經濟數學線性代數 習題答案 第4章 線性方程組

第4章線性方程組

習題全解

同步習題4.1

【基礎題】

1.齊次線性方程組4X=O僅有零解的充要條件是（）.

A.系數矩陣A的行向量組線性無關B.系數矩陣A的列向量組線性無關

C.系數矩陣A的行向量組線性相關D.系數矩陣A的列向量組線性相關

解設A為朋X"矩陣，齊次線性方程組AX=0僅有零解的充要條件是A的列向量組

的秩等于力，即系數矩陣A的列向量組線性無關，故應選B.

，123

21

2.設齊次線性方程組AX=0有非零解,A=，貝心=

-132

-21-M

(123、23、(\23、

210f一4-5011

解A->,若齊次線性方程組

-132055001+Z

1-21055,000>

AX=O有非零解,則/<A)v3,即1+7=0,解得1=一1,故應填一1.

3.如果五元線性方程組AX=0的同解方程組是］1”則有r(A)=,自

x2=0,

由未知量的個數為個，AX=0的基礎解系有個解向量.

解方程組的系數矩陣進行初等行變換后可得

’13000、

01000

A-00000

則“A）=2,進而可知自由未知量的個數為3,且的基礎解系有3個解向量.

4.要使。=（l,0,2）T，2=（0』,T）T都是線性方程組AX=0的解，只需要系數矩陣為

).

「01-P

20(~\02、

A.(-2,1,1)B.I).4-22

011JI01TJ

W1"

解A項對應的線性方程組為一2%+%2+%3=0,將A=(1，°，2)T，2=(°，1，T)T代入

方程組均成立.

B項對應的線性方程組為-%―七=°,將。=(1,0,2)T代入方程組，。=(1,0,2)T不

[x2+x,=O,

是+占=0的解，所以。=(1，0,2)丁4=(0,1，T)T不是方程組的解.

C項對應的線性方程組為卜％+2&=°，將。=(l,0,2)T&=(0,1,-1尸代入方程組,

[%2_工3=°，

方程均不成立，所以。=(l,0,2)T,5=(0』,一l)T不是方程組的解.

冗2—&二。，

D項對應的線性方程組為卜占-2X2+2毛=0,將。=(1,0,2)T代入方程組，3個方程

%+』=0,

均不成立，所以。=(1,0,2)’「&=(0,1,-1)'1"不是方程組的解，故應選A.

5.設A是“階方陣，r(A)=n-3,且囚,電，打3是線性方程組AX=0的3個線性

無關的解向量，則AX=0的基礎解系為().

A,。1+%,%+%，/B.%一見，%—%,%一%

C.2a2-at,^a3-a2,a,-a3D.Of]+CU2+—一%一2a3

解A,B,C,D中的解向量都是線性方程組AX=0的解向量，而B項中的3個解向量滿足

(%-四)+(%-％)+(區(qū)一生)=°，故線性相關；C項中的3個解向量滿足

(2a2—q)+2(—a2)+(%—。3)=0，故線性相關；D項中的3個解向量滿足

(e+%+%)+(%一。2)+(一四一2a^=0,故線性相關；A項中的3個解向量是線性無

關的.所以，只有%+%，%+%，。3+%可作為口=0的基礎解系，故應選A.

X,+x2+x5=0,

6.求齊次線性方程組的基礎解系：xx+x1-xi=0,

x3+x4+x5=0.

解對系數矩陣A做初等行變換化為行最簡形:

1100、1001、11001、

r3+r2

A=11-1()000-10-1T00101

(001,0011100010

-I\'0

同解方程組為《X3=_%5,自由未知量取了2，芻，令,得基礎解系為

J

%=0,77

x,-x2+5X3-X4+X5=0,

%+*2-2七+3X4-x5=0,

7.求齊次線性方程組的基礎解系和通解：1

3%一%+8尤3+/+2/=0,

%+3X2-9X3+7X4-3X5=0.

解對系數矩陣A做初等行變換化為行最簡形:

1-15-11、r2-r\’1-15-11、’1-15-1

G-3/j丐一。

11-23-1，…02-74-2r「2r202-74-2

A=

3-181202-74-100001

13-97-3;<04-148-4/k000007

3

、(\-15-10、1010

-15-102

r\~r3I7

4+2。

02-74001-207

->T2->0120

0000I'1

0000

0000000001

0000

OJ00000>

3

無產一/七一％4，

7c、0

同解方程組為〈W=5七一2%,自由未知量取入3,%4,令(o,得基礎解系

717

…0，

T

為4=(一■|,g,l,0,0)T,^2=(-1,-2,0,1,0),通解為cg|+C2$,其中為任意常數.

1212、

8.設A=()1tt，且方程組AX=0的基礎解系中含有2個解向量，求AX=0

101J

的通解.

解對系數矩陣A做初等行變換化為行最簡形:

(\0-1（）、

得1=1,此時A—011,同解方程組為I%=七'自由未知量取%3,％4,

%2二一七一%，

、()00

0、

令（0，得基礎解系為4=（1,T,1,0）「*2=（°，T，°，1）T，通解為哨+‘2$，

17i

其中為任意常數.

【提高題】

1.設A=（他）“*“，且IA1=0,但A中某元素的代數余子式AgWO,則齊次線性方

程組AX=O的基礎解系中所含向量的個數為（）.

A.1B.kC.ID.n

解由|A|二O可知齊次線性方程組AX=0有非零解，而A中某元素的代數余子式

4尸0,則說明“A）=〃一1，從而齊次線性方程組AX=0的基礎解系中含有1個解向量,

故應選A.

2.設A為加x及矩陣，則對于齊次線性方程組AX=O,下列結論成立的是（）.

A.當加之〃時，方程組只有零解

B.當初V”時，方程組有非零解，且基礎解系中含”個線性無關的解向量

C.若A有〃階子式不為零，則方程組只有零解

D.若A所有的九一1階子式不為零，則方程組只有零解

解對于齊次線性方程組AX=0,有以下結論成立:

(1)當r(A)="時，方程組有唯一解;

(2)當r(A)=rv〃時，方程組有無窮多解，其通解為喈+…+￡_焉一，其

中相2,…自一為基礎解系，CpC2,---,Cn_r為任意常數.

當mN〃時，r(A)可能大于〃，可能等于〃，也可能小于〃，故方程組可能無解，可

能只有零解，也可能有非零解.因此，A項結論不正確.

當mV”時，r(A)=r<n,方程組有非零解，但/*(A)不一定等于,”，故基礎解系中

含〃一廠個線性無關的解向量，B項結論不正確.

若A所有的〃一1階子式不為零，則“4)2〃-1.由于方程組在r(A)=〃時只有零解,

故當r(A)=〃-1時方程組有無窮多個解(此時其基礎解系中只有1個解向量)，D項結論不

正確.

若A有”階子式不為零，則r(A)=〃，從而方程組只有零解，C項成立，故應選C.

3.設7,%,%為線性方程組AX=O的一個基礎解系，則下面也是該方程組基礎解系

的是().

A.%,3%-%，-7-3%+2%B.7+2%+%聞+%,%+%

C.與外,彷，％等價的同維向量組名，&2，。3，%口.與7，%,%等價的同維向量組夕1，夕2，A3

解A項、B項的3個解向量都是線性相關的，不能作為基礎解系；與吊,仿,小等價的

同維向量組可以作為該方程組的基礎解系，其解向量的個數應為3個，因此C項不正確(事

實上C項中的向量組也是線性相關的).故應選D.

axx+bx?+bx3+---+bxn=0,

bx、+ax2+b%+???+Zzr〃=0,

4.設齊次線性方程組?其中a豐O,bwO,HN2.問：a,b

bx]+bx2+如+…+%=0,

為何值時，方程組僅有零解、有無窮多解？在有無窮多解時，求出全部解，并用基礎解系表

示全部解.

ab???b

ba???b

解系數矩陣A的行列式為Ml=[a+(n-1)b](a-b)"-'

bb…a

當ApO時，即當a#匕且a*(l—時，方程組僅有零解;

當Q=力或4=(1—n)b時，方程組有無窮多解.

(1)當。=匕時，同解方程組為叫+?2+叼+…+研,=0，自由未知量取

*2,而，…，冊,則方程組的基礎解系為。=(T/,0,…,0)T,

&2=(T，°，L…，°)T，…，*[=(TQO,…,1)T，通解為cg|+C2f2,

其中0,。2,…,C,“為任意常數.

(1-n)hx}+bx2+Z?x3H---Fbxn=0,

x2",

(2)當°=(1一〃乃時,同解方程組為，%3=Xp自由未知量取

%，令X|=l,方程組的基礎解系為J=(1,1,1,…,1)T,通解為芯，其中C為任意常數.

同步習題4.2

【基礎題】

a1P‘再、(1、

1.設方程組1a1尤21有無窮多解，則”=

kX3J

11a-2

)/

解對增廣矩陣A做初等行變換化為行最簡形:

a11、n-ar201-a21-6;\-a002-a-a14+2〃

r3-r2“一(1+嘰

1a11T1a11f111

11a—2,01-aa-\-30\-aa-\-3

/7

「0\-aa-\-3}(1a1

1a11f()\-aa-1-3

、002—a—cr4+2aJ(001-a-cr4+2%

因為方程組有無窮多解，所以r(A)=r(A)<3,從而2—“一〃=4+2。=0且1一。。0,

解得。=一2.

玉+*2=-a.

2,若線性方程組J々+七=/有解,

則常數4,%，％，％應滿足條件

/+甚=_/

.5+玉=a4

解對方程組的增廣矩陣A=(A/)做初等行變換化為行階梯形:

41001100-ai

_011020110a

A=2

0011—。30011—%

J001a-—101q+%

'1100-4、‘1100-a1、

0110a0110a

f2—>2

0011一%0011-a3

、00114+。2+。4,、00006+4+03+04,

可見"A)=3,因為原方程組有解，所以r(A)=r(A)<3,故4+%+%+%=°?

3.非齊次線性方程組右=匕中未知量個數為”，方程個數為,“，系數矩陣A的秩為

/，則().

A..=,〃時，方程組AX=〃有解B.r=〃時，方程組AX=Z?有唯一解

C.,”=〃時，方程組4%=人有唯一解D.廠V”時，方程組AX=人有無窮多解

解對于非齊次線性方程組AX=),有以下結論成立.

(1)若r(A)wr(A),線性方程組AX=力無解;

(2)若r(A)=r(A)=n,線性方程組AX=h有唯一解；

(3)若r(A)=r(A)=r<n,線性方程組AX=h有無窮多解.

由題意知方程個數為切，則增廣矩陣下的秩「㈤。以若"A)=m,則r(不=)，從

而r(A)=r(N),此時線性方程組AX=〃有解，A項是正確的.

但當廠=〃，，"=〃或〃v〃時，都不能保證r(A)=r(A),從而線性方程組AX=力不

一定有解.因此，B、C、D項均不成立.故應選A.

4.設A是〃,x〃矩陣，AX=0是非齊次線性方程組AX^h所對應的齊次線性方程組,

則下列結論正確的是().

A.若AX=O僅有零解，則AX=)有唯一解

B.若AV=O有非零解，則AX=b有無窮多解

C.若以=力有無窮多解，則AX=()有非零解

D.若有無窮多解，則AX=()只有零解

解方程組AX=)有解時，AX=O僅有零解是方程組AX=〃有唯一解的充要條件，

沒有有解的前提，結論不成立.因此，A、B項不成立.若線性方程組AX=6SwO)有無窮

多解，則有「(入)=T(4)<”.由/(人)<〃知齊次線性方程組/1%=0有無窮多解，故有非零

解，因此，應選C.

5.設A是mx〃矩陣，非齊次線性方程組AX=〃有解的充分條件是().

A.r(A)=mB.A的行向量組線性相關

C.r(A)=nD.A的列向量組線性相關

解A是加X〃矩陣，若r(A)=m,則r(A)=r(A),從而非齊次線性方程組AX=b

有解.因此，r(A)=m是非齊次線性方程組AX=人有解的充分條件.

若A的行向量組或列向量組線性相關，則r(A)<m,從而r(A)與r(A)不一定相等，

非齊次線性方程組AX=匕不一定有解.同樣地，由“A)=〃也不能判定r(A)與相

等.故應選A.

6.設”階矩陣A的伴隨矩陣A*M0,若。，$，芻，或是非齊次線性方程組AX=〃

的互不相等的解，則對應的齊次線性方程組4X=0的基礎解系().

A.不存在B.僅含1個非零解向量

C.含有2個線性無關的解向量D.含有3個線性無關的解向量

解由于A為"階矩陣，"=人和旦=0含有”個未知數，于是，AX=O的基礎解

〃，r(A)=n,

系含解向量的個數為〃一r(A).又r(A*)=?1,r(A)=〃一1,由于A*#0,于是廠(A)=〃

0,r(A)<71—1,

或r(A)=〃-1.又AX=匕有互不相等的解，即解不唯一，則“A)=〃一l,從而/1X=O

的基礎解系中含解向量的個數為〃_"A)=1,故應選B.

%+5%一七一次4=T

%-2X2+X3+3X4=3,

求線性方程組?

7.Q,c-'i的通解.

3%+89-x3+x4=1,

為一9尤2+3x,+7%4=7

q5-1-1、15-1-1-1

1-2330-7244

解A二

38110-7244

—97

J770-144887

31312、

、0

q5-1-1-17TT

0-7244244

->01-

0000077-7

o0000

、000007

o0000>

r(A)=r(A)=2,力=4,因此,導出組的基礎解系含2個解向量.此時，齊次同解方程組

313

X\=--X3--X4

一;*0/).又知非

為V解得基礎解系為芻

24

X2=-X3+~X4^

31313

-產-7匕+亍,T

齊次同解方程組為4特解為一g,o,oj.綜上所述，所

244

彳2=三X3+二七一二，

'777

求通解為

〃+喈+晦=(%*0,0)1,0^|+cd-^,o,l

其中G，。2為任意常數.

Axl+x2+x3=A-3,

8.對于線性方程組《%+4毛+工3=一2,討論2取何值時，方程組無解、有唯一解和有無

X1+工2+九%3二-2,

窮多解，在方程組有無窮多解時，試用其導出組的基礎解系表示通解.

U114-3、'112-2、'112-2

解A=121-2->121-20A-l1-A0

2

J12-2?、/1112-3?、01-21-Z3A-3

(\12-2、

―02-11-20

2

、002-2-232-3?

(1)當2-4-22=。且34-3H0,即％=-2時，r(A)=2,r(A)=3,由于

r(A)wr(A),所以方程組無解.

(2)當2—4—22^0,即4。一2且時，/(4)=r(A)=3,從而方程組有唯一解.

口11-2、

(3)當4=1時，有A—0000,同解方程組為％?=-%2一%3-2,特解為

、0000>

(-2]

7=0.導出組為占=一一毛，基礎解系為。=1忑20，通解為

001

<-rr-n

X=〃+C4+C2&=0+41+G0(4，《2為任意常數).

(1+a)xx4-x2+x3+x4=0,

2x,+(2+a)x^+2x,+2x=0,

9.設有齊次線性方程組彳4

、一八試討論a取何值時，該方程組

J%++(3++J4=U,

4xj+4X2+4X3+(4+6Z)X4=0,

有非零解，并求出其通解.

'1+a111、'l+a111、

22+a2222+Q22

解A=->

333+Q31l-a1+a1

、4444+a,k4444+a.

'1\-al+a1、(\\-a1+a1、

22+a2203a-2a0

->

1+tz1110ci~~ci~—2tz—ci

、4444+a,4a-4aa)

f\\-a1+a1、」\-a1+a1、

03a-2a003a-2a0

1,

00——a2-2a-af00--a2--a

332

cc4cc4

00—aa00--QCl

13)I3；

(1)當a=0時，r(A)=1<4,故方程組有非零解,其同解方程組為％+%+玉+/=0，

由此得基礎解系為7=(-1,1,0,0)］，%=(-l,0,l,0)T,%=(-l,0,0,l)T,于是所求方程

組的通解為X=km+k2J］2+k^,其中仁，女2,人為任意實數.

’1\-a\+a1、

01-20

(2)當時，有A->3.因此，當a=—10時，r(A)=3<4,

001--

4

、00010+%

[、

100

’111-91、4

01-21]_

010

此時AT3->2,其同解方程組為］%2=5乙，基礎解系

001

3

40013

、0000;4X3=-X4,

1000

為〃=(1,2,3,4);于是所求方程組的通解為x=Q7,其中女為任意實數.

【提高題】

1.設區(qū)，a2,4是四元非齊次線性方程組AX=〃的3個解向量，且r(A)=3,

T

%=(1,2,3,4尸，a2+a3=(0,l,2,3),c表示任意常數,則線性方程組AX=)的通解

X=().

’1、’1、rp’0、rp"2、T'3、

21212324

A.+cB.+cc.+cI).+c

31323435

4J4346<4；G

解四元非齊次線性方程組AX=b的系數矩陣A的秩為3,則其對應的齊次方程組

AX=O的基礎解系中只含有1個解向量.由于%，%，%是以=力的3個特解，則

%-。2，是其對應齊次方程組AX=O的解，故

一。2)+(四一。3)=2al-(a?+夕3)=(2,3,4,5)|

田(2、

23

是AX=O的基礎解系，從而AX=b的通解為由+西=3+。彳，其中，為任意常數?

故應選C.

(Aa、

2.設A是”階矩陣，。為〃維列向量，若r"1oJ="A)，則線性方程組().

A.Ar=a必有無窮多解B.加=。必有唯一■解

(Aa}(x},(AaVx)

C.1=0僅有零解1).T=0必有非零解

(a0"

(a。八口

.(Aa)

解由于r=r(A)，JIa來說，r(A)=r(A),從而上=1必有解,

aT0

A'Aa'，AaVx、

但解的個數不確定；對=0來說，r<〃+l,從而=0

aT1aT0>(aT。般

必有非零解，故應選D.

X]+工2+%3+=T

3.已知非齊次線性方程組14玉+3々+5七一%=—1,有3個線性無關的解.

西+W+3X3+如=1

(1)證明方程組的系數矩陣A的秩r(A)=2.(2)求a,b的值及方程組的通解.

'1111-1、

(1)證明無=435-13

、a13b1+a,

’1111-1)(102-42、

->0-11-53-01—15-3

、004—2a4-ci+b~54—2a,、004一2。4a+b-54—2a/

因方程組有3個線性無關的解，則r(A)=r(A)<3,由上述行最簡形得“A)=2,該問得

證.

(2)解由(1)可得4—2。=4。+8—5=0,解得a=2,力=—3,故齊次同解方程組為

.%=—2七+4/，得基礎解系。=(_2,1,1,0):彳,=(4,-5,0,1)、又非齊次同解方程組

x2=x3—5X4,

~=一2七+4%+2,的特解為〃=(2,一3,0,0)T,故方程組的通解為

x2=x3-5X4-3,

TTT

7]+c^+c2^2=(2,-3,0,0)+cx(-2,1,1,0)+c2(4,-5,0,1),其中q,c2為任意常數?

4.設A=(他)3*3滿足條件：⑴囪=&-(i,7=1,2,3),其中4是元素%.的代數

余子式；(2)%3=-1?求方程組的解，其中匕=(0,0,1)、

解由于%=4-,所以由T=A*,從而有|A4*|=|A4T|=|A『.又|A4*|=|AM|

=|A||A「=|A『,所以|A『=|A『，解得網=?；蜷?1.又%3=-1,于是

14=%A1+4242+%3%3=質+%2+%3~%+%2+1，

從而|A|=1,%|=%2=0且方程組"=匕有唯一解，方程組AX=b的解為

=(0,0,-l)T.

同步習題4.3

【基礎題】

1.選擇題.

(1)設42=石，石為單位矩陣，則下列結論正確的是().

A.4-E可逆B.A+E可逆

C.A/E時，A+E可逆D.A/E時，A+E不可逆

解若A=石，則A-E=0,A+E=2E,故A-E不可逆，A+E可逆.

若AHE,由42-E=O可知（A+E）（A-￡）=O,進而有/■（A+￡'）+r（A—E）4〃.

又由AWE,知r(A—￡)>0，于是必有r(A+E)V”，從而A+E不可逆，故應選D.

(2)已知川，夕2是非齊次線性方程組AX=〃的兩個不同的解，/，%是對應齊

次線性方程組AX=O的基礎解系，女2為任意常數，則方程組AX=〃的通解必是

（）.

A.%烏+%2（/+%）+」^--B.%烏+&2（。1一——―-

C.%必+&2(4+鳳)+%”D.%烏+右(女一河)+且羅

解非齊次線性方程組AX^b的通解結構為+???+c”-E,f，

其中/是非齊次線性方程組AX^b的一個特解，芻，$，???，,一，是對應齊次線性方程

組AX=O的一個基礎解系.

A項，4產是AX=O的解；4％+內(/+%)+且產是AX=O的通解，而不是

AX=Z?的通解.

B項，且土隹是AX=6的一個特解，勺%+%(四一%)是。=0的通解，所以

2

左烏+《Q-)+4■筍是AX=人的通解.

C項，匕q+與A是AX=o的解，但不是通解；

D項中不能保證/與4-A線性無關，因而《岡+七3-4)不一定是AX=O的通

解.

故應選B.

(3)設A為小X〃矩陣，則與科=人同解的方程組是().

A.加=〃時，ArX=b

B.QAX=Qb,其中Q為可逆矩陣

C.r(A)=r(A),由AX=力的前「個方程組成的方程組

D.r(A)=r(C)，CmxnX=b

解可直接驗證B項：一方面，若。為的解，即Aa=b,則QAa=Q'a必

為QAX=Q6的解；另一方面，若"為QAa=Q〃的解，即QA/?=Q6,兩邊同時左乘，

有。“。4夕=。乜/?,即得A力=6,所以夕為AX=6的解.故方程組AX=6和

QAX=Q6同解，應選B.

(4)設A為力階實矩陣，AT是A的轉置矩陣，則對于線性方程組I：AX=()和H：

ATAX=O必有().

A.II的解是I的解，I的解也是II的解

B.n的解是I的解，但I的解不是n的解

c.n的解不是I的解，I的解不是n的解

D.I的解是n的解，但n的解不是I的解

解一方面，若a為AX=O的解，即Aa=O,則ATAa=AT()=O,?必為ATAX=O

的解；

另一方面,若力為=O的解,即4TAp=0,兩邊同時左乘夕,有夕TA’A4=0,

T

設做=(%,y2,L,ym),則必有(A0TA夕=。+￡+L+1=0,進一步可得

N=%=L=ym=0,即有A尸=0,所以夕必為AX=0的解.因此，方程組AX=0和

ATAX=O同解，應選A.

2.設四元非齊次方程組/我=匕的系數矩陣A的秩為3,7,%是它的3個特解，

且=(2,3,4,5)1，%+〃3=(1，2,3,4)T，求Ax=匕的通解.

解四元非齊次方程組Ax=人的系數矩陣A的秩為3,則其對應的齊次方程組Ar=()

基礎解系中只含有1個解向量.而7,%,%是Ax=〃的3個特解，則用一/，7i-73

是其對應的齊次方程組Ar=0的解，故＜=(7-%)+(%-%)=27一(%+7)

，2、「3、

34

=(3,4,5,6)1是Ax=0的基礎解系，Ax=人的通解為小+喈+c,其中C為任意

45

.e

常數.

玉+為=0,方程組為，%+2毛=0,求1與［［的公共解

3.設方程組I為1n

x2+x3=0,2X2+x4=0,

X]+匕=0,

解聯(lián)立方程組i和n得1W+F=0，對其系數矩陣做初等行變換得,

玉+2X3=0,

2x,+x4=0,

、

、1oo1

'1001￡

010

0110

->2

002-1]_

001~2

,00007

00

1°07

~X4

1，故公共解為

可得同解方程組I”一/c(-2,-l,l,2)T,其中C為任意常數.

巧二/%，

21、/a\

4.已知矩陣方程0A—101存在兩個不同的解.

17

由于方程組存在兩個不同的解，則r(A)=r(A)<3,從而有i一;i?一；1+1=0,且

2—I/O,解得;1=-1,a=-2

10-1

2

,1

(2)當；1=一1,a=—2時，A-?010其對應的導出組的同解方程

2

0000

得基礎解以，應的非齊次方桂組的同解方程組為

組為玉=今，得

=0,

/31V<31V

其特解為工-二0，因此，方程組的通解為X=±，-二0+c(l,0,l)T,其中c為任意

122J122J

常數.

5.已知％=(1,4,0,2)1%=(2,7,1,31，a3=(0,l,-l,a)\夕=(3,10,0,4)、問

a,b取何值時,

（i）/?不能由%,%，%線性表示？

（2）月可由%線性表示？并寫出表示式.

解易知力不能由%，%