2024年高中數(shù)學(xué)專題10-3重難點(diǎn)題型培優(yōu)精講事件的相互獨(dú)立性教師版新人教A版必修第二冊(cè)

專題10.3事務(wù)的相互獨(dú)立性1．事務(wù)的相互獨(dú)立性(1)定義

對(duì)隨意兩個(gè)事務(wù)A與B，假如P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事務(wù)A與事務(wù)B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱為獨(dú)立.(2)性質(zhì)

若事務(wù)A與B相互獨(dú)立，則與B，A與，與也相互獨(dú)立.

(3)應(yīng)用

因?yàn)椤癆與B相互獨(dú)立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要條件，所以假如已知兩個(gè)事務(wù)是相互獨(dú)立的，則由它們各自發(fā)生的概率可以快速得到它們同時(shí)發(fā)生的概率.在實(shí)際問(wèn)題中，我們常常依據(jù)實(shí)際背景去推斷事務(wù)之間是否存在相互影響，若認(rèn)為事務(wù)之間沒(méi)有影響，則認(rèn)為它們相互獨(dú)立.

(4)推廣

兩個(gè)事務(wù)的相互獨(dú)立性可以推廣到n(n>2，n∈)個(gè)事務(wù)的相互獨(dú)立性，即若事務(wù)，，，相互獨(dú)立，則這n個(gè)事務(wù)同時(shí)發(fā)生的概率P()=P()P()P().2．互斥事務(wù)與相互獨(dú)立事務(wù)的辨析(1)互斥事務(wù)與相互獨(dú)立事務(wù)都描述的是兩個(gè)事務(wù)間的關(guān)系，但互斥事務(wù)強(qiáng)調(diào)不行能同時(shí)發(fā)生，相互獨(dú)立事務(wù)則強(qiáng)調(diào)一個(gè)事務(wù)的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事務(wù)發(fā)生的概率沒(méi)有影響.用表格表示如下：相互獨(dú)立事務(wù)互斥事務(wù)推斷方法一個(gè)事務(wù)的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事務(wù)發(fā)生的概率沒(méi)有影響.兩個(gè)事務(wù)不行能同時(shí)發(fā)生，即AB=.概率公式若事務(wù)A與B相互獨(dú)立，則P(AB)=P(A)P(B).若事務(wù)A與B互斥，則P（A∪B）=P（A）+P（B），反之不成立.(2)已知事務(wù)A，B發(fā)生的概率分別為P(A)，P(B)，我們有如下結(jié)論：事務(wù)表示概率（A，B互斥）概率（A，B相互獨(dú)立）A，B中至少有一個(gè)發(fā)生P(A∪B)P(A)+P(B)1P()P()或P(A)+P(B)P(AB)A，B都發(fā)生P(AB)0P(A)P(B)A，B都不發(fā)生P()1[P(A)+P(B)]P()P()A，B恰有一個(gè)發(fā)生P(A∪B)P(A)+P(B)P(A)P()+P()P(B)A，B中至多有一個(gè)發(fā)生P(∪A∪B)11P(A)P(B)【題型1獨(dú)立性的推斷】【方法點(diǎn)撥】(1)定量法：利用P(AB)=P(A)P(B)是否成立可以精確地推斷兩個(gè)事務(wù)是否相互獨(dú)立.(2)定性法：直觀地推斷一個(gè)事務(wù)發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事務(wù)的發(fā)生的概率是否有影響，若沒(méi)有影響就是相互獨(dú)立事務(wù).【例1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列事務(wù)中A，B是相互獨(dú)立事務(wù)的是（

）A．一枚硬幣擲兩次，A=“第一次為正面”，BB．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸兩球，A=“第一次摸到白球”，BC．?dāng)S一枚骰子，A=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，BD．A=“人能活到20歲”，B【解題思路】利用相互獨(dú)立事務(wù)的概念，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析解除，從而得出正確選項(xiàng).【解答過(guò)程】解：對(duì)于A中，把一枚硬幣擲兩次，對(duì)于每次而言是相互獨(dú)立的，其結(jié)果不受先后影響，故A是獨(dú)立事務(wù)；對(duì)于B：兩個(gè)事務(wù)是不放回地摸球，明顯A事務(wù)與B事務(wù)不相互獨(dú)立；對(duì)于C，事務(wù)A，B應(yīng)為互斥事務(wù)，不相互獨(dú)立；對(duì)于D是條件概率，事務(wù)B受事務(wù)A的影響．故選：A．【變式1-1】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）袋中有黑、白兩種顏色的球，從中進(jìn)行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得黑球，A2表示其次次摸得黑球，則A1與AA．相互獨(dú)立事務(wù) B．不相互獨(dú)立事務(wù)C．互斥事務(wù) D．對(duì)立事務(wù)【解題思路】依據(jù)相互獨(dú)立事務(wù)的含義即可推斷.【解答過(guò)程】由題意可得A2即A2故每次是否摸到白球互不影響,故事務(wù)A1與A由于A1與A故選：A.【變式1-2】（2024秋·廣東梅州·高二階段練習(xí)）拋擲一紅一綠兩枚質(zhì)地勻整的骰子，登記股子朝上面的點(diǎn)數(shù).用x表示紅色股子的點(diǎn)數(shù)，用y表示綠色骰子的點(diǎn)數(shù)，用x,y表示一次試驗(yàn)的結(jié)果.定義事務(wù)：A=“x+y為奇數(shù)”，事務(wù)B=“x=A．PA=3PB B．C．B與C獨(dú)立 D．A與B獨(dú)立【解題思路】A選項(xiàng)，利用古典概型求概率公式得到PA,PB，從而得到PA=3PB；由PA【解答過(guò)程】由題意得：當(dāng)x,y一奇一偶時(shí)，若x為奇數(shù)，y為偶數(shù)，有3×3=9種狀況，同理若x為偶數(shù)，y為奇數(shù)，有3×則PAPB=6因?yàn)楫?dāng)x,y一奇一偶時(shí)，x+y為奇數(shù)，故x≠故PA∩B“x>4”包含x=5或6，而y可能取值為6種，故共有2×而事務(wù)B∩C包含兩種狀況，即5,5,由PBC=PB?因?yàn)镻AB=0≠PA故選：D.【變式1-3】（2024秋·浙江紹興·高三期末）數(shù)字1，2，3，4，5，6組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的的六位數(shù)，A表示事務(wù)“1和2相鄰”，B表示事務(wù)“偶數(shù)不相鄰”，C表示事務(wù)“任何連續(xù)兩個(gè)位置奇偶性都不相同”，D表示事務(wù)“奇數(shù)按從小到大的依次排列”．則（

）A．事務(wù)A與事務(wù)B相互獨(dú)立 B．事務(wù)A與事務(wù)C相互獨(dú)立C．事務(wù)A與事務(wù)D相互獨(dú)立 D．事務(wù)B與事務(wù)C相互獨(dú)立【解題思路】依據(jù)排列組合分別計(jì)算概率，進(jìn)而依據(jù)相互獨(dú)立事務(wù)滿足的概率公式即可求解.【解答過(guò)程】P(A對(duì)于A，P(對(duì)于B，P(對(duì)于C，P(對(duì)于D，PBC故選：C.【題型2相互獨(dú)立事務(wù)的概率】【方法點(diǎn)撥】利用相互獨(dú)立事務(wù)的概率乘法公式，進(jìn)行求解即可.【例2】（2024秋·山東濟(jì)寧·高二期末）假設(shè)PA=0.3,PB=0.4，且A與BA．0.12 B．0.58 C．0.7 D．0.88【解題思路】依據(jù)獨(dú)立事務(wù)的并事務(wù)的概率公式計(jì)算.【解答過(guò)程】由A與B相互獨(dú)立，則PA故選：B．【變式2-1】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知事務(wù)A，B相互獨(dú)立，P(A)＝0.4，P(B)＝0.3，給出下列四個(gè)式子：①P(AB)＝0.12；②P(AB)＝0.18；③P(AB)＝0.28；④P(ABA．4個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．1個(gè)【解題思路】依據(jù)獨(dú)立事務(wù)的概率公式，進(jìn)行求解即可.【解答過(guò)程】依據(jù)事務(wù)A，B相互獨(dú)立，P(A)＝0.4，P(B)＝0.3，知在①中，P(AB)＝P(A)P(B)＝0.4×0.3＝0.12，故①正確；在②中，P(B)＝P()P(B)＝0.6×0.3＝0.18，故②正確；在③中，P(A)＝P(A)P()＝0.4×0.7＝0.28，故③正確；在④中P()＝P()P()＝0.6×0.7＝0.42，故④正確，故選A.【變式2-2】（2024春·安徽安慶·高一期末）設(shè)事務(wù)A，B相互獨(dú)立，PA=0.6，PB=0.3，則A．0.36 B．0.504 C．0.54 D．0.9【解題思路】依據(jù)獨(dú)立事務(wù)的概率計(jì)算公式，結(jié)合題意，帶值求解即可.【解答過(guò)程】依據(jù)題意，AB與AB互斥，A，B相互獨(dú)立，B，故P=0.6×故選：C.【變式2-3】（2024春·山西太原·高一期末）設(shè)A，B，C是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的三個(gè)事務(wù)，且PA>0，PB①若A與B互斥，則PAB②若A與B獨(dú)立，則PA③若A，B，C兩兩獨(dú)立，則PABC④若PABC=PAPBP則其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】依據(jù)互斥事務(wù)、對(duì)立事務(wù)以及相互獨(dú)立事務(wù)的性質(zhì)逐個(gè)判定即可【解答過(guò)程】對(duì)A，若A與B互斥，則依據(jù)互斥事務(wù)不能同時(shí)發(fā)生可得PAB=0，又PA對(duì)B，若A與B獨(dú)立，則PA對(duì)C，若A，B，C兩兩獨(dú)立，且PABC=PAPBP對(duì)D，若PABC=PAPBPC，則事務(wù)AB與故選：B.【題型3事務(wù)相互獨(dú)立的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】實(shí)際問(wèn)題中，計(jì)算相互獨(dú)立事務(wù)同時(shí)發(fā)生的概率，先用字母表示出事務(wù)，再分析題中涉及的事務(wù).對(duì)于計(jì)算問(wèn)題：將題中所求事務(wù)轉(zhuǎn)化為若干個(gè)獨(dú)立事務(wù)的交事務(wù)，利用獨(dú)立事務(wù)的性質(zhì)和推廣求解.【例3】（2024·高一單元測(cè)試）甲、乙、丙三人能獨(dú)立解決某一問(wèn)題的概率分別是15，14，13A．160 B．320 C．13【解題思路】設(shè)此三人至少有一個(gè)人把此問(wèn)題解決為事務(wù)A，計(jì)算出三人都沒(méi)有把此問(wèn)題解決的概率，再由間接法可得答案.【解答過(guò)程】設(shè)此三人至少有一個(gè)人把此問(wèn)題解決為事務(wù)A，三人都沒(méi)有把此問(wèn)題解決的概率是1-則此三人至少有一個(gè)人把此問(wèn)題解決的概率是PA故選：D.【變式3-1】（2024·高二單元測(cè)試）一個(gè)袋子中有4個(gè)紅球，n個(gè)綠球，接受不放回的方式從中依次隨機(jī)地取出2個(gè)球，若取出其次個(gè)球是紅球的概率為0.4，那么n的值是（

）A．3 B．4 C．6 D．8【解題思路】結(jié)合已知條件，分類探討第一個(gè)球的顏色，依據(jù)獨(dú)立事務(wù)的乘法公式即可求解.【解答過(guò)程】若取出的第一個(gè)球?yàn)榧t色，則其次個(gè)球也是紅色的概率P1若取出的第一個(gè)球?yàn)榫G色，則其次個(gè)球是紅色的概率P2所以取出其次個(gè)球是紅色的概率P=解得，n=6故選：C.【變式3-2】（2024春·黑龍江綏化·高二期中）某學(xué)校餐廳就餐刷卡器是由三個(gè)電子元件按如圖所示的方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則刷卡器能正常工作.假如各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立，元件1、元件2正常工作的概率都是35，元件3正常工作的概率是2527，那么該刷卡器能正常工作的概率為（A．23 B．79 C．8【解題思路】利用對(duì)立事務(wù)的概率求出元器件1和2至少一個(gè)正常工作的概率，再由相互獨(dú)立事務(wù)同時(shí)發(fā)生的概率公式求刷卡器正常工作的概率即可.【解答過(guò)程】該刷卡器能正常工作須要元器件1和2至少有一個(gè)正常工作，同時(shí)元器件3正常工作，所以刷卡器能正常工作的概率P=(1故選：B.【變式3-3】（2024·高一單元測(cè)試）高一年級(jí)某同學(xué)參加了學(xué)?！皵?shù)學(xué)社”“物理社”“話劇社”三個(gè)社團(tuán)的選拔，該同學(xué)能否勝利進(jìn)入這三個(gè)社團(tuán)是相互獨(dú)立的．假設(shè)該同學(xué)能夠進(jìn)入“數(shù)學(xué)社”“物理社”“話劇社”三個(gè)社團(tuán)的概率分別為m，n，15，該同學(xué)進(jìn)入兩個(gè)社團(tuán)的概率為320，且三個(gè)社團(tuán)都進(jìn)不了的概率為25，則mA．712 B．112 C．8【解題思路】利用相互獨(dú)立事務(wù)的概率乘法公式，列出關(guān)于m，n的方程組，求解即可．【解答過(guò)程】解：由題意可知，該同學(xué)可以進(jìn)入兩個(gè)社團(tuán)的概率為320則mn?(1又三個(gè)社團(tuán)都進(jìn)不了的概率為310所以(1-m由①②可得，m+故選：A．【題型4互斥事務(wù)、事務(wù)的相互獨(dú)立性的綜合應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】閱讀題目，分析事務(wù)之間的關(guān)系，一般將問(wèn)題劃分為若干個(gè)彼此互斥的事務(wù)，然后運(yùn)用互斥事務(wù)的概率加法公式和相互獨(dú)立事務(wù)的概率乘法公式求解.【例4】（2024秋·陜西榆林·高二階段練習(xí)）甲乙兩運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球競(jìng)賽，接受7局4勝制．在一局競(jìng)賽中，先得11分的運(yùn)動(dòng)員為勝方，但打到10：10平后，先多得2分者為勝方．在10：10平后，雙方實(shí)行輪換發(fā)球法，每人每次只發(fā)1個(gè)球．若在某局競(jìng)賽中，甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為35，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為13，各球的結(jié)果相互獨(dú)立，在雙方10：10平后，甲先發(fā)球，則甲以13：11贏下此局的概率為（A．425 B．225 C．8【解題思路】由題意，分為乙分別在第一二場(chǎng)勝兩種狀況，結(jié)合概率的乘法公式以及加法公式，可得答案.【解答過(guò)程】由題意，此局分兩種狀況：（1）后四球勝方依次為甲乙甲甲，概率為：35（2）后四球勝方依次為乙甲甲甲，概率為：25所以，所求事務(wù)概率為225故選：C.【變式4-1】（2024·高一單元測(cè)試）甲、乙兩人競(jìng)賽，每局甲獲勝的概率為13，各局的輸贏之間是獨(dú)立的，某天兩人要進(jìn)行一場(chǎng)三局兩勝的競(jìng)賽，先贏得兩局者為勝，無(wú)平局．若第一局競(jìng)賽甲獲勝，則甲獲得最終勝利的概率為（

A．13 B．59 C．2【解題思路】分兩種狀況（甲其次局獲勝或甲其次局負(fù)，第三局獲勝）探討得解.【解答過(guò)程】解：依據(jù)題意知只需考慮剩下兩局的狀況，（1）甲要獲勝，則甲其次局獲勝，此時(shí)甲獲得最終勝利的概率為13（2）甲要獲勝，則甲其次局負(fù)，第三局獲勝，所以甲獲得最終勝利的概率為23故甲獲得最終勝利的概率為13故選：B.【變式4-2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2024年神舟十二號(hào)、十三號(hào)載人飛船放射任務(wù)都取得圓滿勝利，這意味著我國(guó)的科學(xué)技術(shù)和航天事業(yè)取得重大進(jìn)步．現(xiàn)有航天員甲、乙、丙三個(gè)人，進(jìn)入太空空間站后須要派出一人走出太空站外完成某項(xiàng)試驗(yàn)任務(wù)，工作時(shí)間不超過(guò)10分鐘，假如10分鐘內(nèi)完成任務(wù)則試驗(yàn)勝利結(jié)束任務(wù)，10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)則撤回再派下一個(gè)人，每個(gè)人只派出一次．已知甲、乙、丙10分鐘內(nèi)試驗(yàn)勝利的概率分別為45，34，23A．910 B．1920 C．29【解題思路】把試驗(yàn)任務(wù)勝利的事務(wù)拆成三個(gè)互斥事務(wù)的和，再求出每個(gè)事務(wù)的概率，然后用互斥事務(wù)的概率加法公式計(jì)算作答.【解答過(guò)程】試驗(yàn)任務(wù)勝利的事務(wù)M是甲勝利的事務(wù)M1，甲不勝利乙勝利的事務(wù)M2，甲乙都不勝利丙成立的事務(wù)事務(wù)M1，M2，M3互斥，P(M所以試驗(yàn)任務(wù)勝利的概率P(故選：D.【變式4-3】（2024·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各競(jìng)賽一盤，各盤競(jìng)賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知該棋手與甲、乙、丙競(jìng)賽獲勝的概率分別為p1,p2,p3A．p與該棋手和甲、乙、丙的競(jìng)賽次序無(wú)關(guān) B．該棋手在其次盤與甲競(jìng)賽，p最大C．該棋手在其次盤與乙競(jìng)賽，p最大 D．該棋手在其次盤與丙競(jìng)賽，p最大【解題思路】該棋手連勝兩盤，則其