考查線面垂直性質(zhì)定理，長方體以及三棱錐結(jié)構(gòu)特征，外接球表面積計算，考查學生空間

想象能力，屬于較難題.

利用長方體以及三棱錐結(jié)構(gòu)特征得到0E1平面CMC1，利用勾股定理得d?+(￥)=R2,再結(jié)合在

長方體中利用線面位置關(guān)系以及線段長度由勾股定理得R2=(l-d)2+|,②，聯(lián)立方程組求出三

棱錐M-aCG的外接球半徑，即可得到答案.

解：因為長方體4BC0-AiBiGDi，所以久久_L平面DDiGC,

即a/iJL平面CMC1

因為平面&CM,所以

所以三角形CMC1為直角三角形，

設(shè)三棱錐&一MCG的外接球球心為。，CG，BBi中點為E,F,

所以E為三角形CMC1外接圓的圓心，

所以。E1平面CMC；,

設(shè)OE=d,外接球的半徑為R,在長方體ABC。-4aCiDi中，AB=C￡=五,BC=1,

2

所以。加+EC/=ocj,即d2+g)=R2,①

因為1平面CMC1，所以E/7/&D1，

連接&F,40,所以4/2=2+；|,4。2=4仔+。尸2,

所以R2=(i—d)2+[,②，

所以三棱錐M—&CG的外接球表面積為HR'IU，

故答案為117r.

17.答案：竽+2金

解析：

本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征，正方體上兩點間的最短距離的求解和展開圖的應(yīng)用，屬較難題.

將正方體中△485和^CBDi攤平成四邊形/I2BC2D1，由兩點之間直線段最短可得，當點尸為42c2和

的交點時，APAC周長的最小值為142c2I+MQ，由此計算即可.

解：如圖1：

AB

圖1

將4CBD1攤平成四邊形

如圖2：

則四邊形4BC2C1中，\A2B\=\C2B\=2,\A2D^\=ICzDj=2V2,

Z.BAD==90°,\BD\=2V3.

21Z.BC2DAr

所以△A2BDy=△C2BD],

所以&C21BDi，

由2zBCzDi=M2?IXl4D/=3歷2。21X|BD/,

可得=也源x&.2』=%曳！=延，

1121

|BDt|263

由兩點之間直線段最短可得，

△P4C的周長為|P川+\PC\+14cl=\PA2\+\PC2\+2V2

》142c21+2遮=華+2魚，

當且僅當點P為42c2和BDi的交點時等號成立，

BPAP4C周長的最小值為延+2V2.

3

故答案為：墳+2VL

3

18.答案：且7T

24

解析：

本題考查球的體積公式，考查兩圓相切性質(zhì)，正四棱錐性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔偏難題.設(shè)。為正方形

ABCD的中心,AB的中點為M,連接PM,OM,PO,則Q\f=1.PM=v/PA2-AM2=4U1T=3，

POyjj-T：20，分別可求得大球Oi與小球O2半徑分別為號和,，進而可得小球的體積.

解：設(shè)。為正方形458的中心，A3的中點為M,連接PM,OM,PO,

II，QA/=1，

Z/z

PM=，PA2-AA/2=>/10T=3，PO=v9r=2x/2，

如圖，在截面PA/O中，設(shè)N為球。]與平面PAB的切點,

則N在尸M上，且OGUPA/,設(shè)球0]的半徑為R,則QNR,

n\f1NO、1

因為疝乙1/P。=黑=3所以石?=3,貝iJPOi=；"L

rM3KU[3

POPOi+OO]1/72\，2,所以/?9

2

設(shè)球0i與球外相切于點。，則PQ-PO-2A=2”,設(shè)球外的半徑為一,

同理可得PQ-如，所以,.=[=￥，

故小球。2的體積V+43=等”，

故答案為逛7T.

24

19.答案：’；

解析：

本題以由直角梯形折疊形成的四面體為載體，考查線、面間的位置關(guān)系，四面體的外接球，屬于較

難題目.

根據(jù)條件判斷出四面體尸-BCE外接球的球心為3E的中點，半徑為9BE,結(jié)合題目所給數(shù)據(jù)求出外

接球半徑，即可得到其表面積.

解：如圖.由題意可知，折疊后所構(gòu)成的四面體F-BCE中，

Z.EFC=90°,LEFB=90",N8FC不可能為直角.

在RMFBC中，由FB>FC可知，4FCB為直角，即BC1FC,

因為FEJ.FB,FE1FC,FBCFC=F,FB,FCu平面尸BC,

所以FE，平面FBC,

又BCu平面FBC,則有FE1BC,

又因為BC1FC,FEHFC=F,FE,FCu平面EFC,

所以BC1平面FEC,

又ECu平面EFC,則有BC1EC,

所以四面體F-BCE外接球的球心為BE的中點，半徑為;BE,

在直角梯形ABC。中，

設(shè)DE=EA—a,

則有婚=a2+l,BE2=a2+4,BC2=4a2+1,

由EC?+8。2=BE?,

解得a=￥(負值己舍去)，則BE=雷,

20.答案：(4)(5)

解析：

本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了線面、面面平行與垂直的判定和性質(zhì)定理，考查空間想象

能力和推理能力，是中檔題.

對于(1),取為D的中點N,連接MN,NE,則MN/CD,MN=：CD,證明MN〃EB,即可得到〃平

面&DE,即可判斷(1)；

對于(2),延長CB,DE交于H,連接運用中位線定理和線面平行的判定定理，可得BM〃平

面&OE,即可判斷(2)；

對于(3),運用平行線的性質(zhì)和解三角形的余弦定理，以及異面直線所成角的定義，即可判斷(3)；

對于(4),連接為。，運用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，可得AC與OE垂直，即可判斷(4)；

對于(5),AB=2AD=2,則OE=CE=/，CD=2,DE2+CE2=CD2,即證。E1CE,

若。El&C成立，則OE1_平面&CE,與=N4E0=45。矛盾，即可判斷(5)；

解：對于(1)取為D的中點N,連接MMNE,則MN/CD,MN=\CD,-A

5LEB//CD,EB=^AB=^CD,

MN//EB,MN=EB,四邊形MNEB是平行四邊形，故BM“NE,又

BMC平面&DE,NEu平面40E,

???8M〃平面&0E,故(1)正確;

對于(2),延長CB,DE交于H,連接44,由E為AB的中點,

可得8為C”的中點，又M為4C的中點，可得〃4H,8MU平面&DE,

4/u平面40E,則BM〃平面&CE,故與平面&0E垂直的直線必與直線8M垂直，則(2)正確；

對于(3),設(shè)48=24。=2a,過E作EG〃BM,G6平面40C,

則乙41EG=NE&H,

22

在4EAi“中，EAX=a,EH=DE=V2a?A1H=la+2a—2-a-y/2a-=V5a>貝UNE4

為定值，即N&EG為定值，則(3)正確;

對于(4),連接40,可得CE141。，若DE1M。，即有0E1平面4M0,

即有0EJ.A1C,由&C在平面ABCD中的射影為AC,

可得AC與。E垂直，但AC與OE不垂直.

則不存在某個位置，使DEJ.MO,則(4)不正確；

對于(5)設(shè)48=24D=2,則OE=CE=/,CD=2,DE2+CE2=CD2,故OE1CE,

若DE141c成立，則OEJ_平面AiCE,OEJ.4[E,與NDEA]=/4E。=45°矛盾，

OE不可能垂直4傳，故(5)錯誤.

故答案為(4)(5).

21.答案：解：(I)證明：???在APBC中，PB=V5，PC=2,BC=1,

PC2+BC2=PB2.：.PC1BC.

同理PC1DC.

又BCCDC=C,BCu平面ABC。，DCu平面ABC。，

PC1?平面ABCD.

如圖以點C為原點，CD,CB,CP,所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系,

z

則4(1,1,0),B(0,l,0),0(1,0,0),P(0,0,2),

~BD=(l,-l,0).

設(shè)E(0,0,a),則荏=(—l，—l,a)，

?.?前?荏=0，DB1AE.

即不論點E在何位置，都有801AE；

(口)前=(1,-1,0)，~BE=(0,-l,a),PX=(1,1,-2).

設(shè)平面OBE的法向量否"=%,yi，Zi)

由=x1-y1=0

(n7,麗=~yi+azi=

令X、=1.則%=1.Zx=I，可取濟=(1,1,》.

???P4〃面.?.對1%，

即萬?元=2—；=0,解得a=l.

?1?/=(1,1,1),荏=(-1,

設(shè)直線AE與平面8DE所成角的為。，

而。=辰(建國)卜癡為..

直線AE與平面BCE所成角的正弦值為“

(n)DX=(0,1,0),=(-1,0,1)-BA=(1,0,0).BE=(0,-1,1).

設(shè)平面A￡＞匹和平面A8E的法向量分別為五=(冷2多),同=(孫/⑦)，

由信,電=%=0

(可?DE=-x2+z2=0

令》2—1，則為=0，z2=If可取底=(1,0,1),

由但甘=去=。，

(n3,BE=-y3+z3=0

令丫3=1,則與=0，Z3=1,可取碼=(0,1,1).

設(shè)二面角。-AE-8的大小為￡,

則|cosS|=g^=：

|n2|-|n3|2

由圖可知。為鈍角，二面角D-AE—B的大小為半.

解析：本題考查了線線垂直的判定，向量法求解空間角，屬于較難題.

(I)以點C為原點，CD,CB,CP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則4(1,1,0),

0),D(l,0,0),P(0,0,2),設(shè)E(0,0,a),由前.荏=0知DB1AE；

(U)求出平面。BE的法向量，設(shè)直線AE與平面8QE所成角的為0,

疝"Hi正叫=曷為=軸可；

(III)求出平面AZ)E和平面A8E的法向量，利用向量夾角公式求解.

22.答案：解：(1)如圖,在正三棱柱4BC-41B1Q中,

設(shè)AC,4G的中點分別為。，?！?/p>

則，OB1OC,OOr1OC,。。11。8,

故以｛赤，元，西｝為基底，

建立空間直角坐標系。-xyz,

?.?4B=44i=2,4(0,-1,0),B(V3,0,0),C(0,l,0),

4式0,-1,2),Bi(柢0,2),6(0,1,2).

???點P為的中點.

.??喬=(一今-Q)，祈=(0,2,2).

|麗?福|

|cos<BP,AC>|=

1\BP\\AC[\

_|-1+4|_3y/lQ

一V5X2V2.20?

.?.異面直線8P與AC1所成角的余弦值為：粵；

(2)???Q為BC的中點.Q(苧,：,0)

???而=(當,|,0)，溫=(022),藥=(0,0,2)，

設(shè)平面AQG的一個法向量為元=(x,y,z),

n=-x+-y=0—rm-r-

22y,可取記=(國,一i,i),

?n=2y4-2z=0

設(shè)e直線CCi與平面42cl所成角的正弦值為6,

sinO=Icos<CCi,7?>|="?——

mm

2_V5

-V5X2-T*

???直線CG與平面4QG所成角的正弦值為

解析：本題考查了異面直線所成角，直線與平面所成角，向量法求空間角，考查學生的計算能力和

推理能力，屬于中檔題.

(1)設(shè)AC,4C1的中點分別為。，01，以｛話，方，兩｝為基底，建立空間直角坐標系。一xyz,由

|cos〈而，褊>|=慝鬻可得異面直線BP與4G所成角的余弦值；

(2)求得平面4QG的一個法向量為元，設(shè)直線CC]與平面4QG所成角的正弦值為仇可得sin?=|cos<

CC^,n>|=即可得直線CCi與平面4QG所成角的正弦值.

23.答案：證明(1)：-AB=AC,。是BC的中點，

AD1BC.

,?,底面4BC1平面BBiGC,

底面48cC平面BB1GC=BC,

???ADJ_平面BBiGC.

'又CC[w平,面

AD1Cg；

(2)如圖，延長Bi4與BM交于點N,連接GM

AM=MA-i,??A/=A1B1.

???AG=A]N=A1B1,

￡N1BG，

GN，側(cè)面BBiGC,

截面MBGJL側(cè)面BBiGC；

(3)若截面MBG1側(cè)面BBiQC,則力M=成立.

理由如下：如圖，過M作ME1BCi于點E,連接DE.

?.?截面MBG，側(cè)面BB￡C,

AME1側(cè)面B&GC

又_L側(cè)面BBiC】C,

ME//AD,

四點共面.

vM4〃側(cè)面BBiGC,

AMIIDE.

???四邊形AMED是平行四邊形，

又AM=DE,AM//CCr,

???DE//CC^.

???BD=CD,

■■■DE=押￡,

AM=gCG="&，

AM=MAX.

解析：本題主要考察了平面與平面垂直的判定，空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，恰當?shù)奶砑虞o

助線是解題的關(guān)鍵.

(1)先證明底面ABC1平面B&GC,可知AD1平面BBiGC,從而可證4D_LCG；

(2)延長與交于點N，連接GN,證明GN1側(cè)面即可證明截面MBG_L側(cè)面88也住;

(3)在圖中，過“作ME1BQ于點E,由截面MBC]1側(cè)面BBiGC,可證四邊形AMEZ)是平行四

邊形，有力M=DE,可證DE〃CCi，即可證明AM=M4.

24.答案：(1)證明：設(shè)丫在底面的射影為。，則。為正方形ABCD的中心.

如圖，連接0E,因為E為BC的中點，所以O(shè)ELBC.

在正四棱錐V-4BC。中，VB=VC,則UEJ.BC,

所以NVEO為二面角V-BC-。的平面角,

則NVEO=60°.在RtAVOE中，VE=2OE,

又4B=BC=2OE,所以BC=VE.

(2)解：取AB的中點G,以。為坐標原點，分別以面，灰，而為x,y,z軸的正方向，建立空間直

角坐標系。■-xyz,

設(shè)AB=2,則4(0,0,遍),E(0,l,0),3(l,l,0),0(l,-l,0),

VA=(I,-I,-V3),FF=(1,1,-V3),7E=