高中數(shù)學(xué)人教A版必修一第二章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)導(dǎo)學(xué)案

第八講：指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

知識(shí)梳理

1、根式：一般地，如果x"=a,那么x就叫做。的〃次方根，其中〃>1,且〃eN*.式子

心叫做根式，其中〃叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).其中標(biāo)=["；正

a,“為正偶數(shù)

2、分?jǐn)?shù)指數(shù)累：我們規(guī)定正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉的意義是:

必/—

a"=4""(a>O,〃?,“eN*,且">1)；我們規(guī)定正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是:

其中0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)第為0,

0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)暴沒(méi)有意義;

2、正數(shù)的有理數(shù)辱的運(yùn)算法則如下:

<7°=1,a"=——

a"

a"1xa"=a",+",a'na"=am~n

（叫"=/,（町=a"7/"

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單調(diào)性

恒過(guò)點(diǎn)

經(jīng)典例題

題型一：求值

?]_3_1_2

1、已知。=—尸力=十,求32伏a/j-2)1q-l)3「的值.

V33V2

2_[113_3

2、已知x+—=3,求下列各式的值：(1)q+一；(2)N-x,(3)。+二.

3、化簡(jiǎn):

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4、若3"=2,3〃=5一1,則33fl-2fe的值=.

1

-,

6、0.027-5(一了+2.56^-3+(V2-1)°=

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i5--

643-(一―)°-[(-2)3]3+16°-75+0.012

8、9

(0.0081尸

9、

_22lR-

(0.008)3X—+(6)2+(-2)°+3一|+(—)3

10、2527

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(0.027心一(6；：+256%+(2夜廣-3-'+兀。

11、

題型二：指數(shù)函數(shù)概念及三要素

例1、下列函數(shù)：①y=V②、=(—2)；?y=r+i；④>'=(aT(心1且力2).

其中，指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)是

例2、若函數(shù)y=(2a-l)'(x是自變量)是指數(shù)函數(shù)，則a的取值范圍是

/(x)=(?2-3a+3)(%+。-2

例3、若函數(shù)2是指數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)°的值為

例4、函數(shù)f(x)=J需帶器的定義域?yàn)?

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例5、函數(shù)/（X）=v4'-2v-2的定義域?yàn)椤?/p>

例6、函數(shù)曠=的定義域是（-8,0],則a的取值范圍為

/QX2+2ax-ai

例7、已知f（X）一1的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

/（X）=——（XG1?）

例8、設(shè)函數(shù)2、+1。則它的值域?yàn)?/p>

y=（-）-r+2x

例1、函數(shù)2的值域是

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例9、函數(shù)y=4'_2川_5在［1,2］上值域?yàn)?/p>

6-x,x<2

/(x)=,

例10、已知實(shí)數(shù)。>0且awl,若函數(shù)x>2的值域?yàn)?4,+8),則a的取值

范圍是______

(x2~,x<a

/(%)=

例11、已知函數(shù)，若八幻的值域?yàn)?°，+8),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

例12、若函數(shù)y=，4'+a2'+l的值域?yàn)椋踥,+oo),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

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例］3、已知=I,當(dāng)其值域?yàn)楸茣r(shí)，流的取值范圍是o

B.C.N"=3I

例14、已知求函數(shù)的值域.

例15、求函數(shù)＞=(；)*—(g)'+1在xe［—3,2］上的值域。

題型三：圖像與比較大小

例1、在同一個(gè)坐標(biāo)軸上畫出如下函數(shù)的圖像

例2、作出下列函數(shù)的圖像

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^=2,4=2-，4=2國(guó)4=2由/=|2匚1|

y=2x-',y=2-x-',y=^x'\y=2'^'}

例3、若之信，》11巨1,則函數(shù)Q匕息J的圖象一定在（）

A.一、二、三象限B.一、三、四象限

C.二、三、四象限D(zhuǎn).一、二、四象限

例4、若函數(shù),=罐+。一1（。＞0且aHl）的圖象不經(jīng)過(guò)第一象限，則有一

A.且人＜0B.月2＜1

仁（）＜〃＜1且。40口.（）＜。＜1且力＜1

例5、（-j）-1,2吩，2一’中最大的數(shù)為（）

A.（一｝tB.24C.（|）-1D.21

例6、設(shè)x,y,z均為正數(shù)，且2'=3'=6'則（）

A.2xV3yV6zB.6zV2xV3yC.3y＜6zV2xD.3yV2xV6z

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例7、已知a=0.2‘，6=0.32,。=0膻，貝ij()

A.b<a<cB.a<c<bC.c<a<bD.a<b<c

例8、已知函數(shù)/1(x)=(|)若a=f(2"3),b—f(2),c=f(log25),則a,6,c的

大小關(guān)系為()

A.c>b>aB.a>b>cC.c>a>bD.b>c>a

題型四：恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題與單調(diào)性

例1、函數(shù)y=ai+l(a〉0且QH1)的圖象必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)—

例2、已知函數(shù)/(幻=/1+〃(。>0且“H1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P(m,2),則加+〃=

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例3、求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為

/］、一尸+3x-9

例4、求函數(shù)y=-的單調(diào)遞減區(qū)間

例5、求函數(shù)y=2'E^的單調(diào)區(qū)間.

題型五：?jiǎn)握{(diào)性與奇偶性

例1、設(shè)a^R,f(x)=a-—一-(XGR),若/(x)為奇函數(shù)，求。的值

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X

例2、已知函數(shù)“刀卜2會(huì)-1!，

⑴判斷函數(shù)外力的奇偶性；

⑵求證函數(shù)“X)在(7,+8)上是增函數(shù).

例3、已知函數(shù)

⑴若/(x)=2,求x的值；

⑵若2/(2"+時(shí)(?！?對(duì)于re[l,2]恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

例4、已知f(x)=-(a—a~')(a>0且aWl).

(1)判斷/Xx)的奇偶性；

(2)討論/'(x)的單調(diào)性；

⑶當(dāng)xe[-l,1]時(shí)，恒成立，求6的取值范圍.

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例5、己知定義域?yàn)镽的函數(shù)丹*)=尸“是奇函數(shù).

(1)求a,(的值;

(2)若對(duì)任意的teR,不等式/■(一-2力+/'(2——公＜0恒成立，求"的取值范圍.

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第九講：對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

知識(shí)梳理

1、對(duì)數(shù)概念：對(duì)數(shù)的概念：一般地，如果優(yōu)=N(a>OKa*l)，那么數(shù)x叫做以a為底

N的對(duì)數(shù)，記作x=log“N,其中，a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做對(duì)數(shù)的真數(shù).

2、殊對(duì)數(shù)的表示形式：(1)以10為底的對(duì)數(shù)叫常用對(duì)數(shù)，并把loggN記為IgN

(2)以無(wú)理數(shù)e=2.71828...為底數(shù)的對(duì)數(shù)叫自然對(duì)數(shù)，

并把1。曲記為InN.

3、對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系：當(dāng)a>0且a。1時(shí)，4=N㈡x=logN

所以，零和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)；

log“l(fā)=0,log?a=l

4、對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算:

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a.對(duì)數(shù)的性質(zhì)

(1)alo&"N=N(a>0且aH1);

N

(2)logaa=N(a>0且aAl).

b.對(duì)數(shù)的重要公式：

102N

(D換底公式：logbN=誓比Q、b均大于零且不等于1)：

log/

⑵log.b=---推廣108/*1咤〃。*10§，/=108，//(劣13?均大于零且不等于1,d大于

bg/

零).

c.對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則：

如果a>0且a*1,M>0,N>0,那么

⑴log”(MN)=log“M+log?N

⑵l°g"(1)=l°g"MTog'N

(3)log,"=Nlog“M

幾

(4)log,"M"=—logM(利利,〃WR).

"ma

5、對(duì)數(shù)函數(shù)：y=loga%,(a>()Mwl)

0vav1a>I

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圖象

定義域

值域

單調(diào)性

恒過(guò)點(diǎn)

經(jīng)典例題

題型一：對(duì)數(shù)的計(jì)算

例1、將下列指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式：

①5'=625；②2<=，；③=5.73；

64⑶

?log,16=-4；⑤lg0.01=-2；@In10=2.303.

例2、計(jì)算下列各式的值

(1)log.,125;⑵bgJ6；⑶IgO.OOl；(4)log4l；

2

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⑸log3;(6)log3V3;(7)1g4-;⑻log1」

f41064

例3、求下列各式中x的值:

(6)]n\[e；(7)log927；(8)Iog^81?(9)log。+⑸(2-6)，(10)log療625

例4、己知?jiǎng)t7（8）的值等于（）.

D.12

例5、化簡(jiǎn)1g夜+1g正+log：1的結(jié)果是（）.

A.-B.1C.2D.710

2

例6、計(jì)算下列格式

2(2)(1g拉5+gg2?lg5+J(lg0尸一1g2+1

⑴logl55-log1545+(logl53)

(3)(lg5)2+lg2-lg5O(4)log*392-3寂

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257(6)(log3+log3)(log2+log2)-log?^32

(5)21g3+lg7+lg--lg-4839

2

⑺410g23-10g2以-5噫3+陛9G(8)Ig500+lg1-1lg64+log23-log34

432

題型二：對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的運(yùn)用

例1、若。、b>0f且〃、bwl,log”b=log〃a,則

A.a=hB.a=-C.a=〃或〃D.a>b為一切非1的正數(shù)

bb

例2、用字母表示下列數(shù)

(1)已知3"=2,用a表示log34-log36

第18頁(yè)共28頁(yè)

(2)已知k)g32=q,3'=5用。，人表示1。83而

(3)已知lg5=〃z,lg3=〃,用〃?，〃表示log3G8.

(4)已知log189=〃，18"=5,試用a、力表示log^45的值;

(5)已知log[47=6Z,log145=b,用a、b表示k)g3528.

(6)已和2"=5"=機(jī)，且!+'=2,求nt的值

ah

題型三：函數(shù)的圖像

例1、在同一個(gè)坐標(biāo)軸內(nèi)，畫出下列函數(shù)的圖像

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J=log,x;y=log3x;y=log,=log,x

23

例2、畫出下列函數(shù)的圖像

y=log,x；y=log,(-x)；y=log,\x\

y=log2(x-l)；y=log2(-x-l)；y=log,|x-l|

題型四：概述概念及三要素

例1、下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)

①>=log“(2x)②y=log22'③y=log2X+l④y=lgx

例2、已知對(duì)數(shù)函數(shù)=-3，〃+3)log,“x,則加=。

例3、若函數(shù)尸(才一3a+3)log“x是對(duì)數(shù)函數(shù)，則a的值為—

例4、函數(shù)/(%)=(/+q_5)log“x為對(duì)數(shù)函數(shù)，貝等于

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例5、求下列函數(shù)的定義域

（1）函數(shù)/（x）=，5-尤+lg（x+2）的定義域是

（2）函數(shù)/（尤）=------+log2（x-l）的定義域?yàn)?/p>

（3）函數(shù)y=Jbgo5（4x-3）+l的定義域?yàn)?/p>

g（%）=I=+In（2x—2）

（4）函數(shù)VlO-x2的定義域是

1+xX1

（5）設(shè)函數(shù)/?（力=/〃1一次，則函數(shù)g（x）=/（2）+f（R）的定義域,

設(shè)函數(shù)/（X）=電（1-爐）,則函數(shù)）'二八三一）的定義域是

(6)

函數(shù)）（公-人+1）的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)&的取值范圍是

(7)

已知函數(shù)/（小愴［（"J）x（1—a）x+l］的定義域?yàn)榛穑瑒t實(shí)數(shù)。的取值范圍

(8)

是

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例6、求下列函數(shù)的值域

(1)函數(shù)/(力=1。82(3'+1)的值域?yàn)?/p>

(2)函數(shù)/(%)=1080.5。2-奴+3〃)的值域?yàn)榇藙t實(shí)數(shù)。的取值范圍是—

(3)函數(shù)/(x)=l°gi任+2》+3)的值域是.

2

(4)函數(shù)/(x)=lgj—d+4x的值域?yàn)?

log,X,X>1

(5)函數(shù)/(x)={5的值域?yàn)?

V,x<i

3-x,x<2

(6)已知a〉0且awl,若函數(shù)/(x)=〈.的值域?yàn)閯t。的取值范圍

logflx,x>2

是—

(7)己知函數(shù)/(為=1°8"彳+以“>()，0/1)的定義域、值域都是口，2],則0+6=

題型五：比較大小和定點(diǎn)問(wèn)題

例1、比較下列各數(shù)的大?。?/p>

(1)log。log-6;(2)log33.3,log20.8;(3)log,2,log,3,log4-^;

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,1,2,日

log,-,log,-,log32;

(4)log090.8,log090.7,log。.09;⑸34§3

例2、設(shè)a=logo.O6,Z>=logi.iO.6,c=l.1°'\則()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

例3、若a=A=log23,c=log“6,則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

例4、若a=log：i|,8=0.4、c—7z?2,則&b,c的大小關(guān)系是（)

A.a<c<bB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

例5、以下四個(gè)數(shù)中的最大者是（）

(A)(ln2)2(B)ln(ln2)(C)In近(D)ln2

例6、已知a=3°\Z?=log64,c=log32,則4b,c的大小關(guān)系為)

A.c<a<bB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

例7、函數(shù)y=bg“（x+2）+i的圖象過(guò)定點(diǎn)()

第23頁(yè)共28頁(yè)

A.(1,2)B.(2,1)C.(-2,1)D.(-1,1)

例8、函數(shù)y=log“（2x—3）+4的圖像恒過(guò)定點(diǎn)P的坐標(biāo)是—

題型六：?jiǎn)握{(diào)性和奇偶性

例1,函數(shù)/（幻=-4）的單調(diào)遞增區(qū)間為

2

2

例2、函數(shù)/（x）=log06（x+6x-7）的單調(diào)遞減區(qū)間是

例3、函數(shù)/"）=/%〃（如一3）在定義域［1,+8）上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是—

例4、若函數(shù)/0）=1082（》2—"-3。）在區(qū)間（-8,-2］上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍

是_______________

例5、關(guān)于x的不等式晦（廠T）＞嚏2（一2”的解集為

例6、已知“X）是偶函數(shù)，它在［0,+8）上是減函數(shù).若/（lgx）＞/（l）,則x的取值

范圍是（）

A.舄,1)B.(0,專)U(1,+00)

C.10).D.(0,1)U(10,+8)

第24頁(yè)共28頁(yè)

例7、已知y=log”(2-ax)(a>0且。w1)在［0,13上是1的減函數(shù)，則a的取值范圍

是（）

A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.(2,+8)

x2+(4Q-3)X+3〃，X<0

例8、已知函數(shù)/（%）=,（?！?且QW1）在R上單調(diào)遞減，則

log^(x+l)+l,x>0

。的取值范圍是（）

3

A.B-0'7C.D.

34

h-ex

例9、對(duì)數(shù)中常見奇函數(shù)形式：＞=1。8.匕上y=log?bx)

,11b+cx

已知函數(shù)f(x)=ln(Jl+j2-幻+1,/⑷=4,則/(—〃)=_

(1)

函數(shù)y=lg9的圖象關(guān)于