概率論(文)作業(yè)紙答案

第一章隨機(jī)事件的概率

第一節(jié)隨機(jī)事件

一'選擇

1.事件而表示(C)

(A)事件A與事件B同時(shí)發(fā)生(B)事件A與事件5都不發(fā)生

(C)事件A與事件8不同時(shí)發(fā)生(D)以上都不對(duì)

2.事件A,8,有AuB,則AUB=(B)

(A)A(B)B(C)AB(D)A\JB

二'填空

1.設(shè)A,8,C表示三個(gè)隨機(jī)事件，用A,3,C的關(guān)系和運(yùn)算表示⑴僅A發(fā)生為4至

⑵A,B,C中正好有一件發(fā)生為ABCUABAUABC(3)A,B,C中至少有一件發(fā)生為

AUBUC

三'簡(jiǎn)答題

1.任意拋擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。事件A表示“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，事件8表示“出

現(xiàn)點(diǎn)數(shù)可以被3整除”，請(qǐng)寫(xiě)出下列事件是什么事件，并寫(xiě)出它們包含的基本事件。

A,ABMB

解：A表示“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)"，A={2,4,6}

8表示“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)可以被3整除"，8={3,6}

AUB表示“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)可以被2或3整除"，AUB={2,3,4,6}

AB表示“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)既可以被2整除，也可以被3整除"，A3={6}

而萬(wàn)表示“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)既不可以被2整除，也不可以被3整除"，AUB={1,5}

2.袋中有10個(gè)球，分別寫(xiě)有號(hào)碼1--10,其中1,2,3,4,5號(hào)球?yàn)榧t球；6,7,8號(hào)

球?yàn)榘浊颍?,10號(hào)球?yàn)楹谇?。設(shè)試驗(yàn)為：

(1)從袋中任取一球，觀察其顏色；(2)從袋中任取一球，觀察其號(hào)碼。

分別寫(xiě)出試驗(yàn)的基本事件及樣本空間，并指出樣本空間的基本事件是否等可能的。

解：(1)W,:“取出紅球”；嗎：“取出白球”；嗎：“取出黑球”

Q={%,/，%}，基本事件不是等可能的。

(2)嗎：“取出標(biāo)有號(hào)碼/的球”,(i=1,2,3--40)

Q={/，卬2,…"0}=UN,…10)，基本事件是等可能的。

第四節(jié)獨(dú)立性

一、選擇

1.設(shè)P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(A忸)=0.8,則下列結(jié)論正確的是(C)

(A)事件A與8互不相容(B)AcB

(0事件A與8互相獨(dú)立(D)P(AUB)=P(A)+P(B)

2.設(shè)A、8是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)事件，P(A)?尸(8)>0,則P(AUB)=(B)

(A)P(A)+P(B)(B)\-P(A)P(5)

(01+P(A)-P(B)(D)\-P(AB)

二'填空

L設(shè)A與3為兩相互獨(dú)立的事件，P(AUB)=0.6,P(4)=0.4,則P(B)=1/3

2.加工某一零件共需經(jīng)過(guò)三道工序。設(shè)第一、第二、第三道工序的次品率分別是2%、3%、

5%o假定各道工序是互不影響的，則加工出來(lái)的零件的次品率是0.09693

三'簡(jiǎn)答題

L對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行三次射擊，第一二三次射擊的命中率分別為0.4,0.5,0.7,求

(1)三次射擊中，恰好命中一次的概率；(2)至少命中一次的概率。

解：設(shè)事件A表示第i次命中，(i=l,2,3),

設(shè)事件(恰好命中一次}為8,則p(8)=p(a4au%A24u44Ai)

根據(jù)事件的獨(dú)立性和互不相容事件的關(guān)系，得到：

P(B)=p(A)P(耳)P(A)+P(A)P(4)P(Q+p(Qp(耳)p(4)

=0.4x0.5x0.3+0.6x0.5x0.3+0.6x0.5x0.7

=0.36

設(shè)事件｛至少命中一次｝為C,則P(C)=P(AU&U&)

根據(jù)事件的獨(dú)立性和互不相容事件的關(guān)系，得到:

P(C)=1-P(A&4)=1-P(A)p(4)p(4)

=1-0.6X0,5X0.3

=0.91

2.如下圖所示，設(shè)構(gòu)成系統(tǒng)的每個(gè)電子元件的可靠性都是0并且各個(gè)元件能否

正常工作是相互獨(dú)立的，求系統(tǒng)(D和(2)的可靠性。

(1)(2)

解：⑴p\2-p3)；(2)(2p-p2)3

第二節(jié)隨機(jī)事件的概率

一、選擇

1.設(shè)隨機(jī)事件A和5同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件C必發(fā)生，則下列式子正確的是(C)

(A)P(C)=P(AB)(B)P(C)=P(A)+P(B)

(0P(C)2P(A)+P(8)-l(D)P(C)WP(A)+P(6)-1

2.已知P(A)=P(B)=P(C)=-,P(A8)=0,P(AC)=P(BC)=—o則事件A、

416

B、。全不發(fā)生的概率為(B)

56

23

(A)-(B)-8-8-

88

3.已知事件A、B滿足條件P(AB)=P(AB),且P(A)=p,則P(B)=(A)

(A)1-p(B)p(OK(D)1-K

22

二'填空

1.從裝有4只紅球3只白球的盒子中任取3只球，則其中至少有一只紅球的概率為

3

1_C2=蘭34（0.97）

C；35

2.為了減少比賽場(chǎng)次，把20個(gè)球隊(duì)任意分成兩組，每組10隊(duì)進(jìn)行比賽，則最強(qiáng)的兩個(gè)

[9

隊(duì)被分在不同組內(nèi)的概率c為c上乎=上10

或19

3.袋中放有2個(gè)伍分的錢(qián)幣，3個(gè)貳分的錢(qián)幣，5個(gè)壹分的錢(qián)幣。任取其中5個(gè)，則總數(shù)

超過(guò)一角的概率是0.5

4.已知隨機(jī)事件4和5,4（己）=0.5,P（B）=0.7,P{AU砂=0.8,

則P(A-B)=0.1,P(AB)=0.3

三'計(jì)算題

1.電話號(hào)碼由7個(gè)數(shù)組成，每個(gè)數(shù)字可以是0,1,2,…，9中的任一個(gè)數(shù)字(但第一個(gè)

數(shù)字不能為0),求電話號(hào)碼是由完全不相同的數(shù)字組成的概率。

p'p5

解：P(A)=T^=0.06

2.將3個(gè)球隨機(jī)地投入4個(gè)盒子中，求下列事件的概率

(1)A--任意3個(gè)盒子中各有一球；(2)B--任意一個(gè)盒子中有3個(gè)球；

(3)C--任意1個(gè)盒子中有2個(gè)球，其他任意1個(gè)盒子中有1個(gè)球。

解：⑴P(A)=宅=3(2)P(B)=-^-=—(3)p(c)=*產(chǎn)=2

43843164316

3.一條電路上安裝有甲、乙兩根保險(xiǎn)絲，當(dāng)電流強(qiáng)度超過(guò)一定值時(shí)，它們單獨(dú)燒斷的概率

分別為0.8和0.9,同時(shí)燒斷的概率為0.72,求電流強(qiáng)度超過(guò)這一定值時(shí)，至少有一根保

險(xiǎn)絲被燒斷的概率。

解：設(shè)46分別表示甲、乙保險(xiǎn)絲被燒斷

P(AU3)=P(A)+P(B)-P(AB)

=0.8+0.9—0.72=0.98

4.隨機(jī)向半圓0<y<yl2ax-x2(a>0為常數(shù))內(nèi)任擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在半圓內(nèi)任意區(qū)域的概

率與該區(qū)域的面積成正比，試求原點(diǎn)到該點(diǎn)的連線與X軸正向小于色的概率。

4

2G

解：半圓的面積為旦，點(diǎn)落在整個(gè)半圓區(qū)域的概率為1,所以概率與面積的比值為二。

2兀(T

0

所求區(qū)域的面積為叱+土，所以所求概率為42=出土2

42兀cr2不

第三節(jié)條件概率

一'選擇

1.事件A,B為兩個(gè)互不相容事件，且P(A)>0,P(B)>0,則必有(B)

(A)P(A)=1-P(B)(B)P(A|8)=0

(0P(A|B)=1(D)P(AjB)=l

2.將一枚篩子先后擲兩次，設(shè)X”X2分別表示先后擲出的點(diǎn)數(shù)。記

A={X,+X2=10},B={Xl>X2},則P(卻A)=(A)

1125

(A)-(B)-(C)-(D)-

3456

3.設(shè)A、6是兩個(gè)事件，若8發(fā)生必然導(dǎo)致A發(fā)生，則下列式子中正確的是(A)

(A)P(AUB)=P(A)(B)P(AB)=P(A)

(0P(網(wǎng)A)=P(B)⑻P(B—A)=P(3)—P(A)

4.袋中有5個(gè)球，3個(gè)新球，2個(gè)舊球，現(xiàn)每次取一個(gè)，無(wú)放回的取兩次，則第二次取到

新球的概率為(A)

1.已知事件A,B,P（A）=0.5,P（B）=0.6,P（B|A）=0.8,則P（,耳）=_0.3

P（A|，UB）=_4/9_

2.一批產(chǎn)品共有10個(gè)正品和2個(gè)次品，任意抽取兩次，每次抽一個(gè)，抽出后不再放回,

則第二次抽出的是次品的概率為,

3.老師提出一個(gè)問(wèn)題，甲先回答，答對(duì)的概率是0.4;如果甲答錯(cuò)了，就由乙答，乙答

對(duì)的概率是0.5;如果甲答對(duì)了，就不必乙回答，則這個(gè)問(wèn)題由乙答對(duì)的概率為0.3

三'計(jì)算題

1.獵人在距離100米處射擊一動(dòng)物，擊中的概率為0.6；如果第一次未擊中，則進(jìn)行第二

次射擊，但由于動(dòng)物逃跑而使距離便成為150米；如果第二次又未擊中，則進(jìn)行第三次射

擊，這時(shí)距離變?yōu)?00米。假定最多進(jìn)行三次射擊，設(shè)擊中的概率與距離成反比，求獵人

擊中動(dòng)物的概率。

解：設(shè)第，次擊中的概率為P,,2,3）因?yàn)榈趇次擊中的概率p,.與距離4成反比,

k

所以設(shè)Pi=—，(i=l,2,3)；

由題設(shè)，知&=100,P1=0.6,代入上式，得到出=60

再將％=60代入上式，易計(jì)算出=里=04,幺=幽=0.3

21503200

設(shè)事件A表示獵人擊中動(dòng)物，事件紇表示獵人第，次擊中動(dòng)物（上1,2,3）,則所

求概率為:P（A）=P（4）+P（瓦當(dāng)）+P（瓦瓦島）

=P（g）+P（瓦）P聞瓦）+P（瓦）P同瓦）P闖瓦瓦）

=0.6+(1-0.6)x0.4+(1-0.6)x(l-0.4)x0.3

=0.832

2.盒中放有12個(gè)乒乓球，其中有9個(gè)是新球。第一次比賽時(shí)從中任取3個(gè)來(lái)用，比賽后

仍放回盒中。第二次比賽時(shí)再?gòu)暮兄腥稳?個(gè)，求第二次取出的球都是新球的概率。

解：設(shè)事件均表示第一次比賽時(shí)用了/個(gè)新球（i=0,1,2,3），事件4表示第二次取出的球

都是新球，則

3

P（A）=￡P(guān)（g.）P（A|8,）

i=0

C；C；「303「3

Q：=0.146

「3「3「3「303「3「303

52C1252CI2C125252C12

3.一工廠有兩個(gè)車間，某天一車間生產(chǎn)產(chǎn)品100件，其中15件次品；二車間生產(chǎn)產(chǎn)品50

件，其中有10件次品，把產(chǎn)品堆放一起（兩車間產(chǎn)品沒(méi)有區(qū)分標(biāo)志），求：（1）從該天生

產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)取一件檢查，它是次品的概率；（2）若已查出該產(chǎn)品是次品，則它是二車

間生產(chǎn)的概率

解：（1）設(shè)事件“取的產(chǎn)品來(lái)自1車間”為A，事件“取的產(chǎn)品來(lái)自2車間”為4,

，，從中任取一個(gè)是次品”為5,

2I]

＞

P（B）=P（B|/l1）/（/l1）+P（B|A）P（A,）=-xO.15+-xO.2=-

P（43）.P（B|4）P（A2）=2

（2）P（A,|B）=

P（B）—~P[B）-5

4.發(fā)報(bào)臺(tái)分別以概率0.6及概率0.4發(fā)出信號(hào)“?”及由于通信系統(tǒng)受到干擾，當(dāng)

發(fā)出信號(hào)“?”時(shí)，收?qǐng)?bào)臺(tái)以概率0.8及0.2收到信號(hào)“?”及又當(dāng)發(fā)出信號(hào)“一”

時(shí)，收?qǐng)?bào)臺(tái)以概率0.9及0.1收到信號(hào)及“?”。

求：（1）當(dāng)收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)“一"時(shí):發(fā)報(bào)臺(tái)確系發(fā)出信號(hào)“-”的概率；

（2）當(dāng)收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)“?”時(shí)，發(fā)報(bào)臺(tái)確系發(fā)出信號(hào)“?”的概率。

解：設(shè)事件A表示發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)出信號(hào)“?”，則事件.表示發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)出信號(hào)

設(shè)事件B表示收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)“?”，則事件否表示收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)“一”；

根據(jù)題設(shè)條件可知：P（A）=0.6,P（^）=0.4；

P（BA）=0.8,P（B\A）=0.1；P（同A）=0.2,P（平）=0.9；

應(yīng)用貝葉斯公式得所求概率為:

P（AB）P（,）P（不）_04x0.9

（1）「（耳而=

P（A）P（B[A）+P（A）P（B\A）04X0.9+0.6X0.2

=0.75

(2)p(川8)—)_[(.)=P(A)P(B|2_0.6X0.8

P(B)P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)0.6X0.8+0.4X0.1

=0.923

第二章一維隨機(jī)變量及其分布

第二節(jié)離散型隨機(jī)變量

一、選擇

1.設(shè)離散隨機(jī)變量X的分布律為：P{X=%}=次",(2=1,23-),

囚<1,且。>0,則人為()C

(A)A>0(B)X=b+l(C)A=——(D)A,——-

\+bb-1

cooo(l-An)2

解因?yàn)閆P{X=A}=、>2*=1S.尤=".

k=lk=lk=\1-A

日nri-心](1一元’)i于是可知，當(dāng)風(fēng)<1時(shí)乃-4=1

即limSc=hmb?A------二1

〃―>8n〃—>8]—J

所以2=」一<1,(因b>0)所以應(yīng)選(C).

l+h

2.每次試驗(yàn)成功率為p(0<p<1),進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)，直到第10次試驗(yàn)才取得4次成功的

概率為(B)

(A)。*。，?！藽14(l—p)6(C)C"4(l-p)5(D)C；p3(l-p)6

解：第10次試驗(yàn)才取得4次成功：前9次有三次成功，第10次成功。

概率=P(前9次有三次成功)P(第10次成功)=C；p3(]-p)6/=c；p4(]-p)6

3.甲在三次射擊中至少命中一次的概率為0.936,則甲在一次射擊中命中的概率

〃=(D).

(A)0.3(B)0.4(C)0.5(D)0.6

解：設(shè)乂="三次射擊中命中目標(biāo)的次數(shù)”，則X~8(3,p),

已知P(X21)=1-P(X=0)=1—(1一p)3=0.936,

解之得(1—p)3=0.064=>1—/?=0.4np=0.6

5(2,p),y~5(3,p),^P{X>1}=1,P{y>i}=(c)

4.設(shè)隨機(jī)變量X~

3(B)11(C)2Z

(A)—(D)

429279

52

解：已知尸{X21}=1-P{X=O}=1-(1-p)2=§,.?./?=§

{y=o}=i-opr巖

p{y?i}=i-p

二'填空

1.如果隨機(jī)變量X的分布律如下所示,則C=25/12

X0123

2j__L_L

P

C2C3C4C

2.設(shè)離散值機(jī)變量X服從泊松分布，并且已知

p{x=1}=尸{X=2},P{X=4}丁2

P{X=2},即北^=主乙，.?./1=2,*=4}=乙-2=￡2

解：???P{x=l}=

1」12!1」4!3

或尸{XW8}-P{XW7}=0847-0.744=0103

三'計(jì)算題

1.一個(gè)袋子中有5個(gè)球,編號(hào)為1,2,3,4,5,在其中同時(shí)取3只，以X表示取出的3個(gè)球

中的最大號(hào)碼，試求X的概率分布.

解X的可能取值為3,4,5.

事件{X=3},只能是取出的3只球號(hào)碼分布為1,2,3,只有一種取法，所以

P[X=3}=-^=—

cl10

事件{X=4},意味著3只球中最大號(hào)碼是4,另外2個(gè)號(hào)碼可在1,2,3中任取

2只，共有C；種取法，故

C23

P{X=4}=T=—

C；10

事件{X=5},意味著3只球中最大號(hào)碼是5,另外2個(gè)號(hào)碼可在1,2,3,4中任取

2只，共有=6種取法，故

2

P{X=5}=反C=士3

C；5

從而，X的概率分布是

X345

133

p

10105

2.一汽車沿一街道行駛,需要通過(guò)三個(gè)均設(shè)有綠路燈信號(hào)的路口，每個(gè)信號(hào)燈為紅和綠

與其他信號(hào)為紅或綠相互獨(dú)立，且紅綠兩種信號(hào)顯示時(shí)間相等，以X表示該汽車首次遇

到紅燈前已通過(guò)的路口個(gè)數(shù)，求X的概率分布.

解由題設(shè)知X的可能值為0,1,2,3,設(shè)A,（i=1,2,3）表示“汽車在第i個(gè)路口首次

遇到紅燈”，A，A2，A3相互獨(dú)立，且尸（人,）=尸（4）=$于是

1__1

P{X=0}=P（A）=-P{X=1}=尸（A&）=P（A）P@）=7

p{x=2}=p（4M）=p（A）p&p（&）=*

p{x=3}=P（A44）=P（4）P（&）P（4）=!

故分布律為

X0123

p1_L_LJ_

221FF

3.電燈泡使用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)以上的概率為0.2,求三個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)以后最多

只有一個(gè)壞了的概率。

解：三個(gè)燈泡的使用時(shí)數(shù)顯然是相互獨(dú)立的，設(shè)X表示使用1000小時(shí)壞了的燈泡數(shù)，

則X□以3,0.8)。

P(O<X<1)=P(X=O)+P(X=1)=CjXO.80xO.23+C；xO.81x0.22

=0.104

4.甲乙丙三人同時(shí)向同一飛機(jī)射擊，設(shè)擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7o如果只有一人

擊中，則飛機(jī)被擊落的概率是0.2；如果有二人擊中，則飛機(jī)被擊落的概率是0.6；如果

是三人都擊中，則飛機(jī)一定被擊落。求飛機(jī)被擊落的概率。

解：設(shè)事件AB,C分別表示甲擊中飛機(jī)、乙擊中飛機(jī)、丙甲擊中飛機(jī)，事件Q表示有i個(gè)

人擊中飛機(jī)(z=1,2,3)，則事件R=ABC+ABC+ABC

D2=ABC+AJBC+ABC

&=ABC

已知P(A)=0.4,P(B)=0.5,P(C)=0.7,根據(jù)事件的獨(dú)立性得到

P(D,)=0.4.0.5-0.3+0.6-0.5-0.3+0.6-0.5-0.7=0.36

P(D2)=0.4?0.5?0.3+0.4?0.5-0.7+0.6-0.5-0.7=0.41

P(Z)3)=0.40.50.7=0.14

設(shè)E表示飛機(jī)被擊落，則

3

P(E)=ZP(DJP(E|D,)=0.36-0.2+0.41.0.6+0.141=0.458

i=I

2.某地區(qū)一個(gè)月內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)X服從參數(shù)為九的泊松分布，即X~P(九)，據(jù)統(tǒng)

計(jì)資料知,一個(gè)月內(nèi)發(fā)生8次交通事故的概率是發(fā)生10次交通事故的概率的2.5倍.

(1)求1個(gè)月內(nèi)發(fā)生8次、10次交通事故的概率；

(2)求1個(gè)月內(nèi)至少發(fā)生1次交通事故的概率；

(3)求1個(gè)月內(nèi)至少發(fā)生2次交通事故的概率；

解X~%(/l),P{X=%}=▲—次=0,1,2,....,其中4未知的，求；L

k\

而P{X=8}=2.5P{X=10}

即坐二=2.5x上

8!10!

解出矛=36"=6

68^

(1)P{X=8}=-----=P{X<8}-P{X<7}=0.847-0.744=0.103

8!

6s

P{x=10}==P{XW10}-P{XW9}=0.957-0.916=0.041

(2)P{X=0}=P{XW0}=0.002

P{X>1}=1-P{X=0)=0.998

(3)P{X>2}=1-P{X<2}=1-P{X<1)=1-0.017=0.983

第三節(jié)隨機(jī)變量的分布函數(shù)

一'填空題

01)

1.設(shè)離散隨機(jī)變量X~11j_,則X的分布函數(shù)為.

\362>

解當(dāng)x<—1時(shí)，F(xiàn)(x)=P{X<x}=0-

當(dāng)一lWx<0時(shí)，F(xiàn)(x)=P{X<x}=1

當(dāng)0Wx<l時(shí)，F(xiàn)(x)=P{X<%}=-+-=-;

當(dāng)時(shí)，F(xiàn)(x)=P{X<%}=-+-+-=1

362

整理，得

fo,當(dāng)尤<一1

]_

當(dāng)一l〈x<0

3

b(x)=j1

當(dāng)0Wx<l

2

1,當(dāng)

二、選擇

1.設(shè)K(X)與F2(x)分別為隨機(jī)變量X,與X2的分布函數(shù),為使尸(幻=aF](x)-bF2{x)

是某一變量的分布函數(shù)，在下列給定的數(shù)值中應(yīng)取(A)

，、3,2，、2,2

(A)a=_,b=(B)ci=一，b=

5~533

，、1,_3，、1,3

(C)ci=—,b(D)a——,b=-

2~22~2

分析根據(jù)分布函數(shù)的性質(zhì)：limE(x)=l,因此有

A->+oo

limF(x)-alim(x)-blimF2(x)即\=a-b

X—>+ooR-A—>+<?

故應(yīng)選(A).

0,x<0

x

2.設(shè)函數(shù)尸(x)=4一，—A_.

2

1,x>l

(A)是隨機(jī)變量的分布函數(shù).(B)不是隨機(jī)變量的分布函數(shù).

(0是離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù).(D)是連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù).

解:A

顯然F(x)滿足隨機(jī)變量分布函數(shù)的三個(gè)條件：

⑴尸(x)是不減函數(shù)，⑵0<F(x)<l,KF(-oo)=0,F(+oo)=1，⑶

F(x+0)=F(x)

0,x<a

x2

3.設(shè)F(x)="a<x<2當(dāng)a取下列何值時(shí),F(x)是隨機(jī)變量的分布函數(shù).

T，

1,x>2

(A)

(A)0(B)0.5(C)1.0(D)1.5

解:A只有A使尸(x)滿足作為隨機(jī)變量分布函數(shù)的右連續(xù)的條件。

三.計(jì)算題

1.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)=A+Barctanx,求A3的值.

解:由隨機(jī)變量分布函數(shù)的性質(zhì)

limF(x)=0.limF(x)=1.知

X—>-ooXT—

兀兀

0=limF(x)=lim(4+Barctanx)=A+8x(——)=A---B.

X—>-oo22

兀

A--B=0

jrITQ

1=limF(x)=lim(A+Barctanx)=A+Bx—=A-\■—B.解<

XT+oo-227C

A+—3=1

2

得

2n

第四節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量

一、選擇

1.設(shè).人幻、F(x)分別表示隨機(jī)變量X的密度函數(shù)和分布函數(shù)，下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是

(A)

(A)0</(x)<1(B)0<F(x)<l

(C)匚/(x：dx=1(D)/(x)=F'(x)

2.下列函數(shù)中，可為隨機(jī)變量X的密度函數(shù)的是(B)

sinx,X<TTsinx,0<x<-

(A)/(*)=<(B)/(x)=，2

0,其它

、0，其它

sinx,0<x<—

?/(%)=<2(D)〃x)=sinx,—OO<X<+8

0,其它

二、填空

1.設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

F(X)=—H■—arctanx,—8<X<+8

2n

(1)P[-1<X<1}=0.5,

⑵概率密度/（X）=尸'（X）=----------,一8<X<+8

%（廠+1）

三、計(jì)算題

1.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度

x>0

/（九）=<

0,x<0

求：（1）常數(shù)A；（2）概率P{X21}。

答案

（1）

jf(x)dx=x2e~xdx=x2de~x=-A(x2e~x|J°°—￡2xe~'dx)

-2Ajxe'dx——2A(xe'|g°°—Je'dx)-2Aje'dx——2Ae^'|^°°=2A-1

2

(2)

P{X>1}=f(x)dx=A^'x2e-xdx=-Ax2de-x=-A(x2e-x~^2xe-xdx)

=Ae~'+2AjJxe~xdx=Ae~'-2A(xe~x-JJexdx)=3Ae~'+2A^e-xdx=5Ae^=|

第四節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量（特殊分布）

一、選擇

L在區(qū)間［-1,2］上服從均勻分布的隨機(jī)變量X的密度函數(shù)是（B）

￡

3,-l<x<2-l<x<2

(A)/(x)=Jo(B)/(%)=3'

其它

,0,其它

(D)f(x)=；,

(C)f(x)=3,—oo<x<+°°-8<X<+8

2.服從參數(shù)為0.5的指數(shù)分布的隨機(jī)變量X的密度函數(shù)是（C)

ex>0

(A)f(x)=\(B)f(x)=2e~2x,—<x><x<+?o

x<0

2x>01-L

(C)/(x)=<2'(D)f(x)=-e2x,-8cx<+8

0,x<0

3.設(shè)X~N(/z,cr2)，那么當(dāng)o"增大時(shí)，則

P{|X_“<<T}=尸［^^<1>=0(1)①(一1)(C)

(A)增大(B)減少(C)不變(D)增減不定

4.隨機(jī)變量乂~^^(4』),且「{乂〉2}=P{乂42},則4=(B)(對(duì)稱性)

(A)1(B)2(C)3(D)4

二'填空

1.設(shè)隨機(jī)變量X在在區(qū)間［-1,2］上服從均勻分布，則

(1)P{-6<x<-1}=0(2)P{-4<x<1}=2/3

(3)P［-2<X<3}=1(4)P{1<X<6}=1/3

2.設(shè)隨機(jī)變量X~7V(100,<r2),且P{X>103}=0.3085,則P{97<X<103}=

。383

v_1nn3］3

-------<—>二1一①(一)=0.3085

)(J(JJ(J

3

??.0(-)=0.6915

(7

3V_1()()3］333

--<-------(二"①(一)-皿-一)=2①(二)-1=0.308

{a<7(7)a(7(7

3.設(shè)隨機(jī)變量X~N(50,a?),且P{47<X<53}=0.68264iJP{X>53}=_nj^Z_

解法同上

三、計(jì)算題

1.設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間［2,5］上服從均勻分布，對(duì)進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè)，試求至少有兩次觀

測(cè)值大于3的概率。

20

答案

27

2.已知修理某種機(jī)器所需的時(shí)間7(小時(shí))服從指數(shù)分布e(l),求:

(1)在2小時(shí)之內(nèi)修好的概率；

(2)如果已修理了2小時(shí)，在以后的2小時(shí)之內(nèi)修好的概率。

exx>0

答案⑴/(%)=,

0,x40

P(T<2)=^e-'dx=1-e-2

r/o+2

(2)p4<r<%+2)=[e~xdx=e~，0(l-e~2)

J，o

3.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(l,2?),求⑴P{-1<X<2}；P{|X|32}；⑵確定c,

使得P{X<c}=尸{X2c}；(3)設(shè)d滿足P{X>d}20.9,則d至多為多少？

113

解：⑴P{-1<X<2}=0(-)+0(1)-1,P{|X|>2}=2-0(-)-?

(2)c=l

(3)P{X>d}=l—P{XWd}=l—尸，^^<，[=1—0>(，)20.9,

\—d\—d

①>0.9,-->1.29,J<-1.58

22

4.某地區(qū)的月降水量X(單位：mm)服從正態(tài)分布N(40,42),試求該地區(qū)連續(xù)10個(gè)月降

水量都不超過(guò)50mm的概率.

解：A二某月的降水量不超過(guò)50mm,

P{A}=P{XW50}=pjX_40<j>=①(2.5)=0.9938

觀察連續(xù)10個(gè)月降水量是否超過(guò)50mm，相當(dāng)于做了10次伯努利實(shí)驗(yàn)。

Y=該地區(qū)降水量不超過(guò)50硒的月份，貝UY口僅10,0.9938),

p{y=10}=C'oO.993810=0.993810

第五節(jié)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

一、填空

2x,1>x>0

1.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為了(九)。注、，以丫表示對(duì)x的三次獨(dú)立

0,其它

重復(fù)觀察中事件>出現(xiàn)的次數(shù)，則P{y=2}=9/64

解：

二'計(jì)算題

1.設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布3(3,04),求下列隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布:

(1)y=2X-l(2)Y=X2-X(3)Y=X(X+1)

2

答案⑴

Y-1135

P0.2160.4320.2880.064

(2)

Y026

P0.6480.2880.064

(3)

Y0136

P0.2160.4320.2880.064

2x0<xW

2.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度/*)=《'~"

0,其匕

求下列隨機(jī)變量的概率密度：

(1)Y=l+2X(2)Y=1-2X(3)Y=X2

答案

y-i]<<31一]

⑴八(y)=<2<)<⑵/、,(>)=<2-1<y<1

0,其它0,其它

0,y<Q

⑶解：K(y)=P{』}=P{x2"}=)卜gx正卜>。

當(dāng)y>0時(shí)，4（y）=P{-6<XV4}=外（6）一工（一6）

力（>）=fx（6）2仃_fx（-6）（-26）=2仃（./%（J7）+fx（-6））

當(dāng)o<6<i時(shí)，即。<><1,/x(77)=277

而-6<0時(shí),&6)=0

[1,0<y<l

」/(>)[o,其它

3.設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間［1,2］匕服從均勻分布，求隨機(jī)變量函數(shù)y=X3及Z=e?x的概率

密度。

［1,1<%<2

解：人（尤）=，甘田

0,其匕

（1）y=d在口⑵內(nèi)處處可導(dǎo)，/=3%2>0

5e(y))|/(y)|,a<y</3

力(>)=

o,其它

工1_2

a-l,/?-8,/i(y)-y\h\y)=

11，21-2

3

<f(y)-y3,l<y<8=l<y<8

?./(>)=x

o,其它0,其它

(2z=e?x在[1,2]內(nèi)處處可導(dǎo)，/=2e2A>0

/x(%z))|//(z)|,a<z</3

fz(z)=

0,其它

ex—e1,/3—eA,h{z}——\nz,〃'(z)=—,

'22z

?/xglnz).941

e<z<ee2<z<e4

2z,

0,其它0,其它

4.設(shè)隨機(jī)變量X在服從指數(shù)分布e(/l),其中2>0,求隨機(jī)變量函數(shù)Y=ex的概率密

度。

2產(chǎn))y>i

答案4(y)=<

0,

5.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

1

------------------,-oo<X<-H>o,

7T(1+X)

求：隨機(jī)變量丫=1-#五的概率密度"(y)。

3(1-?

答案A(，)=-—oo<y<+oo

第三章多維隨機(jī)變量及其分布

第一節(jié)二維隨機(jī)變量

一、選擇題

1.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)=\'?八'

[0,其他.

則p{x<y}=(A)

(A)0.5(B)0.55(C)0.45(D)0.6

解：P{X<y}==Joje~(x+y)dydx-￡e~ydydx-e~2xdx-

2.二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)表示以下哪個(gè)隨機(jī)事件的的概率？(B)

(A)(XWx)U(yWy)(B)(X<x)Pl(y<y)

(C)X<x+y(D)X<x-y

二'填空

2.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,丫)的聯(lián)合分布函數(shù)為小》)=+嗎(C+arct嗚)

則4=-4,B=-,C=-,

.222

(X,丫)的聯(lián)合概率密度為/(x,y)="?)=.小-'2R

dxdy萬(wàn)+4)(V+9)

解：F(-℃,y)=A(8—/)(C+arctan])=0,

X71

F(x,-℃)=A(3+arctan-)(C--)=0,.*.C=-

222

7C兀兀兀i

/(+8,+8)=A(—+—)(—+—)=1,A=—

22227l

3.已知二維隨機(jī)變量(X,y)的聯(lián)合概率密度為/(x,y),R為一平面區(qū)域，貝1J(X,Y)的

聯(lián)合分布函數(shù)尸(x,y)=jJf(x,y)dydx,P((X,Y)wH)=jjf(x,y)dxdy,

----------------R

F(,+°°,+°°)-1,F(x,—0o)—0,F(-o°,y)=0