獨立性檢驗高二下數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第三冊

第八章

成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析8.3.2獨立性檢驗學習目標1、通過學習獨立性檢驗的基本思想，提升邏輯推理的素養(yǎng)．2、借助χ2公式，培養(yǎng)數(shù)學運算的素養(yǎng)．3、通過對典型案例的探究，了解獨立性檢驗(只要求2×2列聯(lián)表)的基本思想、方法及初步應(yīng)用.4、通過對數(shù)據(jù)的收集、整理和分析,增強學生的社會實踐能力,培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力.復(fù)習舊知一、分類變量

用以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)的一種特殊的隨機變量，稱為分類變量．分類變量的取值可以用實數(shù)表示，例如，學生所在的班級可以用1，2，3等表示，男性、女性可以用1，0表示，等等．二、列聯(lián)表

將形如下表這種形式的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表稱為2×2列聯(lián)表.2×2列聯(lián)表給出了成對分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù).問題導學問題1你認為“兩校學生的數(shù)學成績優(yōu)秀率存在差異”這一結(jié)論是否有可能是錯誤的？

這個結(jié)論是根據(jù)兩個頻率間存在差異推斷出來的.有可能出現(xiàn)這種情況：在隨機抽取的這個樣本中，兩個頻率間確實存在差異，但兩校學生的數(shù)學成績優(yōu)秀率實際上是沒有差別的.

對于隨機樣本而言，因為頻率具有隨機性，頻率與概率之間存在誤差，所以我們的推斷可能犯錯誤，而且在樣本容量較小時，犯錯誤的可能性會較大.

因此，需要找到一種更為合理的推斷方法，同時也希望能對出現(xiàn)錯誤推斷的概率有一定的控制或估算.獨立性檢驗方法問題導學問題2你知道法官是如何憑證據(jù)進行判案的嗎？類比追問

我們是否可以類比法官判案的方式去判斷兩個分類變量X,Y是否有關(guān)聯(lián)？問題導學問題3設(shè)X和Y為定義在以Ω為樣本空間上，且取值于{0,1}的成對分類變量，如何判斷事件{X=1}和{Y=1}之間是否有關(guān)聯(lián)？我們需要判斷下面的假定關(guān)系是否成立P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1)由條件概率的定義可知，上式等價于：{X=1}和{Y=1}獨立問題導學問題3設(shè)X和Y為定義在以Ω為樣本空間上，且取值于{0,1}的成對分類變量，如何判斷事件{X=1}和{Y=1}之間是否有關(guān)聯(lián)？根據(jù)已經(jīng)學過的概率知識，下面的四條性質(zhì)彼此等價:零假設(shè)H0：分類變量X和Y獨立{X=1}和{Y=1}獨立{X=0}和{Y=1}獨立{X=1}和{Y=0}獨立{X=0}和{Y=0}獨立如果這4個性質(zhì)成立，則稱分類變量X和Y獨立.問題導學問題4如何基于上述四個等式及列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，構(gòu)造適當?shù)慕y(tǒng)計量，對成對分類變量X和Y是否相互獨立作出推斷?零假設(shè)H0：分類變量X和Y獨立假定零假設(shè)H0成立，由

可以得到：{X=0,Y=0}發(fā)生的頻數(shù)的期望值頻數(shù)的觀測值問題導學為了平衡各式的差值的變化，構(gòu)造一個方便科學的統(tǒng)計量：零假設(shè)H0：分類變量X和Y獨立概念生成一、卡方統(tǒng)計量：追問1卡方統(tǒng)計量有什么用呢？統(tǒng)計學家建議，用隨機變量χ2取值的大小作為判斷零假設(shè)H0是否成立的依據(jù)。如果零假設(shè)H0成立，則χ2應(yīng)該很?。蝗绻慵僭O(shè)H0不成立，則χ2應(yīng)該很大.

概念生成二、卡方獨立性檢驗：

用χ2取值的大小作為判斷零假設(shè)H0是否成立的依據(jù)，當它比較大時推斷H0不成立，否則認為H0成立。這種利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為χ2獨立性檢驗，讀作“卡方獨立性檢驗”，簡稱獨立性檢驗。概念生成追問2

怎樣確定判斷χ2大小的標準呢？

根據(jù)小概率事件在一次試驗中不大可能發(fā)生的規(guī)律，可以通過確定一個與H0相矛盾的小概率事件來實現(xiàn)，在假定H0的條件下，對于有放回簡單隨機抽樣，當樣本容量n充分大時，統(tǒng)計學家得到了χ2的近似分布.P(χ2≥xα)=α

我們稱xα為α的臨界值，這個臨界值可以作為判斷χ2大小的標準.概率值α越小，臨界值xα越大.概念生成基于小概率值α的檢驗規(guī)則:下表給出了χ2獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值：概念生成追問3怎么看這個表呢？課堂練習C課堂練習D課堂練習B課堂練習A典例剖析解：零假設(shè)為H0：分類變量X與Y相互獨立，即兩校學生的數(shù)學成績優(yōu)秀率無差異.典例剖析問題5例1和例2基于同一組數(shù)據(jù)的兩種分析方法（條件概率法和卡方獨立性檢驗法），但卻得出了不同的結(jié)論，你能說明其中的原因嗎？

事實上，例1只是根據(jù)一個樣本的兩個頻率間存在差異得出兩校學生數(shù)學成績優(yōu)秀率有差異的結(jié)論，并沒有考慮由樣本隨機性可能導致的錯誤，所以例1的推斷依據(jù)不太充分.

在例2中，我們用χ2獨立性檢驗對零假設(shè)H0進行了檢驗.通過計算，發(fā)現(xiàn)χ2≈0.837小于α=0.1所對應(yīng)的臨界值2.706，因此認為沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，所以接受H0，推斷出兩校學生的數(shù)學成績優(yōu)秀率沒有顯著差異的結(jié)論。

這個檢驗結(jié)果意味著，抽樣數(shù)據(jù)中兩個頻率的差異很有可能是由樣本隨機性導致的.因此，只根據(jù)頻率的差異得出兩校學生的數(shù)學成績優(yōu)秀率有差異的結(jié)論是不可靠的.

由此可見，相對于簡單比較兩個頻率的推斷：

用χ2獨立性檢驗得到的結(jié)果更理性、更全面，理論依據(jù)也更充分.典例剖析解：零假設(shè)為H0：療法與療效獨立，即兩種療法效果沒有差異.例3某兒童醫(yī)院用甲、乙兩種療法治療小兒消化不良.采用有放回簡單隨機抽樣的方法對治療情況進行檢查，得到了如下數(shù)據(jù):抽到接受甲種療法的患兒67名，其中未治愈15名，治愈52名;抽到接受乙種療法的患兒69名，其中未治愈6名，治愈63名.試根據(jù)小概率值α=0.005的獨立性檢驗，分析乙種療法的效果是否比甲種療法好.典例剖析例3某兒童醫(yī)院用甲、乙兩種療法治療小兒消化不良.采用有放回簡單隨機抽樣的方法對治療情況進行檢查，得到了如下數(shù)據(jù):抽到接受甲種療法的患兒67名，其中未治愈15名，治愈52名;抽到接受乙種療法的患兒69名，其中未治愈6名，治愈63名.試根據(jù)小概率值α=0.005的獨立性檢驗，分析乙種療法的效果是否比甲種療法好.典例剖析例3某兒童醫(yī)院用甲、乙兩種療法治療小兒消化不良.采用有放回簡單隨機抽樣的方法對治療情況進行檢查，得到了如下數(shù)據(jù):抽到接受甲種療法的患兒67名，其中未治愈15名，治愈52名;抽到接受乙種療法的患兒69名，其中未治愈6名，治愈63名.試根據(jù)小概率值α=0.005的獨立性檢驗，分析乙種療法的效果是否比甲種療法好.典例剖析因此可以推斷乙種療法的效果比甲種療法好。例3某兒童醫(yī)院用甲、乙兩種療法治療小兒消化不良.采用有放回簡單隨機抽樣的方法對治療情況進行檢查，得到了如下數(shù)據(jù):抽到接受甲種療法的患兒67名，其中未治愈15名，治愈52名;抽到接受乙種療法的患兒69名，其中未治愈6名，治愈63名.試根據(jù)小概率值α=0.005的獨立性檢驗，分析乙種療法的效果是否比甲種療法好.典例剖析問題6根據(jù)同一抽查數(shù)據(jù)推斷兩個分類變量之間是否有關(guān)聯(lián)，應(yīng)用不同的小概率值，是否會得出不同的結(jié)論?為什么?可能會得出不同的結(jié)論.理由如下：對同一抽樣數(shù)據(jù)，計算出來的χ2的值是確定的，在獨立性檢驗中，基于不同的小概率值α的檢驗規(guī)則，對應(yīng)不同的臨界值xα，其與χ2的大小關(guān)系可能不同，相當于檢驗的標準發(fā)生變化，因此結(jié)論可能會不同.方法總結(jié)應(yīng)用獨立性檢驗解決實際問題大致包括以下幾個主要環(huán)節(jié)：(1)提出零假設(shè)H0：X和Y相互獨立,并給出在問題中的解釋.(2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表,計算χ2的值,并與臨界值比較.(3)根據(jù)檢驗規(guī)則得出推斷結(jié)論.(4)在X和Y不獨立的情況下,根據(jù)需要,通過比較相應(yīng)的頻率,分析X和Y間的影響規(guī)律.典例剖析例4為研究吸煙是否與肺癌有關(guān),某腫瘤研究所采取有放回簡單隨機抽樣的方法,調(diào)查了9965人,得到成對樣本觀測數(shù)據(jù)的分類統(tǒng)計結(jié)果,如表所示.依據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗,分析吸煙是否會增加患肺癌的風險.典例剖析問題7獨立性檢驗的思想類似于我們常用的反證法，你能指出二者之間的相同和不同之處嗎？獨立性檢驗是一種“概率反證法”.反證法獨立性檢驗在某種假設(shè)H0下，如果推出一個矛盾，則證明H0不成立；若未能推出矛盾，不能對H0下任何結(jié)論，即反證法不成功.在零假設(shè)H0下，如果出現(xiàn)一個與H0相矛盾的小概率事件，則推斷H0不成立，且該推斷犯錯誤的概率不大于這個小概率.否則，不能推斷H0不成立，通常會接受H0，即認為兩個分類變量相互獨立.反證法不會犯錯誤獨