高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練：不等式（含詳細(xì)答案解析）

第8單元不等式第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知非零實(shí)數(shù)，則下列說法一定正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】選項(xiàng)A：由不等式性質(zhì)可知，是兩個(gè)正數(shù)存在，才有，本題的已知條件沒有說明是兩個(gè)正數(shù)，所以本選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；選項(xiàng)B：若，顯然結(jié)論不正確，所以本選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；選項(xiàng)C：，可以判斷的正負(fù)性，但是不能判斷出的正負(fù)性，所以本選項(xiàng)不正確；選項(xiàng)D：若，由，可以得到，若時(shí)，由不等式的性質(zhì)可知：，，故由可以推出，故本選項(xiàng)正確，所以本題選D．2．不等式的解集是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】，，即，解得或，故選B．3．不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，即得或，故選D．4．不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】不等式的解集等價(jià)于不等式的解集，由數(shù)軸標(biāo)根法可知，不等式的解集為，故選C．5．設(shè)，，若是與的等比中項(xiàng)，則的最小值為（）A． B． C．3 D．【答案】C【解析】因?yàn)槭桥c的等比中項(xiàng)，所以，故，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，故選C．6．已知滿足約束條件，則的最大值與最小值之和為（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【解析】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)，即，其中z取得最大值時(shí)，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最大，據(jù)此結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值，據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為，其中z取得最小值時(shí)，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最小，據(jù)此結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最小值，聯(lián)立直線方程，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最小值為．綜上可得的最大值與最小值之和為8．故選C．7．已知是圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】表示圓上一點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，由圖可知，當(dāng)過的直線與圓相切時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最值，設(shè)過且與圓相切的直線方程為，即，因此根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得，解得．所以，故選A．8．已知實(shí)數(shù)，滿足，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，，，則，，，又，，因此，故本題選B．9．設(shè)，且，則的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】因?yàn)椋?，又由，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是4，故選D．10．若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．或 B．或C． D．【答案】C【解析】顯然a=0，不等式不恒成立，所以不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，則，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選C．11．在上定義運(yùn)算，若存在使不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，因?yàn)?，即，也就是，在時(shí)，，取最大值為6，所以，解得，故選C．12．已知函數(shù)，若對(duì)任意的正數(shù)，滿足，則的最小值為（）A．6 B．8 C．12 D．24【答案】C【解析】因?yàn)樗远x域?yàn)?，因?yàn)?，所以為減函數(shù)，因?yàn)?，，所以為奇函?shù)，因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)椋裕ó?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立），故選C．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．已知實(shí)數(shù)，滿足約束條件，若的最小值為3，則實(shí)數(shù)____．【答案】【解析】由已知作可行域如圖所示，化為，平移直線，由圖象可知，的最小值在直線與直線的交點(diǎn)處取得，由，解得，，，故答案為．14．已知關(guān)于的不等式的解集是，則的解集為_____．【答案】【解析】由題意，關(guān)于的不等式的解集是，則，解得，，所以不等式，即為，即，即，解得，即不等式的解集為．15．已知不等式：①；②；③，如果且，則其中正確不等式的個(gè)數(shù)是_______．【答案】2【解析】因?yàn)榍遥?，①化?jiǎn)后是，顯然正確；②顯然正確；③化簡(jiǎn)后是，顯然不正確．故正確的不等式是①②，共2個(gè)，故答案為2．16．已知，則的最小值為__________．【答案】【解析】因?yàn)椋?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．所以．三、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知下列三個(gè)不等式：①；②；③，以其中兩個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，則可組成幾個(gè)正確命題？【答案】可組成3個(gè)正確命題．【解析】（1）對(duì)②變形，得，由，得②成立，即①③②．（2）若，則，即①②③．（3）若，則，即②③①．綜上所述，可組成3個(gè)正確命題．18．（12分）已知函數(shù)．（1）求關(guān)于的不等式的解集；（2）若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，得，即，所以的解集為．（2）不等式對(duì)任意恒成立，由，得的最小值為1，所以恒成立，即，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．19．（12分）若變量x，y滿足約束條件，求：（1）的取值范圍；（2）的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】作出可行域，如圖所示：由，解得點(diǎn)；由，解得點(diǎn)；由，解得點(diǎn)．（1），可看作可行域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率．所以在點(diǎn)，處取得最優(yōu)解．所以，．所以的取值范圍為．（2）由，可得，故在點(diǎn)處取得最大值，則．20．（12分）已知是正實(shí)數(shù)，且，證明：（1）；（2）．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【解析】（1）是正實(shí)數(shù)，，，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，?。?），∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，?。?1．（12分）霧霾大氣嚴(yán)重影響人們的生活，某科技公司擬投資開發(fā)新型節(jié)能環(huán)保產(chǎn)品，策劃部制定投資計(jì)劃時(shí)，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且還要考慮可能出現(xiàn)的虧損，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查，公司打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，根據(jù)預(yù)測(cè)，甲、乙項(xiàng)目可能的最大盈利率分別為和，可能的最大虧損率分別為和，投資人計(jì)劃投資金額不超過9萬(wàn)元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過萬(wàn)元．（1）若投資人用x萬(wàn)元投資甲項(xiàng)目，y萬(wàn)元投資乙項(xiàng)目，試寫出x，y所滿足的條件，并在直角坐標(biāo)系內(nèi)作出表示x，y范圍的圖形；（2）根據(jù)（1）的規(guī)劃，投資公司對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目分別投資多少萬(wàn)元，才能使可能的盈利最大？【答案】（1）詳見解析；（2）用萬(wàn)元投資甲項(xiàng)目，萬(wàn)元投資乙項(xiàng)目．【解析】（1）由題意，知x，y滿足的條件為上述不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分含邊界（2）根據(jù)第一問的規(guī)劃和題設(shè)條件，依題意可知目標(biāo)函數(shù)為，在上圖中，作直線：，平移直線，當(dāng)經(jīng)過直線與的交點(diǎn)A時(shí)，其縱截距最大，解方程與，解得，，即，此時(shí)萬(wàn)元，所以當(dāng)，時(shí)，z取得最大值，即投資人用5萬(wàn)元投資甲項(xiàng)目，4萬(wàn)元投資乙項(xiàng)目，才