湖北省宜荊荊隨2025屆高三數(shù)學上學期10月聯(lián)考試題含解析

Page252024年宜荊荊隨高三10月聯(lián)考高三數(shù)學試卷試卷滿分：150分留意事項：1.答題前，先將自己的姓名?準考證號?考場號?座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆干脆答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.一?選擇題：本大題共8小題，每一小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】解不等式確定集合，再由交集定義計算．【詳解】，，，∴.故選：D．2.“”是“復數(shù)為純虛數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由復數(shù)的除法法則化簡復數(shù)，由純虛數(shù)的定義求出的取值，然后由充分必要條件的定義推斷．【詳解】為純虛數(shù)的充要條件為因此應為復數(shù)為純虛數(shù)的充分不必要條件，故選：A．3.公差不為零的等差數(shù)列的前為項和為，若，則（）A.8 B.12 C.16 D.9【答案】C【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)以及基本量計算可得解.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)，，又，，，，.故選：C.4.已知為鈍角，，則（）A. B. C.7 D.【答案】D【解析】【分析】利用同角公式求出，再利用差角的正切公式即可求解.【詳解】由為鈍角，得，，所以.故選：D5.長時間玩手機可能影響視力.據(jù)調(diào)查，某校學生大約的人近視，而該校大約有的學生每天玩手機超過1小時，這些人的近視率約為，現(xiàn)從每天玩手機不超過1小時的學生中隨意調(diào)查一名學生，則他近視的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)給定信息，結(jié)合全概率公式列式求解作答.【詳解】令“玩手機時間超過的學生”，“玩手機時間不超過的學生”，“隨意調(diào)查一人，此人近視”，則，且互斥，，，依題意，，解得，所以所求近視的概率為.故選：B6.已知均為正數(shù)，且，則的最小值為（）A.11 B.13 C.10 D.12【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式求最值即可.【詳解】，當且僅當，即時，等號成立.故選：A.7.已知橢圓C：的左右焦點為，過的直線與交于兩點，若滿意成等差數(shù)列，且，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由橢圓定義可得，結(jié)合已知條件可得，在中，由余弦定理得為等邊三角形，在中，可得，得解.【詳解】

由得到，設，,在中，由余弦定理得，，解得，為等邊三角形，則在中，，，又，，得，解得.故選：B.8.為三個互異的正數(shù)，滿意，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】對于可構(gòu)造函數(shù)，利用導函數(shù)可求出其單調(diào)性，利用數(shù)形結(jié)合可得，對于，可在同一坐標系下畫出函數(shù)及的圖象，可得，再由不等式性質(zhì)可知A正確.【詳解】由得且，構(gòu)造函數(shù)，所以，易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，其函數(shù)圖象如下圖所示：由圖可得，易知函數(shù)及交于點，作出函數(shù)及的圖象如下圖所示：由圖知所以，即，由此可得，即.故選：A【點睛】方法點睛：在求解不等式比較大小問題時，常常利用同構(gòu)函數(shù)進行構(gòu)造后通過函數(shù)單調(diào)單調(diào)性比較出大小，畫出函數(shù)圖象干脆由圖象視察得出結(jié)論.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小正周期為B.C.是圖象的一條對稱軸D.將的圖象向左平移個單位后，得到的圖象關于原點對稱【答案】BCD【解析】【分析】利用三角恒等變換得，然后依據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐一推斷即可.【詳解】由，故B正確；，故A錯誤；又，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，是圖像的一條對稱軸，故C正確；將的圖像向左平移個單位，得，是奇函數(shù)圖像關于原點對稱，故D正確.故選：BCD.10.下列命題中，正確的是（）A.已知隨機變量聽從正態(tài)分布，若，則B.已知，則C.若兩組成對數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù)分別為，則組數(shù)據(jù)比組數(shù)據(jù)的相關性較強D.將總體劃分為兩層，通過分層抽樣，得到樣本數(shù)為的兩層樣本，其樣本平均數(shù)和樣本方差分別為和，若，則總體方差【答案】ABD【解析】【分析】利用正態(tài)分布的對稱性計算推斷A；利用條件概率公式推理推斷B；利用相關系數(shù)與相關性強弱的關系推斷C；依據(jù)分層方差和總方差的公式可推斷D.【詳解】A選項，由正態(tài)曲線的性質(zhì)可得，依據(jù)對稱性可知，則，，故A正確；B選項，由得，即，所以事務A，B相互獨立，所以結(jié)論正確；C選項，越接近于1，相關性越強，故C錯誤；D選項，設兩層的數(shù)據(jù)分別是和，總體的平均數(shù)為，則，又，，，，總體方差.故D正確.故選：ABD.11.已知是拋物線上三個不同的點，的焦點是的重心，則（）A.的準線方程是B.過的焦點的最短弦長為8C.以為直徑的圓與準線相離D.線段的長為19【答案】AC【解析】【分析】對于A，由點在拋物線上，代入拋物線方程得出準線方程；對于B，當過拋物線的焦點且與軸垂直時弦長最短；對于C，由重心坐標公式以及焦半徑公式進行推斷；對于D，由，得出的中點到準線的距離大于得出結(jié)果進行推斷.【詳解】對于A，由在拋物線上可得拋物線方程為，，準線方程是，故A正確；對于B，當過拋物線的焦點且與軸垂直時弦長最短，把代入，得，所以此時弦長為16，故B錯誤；對于C，D，設，又，，由重心的坐標公式得，即，所以的中點坐標為，因為不過焦點，所以，的中點到準線的距離為，所以C正確，D錯誤.故選：AC.12.如圖，長方體中，，點是半圓弧上的動點（不包括端點），點是半圓弧上的動點（不包括端點），則下列說法正確的是（）A.的取值范圍是B.若與平面所成的角為，則C.的最小值為D.若三棱錐的外接球表面積為，則【答案】BCD【解析】【分析】利用空間向量數(shù)量積的定義可推斷A選項的正誤，利用線面角的定義可推斷B選項的正誤;利用的最小值及勾股定理可求出的最小值推斷C，利用建系的方法計算出的外接球的半徑的取值范圍，結(jié)合球體的表面積公式可推斷D選項的正誤;利用錐體的體積公式可推斷D選項的正誤.【詳解】如圖，，連接，在中，，所以，因為，所以，所以的取值范圍是，故A錯誤；連接，由于平面，所以與平面所成的角為，如圖，所以，因為，所以，故B正確；設在底面的射影為，為中點，連接，則，又，則，而，所以，故，故C正確；以為坐標原點，直線為軸，為軸，為軸，如圖，則點的坐標滿意，可設的坐標為，由球心在BC的中垂線（即過外接圓圓心且與底面垂直的直線）上，可設球心坐標為，因為，所以，解得，故，所以外接球的半徑，所以，故D選項正確.故選：BCD.三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.已知的二項綻開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，則綻開式中的系數(shù)為__________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)二項式的性質(zhì)，結(jié)合二項式的通項公式進行求解即可.【詳解】因為的二項綻開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，所以，二項式的通項公式為，令，所以綻開式中的系數(shù)為，故答案為：14.暑期支配包括大睿和小濤在內(nèi)的7名學生去參與A，B，C三個夏令營，其中營支配3人，B，C各支配2人，要求大睿和小濤不能在同一夏令營，則不同的支配方案有__________種.【答案】160【解析】【分析】利用間接法求解，即用總的支配方法減去大睿和小濤在同一夏令營的支配方法，可得答案.【詳解】間接法：.故答案為：160.15.已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，滿意，，則不等式的解集為__________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的對稱性，結(jié)合導數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】因為，，所以，，或，所以函數(shù)在上遞減，上遞增，因此當時，當時，，明顯不滿意，當時，，綜上所述：不等式的解集為，故答案為：【點睛】關鍵點睛：本題關鍵是利用導數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性，進而運用分類探討思想進行求解.16.如圖，一塊邊長為的正方形鐵片上有四塊陰影部分，將這些陰影部分裁下來，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐容器，則該容器的最大容積為__________.【答案】##【解析】【分析】設正四棱錐的底面邊長為，求出正四棱錐的高，利用錐體的體積公式可得出容器的容積V（單位：）關于x（單位：m）的函數(shù)關系式，利用基本不等式求解最值.【詳解】設正四棱錐的底面邊長為，則高為，體積當且僅當時取等號.故答案為：.四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知分別是的三個內(nèi)角的對邊，且.（1）求角；（2）若在邊上且，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將已知式子統(tǒng)一為角的形式，然后利用三角函數(shù)恒等變換公式可求得結(jié)果，（2）由已知可得為中點，則，兩邊平方化簡得，再利用基本不等式可求得，從而可求出面積的最大值.【小問1詳解】由及正弦定理得因為，所以，因為，所以，因為，所以，所以，得，【小問2詳解】因為在邊上且，所以為中點，所以，兩邊平方得，因為，所以得到，由，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時取等號，所以當時，即為等邊三角形時面積的最大值為18.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面為線段的中點，為線段上的動點.（1）求證：平面平面；（2）試求的長，使平面與平面所成的銳二面角為.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）可先證平面，從而得到平面平面；（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，設，求出平面的法向量和平面的法向量后結(jié)合題設中的面面角可求，從而可得的長.【小問1詳解】平面，平面，，為矩形，，又，平面，平面，平面，，，為線段的中點，，又，平面，平面，又平面，所以平面平面.【小問2詳解】以A為坐標原點，，，分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，，，設，，設平面的一個法向量為，則，，令，則，，設平面的一個法向量為，則，，令，則，，平面與平面所成的銳二面角為，，解得，，即，當時，平面與平面所成的銳二面角為.19.已知函數(shù).（1）探討的單調(diào)性；（2）設，若，且對隨意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，分和探討導數(shù)的正負，從而推斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）由題意對隨意，，可變形為，只要，即對恒成立，即，對恒成立，從而將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，然后利用導數(shù)求解函數(shù)最值即可求得答案.【小問1詳解】，①當時，因為，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；②當時，令，得，由，即在上單調(diào)遞增，由，即在上單調(diào)遞減，綜上，當時，在上單調(diào)遞增，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】時，，，令，由，在上單調(diào)遞增，由，即在上單調(diào)遞減，，，對成立，只要，即對恒成立，，對恒成立，令，則，且在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，，，20.已知數(shù)列的前項和為，且滿意：（1）求數(shù)列的通項公式；（2）在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在三項（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這三項；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）由，得，兩式相減化簡可得是以為首項，為公比的等比數(shù)列，從而可求出通項公式，（2）由題意可得，假設存在這樣的三項成等比數(shù)列，則，結(jié)合已知化簡可得結(jié)論.【小問1詳解】由①得時②①-②得，①中令得，是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，【小問2詳解】假設存在這樣的三項成等比數(shù)列，為遞增數(shù)列，不妨設，則則，成等差數(shù)列，，，由，得，所以，與題設沖突不存在這樣的三項（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.21.為了檢測某種抗病毒疫苗的免疫效果，須要進行動物與人體試驗.探討人員將疫苗注射到400只小白鼠體內(nèi)，一段時間后測量小白鼠的某項指標值，按分組，繪制頻率分布直方圖如圖所示，試驗發(fā)覺小白鼠體內(nèi)產(chǎn)生抗體的共有320只，其中該項指標值不小于60的有220只.抗體指標值合計小于60不小于60有抗體沒有抗體合計（1）填寫完成上面的列聯(lián)表（單位：只），并依據(jù)列聯(lián)表及的獨立性檢驗，推斷能否認為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標值不小于60有關.（2）為檢驗疫苗二次接種的免疫抗體性，對第一次注射疫苗后沒有產(chǎn)生抗體的小白鼠進行其次次注射疫苗，結(jié)果又有60只小白鼠產(chǎn)生抗體.（i）用頻率估計概率，求一只小白鼠最多注射兩次疫苗后產(chǎn)生抗體概率；（ii）以（i）中確定的概率作為人體最多注射兩次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，進行人體接種試驗，現(xiàn)有40人進行接種試驗，設最多注射兩次疫苗后產(chǎn)生抗體的人數(shù)為隨機變量，當時，取得最大值，求.參考公式：（其中為樣本容量）0.500.400.250.150.1000.0500.0250.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024【答案】（1）列聯(lián)表見解析，能；（2）（i）；（ii）38.【解析】【分析】（1）依據(jù)頻率分布直方圖完善列聯(lián)表，再求出的觀測值，與臨界值表比對即可.（2）（i）利用條件概率公式及對立事務的概率公式計算即可；（ii）利用二項分布的概率公式，列出不等式即可求解.【小問1詳解】由頻率分布直方圖知，該項指標值不小于60的頻率為，有（只），則列聯(lián)表如下：（單位：只）抗體指標值合計小于60不小于60有抗體100220320沒有抗體404080合計140260400零假設為：注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生