簡單隨機(jī)抽樣(第2課時(shí))高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版(2019)必修第二冊(cè)

9.1隨機(jī)抽樣9.1.1

簡單隨機(jī)抽樣

第2課時(shí)

前面我們學(xué)習(xí)簡單隨機(jī)抽樣的，請(qǐng)你思考一下下列問題：回顧與引入1.什么是簡單隨機(jī)抽樣？它有何特點(diǎn)？

一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N(N為正整數(shù))個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)抽取n(1≤n＜N)個(gè)個(gè)體作為樣本，如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等,則這種抽樣方法叫做簡單隨機(jī)抽樣.

在本章中，除特別說明以外，指的是不放回簡單隨機(jī)抽樣.

簡單隨機(jī)抽樣有如下特點(diǎn)：

(1)有限性；(2)逐一性；(3)公平性；(4)不放回性

(本章未作除特別說明時(shí)).2.如何理解抽簽法和隨機(jī)數(shù)法？(1)抽簽法的步驟：

①編號(hào)：

給總體中的每個(gè)個(gè)體編號(hào)；

②制簽：把所有編號(hào)寫在外觀、質(zhì)地等無差別的小紙片(或卡片、小球等)上作為號(hào)簽；

③拌勻：

將號(hào)簽放在一個(gè)不透明的盒里，充分?jǐn)嚢瑁?/p>

④抽?。褐饌€(gè)不放回地抽取號(hào)簽，使與號(hào)簽上的編號(hào)對(duì)應(yīng)的個(gè)體進(jìn)入樣本，直到抽足樣本所需要的個(gè)體數(shù)；

⑤成樣:將抽到編號(hào)的個(gè)體形成一個(gè)樣本.(2)隨機(jī)數(shù)法的步驟：

①編號(hào)：

給總體中的每個(gè)個(gè)體編號(hào)；

②獲取樣本號(hào)碼：用隨機(jī)數(shù)工具產(chǎn)生編號(hào)范圍內(nèi)的整數(shù)隨機(jī)數(shù)(不在本范圍內(nèi)和在本范圍內(nèi)但重復(fù)出的數(shù)要剔除)，把產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)作為抽中的編號(hào)，使與編號(hào)對(duì)應(yīng)的個(gè)體進(jìn)入樣本；

③形成樣本：重復(fù)上述過程，直到抽足樣本所需要的個(gè)體數(shù).(3)抽簽法與隨機(jī)數(shù)法的比較：

①當(dāng)總體個(gè)數(shù)較多時(shí)，用抽簽法操作比較麻煩，且不易攪拌均勻，產(chǎn)生樣本的代表性有可能不好；

當(dāng)總體容量很大時(shí)，需要的樣本容量也很大，利用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本仍不方便.②抽簽法適用于總體個(gè)數(shù)不多的情形，

隨機(jī)數(shù)法適用于總體中個(gè)體數(shù)較多,但樣本容量不大的情形.

根據(jù)我們經(jīng)驗(yàn)，在統(tǒng)計(jì)工作中，得到了一個(gè)樣本后，接下來我們應(yīng)該干什么？

對(duì)樣本的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析(如計(jì)算平均數(shù)，方差，極差，中數(shù)等等)，然后對(duì)總體進(jìn)行估計(jì).接下來，我們就來研究樣本的平均數(shù)和總體的平均數(shù).知識(shí)探究(一)

由這些樣本觀測數(shù)據(jù)，我們可以計(jì)算出

樣本的平均數(shù)為164.3cm.

據(jù)此.可以估計(jì)

樹人中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生的平均身高為164.3cm左右.

問題1：下面是用隨機(jī)數(shù)法從樹人中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生中抽取的一個(gè)容量為50的簡單隨機(jī)樣本，他們的身高變量值(單位:cm)如下:思考(1):“樣本的平均數(shù)為164.3cm”是怎么計(jì)算出來的？返回均值(平均數(shù))1.總體均值（總體平均數(shù)）

一般地，總體中有N個(gè)體，它們的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，則總體均值(總體平均數(shù))為

如果總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有k個(gè)(k≤N)個(gè)，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i=1,2,3,...,k),則總體平均值(總體平均數(shù))還可寫成加權(quán)平均數(shù)：求和數(shù)據(jù)下標(biāo)的初始值求和的對(duì)象下標(biāo)的終止值求和數(shù)據(jù)的下標(biāo)返回

如果樣本的n個(gè)變量值中，不同的值共有m個(gè)(m≤

n)個(gè)，不妨記為

y1，y2，…，ym，其中yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i=1,2,3,...,m),則樣本平均值(樣本平均數(shù))還可寫成加權(quán)平均數(shù)：2.樣本均值（樣本平均數(shù)）

如果從總體中抽取一個(gè)容量為

n的樣本,它們的變量值分別為y1，y2，…，yn，則稱樣本均值(樣本平均數(shù))為思考(3):你能仿照總體的情況說說樣本的平均數(shù)的表達(dá)式嗎？練習(xí)1.已知一組數(shù)據(jù)x1,x2,x3,x4,x5的平均數(shù)是2，那么另一組數(shù)據(jù)2x1-1,2x2-1,2x3-1,2x4-1,2x5-1的平均數(shù)為________.2.已知一組2x1+1,2x2+1,…,2x5+1的平均數(shù)是11，則另一組數(shù)據(jù)3x1-2,3x2-2,3x3-2,3x4-2,3x5-3，那么的平均數(shù)為_____.均值(平均數(shù))的性質(zhì)知識(shí)探究(二)

問題2：小明想考察一下簡單隨機(jī)抽樣的估計(jì)效果.

他從樹人中學(xué)醫(yī)務(wù)室得到了高一年級(jí)學(xué)生身高的所有數(shù)據(jù)，

計(jì)算出整個(gè)年級(jí)學(xué)生的平均身高為165.0cm.然后，小明用簡單隨機(jī)抽樣的方法，從這些數(shù)據(jù)中抽取了樣本量為50和100的樣本各10個(gè)，分別計(jì)算出樣本平均數(shù)，

如下表所示.從小明多次抽樣所得的結(jié)果中，

你有什么發(fā)現(xiàn)?

為了方便觀察數(shù)據(jù)，以便我們分析樣本平均數(shù)的特點(diǎn)以及與總體平均數(shù)的關(guān)系，把這20次試驗(yàn)的平均數(shù)用圖形表示出來，如下圖，圖中的紅色線表示樹人中學(xué)高一年級(jí)全體學(xué)生身高的平均數(shù).

思考(1)：樣本平均數(shù)有怎樣的特征？為什么？

總體平均數(shù)是確定的，但各樣本的平均數(shù)卻不盡相同，即使樣本量相同，因此，樣本平均數(shù)具有隨機(jī)性，這是因?yàn)闃颖揪哂须S機(jī)性.思考(2)：樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)有怎樣的聯(lián)系？

盡管樣本平均數(shù)具有隨機(jī)性，大部分樣本平均數(shù)離總體平均數(shù)不遠(yuǎn)，在總體平均數(shù)附近波動(dòng).

相較于總體的平均數(shù)，樣本量為100的平均數(shù)比樣本量為50的平均數(shù)的波動(dòng)要小，折線變化趨勢更平緩，更貼近紅線.即樣本量大的波動(dòng)程度小于樣本量小的波動(dòng)程度.

思考(3)：樣本量為50和樣本量為100的樣本平均數(shù)波動(dòng)幅度是否相同？思考(4)：根據(jù)以上的分析，你能說說樣本平均數(shù)的特征嗎？樣本平均數(shù)的特征

(1)隨機(jī)性：

即便是樣本量一樣，不同樣本的平均數(shù)也不一定相同.

(2)統(tǒng)計(jì)規(guī)律性：

①大部分樣本平均數(shù)離總體平均數(shù)不遠(yuǎn)，總是在總體平均數(shù)附近波動(dòng);②一般地，隨著樣本量的不斷增加，樣本平均數(shù)圍繞總體平均數(shù)波動(dòng)程度就會(huì)越來越小.思考(5)：根據(jù)以特征，請(qǐng)你說說樣本平均數(shù)的應(yīng)用？

在簡單隨機(jī)抽樣中,我們常用樣本平均數(shù)去估計(jì)總體均值，且在可能的情況下，為了提高估計(jì)效果可以適當(dāng)增加樣本量.樣本平均數(shù)的應(yīng)用返回練習(xí)

1.為了合理調(diào)配電力資源，某市欲了解全市5萬戶居民的日用電量.通過簡單隨機(jī)抽樣，從中抽取了300戶進(jìn)行調(diào)查.得到其日用電量的平均數(shù)約為5.5kW·h.則可以推測全市居民的日用電量平均數(shù)()(A)一定為5.5kW·h(B)高于5.5kW·h(C)低于5.5kW·h(D)約為5.5kW·h

2.在學(xué)生身高的調(diào)查中，小明和小華分別獨(dú)立進(jìn)行了簡單隨機(jī)抽樣.小明調(diào)查的樣本平均數(shù)為166.4，樣本量為100。小華調(diào)查的樣本平均數(shù)為164.7，樣本量為200.請(qǐng)問:(1)你更愿意哪個(gè)數(shù)值作為總體平均數(shù)的估計(jì)？(2)是不是你選的值一定比另一個(gè)更接近總體的平均值？請(qǐng)說說你的理由。

簡析：

(1)選擇166.4為總體的平均數(shù).

因?yàn)?66.7對(duì)應(yīng)的樣本量(200)大于166.4對(duì)應(yīng)的樣本量，所以166.7更有可能接近總體的平均數(shù).

(2)不一定.

因?yàn)闃颖揪哂须S機(jī)性，并不能保證樣本量大的均值就一定比樣本量小的均值更接近總體的均值.(教材P181練習(xí)第1，2題）知識(shí)探究(三)

問題2:眼睛是心靈的窗口，保護(hù)好視力非常重要.

樹人中學(xué)在“全國愛眼日”前，想通過調(diào)查，了解一下全校2174名學(xué)生中視力不低于5.0的學(xué)生所占的比例，你覺得該怎么做?

方案一：全面調(diào)查

先將全校學(xué)生的視力情況全部逐一調(diào)查清楚；

再統(tǒng)計(jì)視力不低于5.0的學(xué)生；

最后計(jì)算出比例。

思考(1):

我們知道，樣本平均數(shù)可以估計(jì)總體平均數(shù)，但本調(diào)查是總體比例問題，方案一和方案二也是調(diào)查的比例，那么你能否將這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為平均數(shù)問題解決呢？

方案二：抽樣調(diào)查

先在全校學(xué)生當(dāng)中抽取一個(gè)樣本，例如100名學(xué)生；

然后在樣本中統(tǒng)計(jì)視力不低于5.0的學(xué)生，計(jì)算他們?cè)跇颖局兴嫉谋壤?/p>

最后用樣本的情況來估計(jì)全校學(xué)生的情況。將學(xué)生的視力情況(兩種)轉(zhuǎn)化為變量數(shù)據(jù)：

“視力不低于5.0“為1，“視力低于5.0“為0，則第

i(i=1,2,3,..,2017)個(gè)學(xué)生的視力變量值為則全校學(xué)生中，“視力不低于5.0”的人數(shù)為Y1+Y2+Y3+…+Y2017在總體中，“視力不低于5.0”的人數(shù)所占的比例為

方案三：

現(xiàn)抽取容量為n的樣本，把它們的視力變量值分別記為y1,y2,y3,…

,yn,則

在樣本中，“視力不低于5.0“的人數(shù)所占的比例

p就是學(xué)生視力變量的樣本平均數(shù)假設(shè)抽取樣本的容量為50。樣本中變量取值如下：11010010111000110100011101101111011010100010011100

則因此可以估計(jì)，全體學(xué)生中“視力不低于5.0”的比例約為0.54思考(2)：關(guān)注問題2中的紅色數(shù)據(jù)2，解釋其原因？

問題2中

樣本量為50的第二個(gè)樣本與總體平均數(shù)相差太大.

這是因?yàn)闃颖竞蜆颖镜钠骄鶖?shù)具有隨機(jī)性，

因此樣本平均數(shù)出現(xiàn)極端的情況也是不能排除的，尤其是在總體中的數(shù)據(jù)比較分散，抽取樣本量又較小的情況下

由于簡單隨機(jī)抽樣的這些局限性，所以在大規(guī)模的調(diào)查中，直接采用簡單隨機(jī)抽樣的情況并不多，而是把簡單隨機(jī)抽樣與其它方法相結(jié)合返回練習(xí)

1.本校從高一的全體男生中，用簡單隨機(jī)抽樣的方法從中抽取20人，測得的體重分別如下(單位：kg):65，50，70，82，66，72，54，85，70，6258，72，64，60，76，72，80，68，58，66

試估計(jì)本校男生的平均體重，以及體重在60~75kg間的人數(shù)所占的比例.解：樣本中20人的平均體重為樣本中體重在60~75kg間的人數(shù)有12人，它們所占的比例為

∴本校男生的平均體重約為67.5kg，體重在60~75kg間的人數(shù)所占的比例約為.

2.小玲家的魚塘里養(yǎng)了2500條鰱魚，按照經(jīng)驗(yàn)，鰱魚的成活率約為80%.現(xiàn)準(zhǔn)備打撈出售，為了估計(jì)魚塘中鰱魚的總質(zhì)量(單位：kg)，從魚塘中捕撈了三次進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到的數(shù)據(jù)如下表：解：

將三次撈出的40條魚質(zhì)量作為一個(gè)樣本.則樣本中平均每條質(zhì)量為∵魚塘中成活的鰱魚約為

魚的條數(shù)平均每條魚的質(zhì)量第一次捕撈201.6第二次捕撈102.2第三次捕撈101.8那么，你認(rèn)為魚塘中的鰱魚總質(zhì)量是多少？2500×80%=2000(條)∴魚塘中鰱魚總質(zhì)量約為2000×1.8=3600kg.課堂小結(jié)

2.樣本平均值數(shù)有什么特點(diǎn)？應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意什么？3.簡單隨機(jī)抽樣的優(yōu)點(diǎn)和局限性是什么？

4.

面對(duì)一個(gè)抽樣調(diào)查問題，如何選用恰當(dāng)抽樣的方法進(jìn)行抽樣？