湖北剩州市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

Page182024年高一上學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)集合的交并補運算即可求解.【詳解】由可得或，所以，故選：D2.已知命題，則（）A. B.C. D.時，為真命題【答案】B【解析】【分析】依據(jù)全稱命題的否定求解即可.【詳解】命題，故，所以A選項和C選項錯誤，B選項正確；當(dāng)時，方程的，所以方程有解，為假命題，故D選項錯誤.故選：B3.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由指數(shù)冪的運算規(guī)則化簡求值.【詳解】.故選：C4.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題首先依據(jù)推斷函數(shù)的奇偶性解除,再依據(jù),對應(yīng),解除,進(jìn)而選出正確答案.【詳解】由函數(shù)，可得，

故函數(shù)的定義域為，又，所以是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，因此錯誤；當(dāng)0時，，所以錯誤．故選:5.若，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小即可.【詳解】依據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，，而，故，故選：D6.已知函數(shù)，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，可求的值.【詳解】函數(shù)，，，所以.故選：C7.“”是“滿意對隨意都有成立”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】依據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性求得，利用包含關(guān)系分析充分、必要條件.【詳解】若，不妨令，則，則，即，可知函數(shù)單調(diào)遞減，可得，解得，因為是的真子集，所以“”是“滿意對隨意都有成立”的充分不必要條件.故選：A.8.已知是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，在內(nèi)單調(diào)遞增，，且函數(shù)關(guān)于點對稱，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由平移學(xué)問得出是奇函數(shù)，進(jìn)而由單調(diào)性畫出函數(shù)，的簡圖，結(jié)合圖像解不等式即可.【詳解】因為函數(shù)關(guān)于點對稱，所以函數(shù)關(guān)于點對稱，是奇函數(shù)，則等價于.函數(shù)簡圖如下圖所示：由平移變換可知，函數(shù)的簡圖如下圖所示：等價于或.由圖可知，的解集為.故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.對隨意實數(shù)，都有D.若二次函數(shù)，實數(shù)，則【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)作差法，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】對于A，，由于，，所以，故，故A錯誤，對于B,，由于，，所以，故，B正確，對于C，，故C正確，對于D,，故，D正確，故選：BCD10.已知函數(shù)，則（）A.在上單調(diào)遞增B.的值域為C.不等式的解集為D.若在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】探討指數(shù)位置的函數(shù)性質(zhì)，再利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)，結(jié)合選項AB條件分析推斷AB；解指數(shù)不等式推斷C；利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性推斷D.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上的值域為，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，A正確，B錯誤；不等式，解得，C正確；依題意，函數(shù)，明顯在上單調(diào)遞減，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此，即，解得，即實數(shù)的取值范圍為，D正確.故選：ACD11.設(shè)函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.B.函數(shù)為偶函數(shù)C.函數(shù)的最小值為0D.當(dāng)時，，則a的取值范圍為【答案】BC【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)新定義結(jié)合函數(shù)解析式，作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，可推斷A，B，C；由圖象得出時函數(shù)的最大值，結(jié)合不等式恒成立即可求得a的范圍，推斷D.【詳解】在同一坐標(biāo)系作出和的圖象如圖所示，聯(lián)立可得，即得圖中，由對稱性可得，則，其圖象是圖中實線部分．則，故A錯誤；由圖象可知函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)的最小值為0，無最大值，B，C正確；當(dāng)時，，由于，所以，D錯誤，故選：BC12.已知不等式對恒成立，則的值可以是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】由題意先對不等式左邊變形并不斷利用基本不等式求出它的最小值，留意取等條件是否成立，然后將恒成立問題等價轉(zhuǎn)換，即可求出參數(shù)的范圍，最終對比選項即可求解.【詳解】由題意，第一個等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，其次個等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，綜上所述：，當(dāng)且僅當(dāng)時成立；又不等式對恒成立，等價于，解得，對比選項可知的值可以是或或.故選：ABC.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決問題的關(guān)鍵是將不等式左邊變形，利用基本不等式求最小值，從而可將恒成立問題等價轉(zhuǎn)換，進(jìn)而順當(dāng)求解，靈敏的變形技巧是必不行少的，當(dāng)然利用基本不等式求最小值時，要留意驗證取等條件.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，則的值為______.【答案】34【解析】【分析】依據(jù)指數(shù)冪的運算，平方即可求解.【詳解】由可得，進(jìn)而，故答案為：3414.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，則a的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】利用冪函數(shù)的定義及單調(diào)性，求出參數(shù)，再借助單調(diào)性解不等式即得.【詳解】冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，解得，不等式化為，明顯函數(shù)在R上單調(diào)遞增，因此，解得，所以a的取值范圍為.故答案為：15.已知函數(shù)在上的最大值為，則實數(shù)的值為_____.【答案】【解析】【分析】依據(jù)二次函數(shù)的對稱性探討最值取值狀況即可得實數(shù)的值.【詳解】函數(shù)的對稱軸為直線，因為當(dāng)時，，得（舍去），當(dāng)時，，得，綜上，實數(shù)的值是.故答案為：.16.已知圖象連綿起伏的函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，若對隨意的，，當(dāng)時，總有，則滿意不等式的a的取值范圍為_______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義可推斷的單調(diào)性，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，確定其單調(diào)性以及奇偶性，即可依據(jù)單調(diào)性求解.【詳解】由，，當(dāng)時，可得，故函數(shù)在單調(diào)遞減，令，由于在單調(diào)遞減，由于在單調(diào)遞減，又，所以為奇函數(shù)，故在單調(diào)遞減，所以可得，即，所以，解得，故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知集合，集合.（1）當(dāng)時，求；（2）設(shè)，，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)指數(shù)不等式化簡集合，由一元二次的解化簡集合，即可依據(jù)并集運算求解，（2）依據(jù)子集的包含關(guān)系，即可求解.【小問1詳解】,當(dāng)時,,.【小問2詳解】，,又，，，，實數(shù)a的取值范圍為18.若關(guān)于的不等式的解集是.（1）求實數(shù)的值；（2）當(dāng)時，求的最小值.【答案】（1）1（2）4【解析】【分析】（1）利用不等式解集就是方程等于零的兩根求出即可；（2）利用基本不等式求解即可.【小問1詳解】不等式的解集是，和是方程的兩個根，,.小問2詳解】當(dāng)時，即時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即（舍），時取等號，故.19.已知函數(shù)是增函數(shù)，且.（1）若，，求的最小值；（2）是否存在實數(shù)，使得當(dāng)時，函數(shù)的最小值恰為，而最大值恰為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）16（2）存，，【解析】【分析】（1）依據(jù)以及函數(shù)的單調(diào)性可求解，進(jìn)而又基本不等式乘“1”法即可求解，（2）依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，化簡可得，是方程的兩個根，即可一元二次方程的根求解.【小問1詳解】，，，或，又函數(shù)是增函數(shù)，，，.由，得，，又，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，故的最小值為.【小問2詳解】為增函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，最大值為，由，得，即，，是方程的兩個根，，，，存在，滿意要求.20.已知函數(shù)的圖象過點和.（1）求證：是奇函數(shù)，并推斷的單調(diào)性（不須要證明）；（2）若，使得不等式都成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析，增函數(shù)（2）【解析】【分析】（1）把圖象上的點代入函數(shù)解析式，求得，得到解析式，由定義法證明函數(shù)是奇函數(shù)，由解析式推斷的單調(diào)性；（2）由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，，使得不等式都成立，等價于在上恒成立，設(shè)，由單調(diào)性求最小值即可.【小問1詳解】函數(shù)的圖象過點和，則有，解得，所以，函數(shù)定義域為R，，所以函數(shù)奇函數(shù).由函數(shù)和都是R上的增函數(shù)，所以在R上單調(diào)遞增.【小問2詳解】是奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，不等式等價，可得，若，使得不等式都成立，等價于，恒成立，即，在上恒成立，設(shè)，，且，有，由，則，，，則，即，故在上單調(diào)遞減，，得，所以實數(shù)的取值范圍為.21.先看下面的閱讀材料：已知三次函數(shù)（），稱相應(yīng)的二次函數(shù)為的“導(dǎo)函數(shù)”，探討發(fā)覺，若導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上恒成立，則在區(qū)間上單調(diào)遞增；若導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上恒成立，則在區(qū)間上單調(diào)遞減.例如：函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)，由，得，由，得或，所以三次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間和上單調(diào)遞減.結(jié)合閱讀材料解答下面的問題：（1）求三次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）某市政府欲在文旅區(qū)內(nèi)如圖所示的矩形地塊中規(guī)劃出一個兒童樂園（如圖中陰影部分），形態(tài)為直角梯形（線段和為兩條底邊，），已知，，，其中曲線是以為頂點、為對稱軸的拋物線的一部分.①設(shè)，求出梯形的面積與的解析式；②求該公園的最大面積.【答案】（1）在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間和上單調(diào)遞減（2）①（）；②【解析】分析】（1）由導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)區(qū)間；（2）由導(dǎo)數(shù)探討最值.【小問1詳解】的導(dǎo)函數(shù)為,由，得，由，得或，所以三次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間和上單調(diào)遞減.【小問2詳解】①以為原點，所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)曲線所在拋物線的方程為（），拋物線過，，得，曲線所在拋物線的方程為，又，，則所在直線為，（），則，，公園的面積（），②由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，取得最大值．故該公園的最大面積為．22.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）假如關(guān)于的方程有三個不相等的非零實數(shù)解，，，求的取值范圍.【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）干脆由分段函數(shù)定義、二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.（2）首先分類探討求出滿意題意的參數(shù)的取值范圍，然后再依據(jù)求根公式、韋達(dá)定理將表示成的函數(shù)，從而即可得解.【小問1詳解】當(dāng)時，，即當(dāng)時，，當(dāng)時，，據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問