備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)藝體生一輪復(fù)習(xí)講義專題10對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

專題10對數(shù)與對數(shù)函數(shù)【考點預(yù)料】1、對數(shù)式的運算(1)對數(shù)的定義：一般地，假如且，那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作，讀作以為底的對數(shù)，其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．(2)常見對數(shù)：①一般對數(shù)：以且為底，記為，讀作以為底的對數(shù)；②常用對數(shù)：以為底，記為；③自然對數(shù)：以為底，記為；(3)對數(shù)的性質(zhì)和運算法則：①；；其中且；②(其中且，)；③對數(shù)換底公式：；④；⑤；⑥，；⑦和；⑧；2、對數(shù)函數(shù)的定義及圖像(1)對數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)且叫做對數(shù)函數(shù)．對數(shù)函數(shù)的圖象圖象性質(zhì)定義域：值域：過定點，即時，在上增函數(shù)在上是減函數(shù)當(dāng)時，，當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，【方法技巧與總結(jié)】1、對數(shù)函數(shù)常用技巧在同一坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng)時，隨的增大，對數(shù)函數(shù)的圖象愈靠近軸；當(dāng)時，對數(shù)函數(shù)的圖象隨的增大而遠離軸．(見下圖)【典例例題】題型一：對數(shù)運算及對數(shù)方程、對數(shù)不等式【方法技巧與總結(jié)】對數(shù)的有關(guān)運算問題要留意公式的順用、逆用、變形用等.對數(shù)方程或?qū)?shù)不等式問題是要將其化為同底，利用對數(shù)單調(diào)性去掉對數(shù)符號，轉(zhuǎn)化為不含對數(shù)的問題，但這里必需留意對數(shù)的真數(shù)為正.1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【解析】設(shè)函數(shù)，則.故選：B.2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知正實數(shù)x，y，z滿意，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，則，故，故故選：C3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，，那么用含a、b的代數(shù)式表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由換底公式，.故選：B.4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，且，則（

）A． B．10 C．20 D．100【答案】A【解析】由，可得，，由換底公式得，，所以，又因為，可得．故選：A.5．（2024春·黑龍江牡丹江·高三?？茧A段練習(xí)）的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】又函數(shù)在上單調(diào)遞增所以，解得：故不等式的解集為：.故選：B.6．（2024·河南許昌·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上是減函數(shù)，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上是減函數(shù)，所以，函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，即有，所以或，解得或．故選：D．7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】原不等式等價于，解得，或．故選：C8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，且，則m＝________.【答案】【解析】因為，所以，，所以.所以，所以.故答案為：9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）求值或化簡：(1)；(2).(3).(4)(5).(6).【答案】(1)18(2)(3)2(4)1(5)-3(6)13【分析】依據(jù)對數(shù)的定義，結(jié)合指數(shù)冪的運算、對數(shù)的運算求解.（1）（2）＝＝＝＝（3）=2（4）（5）原式.（6）原式=1310．（2024春·陜西西安·高三?？计谥校┙庀铝胁坏仁胶头匠蹋海?）（2）【解析】（1）由，得，所以，解得，所以不等式的解集為，（2）設(shè)，則，得，解得或，當(dāng)時，，得，當(dāng)時，，得，所以方程的解為或11．（2024·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）解下列對數(shù)方程：（1）；（2）.【解析】（1）原式可化為：，再化為，即，也即，整理得：，解方程，得，，經(jīng)檢驗：是原方程增根，所以原方程的根是；（2）兩邊同取以10為底的對數(shù)，得，即，∴，即.解方程，得或，所以或，經(jīng)檢驗：，都是原方程的解.12．（2024春·甘肅蘭州·高三蘭州市第五十五中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的定義域；(2)推斷并證明函數(shù)的奇偶性；(3)求不等式的解集.【解析】（1）由，得，所以函數(shù)的定義域為，（2）函數(shù)為奇函數(shù)，證明如下：因為函數(shù)的定義域為，所以定義域關(guān)于原點對稱，因為，所以為奇函數(shù)，（3）由，得，所以，因為在定義域內(nèi)為減函數(shù)，所以，解得，所以不等式的解集為.13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求該函數(shù)的值域；（2）求不等式的解集；【解析】（1）令，，則，則在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時，取得最小值為，當(dāng)時，取得最大值為，所以當(dāng)時，求該函數(shù)的值域為.（2）不等式可化為，分解因式得，所以或，所以或.所以不等式的解集為或題型二：對數(shù)函數(shù)的圖像【方法技巧與總結(jié)】探討和探討題中所涉及的函數(shù)圖像是解決有關(guān)函數(shù)問題最重要的思路和方法.圖像問題是數(shù)和形結(jié)合的護體說明.它為探討函數(shù)問題供應(yīng)了思維方向.1．（2024春·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)，，的圖象如圖所示，則，，的圖象所對應(yīng)的編號依次為（

）A．①②③ B．③①②C．③②① D．①③②【答案】C【解析】令，解得；令，解得；令，解得，即當(dāng)時，對應(yīng)的底數(shù)越大，圖象越靠近x軸故，，的圖象所對應(yīng)的編號依次為③②①.故選：C2．（2024春·遼寧·高三東北育才學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的圖象過定點（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以且，解得，所以，則，令，解得，，可得的圖象過定點.故選：C.3．（2024春·天津和平·高三耀華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)是偶函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由是偶函數(shù)知的圖像關(guān)于直線對稱，再依據(jù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減和知:在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，，則函數(shù)和的大致圖像如圖所示，由圖象可知：當(dāng)時，，故的解集為．故選：B．4．（2024春·江西九江·高三校考階段練習(xí)）函數(shù)過定點（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由于函數(shù)恒過點，令，則，，故函數(shù)恒過定點.故選：C5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圖中曲線分別是函數(shù)，，，的圖像，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由對數(shù)的性質(zhì)有：，，，結(jié)合圖像有：，故A，C，D錯誤.故選：B.6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（且，，為常數(shù)）的圖象如圖，則下列結(jié)論正確的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】因為函數(shù)為減函數(shù)，所以又因為函數(shù)圖象與軸的交點在正半軸，所以，即又因為函數(shù)圖象與軸有交點，所以，所以，故選：D題型三：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、最值（值域））【方法技巧與總結(jié)】探討和探討題中所涉及的函數(shù)性質(zhì)是解決有關(guān)函數(shù)問題最重要的思路和方法.性質(zhì)問題是數(shù)和形結(jié)合的護體說明.它為探討函數(shù)問題供應(yīng)了思維方向.7．（2024·北京·人大附中?？寄M預(yù)料）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】A選項：函數(shù)的定義域為，且在上單調(diào)遞增，A選項錯誤；B選項：函數(shù)的定義域為，且在上單調(diào)遞減，B選項正確；C選項：函數(shù)的定義域為，且在上單調(diào)遞增，C選項錯誤；D選項：函數(shù)的定義域為，且在上單調(diào)遞增，D選項錯誤；故選：B.8．（2024春·北京·高三北京四中?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，即，解得，即的定義域為；又在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在為單調(diào)增函數(shù)，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.故選：D.9．（2024春·湖北·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，且，所以，解得.故選：B.10．（2024·吉林長春·東北師大附中?？寄M預(yù)料）函數(shù)在單調(diào)遞增，求a的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在上為增函數(shù)，故要想在單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，且在恒成立，故且，解得：，故選：D11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)(a>0且a≠1)是R上的單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】二次函數(shù)的對稱軸為：，因為二次函數(shù)開口向上，所以當(dāng)時，該二次函數(shù)不行能單調(diào)遞增，所以函數(shù)是實數(shù)集上的減函數(shù)，則有，故選：C12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)有最大值，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，要使函數(shù)有最大值，則內(nèi)層函數(shù)要有最小正值，且外層函數(shù)為減函數(shù)，可知0＜a＜1．要使內(nèi)層函數(shù)要有最小正值，則，解得．綜合得a的取值范圍為．故選：B.13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)且在區(qū)間上的最大值與最小值的差為1，則實數(shù)的值為（

）A．2 B．4 C．或4 D．或2【答案】C【解析】令，由，得，函數(shù)可化為，.①當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，其最大值與最小值的差為，解得；②當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，其最大值與最小值的差為，解得.所以實數(shù)的值為4或.故選：C.題型四：對數(shù)函數(shù)中的恒成立問題【方法技巧與總結(jié)】（1）利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖像求解；（2）分別自變量與參變量，利用等價轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.（3）涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉(zhuǎn)化，借助同構(gòu)思想構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問題的關(guān)鍵.14．（2024·北京·高三專題練習(xí)）若不等式在內(nèi)恒成立，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當(dāng)時，由，可得，則，又由，此時不等式不成立，不合題意；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增，又由在上單調(diào)遞增，要使得不等式在內(nèi)恒成立，可得，解得.故選：A.15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，對隨意的，，有恒成立，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞增，∴，，對隨意的，，有恒成立，∴，即，解得，∴實數(shù)的取值范圍是．故答案為：.16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知且，對隨意且，不等式恒成立，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】因為對隨意且，不等式恒成立，所以在上單調(diào)遞減，因為在上單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，又由對數(shù)函數(shù)的定義域知，當(dāng)時，恒成立，可得，解得，綜上可得；，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.17．（2024春·江西宜春·高三江西省豐城中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求該函數(shù)的值域；(2)證明：當(dāng)時，恒成立.【解析】（1），令，，則，令，則，因此，的值域為.（2）由（1）可得，，因此，即該不等式恒成立.18．（2024春·江蘇連云港·高三連云港中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)（為常數(shù)）是奇函數(shù).（1）求的值與函數(shù)的定義域.（2）若當(dāng)時，恒成立.求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，所以，即，所以，令，解得或，所以函數(shù)的定義域為或；（2），當(dāng)時，所以，所以.因為，恒成立，所以，所以的取值范圍是.題型五：對數(shù)函數(shù)的綜合問題19．（2024春·山東濰坊·高三統(tǒng)考期中）定義在上的函數(shù)和，滿意，且，其中.(1)若，求的解析式;(2)若不等式的解集為，求的值.【解析】（1）由題意知，，又，所以，即．所以函數(shù)的解析式．（2）由，得，由題意知，所以，所以，即，所以．20．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，且點在函數(shù)的圖象上.(1)求函數(shù)的解析式，并在圖中的直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象；(2)若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.【解析】(1)因為點在函數(shù)的圖象上，所以，解得，即，其圖象如圖所示：(2)將化為，因為方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，在同一坐標(biāo)系中作出直線與函數(shù)的圖象（如圖所示），由圖象，得，即，即的取值范圍是.21．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)的定義域．(2)若函數(shù)的值域為R，求實數(shù)m的取值范圍．(3)若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）由題設(shè)，，則或，所以函數(shù)定義域為.（2）由函數(shù)的值域為R，則是值域的子集，所以，即.（3）由在上遞減，在上遞增，而在定義域上遞減，所以在上遞增，在上遞減，又在上是增函數(shù)，故，可得.22．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)，(1)求函數(shù)的定義域；(2)求函數(shù)的零點；(3)若函數(shù)的最小值為，求的值【解析】（1）要使函數(shù)有意義，則，解得：所以函數(shù)的定義域為：（2）令，得：即解得：因為所以函數(shù)的零點為.（3）且函數(shù)的最小值為即，得即.【過關(guān)測試】一、單選題1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知（且，且），則函數(shù)與的圖像可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由（且，且），可得，則，則則，又，則與互為反函數(shù)，則與單調(diào)性一樣，且兩圖像關(guān)于直線軸對稱故選：B2．（2024·江蘇·高三專題練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，則，解得，即，.故選：B.3．（2024春·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）科學(xué)家康斯坦丁·齊奧爾科夫斯基在年提出單級火箭在不考慮空氣阻力和地球引力的志向狀況下的最大滿意公式：，其中分別為火箭結(jié)構(gòu)質(zhì)量和推動劑的質(zhì)量，是發(fā)動機的噴氣速度．己知某試驗用的單級火箭模型結(jié)構(gòu)質(zhì)量為，若添加推動劑，火箭的最大速度為，若添加推動劑，則火箭的最大速度約為（參考數(shù)據(jù)：)（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題目條件知，則.所以.故選：C.4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f（x）＝loga(ax2－2x＋5)(a>0，且a≠1)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（

）A．∪[2，＋∞) B．∪(1，2]C．∪[2，＋∞) D．∪(1，2]【答案】C【解析】當(dāng)0<a<1時，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知函數(shù)u＝ax2－2x＋5在上單調(diào)遞減且u>0恒成立，所以;當(dāng)a>1時，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知函數(shù)u＝ax2－2x＋5在上單調(diào)遞增且u>0恒成立，所以，綜上，a的取值范圍為．故選：C5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時，，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】因為為奇函數(shù)，所以，當(dāng)時，，所以，所以；故選：A.6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域為，則（

）A．3 B．3 C．1 D．1【答案】A【解析】由，得，由題意可知上式的解集為，所以為方程的一個根，所以，得，故選：A7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的圖象過點，則（

）A．3 B．1 C．-1 D．-3【答案】A【解析】由已知得，所以，解得：，故選：A．8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，則下列結(jié)論確定不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵若，則，即∴成立若，則，即∴不成立若，則，由題意可得，則∴若，則，由題意可得，則∴故選：C．二、多選題9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若，，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】對于A，∵冪函數(shù)y=在單調(diào)遞增，∴依據(jù)可知，故A錯誤；對于B，∵指數(shù)函數(shù)y=在R上單調(diào)遞減，∴依據(jù)可知，故B正確；對于C，∵對數(shù)函數(shù)y=()在上單調(diào)遞減，∴依據(jù)可知，故C正確；對于D，由C可知，∴，即，故D錯誤．故選：BC．10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在同始終角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】當(dāng)時，在單調(diào)遞增且其圖象恒過點，在單調(diào)遞增且其圖象恒過點，則選項B符合要求；當(dāng)時，在單調(diào)遞減且其圖象恒過點，在單調(diào)遞減且其圖象恒過點，則選項D符合要求；綜上所述，選項B、D符合要求.故選：BD.11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）關(guān)于函數(shù)，有下列結(jié)論，其中正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱B．函數(shù)的最小值是C．函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減D．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和【答案】ABD【解析】，所以是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，故選項A正確；令，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立），因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以函數(shù)的最小值為，選項B正確；當(dāng)時，，由對勾函數(shù)可得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故選項C錯誤；由偶函數(shù)圖象的對稱性，可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，故選項D正確.故選：ABD12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】依據(jù)題意，函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，則，即，則，解可得或（舍），即，則，解可得，故，即的取值范圍為，故選：AC.三、填空題13．（2024春·江西鷹潭·高三貴溪市試驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知且，若函數(shù)與的圖象經(jīng)過同一個定點，則__________.【答案】1【解析】函數(shù)的圖象經(jīng)過定點所以的圖象也過定點，即則，所以故答案為：114．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為______【答案】【解析】由函數(shù)的定義域是，得到，故即.解得:；所以原函數(shù)的定義域是：.故答案為：.15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域_____________【答案】【解析】要使函數(shù)有意義，需滿意，即，解得故函數(shù)定義域為故答案為：16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）化簡___________.【答案】【解析】原式.故答案為：.17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，下列說法正確的是________．(填序號)①為奇函數(shù)；②為偶函數(shù)；③在上單調(diào)遞減；④在