第02講空間幾何體的外接球與內(nèi)切球（學(xué)生版）

第02講空間幾何體的外接球與內(nèi)切球（核心考點(diǎn)精講精練）1.4年真題考點(diǎn)分布4年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年新I卷，第12題,5分球體相關(guān)計(jì)算正棱錐及圓柱體的相關(guān)計(jì)算2022年新I卷，第8題,5分球的體積的有關(guān)計(jì)算多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題錐體體積的有關(guān)計(jì)算由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)2022年新Ⅱ卷，第7題,5分球的表面積的有關(guān)計(jì)算多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題無(wú)2021年新Ⅱ卷，第4題,5分球的表面積的有關(guān)計(jì)算無(wú)2020年新I卷，第4題,5分球的截面的性質(zhì)及計(jì)算無(wú)2020年新I卷，第16題,5分球的截面的性質(zhì)及計(jì)算無(wú)2020年新Ⅱ卷，第4題,5分球的截面的性質(zhì)及計(jì)算無(wú)2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較中等或偏上，分值為5分【備考策略】1.理解、掌握球體的表面積公式和體積公式3.會(huì)利用（二級(jí)）結(jié)論快速解題【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，一般有特殊幾何體、墻角問(wèn)題、對(duì)棱相等、側(cè)棱垂直于底面、側(cè)面垂直于底面的外接內(nèi)切問(wèn)題，需強(qiáng)化復(fù)習(xí).知識(shí)講解球的表面積和體積公式球的表面積：S＝4πR2球的體積：V＝eq\f(4,3)πR3球的切接概念空間幾何體的外接球：球心到各個(gè)頂點(diǎn)距離相等且等于半徑的球是幾何體的外接球空間幾何體的內(nèi)切球：球心到各面距離相等且等于半徑的球是幾何體的內(nèi)切球幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論(1)正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R，①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝eq\r(3)a；②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.(2)若長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.墻角模型（三條直線兩兩垂直）補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).直棱柱外接球之漢堡模型（1）補(bǔ)型：補(bǔ)成長(zhǎng)方體，若各個(gè)頂點(diǎn)在長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)上，則外接球與長(zhǎng)方體相同（2）作圖：構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理直三校柱內(nèi)接于一球（棱柱的上下底面為直角三角形）R底面外接圓的半徑r的求法（1）正弦定理（2）直角三角形：半徑等于斜邊的一半（3）等邊三角形：半徑等于三分之二高（4）長(zhǎng)（正）方形：半徑等于對(duì)角線的一半正棱錐類型h?R2+側(cè)棱垂直與底面垂面型R側(cè)面垂直與底面切瓜模型如圖：平面PAC⊥平面BAC,AB⊥BC(AC為小圓直徑)

（1）由圖知球心O必為△PAC的外心,即△PAC在大圓面上,先求出小圓面直徑AC的長(zhǎng);

（2如圖：:平面PAC⊥平面BAC（1）確定球心O的位置,由圖知P,O,H三點(diǎn)共線;

（2）算出小圓面半徑AH=r,算出棱錐的高PH=?

（內(nèi)切球如圖：求任意三棱雉的內(nèi)切球半徑(等體積法)

（1）先求出四個(gè)表面的面積和整個(gè)椎體的體積;

（2）設(shè)內(nèi)切球半徑為r,建立等式:VP?

（3）解出r結(jié)論：若棱錐的體積為V，表面積為S，則內(nèi)切球的半徑為.考點(diǎn)一、特殊幾何體外接球1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高分別為3，，1，其頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的體積為（

）A． B． C． D．2．（2022·北京·101中學(xué)?？既＃┮粋€(gè)底面積為1的正四棱柱的頂點(diǎn)都在同一球面上，若此球的表面積為，則該四棱柱的高為（

）A． B．2 C． D．3．（2022秋·廣東江門·高三鶴山市鶴華中學(xué)?？奸_學(xué)考試）一平面截一球得到直徑為的圓面，球心到這個(gè)平面的距離是，則該球的體積是（

）A． B． C． D．4．（2023·貴州貴陽(yáng)·校聯(lián)考三模）已知一圓錐內(nèi)接于球，圓錐的表面積是其底面面積的3倍，則圓錐與球的體積之比是（

）A． B． C． D．5．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）上、下底面均為等邊三角形的三棱臺(tái)的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，若三棱臺(tái)的高為，上、下底面邊長(zhǎng)分別為，，則該球的體積為（

）A． B． C． D．1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2，2，1，其頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為.2．（2022·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·?？家荒＃┮粋€(gè)正方體的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球的球面上，該正方體的棱長(zhǎng)為a，則球的表面積是（

）A． B． C． D．3．（2023·湖北·統(tǒng)考二模）已知直三棱柱存在內(nèi)切球，若，則該三棱柱外接球的表面積為（

）A． B． C． D．4．（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱臺(tái)的高為，下底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱與底面所成的角為，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的體積為（

）A． B．C． D．考點(diǎn)二、墻角問(wèn)題1．（2023·天津·校考模擬預(yù)測(cè)）已知三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，且，則此三棱錐的外接球的體積為A． B． C． D．2．（2021春·廣西柳州·高三柳鐵一中?？茧A段練習(xí)）已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，平面，且，則球的表面積為A． B． C． D．3．（2023·天津河西·統(tǒng)考二模）在三棱錐中，平面，，，，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．1．（2022·四川達(dá)州·統(tǒng)考二模）四面體的每個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，兩兩垂直，且，，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？既＃┤羧忮FPABC的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球的表面上，其中PA⊥平面ABC，，，，則該球的體積為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)三、對(duì)棱相等問(wèn)題1．（2023·遼寧·鞍山一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2023·甘肅張掖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在四面體中，，則四面體外接球表面積是（

）A． B． C． D．3．（2023·河南·開封高中?？寄M預(yù)測(cè)）已知四面體ABCD中，，，，則四面體ABCD外接球的體積為（

）A． B． C． D．1．（2023·四川成都·樹德中學(xué)?？既＃┮阎忮F的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，已知，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，已知，，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．異面直線與所成角的余弦值為B．異面直線與所成角的余弦值為C．三棱錐外接球的表面積為D．直線與平面所成角的正弦值為考點(diǎn)四、側(cè)棱垂直底面問(wèn)題1．（2023·寧夏銀川·寧夏育才中學(xué)?？既＃┤忮F中，，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．2．（2023·廣西柳州·柳州高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐P－ABC中，，，且，，，，則此三棱錐外接球的體積為（

）A． B． C． D．3．（2023·山東德州·三模）在四棱錐中，底面為矩形，平面，點(diǎn)為上靠近的三等分點(diǎn)，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．1．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考二模）在三棱錐中，已知底面，，，則三棱錐外接球的體積為（

）A． B． C． D．2．（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，平面，在底面中，，，若球的體積為，則（

）A．1 B． C． D．23．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，平面，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．4．（2023·江西·江西師大附中?？既＃┮阎襟w的棱長(zhǎng)為2，為棱上的一點(diǎn)，且滿足平面平面，則四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)五、側(cè)面垂直于底面問(wèn)題1．（2023·貴州貴陽(yáng)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，已知，且平面平面ABC，則三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．2．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）如圖，邊長(zhǎng)為的正方形ABCD所在平面與矩形ABEF所在的平面垂直，，N為AF的中點(diǎn)，，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．3．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，P為棱的中點(diǎn)，則四棱錐P－ABCD的外接球表面積為（

）A． B． C． D．4．（2023·河南鄭州·校聯(lián)考二模）如圖，在三棱錐中，，，平面平面ABC，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．1．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考二模）三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，平面平面BCD，，，，則球O的體積為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，已知三棱錐中，底面為等腰直角三角形，斜邊，側(cè)面為正三角形，D為的中點(diǎn)，底面，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．3．（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）三棱錐中，與均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，若平面平面，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)六、二面角與球體綜合1．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）如圖1，在中，，，，，沿將折起，使得二面角為60°，得到三棱錐，如圖2，若，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2023·甘肅張掖·高臺(tái)縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）圖1為兩塊大小不同的等腰直角三角形紙板組成的平面四邊形ABCD，其中小三角形紙板的斜邊AC與大三角形紙板的一條直角邊長(zhǎng)度相等，小三角形紙板的直角邊長(zhǎng)為a，現(xiàn)將小三角形紙板ACD沿著AC邊折起，使得點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)M的位置，得到三棱錐，如圖2．若二面角的大小為，則所得三棱錐M－ABC的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在四面體中，與都是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，且二面角的大小為，則四面體外接球的表面積是（

）A．52π B．54π C．56π D．60π1．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐平面，二面角的大小為.若點(diǎn)均在球的表面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，，，二面角的平面角為，則三棱錐外接球表面積的最小值為（

）A． B．C． D．考點(diǎn)七、數(shù)學(xué)文化與球體綜合1．（2023·天津南開·南開中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在《九章算術(shù)》中記載，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱，陽(yáng)馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，鱉臑為四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐，如圖，在塹堵中，，鱉臑的外接球的體積為，則陽(yáng)馬體積的最大值為（

）A． B． C． D．42．（2023·廣西南寧·南寧二中?？寄M預(yù)測(cè)）在《最強(qiáng)大腦》的節(jié)目中，作為腦力角逐的考題，阿基米德多面體成為了難倒一眾天才的“元兇”，因此“一夜爆紅”.“阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.例如足球一般是有12個(gè)正五邊形和20個(gè)正六邊形構(gòu)成的阿基米德多面體.如圖是以一正方體的各條棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的多面體，這是一個(gè)有八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”，若該多面體的棱長(zhǎng)為1，則經(jīng)過(guò)該多面體的各個(gè)頂點(diǎn)的球的表面積為（

）A． B． C． D．1．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）《九章算術(shù)》中，稱一個(gè)正方體內(nèi)兩個(gè)互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”，現(xiàn)提供一中計(jì)算“牟合方蓋”體積的方法，顯然，正方體的內(nèi)切球也是“牟合方蓋”的內(nèi)切球.因此，用任意平行于水平面的平面去截“牟合方蓋”，截面均為正方形，平面截內(nèi)切球得到上述正方形的內(nèi)切圓，結(jié)合祖暅原理，利兩個(gè)同高的立方體如在等高處的截面面積相等，則體積相等.若正方體棱長(zhǎng)為3，則“牟合方蓋”體積為（

）A．6 B．12 C．18 D．242．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)古建筑聞名于世，源遠(yuǎn)流長(zhǎng)．如圖1所示的五脊殿是中國(guó)傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式，該屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示，在結(jié)構(gòu)示意圖中，已知四邊形ABCD為矩形，，，與都是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，若點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)都在球O的球面上，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江溫州·樂(lè)清市知臨中學(xué)?？级＃??平衡盾構(gòu)機(jī)等國(guó)之重器更是世界領(lǐng)先.如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球?yàn)檎拿骟w的內(nèi)切球，中等球與最大球和正四面體三個(gè)面均相切，最小球與中等球和正四面體三個(gè)面均相切，已知正四面體棱長(zhǎng)為，則模型中九個(gè)球的表面積和為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)八、最值與球體綜合1．（2023·云南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)），，，在同一個(gè)球面上，是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形；三棱錐的體積最大值為，則三棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．2．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）已知菱形ABCD的各邊長(zhǎng)為2，.將沿AC折起，折起后記點(diǎn)B為P，連接PD，得到三棱錐，如圖所示，當(dāng)三棱錐的表面積最大時(shí)，三棱錐的外接球體積為（

）A． B． C． D．3．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）某正六棱錐外接球的表面積為，且外接球的球心在正六棱錐內(nèi)部或底面上，底面正六邊形邊長(zhǎng)，則其體積的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐的底面是矩形，.若四棱錐的外接球的體積為，設(shè)是該球上的一動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐體積的最大值為（

）A． B． C． D．5．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)是圓柱上底面圓周上一動(dòng)點(diǎn)，是圓柱下底面圓的內(nèi)接三角形，已知在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，若，，三棱錐的體積最大值為，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．6．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐中，平面，，，，，，，分別為，，，的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，，當(dāng)?shù)拿娣e取得最小值時(shí)，三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．1．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）在三棱錐中，，平面ABC，，，則三棱錐外接球體積的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，球的表面積為，四面體內(nèi)接于球，是邊長(zhǎng)為的正三角形，平面平面，則該四面體體積的最大值為（

）A． B． C． D．3．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）一封閉圓臺(tái)上、下底面半徑分別為1，4，母線長(zhǎng)為6.該圓臺(tái)內(nèi)有一個(gè)球，則這個(gè)球表面積的最大值是（

）A． B． C． D．4．（2023·西藏林芝·統(tǒng)考二模）在三棱錐中，，平面經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)E，并且與BC垂直，當(dāng)α截此三棱錐所得的截面面積最大時(shí)，此時(shí)三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．5．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，平面，且，當(dāng)三棱錐的體積取最大值時(shí)，該三棱錐外接球的體積是（

）A． B． C． D．6．（2023·遼寧·校聯(lián)考三模）在三棱錐中，，平面經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，并且與垂直，當(dāng)截此三棱錐所得的截面面積最大時(shí)，此時(shí)三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)九、內(nèi)切球綜合1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）將半徑為，圓心角為的扇形圍成一個(gè)圓錐（接縫處忽略不計(jì)），則該圓錐的內(nèi)切球的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐中，平面平面，為邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，底面存在一個(gè)內(nèi)切球（內(nèi)切球定義：若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球），則內(nèi)切球的表面積為（

）A． B． C． D．3．（2023秋·浙江杭州·高三浙江省桐廬中學(xué)期末）已知四面體，且，，面面，則四面體的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（

）A． B． C． D．4．（2023秋·浙江麗水·高三浙江省麗水中學(xué)校聯(lián)考期末）將菱形沿對(duì)角線折起，當(dāng)四面體體積最大時(shí)，它的內(nèi)切球和外接球表面積之比為（

）A． B． C． D．5．（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知某圓錐的內(nèi)切球（球與圓錐側(cè)面?底面均相切）的體積為，則該圓錐的表面積的最小值為（

）A． B． C． D．6．（2023秋·江蘇常州·高三常州高級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）將一個(gè)半徑為的球削成一個(gè)體積最大的圓錐，則該圓錐的內(nèi)切球的半徑為（

）A． B． C． D．1．（2023·浙江寧波·鎮(zhèn)海中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）表面積為的球內(nèi)切于圓錐，則該圓錐的表面積的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年，其中有很多對(duì)幾何體外接球與內(nèi)切球的研究．其中的一些研究思想啟發(fā)著后來(lái)者的研究方向．已知正四棱錐的外接球半烴為R，內(nèi)切球半徑為r，且兩球球心重合，則（

）A．2 B． C． D．3．（2023·河北秦皇島·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，該幾何體為兩個(gè)底面半徑為1，高為1的相同的圓錐形成的組合體，設(shè)它的體積為，它的內(nèi)切球的體積為，則（

）A． B．C． D．4．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）定義：與圓錐的底面和各母線均相切的球，稱為圓錐的內(nèi)切球，此圓錐稱為球的外切圓錐．已知某圓錐的內(nèi)切球半徑等于1，則該圓錐體積的最小值為（

）A． B． C． D．5．（2023·湖北·統(tǒng)考二模）已知直三棱柱存在內(nèi)切球，若，則該三棱柱外接球的表面積為（

）A． B． C． D．6．（2023·福建寧德·?？寄M預(yù)測(cè)）將一個(gè)半徑為2的球削成一個(gè)體積最大的圓錐，則該圓錐的內(nèi)切球的半徑為（

）A． B．C． D．考點(diǎn)十、球心不確定類型1．（2023·江西南昌·南昌市八一中學(xué)?？既＃┮阎睦忮F的底面是矩形，高為，，，，，則四棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2023·甘肅·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形中，，，E為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，將沿BD折起到的位置，若，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．3．（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在正三棱臺(tái)中，，，，則正三棱臺(tái)的外接球表面積為（

）A．64 B． C． D．4．（2023·河北秦皇島·校聯(lián)考二模）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，P，Q分別是，的中點(diǎn)，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)，Q，C，D，C1的球的表面積為（

）A． B． C． D．1．（2023·四川·四川省金堂中學(xué)校校聯(lián)考三模）如圖，在梯形中，，將沿對(duì)角線折起，使得點(diǎn)翻折到點(diǎn)，若面面，則三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．2．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知三棱錐滿足，．則其外接球的體積為（

）A． B． C． D．3．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在正三棱錐PABC中，D，E分別為側(cè)棱PB，PC的中點(diǎn)，若，且，則三棱錐PABC外接球的表面積為（

）A． B． C． D．4．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考三模）三棱錐中，平面，，．過(guò)點(diǎn)分別作，交于點(diǎn)，記三棱錐的外接球表面積為，三棱錐的外接球表面積為，則（

）A． B． C． D．考點(diǎn)十一、球體多選題綜合1．（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)是側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)在棱上，且，則下列結(jié)論正確的有（

）A．沿正方體的表面從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路程為B．保持與垂直時(shí)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為C．若保持，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為D．當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，三棱錐的外接球表面積為2．（2023·云南昭通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．三棱錐的內(nèi)切球的體積為C．三棱錐的體積為D．直線與平面所成角的最大值為6．（2023·遼寧遼陽(yáng)·統(tǒng)考二模）正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為3，高為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．三棱錐的表面積為C．三棱錐的外接球的表面積為D．三棱錐的內(nèi)切球的表面積為7．（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知半徑為Rr1和r2，母線長(zhǎng)為l，球的表面積與體積分別為S1和V1，圓臺(tái)的表面積與體積分別為S2和V2.則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．的最大值為1．（2023·山東煙臺(tái)·校聯(lián)考三模）底面為直角三角形的三棱錐的體積為4，該三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，點(diǎn)P在底面ABC上的射影為K，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若點(diǎn)K與點(diǎn)A重合，則球O的表面積的最小值為B．若點(diǎn)K與點(diǎn)A重合，則球O的體積的最小值為C．若點(diǎn)K是的斜邊的中點(diǎn)，則球O的表面積的最小值為D．若點(diǎn)K是的斜邊的中點(diǎn)，則球O的體積的最小值為2．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙一中?？家荒＃┤鐖D圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，為圓柱上下底面的圓心，為球心，為底面圓的一條直徑，若球的半徑，則下列各選項(xiàng)正確的是（

）A．球與圓柱的體積之比為B．四面體的體積的取值范圍為C．平面截得球的截面面積最小值為D．若為球面和圓柱側(cè)面的交線上一點(diǎn)，則的取值范圍為3．（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，棱長(zhǎng)為2的正四面體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，球的表面與線段相切于點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．平面B．球的體積為C．球被平面截得的截面面積為D．球被正四面體表面截得的截面周長(zhǎng)為4．（2023·福建泉州·泉州五中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，棱長(zhǎng)為2的正四面體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，球的表面正好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．平面B．球的體積為C．球被平面截得的截面面積為D．過(guò)點(diǎn)與直線，所成角均為的直線可作4條【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】一、單選題1．（2022·天津河西·天津市新華中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，則球與圓柱體積比是（

）A． B． C． D．2．（2022·天津和平·統(tǒng)考三模）已知某圓柱的軸截面為正方形，則此圓柱的表面積與此圓柱外接球的表面積之比為（

）A． B． C． D．3．（2022·天津南開·南開中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）圓柱內(nèi)有一個(gè)球，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，已知圓柱的體積為，則球的體積為（

）A． B． C． D．4．（2022·湖北黃岡·黃岡中學(xué)?？既＃┤粢粋€(gè)正六棱柱既有外接球又有內(nèi)切球，則該正六棱柱的外接球和內(nèi)切球的表面積的比值為（

）A． B． C． D．5．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，點(diǎn)P在底面ABC的射影恰好落在BC的中點(diǎn)，，，，△PAB的面積為，則該三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．6．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知在三棱錐中，平面SBC，，，，則該三棱錐外接球體積為（

）A． B． C． D．二、填空題7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知三棱錐中，面，則三棱錐的外接球的體積為.8．（2022·天津紅橋·統(tǒng)考一模）一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1、、3，則此球的體積為．9．（2022·山西呂梁·統(tǒng)考三模）已知球的一個(gè)截面面積為，若球上的點(diǎn)到該截面的最大距離為3，則球的表面積為．10．（2022·吉林長(zhǎng)春·長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，底面，，若，，則三棱錐的外接球表面積為.【能力提升】一、單選題1．（2022·山東青島·統(tǒng)考二模）《九章算術(shù)》中記錄的“羨除”是算學(xué)和建筑學(xué)術(shù)語(yǔ)，指的是一段類似隧道形狀的幾何體，如圖，羨除ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，其余棱長(zhǎng)都為1，則這個(gè)幾何體的外接球的體積為（

）A． B． C． D．2．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，為球的球面上的四點(diǎn)，記的中點(diǎn)為，且，四棱錐體積的最大值為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．3．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）某全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為h（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）.將地球看作是一個(gè)球心為O，半徑r為的球，其上點(diǎn)A的緯度是指OA，記衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的表面積為（單位：），若，則S占地球表面積的百分比約為（

）A．26% B．34% C．42% D．50%4．（2022·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知三棱錐S－ABC中，∠BAC=，SB⊥AB，SC⊥AC，SB=SC=3，，三棱錐體積為，則三棱錐S－ABC外接球的表面積為（

）A．5π B．20π C．25π D．100π二、填空題5．（2022·陜西西安·西安中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在三棱錐中，，，，的中點(diǎn)為，的余弦值是，若都在同一球面上，則該球的表面積是．6．（2022·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測(cè)