高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) （基礎(chǔ)知識 高頻考點(diǎn) 解題訓(xùn)練）函數(shù)的圖象教學(xué)案

第五節(jié)函數(shù)的圖象

基礎(chǔ)如艱要打牢強(qiáng)雙基固本源得基礎(chǔ)分掌握程度

11ICHUZHISHIYAIII

［知識能否憶起］

一、利用描點(diǎn)法作函數(shù)圖象

其基本步驟是列表、描點(diǎn)、連線，首先：①確定函數(shù)的定義域；②化簡函數(shù)解析式：③

討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性)；其次：列表(尤其注意特殊點(diǎn)、零點(diǎn)、最大值

點(diǎn)、最小值點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn))；最后：描點(diǎn)，連線.

二、利用基本函數(shù)的圖象作圖

1.平移變換

⑴水平平移：尸Mx±a)(a>0)的圖象，可由尸f(x)的圖象向左(+)或向左(一)平移

a個(gè)單位而得到.

⑵豎直平移：尸/?3±6(核0)的圖象，可由尸f(x)的圖象向上(十)或向工(一)平移

/個(gè)單位而得到.

2.對稱變換

(l)y=F(-x)與y=f(*)的圖象關(guān)于y軸對稱.

(2)y=—f(x)與尸/'(x)的圖象關(guān)于x軸對稱.

(3)y=-f(-x)與y=F(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.

(4)要得到y(tǒng)="(x)I的圖象，可將y=f(x)的圖象在x軸下方的部分以x軸為對稱軸

翻折到x軸上方，其余部分不變.

(5)要得到y(tǒng)=f(|x|)的圖象，可將y=f(x),x20的部分作出，再利用偶函數(shù)的圖象

關(guān)于F軸的對稱性,作出x<0時(shí)的圖象.

3.伸縮變換

(l)y=/ff(x)G4>0)的圖象，可將v=f(x)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,橫坐

晝不變而得到.

(2)y=F(ax)(a>0)的圖象，可將y=F(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐

a----

標(biāo)不變而得到.

［小題能否全?。?/p>

1.一次函數(shù)/"(X)的圖象過點(diǎn)40,1)和庾1,2),則下列各點(diǎn)在函數(shù)/Xx)的圖象上的是

A.(2,2)B.(-1,1)

C.(3,2)D.(2,3)

解析：選D一次函數(shù)/'(x)的圖象過點(diǎn)1(0,1),5(1,2),則f(x)=x+l,代入驗(yàn)證D

滿足條件.

2.函數(shù)尸x|x|的圖象大致是（）

解析：選A函數(shù)y=x|x|為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.

3.（教材習(xí)題改編）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)/Xx）=ax與g（x）=a'的圖象可能

是下列四個(gè)圖象中的（）

解析：選B因a>0且aWl,再對a分類討論.

4.（教材習(xí)題改編）為了得到函數(shù)y=2'7的圖象，只需把函數(shù)y=2'的圖象上所有的點(diǎn)

向平移個(gè)單位長度.

答案：右3

5.若關(guān)于x的方程|x|=a-x只有一個(gè)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析：由題意a=R+x

2x,x20,

令『I+x=

0,x<0,

只有一解則a>0.

答案：（0,+8）

1.作圖一般有兩種方法：直接作圖法、圖象變換法.其中圖象變換法，包括平移變

換、伸縮變換和對稱變換，要記住它們的變換規(guī)律.

［注意］對于左、右平移變換，可熟記口訣：左加右減.但要注意加、減指的是自

變量，否則不成立.

2.一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)（y軸）對稱與兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)（y軸）對稱不

同，前者是自身對稱，且為奇（偶）函數(shù)，后者是兩個(gè)不同的函數(shù)對稱.

由I高頻考點(diǎn)要通關(guān)、抓考點(diǎn)I學(xué)技法I得拔高分I掌握程度

作函數(shù)的圖象

5*21_______________________________

占典題導(dǎo)入

［例1］分別畫出下列函數(shù)的圖象:

(l)y=1g川；

⑵尸2?

⑶%='—2|x|—1.

[lgX,x'l,

[自主解答](1)尸，“八圖象如圖L

[—lgx,0<Kl.

(2)將尸2,的圖象向左平移2個(gè)單位.圖象如圖2.

x—2x—1,x》0,

⑶尸

x+2x-1,

畫函數(shù)圖象的一般方法

(1)直接法：當(dāng)函數(shù)表達(dá)式(或變形后的表達(dá)式)是熟悉的基本函數(shù)時(shí)，就可根據(jù)這些函

數(shù)的特征直接作出.

(2)圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱得到，可

利用圖象變換作出，但要注意變換順序，對不能直接找到熟悉的基本函數(shù)的要先變形，并應(yīng)

注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響.

3以題試法

1.作出下列函數(shù)的圖象:

(l)y=Ix—x\-,

小、不+2

⑵尸UT

x-x,OWxWl,

解:(1)y=\

—x-x,x>l或求0,

-（x-故+^,OWxWl,

即尸《

口一義）—；，x>l或水0,

其圖象如圖1所示（實(shí)線部分）.

Y—qQ

⑵尸I』十』,先作出尸；的圖象,再將其向右平移1個(gè)單位,并向

v+2

上平移1個(gè)單位即可得到尸』的圖象，如圖2.

識圖與辨圖

自典題導(dǎo)入

［例2］（2012?湖北高考）已知定義在區(qū)間［0,2］上的函數(shù)尸/、（x）

的圖象如圖所示，則y=-f（2—x）的圖象為（）

CD

［自主解答］法一：由尸/Xx）的圖象知

XX

f(x)=<

x

當(dāng)[0,2]時(shí)，2-^e[0,2],

x

所以f(2—x)=

2-xx

故y=-f(2—x)~

x—x

法二：當(dāng)x=0時(shí)，一_f(2—x)=-F(2)=-1；當(dāng)x=l時(shí)，一f(2—x)=—f(l)=-L

觀察各選項(xiàng)，可知應(yīng)選B.

［答案］B

&由題悟法

“看圖說話”常用的方法

(1)定性分析法：通過對問題進(jìn)行定性的分析，從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢，

利用這一特征分析解決問題.

(2)定量計(jì)算法：通過定量的計(jì)算來分析解決問題.

(3)函數(shù)模型法：由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來分析

解決問題.

3以題試法

2.(1)如圖，函數(shù)/'(x)的圖象是曲線的6,其中點(diǎn)。，A,8的坐標(biāo)

分別為(0,0),(1,2),(3,1),則石二■，的值等于—

(2)(2012?東城模擬)已知函數(shù)對任意的xGR有f(x)+f(-x)=

0,且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=lnj+l),則函數(shù)f(x)的圖象大致為()

解析：(1)；由圖象知/'(3)=1,

=1.~^=A1)=2.

(2)?.?對Vx￡R有f(x)+f(—x)=0,.??f(x)是奇函數(shù)./(0)=0,尸f(x)的圖象關(guān)于

原點(diǎn)對稱，當(dāng)%<0時(shí)，F(xiàn)(x)=—f(—x)=—In(—x+1)=—ln(l—x),由圖象知符合上述條

件的圖象為D.

答案：(1)2(2)D

函數(shù)圖象的應(yīng)用

占典題導(dǎo)入

［例3］(20H?新課標(biāo)全國卷)已知函數(shù)y=f(x)的周期為2,當(dāng)［-1,1］時(shí)f(x)=

V,那么函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=|lg的圖象的交點(diǎn)共有()

A.10個(gè)B.9個(gè)

C.8個(gè)D.1個(gè)

［自主解答］根據(jù)/"(X)的性質(zhì)及f(x)在［-1,1］上的解析式可作圖如下：

y

-10123456789101112*

可驗(yàn)證當(dāng)X=10時(shí)，y=|1g10|=1;0<水可時(shí),|1gx|<1;

x>10時(shí)|lgx|>1.

結(jié)合圖象知y=f(x)與y—lgx\的圖象交點(diǎn)共有10個(gè).

［答案］A

>?一題多變

若本例中/'(X)變?yōu)閒(x)=|x］,其他條件不變，試確定交點(diǎn)個(gè)數(shù).

解：根據(jù)f(x)的性質(zhì)及F(x)在［-1,1］上的解析式可作圖如下：

由圖象知共10個(gè)交點(diǎn).

&由題悟法

1.利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)

對于已知或易畫出在給定區(qū)間上圖象的函數(shù)，其性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值(值

域)、零點(diǎn))常借助于圖象研究，但一定要注意性質(zhì)與圖象特征的對應(yīng)關(guān)系.

2.利用函數(shù)的圖象研究方程根的個(gè)數(shù)

當(dāng)方程與基本函數(shù)有關(guān)時(shí)，可以通過函數(shù)圖象來研究方程的根，方程f(x)=0的根就是

函數(shù)/Xx)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，方程f(x)=g(x)的根就是函數(shù)f(x)與g(x)圖象的交

點(diǎn)的橫坐標(biāo).

務(wù)以題試法

3.已知函數(shù)f(x)=2—g(x)=王.若f(x)*g(x)=min"(x),g(x)},那么f(x)*g(x)

的最大值是.（注意：min表示最小值）

解析：畫出示意圖（實(shí)線部分）,

2~xxW一

F（x）*g（x）="x-2<x,

2—xx,

其最大值為1.

答案：1

劉.解題訓(xùn)練要高效抓速度］抓規(guī)范］拒絕眼高手低］掌握程度

A級全員必做題

1.函數(shù)/"（x）=2f的圖象（）

A.關(guān)于y軸對稱B.關(guān)于x軸對稱

C.關(guān)于直線y=x對稱D.關(guān)于原點(diǎn)對稱

解析：選D顯然函數(shù)F（x）=2f是一個(gè)奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.

［x,KO,

2.函數(shù)尸仁?一的圖象大致是（）

［2—1,xMO

解析：選B當(dāng)水0時(shí)，函數(shù)的圖象是拋物線；當(dāng)彳20時(shí)，只需把p=2）的圖象在y軸

右側(cè)的部分向下平移1個(gè)單位即可，故大致圖象為B.

3.（2012?北京海淀二模）為了得到函數(shù)y=3og2（I）的圖象，可將函數(shù)y=log4的

圖象上所有的點(diǎn)的（）

A.縱坐標(biāo)縮短到原來的橫坐標(biāo)不變，再向右平移1個(gè)單位長度

B.縱坐標(biāo)縮短到原來的右橫坐標(biāo)不變，再向左平移1個(gè)單位長度

C.橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移1個(gè)單位長度

D.橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移1個(gè)單位長度

解析：選A本題考查圖象的平移和伸縮.將y=lo&x的圖象橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短

到原來的看得尸今知的圖象，再將尸3"的圖象向右平移1個(gè)單位長度即可.

4.(2011?陜西高考)設(shè)函數(shù)F(x)(x￡R)滿足F(—x)=f(x),f(x+2)=f(x),則尸=

f(x)的圖象可能是()

B

y

3sBD

D

解析：選B表達(dá)式"71(x)=f(—x)”，說明函數(shù)是偶函數(shù)，表達(dá)式“f(x+2)=F(x)

說明函數(shù)的周期是2,再結(jié)合選項(xiàng)圖象不難看出正確選項(xiàng)為B.

5.(2012?濟(jì)南模擬)函數(shù)尸1盯訐的大致圖象為()

解析：選D由題知該函數(shù)的圖象是由函數(shù)y=-lg|x|的圖象左移一個(gè)單位得到的，故

其圖象為選項(xiàng)D中的圖象.

[a,a—bWl,

6.(2011?天津高考)對實(shí)數(shù)a和b,定義運(yùn)算“短'：湃6=,,設(shè)函數(shù)

16,a—D>\,

f(x)=(V-2)?(x-*),x￡R.若函數(shù)y=f(x)—c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)c

的取值范圍是()

A.(—8,—2]U(—1,

B.(―0°,—2]uf—1,—

cl'加(；,+°°J

+

D〈T'一號電'°°)

解析：選B

由題意可知

x—2fx—2—x-\~x1,

i,丁一2一葉/>1

f/—2,—IWXW*

作出圖象，由圖象可知y=f{x)

3

x—x,K—1或x>]

3

與y=c有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，cW—2或一l〈c<一

即函數(shù)尸/■(*)—，的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)c的取值范圍是(-8,-2]

UT，I)

7.已知函數(shù)Hx)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)=lo"f(x)的定

義域是

解析：當(dāng)f(x)>0時(shí)，函數(shù)g(x)=logV?f(x)有意義,

由函數(shù)f(x)的圖象知滿足Ax)>0的xG⑵8].

答案：(2,8]

v-4-1

8.函數(shù)/'(x)：一[圖象的對稱中心為

解析：/?(才)=十=1+：,把函數(shù)y=:的圖象向上平移1個(gè)單位，即得函數(shù)f(x)的圖

象.由y=%勺對稱中心為(0,0),可得平移后的/tv)圖象的對稱中心為(0,1).

答案：(0,1)

9.如圖，定義在[-1,+8)上的函數(shù)『(*)的圖象由一條線段及拋物線的一部分組成,

則/Xx)的解析式為.

解析：當(dāng)一1W后0時(shí)，設(shè)解析式為尸布+6,

/.y=x+l.

當(dāng)x>0時(shí)，設(shè)解析式為尸a(x—2)2—1,

???圖象過點(diǎn)(4,0),

A0=a(4—2)2—1,得a=*

x+1,—

答案：F(x)=h2

7x---1,x>0

4

3—邕[—1,2],

10.已知函數(shù)F(x)={

x—3,xR,5].

⑴在如圖所示給定的直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出F(x)的圖象;

⑵寫出f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑶由圖象指出當(dāng)x取什么值時(shí)Ax)有最值.

解：(1)函數(shù)F(x)的圖象如圖所示.

(2)由圖象可知，

函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[—1,0],[2,5].

(3)由圖象知當(dāng)x=2時(shí),/'(x)min=F(2)=-1,

當(dāng)X=0時(shí)，f(x)max=AO)=3.

11.若直線y=2a與函數(shù)尸|H—l|(a>0且a#l)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，求a的取值

范圍.

解：當(dāng)OVaVl時(shí)，y=|4一11的圖象如圖1所示,

由已知得0V2aVl,即OVaV/

當(dāng)3>1時(shí)，y=\a-l的圖象如圖2所示，

由已知可得0V2aVl,

即OVaV；,但a>l,故

綜上可知，a的取值范圍為(0,

12.已知函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)4x)=x+1+2的圖象關(guān)于點(diǎn)/l(0,1)對稱.

(1)求函數(shù)A*)的解析式;

(2)若g(x)=f(x)+*g(x)在區(qū)間(0,2]上的值不小于6,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：(1)設(shè)f(x)圖象上任一點(diǎn)坐標(biāo)為(x,。，???點(diǎn)(x,力關(guān)于點(diǎn)加0,1)的對稱點(diǎn)(一兄2

一力在力(力的圖象上，

/.2—y——x-\------F2,

—x

/.y=x+~,

x

即f(x)=*

0-4-1

(2)由題意g(x)=x+二,

a+1

且g(x)=x+'x26,xJ(0,2].

??"￡(0,2],

；?a+12x(6—x),

即V+6x-1.

令g(x)=-x+6^r—1>(0,2],

g(x)=-x+6^—1=—(%—3)J+8,

,(0,2]時(shí),g(x)—=g(2)=7,

故H的取值范圍為[7,+8).

B級重點(diǎn)選做題

1.(2013?威海質(zhì)檢)函數(shù)尸/■(*)(xdR)的圖象如圖所示，下列說法正確的是()

①函數(shù)y=f(x)滿足f(-x)=—f(x)；y

②函數(shù)尸Hx)滿足Ax+2)=f(—x)；-

③函數(shù)尸f(x)滿足f{—x)=f(x)；~/\J~2

④函數(shù)萬f(x)滿足f(x+2)=f(x).

A.①@B.②④

C.??D.③④

解析：選C由圖象可知，函數(shù)/Xx)為奇函數(shù)且關(guān)于直線x=l對稱，所以/'(l+x)=

f(l-x),所以/[1+(x+1)]=/11—(x+1)],即/1(x+2)=F(—x).故①②正確.

2.若函數(shù)Hx)的圖象經(jīng)過變換7后所得圖象對應(yīng)函數(shù)的值域與函數(shù)人才)的值域相同，

則稱變換7是函數(shù)f(*)的同值變換.下面給出四個(gè)函數(shù)及其對應(yīng)的變換T,其中變換7不屬

于函數(shù)/tx)的同值變換的是()

A.F(X)=(X—1)2,變換7將函數(shù)F(x)的圖象關(guān)于y軸對稱

B.f{x)=2x-'~\,變換7將函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱

C.7'(x)=2x+3,變換7將函數(shù)/Xx)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,1)對稱

D./'(x)=sin(x+胃，變換7將函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(一1,0)對稱

解析：選B對于A,與f(x)=(x—l)2的圖象關(guān)于y軸對稱的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式

為g(x)=(-x—1)2=(x+l)2,易知兩者的值域都為[0,+°°)；對于B,函數(shù)f(x)=2'T

一1的值域?yàn)?-1,+8),與函數(shù)F(x)的圖象關(guān)于X軸對稱的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為g(x)

=—21+1,其值域?yàn)?一8,1),對于c,與/?(x)=2x+3的圖象關(guān)于點(diǎn)(一1,1)對稱的圖

象對應(yīng)的函數(shù)解析式為2-爪牙)=2(—2—x)+3,即g(x)=2x+3,易知值域相同；對于D,

與/"(x)=sinG+T)的圖象關(guān)于點(diǎn)(一1,0)對稱的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為g(x)=

sin(x—寧+2),其值域?yàn)閇—1,1],易知兩函數(shù)的值域相同.

3.已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽,并對一切實(shí)數(shù)x,都滿足/'(2+x)=f(2—x).

(1)證明：函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱；