高中數(shù)學(xué)B版4.4冪函數(shù)教學(xué)設(shè)計

高中數(shù)學(xué)B版4.4冪函數(shù)教學(xué)設(shè)計教學(xué)課時：第1課時教學(xué)目標(biāo)：1、通過具體實例，引導(dǎo)學(xué)生了解冪函數(shù)模型的實際背景，認(rèn)識數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系；2、結(jié)合的圖像，理解它們的變化規(guī)律，了解冪函數(shù)；3、通過研究冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)，使學(xué)生經(jīng)歷觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、抽象概括等思維過程，進一步體驗從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合思想在解決數(shù)學(xué)問題中的作用。4、通過合作探究與交流，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，培養(yǎng)他們手腦并用、勤于思考、樂于交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣和勇于探索的治學(xué)精神。教學(xué)重點：冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)。教學(xué)難點：指數(shù)不同引起的冪函數(shù)圖像的位置和形狀變化。教學(xué)過程：一、設(shè)置情境【問題1】填空：（1）如果一個正方體的棱長是a，那么該正方體的體積_______；（2）如果一個正方形的面積是s，那么該正方形的邊長_______。預(yù)設(shè)答案：（1）V=a3；（2）l=√s【問題2】如果我們拋開實際問題，將這兩個表達式分別寫成y=x3，y=√x，你能發(fā)現(xiàn)這兩個表達式具有統(tǒng)一的形式嗎？你熟悉的函數(shù)中還有哪些函數(shù)具有這種形式特征？預(yù)設(shè)答案：統(tǒng)一形式為y=xm（m是常數(shù)），具有這種形式特征的其它函數(shù)有正比例函數(shù)y=x，反比例函數(shù)y=x-1，二次函數(shù)y=x2。建議：如果學(xué)生不能發(fā)現(xiàn)統(tǒng)一的形式，可把y=√x寫成y=x1/2，再問學(xué)生?！驹O(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生感知冪函數(shù)是普遍存在的，有研究的必要性。同時，進一步培養(yǎng)學(xué)生的分析和歸納能力。二、冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)y=xa叫做冪函數(shù)，其中a是常數(shù)。上面提到的函數(shù)y=x，y=x-1，y=x2，y=x3，y=x1/2都是冪函數(shù)?！締栴}3】給出下列函數(shù)，其中是冪函數(shù)的為_____________。預(yù)設(shè)答案：（1）（2）。【設(shè)計意圖】學(xué)生既熟悉了冪函數(shù)的基本形式，尤其是與指數(shù)函數(shù)的不同，又復(fù)習(xí)了有理指數(shù)冪運算。三.冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)【探究1】我們最熟悉的冪函數(shù)就是y=x，y=x-1，，右圖中展示了它們的圖像，結(jié)合這些圖像，你觀察到了什么？所得到的結(jié)論能否推廣到其它的冪函數(shù)？如果是所有冪函數(shù)都具有的結(jié)論，請證明；如果僅適用于一些冪函數(shù)，就要至少舉出兩個符合的冪函數(shù)例子。請相鄰的兩位同學(xué)合作填寫下表：【設(shè)計意圖】這個問題完全是開放式的，學(xué)生的回答一定是多種多樣的。研究冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)的途徑很多，而數(shù)學(xué)解決問題的一個重要思想方法就是把未知向已知轉(zhuǎn)化，把陌生問題向熟悉問題轉(zhuǎn)化。既然有一些冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)學(xué)生已經(jīng)很熟悉了，為什么不從熟悉的冪函數(shù)入手呢？希望學(xué)生通過觀察特殊冪函數(shù)的圖像概括得到相應(yīng)的性質(zhì)，再推廣到某一類（或全部）的冪函數(shù)，經(jīng)歷觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、抽象概括等思維過程，進一步體驗從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合思想在解決數(shù)學(xué)問題中的作用。另外用小組合作的形式，便于啟發(fā)對方，開拓思路?！咎綄そY(jié)果展示】教師巡視課堂，收集學(xué)生填寫的不同的信息，由幾組學(xué)生分別回答一條，老師隨之寫在黑板上，對敘述不準(zhǔn)確的要及時更正，對學(xué)生未提及的可追問，比如所給圖像中未出現(xiàn)不具有奇偶性的冪函數(shù)，如果學(xué)生沒有提到就可提醒學(xué)生，有沒有既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的冪函數(shù)呢？如果學(xué)生想不到的話，可提醒學(xué)生回憶，什么樣的函數(shù)一定不具有奇偶性.。這樣就能從定義域不關(guān)于原點對稱的函數(shù)思考，給出具體函數(shù)，比如y=x1/2。如果學(xué)生注意到了冪函數(shù)在第一象限的單調(diào)性情況，但未提及y=x0，可提醒學(xué)生有沒有在（0，+∞）上不增不減的冪函數(shù)？將學(xué)生的回答和老師的補充匯總成下面內(nèi)容：【概括總結(jié)】1.觀察圖像的時候，應(yīng)該有意識地去關(guān)注什么？要研究性質(zhì)，應(yīng)該有意識地去研究哪些方面？所以實際上，前面的表格我們?nèi)匀粵]有填全，比如說漸近線，比如說值域。2.對于冪函數(shù)只需關(guān)注其在第一象限的圖像即可，其它象限的圖像由奇偶性的結(jié)論得到.而奇偶性的判斷不需要去記什么結(jié)論，只要會用定義判斷即可。其中，遇到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪時先化成根式，以便于求出定義域，之后再判斷奇偶性。3.以上的結(jié)論有些可以證明，有些不好證明，比如第4條結(jié)論，可以說我們是用幾何直觀代替了邏輯推理.那么第4條結(jié)論到底對不對呢？繼續(xù)研究?！咎骄?】將全體學(xué)生分成兩組，組1的相鄰兩個同學(xué)合作填寫表1，并作出y=x3的圖像；組2的相鄰兩個同學(xué)合作填寫表2，并作出y=x1/2的圖像。【探究結(jié)果展示】（略），不過在學(xué)生展示的過程中，可提問學(xué)生為什么選取這些x值？【設(shè)計意圖】希望學(xué)生用較為陌生的函數(shù)圖像來應(yīng)用和驗證上面的結(jié)論.在求出定義域后，判斷函數(shù)的奇偶性，重點是畫出第一象限的圖像，所以x值可不取負(fù)數(shù)。同時，呼應(yīng)了問題1中的兩個函數(shù)?！咎骄?】請自己舉幾個冪函數(shù)的例子，利用作圖軟件作出這些函數(shù)的圖像，驗證前面的結(jié)論，并且你有沒有新的發(fā)現(xiàn)？【設(shè)計意圖】借助信息技術(shù)強大的作圖功能，甚至可以有冪函數(shù)圖像變化的動態(tài)演示，如下圖：使學(xué)生很方便地觀察冪函數(shù)的整體變化情況，包括對細(xì)節(jié)的把握，可以進一步培養(yǎng)學(xué)生歸納概括的能力。至于為什么前面要有探究2而不是直接進行探究3，是希望學(xué)生在不方便運用信息技術(shù)的時候，要具備先分析性質(zhì)、再進行描點、作圖的能力?！靖爬偨Y(jié)】冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)：（1）所有冪函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上都有定義，因此在第一象限內(nèi)都有圖像，并且圖像都通過點（1,1）。（2）如果a＞0，則冪函數(shù)的圖像通過原點，并且在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù).（3）如果a＜0，則冪函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)，且在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向于原點時，圖像在y軸右方且無限地逼近y軸；當(dāng)x無限增大時，圖像在x軸上方且無限地逼近x軸。（4）冪函數(shù)y=xa在第一象限內(nèi)，當(dāng)a＜0，0＜a＜1，a=1，a＞1時的圖像如圖所示，可用熟悉的冪函數(shù)圖像來記憶。四、應(yīng)用練習(xí)例1.已知冪函數(shù)f(x)分別滿足下列條件，按要求回答問題：（1）若圖像過點(9,3)，則這個冪函數(shù)的解析式為f(x)=____________；（2）若定義域和值域都是R，則這個冪函數(shù)的解析式可以為f(x)=____________；（3）若值域為[0，+∞），則這個冪函數(shù)的解析式可以為f(x)=____________?！驹O(shè)計意圖】使學(xué)生進一步明確冪函數(shù)的定義、圖像和性質(zhì)。尤其是（2）和（3），答案不唯一，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維和發(fā)散思維。例2.比較下列各題中兩個值的大小：（1）2.31.1和2.51.1；（2）（a2+2）-1/3和2-1/3；機動：（3）0.40.5和0.50.4；（4）已知x1/3＞y1/3，比較x,y的大小?！驹O(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生抓住每題中兩個實數(shù)指數(shù)冪的共性或聯(lián)系，構(gòu)建冪函數(shù)或指數(shù)函數(shù)，進一步熟悉利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小的方法。五、課堂小結(jié)今天我們學(xué)習(xí)了冪函數(shù)的定義、圖像、性質(zhì)及簡單應(yīng)用，又一次感受到了函數(shù)的圖像和性質(zhì)之間的關(guān)系，即：函數(shù)的性質(zhì)可以指導(dǎo)我們作圖，反過來又可以通過觀察函數(shù)的圖像進一步研究函數(shù)的性質(zhì)。希望同學(xué)們可以總結(jié)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)三種不同的函數(shù)在研究圖像和性質(zhì)時解決方法的共性