備考2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)強(qiáng)化訓(xùn)練第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第2講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

第2講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性1.[命題點(diǎn)1/多選/2024山東省青島市檢測(cè)]若函數(shù)g（x）＝exf（x）在f（x）的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)f（x）具有M性質(zhì).下列函數(shù)中具有M性質(zhì)的為（BC）A.f（x）＝5－x B.f（x）＝2－xC.f（x）＝34x2＋1 D.f（x）＝x解析對(duì)于A選項(xiàng)，exf（x）＝ex·5－x＝（e5）x，在R上單調(diào)遞減，故f（x）＝5－x不具有M對(duì)于B選項(xiàng)，exf（x）＝ex·2－x＝（e2）x，e2＞1，在R上單調(diào)遞增，故f（x）＝2－x具有對(duì)于C選項(xiàng)，exf（x）＝ex（34x2＋1），則[exf（x）]'＝ex（34x2＋1）＋ex·32x＝ex（34x2＋32x＋1）＝34ex[（x＋1）2＋13]＞0，所以exf（x）＝ex（34x2＋1）在R上單調(diào)遞增，故f（x）＝對(duì)于D選項(xiàng)，f（x）＝x3的定義域?yàn)镽，則exf（x）＝exx3，[exf（x）]'＝exx3＋3x2ex＝x2ex（x＋3），令ex·x2（x＋3）＜0，解得x＜－3，所以exf（x）在（－∞，－3）上單調(diào)遞減，故f（x）＝x3不具有M性質(zhì).故選BC.2.[命題點(diǎn)2/2024綿陽市一診]已知函數(shù)f（x）＝x2＋12lnx－mx＋m－1（m∈R）（1）探討函數(shù)f（x）在（0，＋∞）上的單調(diào)性；（2）當(dāng)x∈[12，＋∞）時(shí)，f（x）≥0，求m的值解析（1）由題意得f'（x）＝2x＋12x－m，∵x＞0，∴2x＋12x≥22x·12①當(dāng)m≤2時(shí)，不等式f'（x）≥0恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)x＝12，且m＝2時(shí)“＝”∴函數(shù)f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增.②當(dāng)m＞2時(shí)，由f'（x）＞0，得0＜x＜m－m2－44或x＞m＋m2－44；由f'∴函數(shù)f（x）在（0，m－m2－44）和（m＋單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)m≤2時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)m＞2時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，m－m2－44）和（m＋m（2）當(dāng)x∈[12，＋∞）時(shí)，由f（1）＝0知，要使得f（x）≥0恒成立，則f'（1）＝又f'（x）＝2x＋12x－∴f'（1）＝2＋12－m＝0，解得m＝5下證：當(dāng)m＝52時(shí)，f（x）≥0此時(shí)f（x）＝x2＋12lnx－52x＋f'（x）＝2x＋12x－52＝4∵x∈[12，＋∞∴由f'（x）＞0，解得x＞1，由f'（x）＜0，解得12≤x＜∴f（x）在[12，1）上單調(diào)遞減，在（1，＋∞）上單調(diào)遞增.∴f（x）≥f（1）＝綜上，m＝523.[命題點(diǎn)3角度2/2024全國(guó)卷乙]設(shè)a＝2ln1.01，b＝ln1.02，c＝1.04－1，則（BA.a＜b＜c B.b＜c＜aC.b＜a＜c D.c＜a＜b解析b－c＝ln1.02－1.04＋1，設(shè)f（x）＝ln（x＋1）－1+2x＋1，則bf（0.02），f'（x）＝1x+1－22當(dāng)x≥0時(shí)，x＋1＝（x+1）2≥1+2x，故當(dāng)x≥0時(shí)，f'（x）＝1+2x－（x+1）1+2所以f（x）在[0，＋∞）上單調(diào)遞減，所以f（0.02）＜f（0）＝0，即b＜c.a－c＝2ln1.01－1.04＋1，設(shè)g（x）＝2ln（x＋1）－1+4x＋1，則a－c＝g（0.01），g'（x）＝2x+1當(dāng)0≤x＜2時(shí)，4x+1≥（x+1）故當(dāng)0≤x＜2時(shí)，g'（x）≥0（當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)“＝”成立），所以g（x）在[0，2）上單調(diào)遞增，所以g（0.01）＞g（0）＝0，故c＜a，從而有b＜c＜a，故選B.4.[命題點(diǎn)3角度3/2024廣州二模]已知偶函數(shù)f（x）與其導(dǎo)函數(shù)f'（x）的定義域均為R，且f'（x）＋e－x＋x也是偶函數(shù)，若f（2a－1）＜f（a＋1），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（B）A.（－∞，2） B.（0，2）C.（2，＋∞） D.（－∞，0）∪（2，＋∞）解析因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，所以f（x）＝f（－x），等式兩邊求導(dǎo)可得f'（x）＝－f'（－x）①，（易錯(cuò)：對(duì)等式f（x）＝f（－x）兩邊同時(shí)求導(dǎo)的時(shí)候，要留意等式右邊是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，不要把負(fù)號(hào)漏掉了）因?yàn)楹瘮?shù)f'（x）＋e－x＋x為偶函數(shù)，所以f'（x）＋e－x＋x＝f'（－x）＋ex－x②，聯(lián)立①②可得f'（x）＝ex－e令g（x）＝f'（x），則g'（x）＝ex+e－x2－1≥當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào)，所以函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞增，即函數(shù)f'（x）在R上單調(diào)遞增，故當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）＞f'（0）＝0