高中數(shù)學(xué)-向量的概念教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

向量的物理背景，向量的概念教學(xué)設(shè)計(jì)

山東省泰安第三中學(xué)，張圣國(guó)

教學(xué)過(guò)程

導(dǎo)入新課

思路1.（情境導(dǎo)入）如圖1,在同一時(shí)刻,老鼠由A向西北方向的C

處逃竄，貓?jiān)贐處向正東方向的D處追去，貓能否追到老鼠呢？學(xué)生馬

上得出結(jié)論:追不上，貓的速度再快也沒(méi)用,因?yàn)榉较蝈e(cuò)了.教師適時(shí)設(shè)

問(wèn):如何從數(shù)學(xué)的角度來(lái)揭示這個(gè)問(wèn)題的本質(zhì)？由此展開(kāi)新課.

BAD

圖1

思路2.兩列火車先后從同一站臺(tái)沿相反方向開(kāi)出,各走了相同的

路程,怎樣用數(shù)學(xué)式子表示這兩列火車的位移？從中國(guó)象棋中規(guī)定

“馬”走日豫走“田”，讓學(xué)生在圖上畫出馬、象走過(guò)的路線引入也是一

個(gè)不錯(cuò)的選擇.

新知探究

提出問(wèn)題

①在物理課中，我們學(xué)過(guò)力的概念.請(qǐng)回顧一下力的三要素是什么？還

有哪些量和力具有同樣特征呢?這些量的共同特征是什么？怎樣利用

你所學(xué)的數(shù)學(xué)中的知識(shí)抽象這些具有共同特征的量呢？

②新的概念是對(duì)這些具有共同特征的量的描述,應(yīng)怎樣定義這樣的量

呢？

③數(shù)量與向量的區(qū)別在哪里?

活動(dòng):教師指導(dǎo)學(xué)生閱讀教材，思考討論并解決上述問(wèn)題，學(xué)生討

論列舉與位移一樣的一些量.物體受到的重力是豎直向下的，物體的質(zhì)

量越大，它受到的重力越大；物體在液體中受到的浮力是豎直向上的,

物體浸在液體中的體積越大它受到的浮力就越大；速度與加速度都是

既有大小，又有方向的量；物理中的動(dòng)量與矢量都有方向，且有大??；

物理學(xué)中存在著許多既有大小，又有方向的量.

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察思考這些量的共同特征，我們能否在數(shù)學(xué)學(xué)科

中對(duì)這些量加以抽象，形成一種新的量.至此時(shí)機(jī)成熟，引入向量，并把

那些只有大小，沒(méi)有方向的量，如年齡、身高、長(zhǎng)度、面積、體積、質(zhì)

量等稱為數(shù)量，物理學(xué)上稱為標(biāo)量.顯然數(shù)量和向量的區(qū)別就在于方向

問(wèn)題.

討論結(jié)果：

①略.

②我們把既有大小，又有方向的量叫做向量.物理中稱為矢量.

③略.

提出問(wèn)題

①如何表示向量？

②有向線段和線段有何區(qū)別和聯(lián)系？分別可以表示向量的什么？

③長(zhǎng)度為零的向量叫什么向量？長(zhǎng)度為1的向量叫什么向量？

④滿足什么條件的兩個(gè)向量是相等向量？單位向量是相等向量嗎？

⑤有一組向量，它們的方向相同或相反，這組向量有什么關(guān)系？怎樣定

義平行向量？

⑥如果把一組平行向量的起點(diǎn)全部移到一點(diǎn)O,它們是不是平行向量?

這時(shí)各向量的終點(diǎn)之間有什么關(guān)系？

⑦數(shù)量與向量有什么區(qū)別？

⑧數(shù)學(xué)中的向量與物理中的力有什么區(qū)別？

活動(dòng):教師指導(dǎo)學(xué)生閱讀教材,通過(guò)閱讀教材思考討論以上問(wèn)題.

特別是有向線段，是學(xué)習(xí)向量的關(guān)鍵.但不能說(shuō)“向量就是有向線段，有

向線段就是向量”,有向線段只是向量的一種幾何表示，二者有本質(zhì)的

區(qū)別.向量只由方向和大小決定，而與向量的起點(diǎn)的位置無(wú)關(guān),但有向

線段不僅與方向、長(zhǎng)度有關(guān),也與起點(diǎn)的位置有關(guān).如圖2,在線段AB

的兩個(gè)端點(diǎn)中，規(guī)定一個(gè)順序，假設(shè)A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)，我們就說(shuō)線段

AB具有方向，具有方向的線段叫做有向線段，通常在有向線段的終點(diǎn)

處畫上箭頭表示它的方向.以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段記作魂.

起點(diǎn)要寫在終點(diǎn)的前面.

已知魂，線段AB的長(zhǎng)度也叫做有向線段還的長(zhǎng)度，記作詢］

有向線段包含三個(gè)要素:起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.

B（終點(diǎn)）

/

A（起點(diǎn)）

圖2

知道了有向線段的起點(diǎn)、方向和長(zhǎng)度，它的終點(diǎn)就唯一確定.

用有向線段表示向量的方法是：

1。起點(diǎn)是A,終點(diǎn)是B的有向線段，對(duì)應(yīng)的向量記作:筋.

這里要提醒學(xué)生注意筋的方向是由點(diǎn)A指向點(diǎn)B,點(diǎn)A是向量的起

點(diǎn).

2。用字母a,b,c,…表示.（一定要學(xué)生規(guī)范書寫:印刷用黑體a,書寫用Z）

3。向量而（或a）的大小，就是向量而（或a）的長(zhǎng)度（或稱模），記作|而|（或

|a|）.

教師要注意引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)量與向量的模進(jìn)行比較，數(shù)量有大小而沒(méi)有

方向,其大小有正、負(fù)和0之分，可進(jìn)行運(yùn)算，并可比較大小;向量的模是

正數(shù)或0,也可以比較大小.由于方向不能比較大小，像a>b就沒(méi)有意義,

而|a|>|b|有意義.

討論結(jié)果:①向量也可用字母a,b,c,…表示（ER刷用粗黑體表示）,手寫用

a-來(lái)表示，或用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示,如獲、

CD.

注意:手寫體上面的箭頭一定不能漏寫.

②有向線段:具有方向的線段就叫做有向線段，其有三個(gè)要素:起點(diǎn)、方

向、長(zhǎng)度.

向量與有向線段的區(qū)別:向量只有大小和方向兩個(gè)要素，與起點(diǎn)無(wú)關(guān),

只要大小和方向相同，則這兩個(gè)向量就是相同的向量；有向線段有起

點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不同,盡管大小和方向相同，也是不同的

有向線段.

圖3

③長(zhǎng)度為0的向量叫零向量,長(zhǎng)度為I個(gè)單位長(zhǎng)度的向量,叫單位向量.

但要注意，零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.長(zhǎng)度為0的向

量叫做零向量，記作0,規(guī)定零向量的方向是任意的.長(zhǎng)度等于1個(gè)單位

的向量，叫做單位向量.

④長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

⑤是平行向量.平行向量定義的理解:第一，方向相同或相反的非零向

量叫平行向量;第二，我們規(guī)定0與任一向量平行即o〃a.綜合第一、第

二才是平行向量的完整定義；向量a,b,c平行，記作a〃b〃c.如圖3.

COBA

c

圖4

又如圖4,a,b,c是一組平行向量，任作一條與a所在直線0平行的

直線1,在1上任取一點(diǎn)O,則可在1上分別作出※=a,5i=b,55=c.這

就是說(shuō)，任一組平行向量都可以移動(dòng)到同一直線上，因此，平行向量也

叫做共線向量.

說(shuō)明:平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)

系.

⑥是共線向量，也就是平行向量.但要注意，平行向量就是共線向量，這

是因?yàn)槿我唤M平行向量都可移到同一直線上（與有向線段的起點(diǎn)無(wú)

關(guān)）.平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；共線

向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.

⑦數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量,可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大小；向量

有方向、大小雙重性質(zhì)，不能比較大小.

⑧力有大小、方向、作用點(diǎn)三個(gè)要素，而數(shù)學(xué)中的向量是由物理中的

力抽象出來(lái)的，只有大小與方向兩個(gè)要素，與起點(diǎn)的位置無(wú)關(guān).

反饋評(píng)價(jià)

判斷正誤

L向量不能比較大小，模能比較大小

2.零向量沒(méi)有方向

3.所有的單位向量都相等

4.兩個(gè)向量模相等，方向相同，稱為相等向量，與起點(diǎn)位置

無(wú)關(guān)

5.物理學(xué)上的作用力與反作用力是一對(duì)共線向量

6.兩向量共線，則兩向量所在的直線就平行量

7.C向量A8與CD是共線向量，則A、B、C、。四點(diǎn)必在一條直線

上

實(shí)際應(yīng)用

1已知飛機(jī)從A地按北偏東30°方向飛行2000km到達(dá)B地，再?gòu)腂

地按南偏東30°方向飛行2000km到達(dá)C地，再?gòu)腃地按西南方向飛

行1000km到達(dá)D地.

畫圖表示向量

2如圖，四邊形ABCD為正方形，4BCE為等腰直角三角形.以圖中各

點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，寫出與向量相等的向量.相反的向量

DC

課堂小結(jié)

本節(jié)課從平面向量的物理背景和幾何背景入手，利用類比的方法,

介紹了向量的兩種表示方法:幾何表示和字母表示，幾何表示為用向量

處理幾何問(wèn)題打下了基礎(chǔ)，字母表示則利于向量的運(yùn)算；然后又介紹

了向量的模、平行向量、共線向量、相等向量等重要概念，這些概念

是進(jìn)一步學(xué)習(xí)后續(xù)課程的基礎(chǔ)，必須要在理解的基礎(chǔ)上把握好.

向量的物理背景，向量的概念學(xué)情分析

山東省泰安第三中學(xué)，張圣國(guó)

學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)物理必修一，對(duì)標(biāo)量，矢量已經(jīng)有了了解，知道了，

有的量只有大小，沒(méi)有方向。如路程，時(shí)間，溫度等。有的量既有

大小也有方向。如。速度。加速度。位移等。在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究

數(shù)學(xué)上的向量。從而做到相互聯(lián)系，提高能力。

向量的物理背景，向量的概念效果分析

山東省泰安第三中學(xué)，張圣國(guó)

本節(jié)課學(xué)生掌握較好，完成了教學(xué)任務(wù)，達(dá)到了教學(xué)目的。

在教學(xué)過(guò)程中，以采用學(xué)生討論讓全班學(xué)生糾正等方式，更好的考察

學(xué)生掌握情況，在講授過(guò)程中還要注意到說(shuō)話語(yǔ)速，語(yǔ)言組織等講授

技巧，應(yīng)該用平緩的語(yǔ)氣講授,語(yǔ)言描述要簡(jiǎn)練易懂，不能拖泥帶水。

向量的物理背景，向量的概念教材分析

山東省泰安第三中學(xué)，張圣國(guó)

本節(jié)是本章的入門課，概念較多，但難度不大.學(xué)生可根據(jù)原有的位移、

力等物理概念來(lái)學(xué)習(xí)向量的概念，結(jié)合圖形實(shí)物區(qū)分平行向量、相等

向量、共線向量等概念.由于向量來(lái)源于物理，并且兼具“數(shù)”和“形”的

特點(diǎn)，所以它在物理和幾何中具有廣泛的應(yīng)用，可通過(guò)幾個(gè)具體的例子

說(shuō)明它的應(yīng)用.位移是物理中的基本量之一,也是幾何研究的重要對(duì)象.

幾何中常用點(diǎn)表示位置，研究如何由一點(diǎn)的位置確定另外一點(diǎn)的位置.

位移簡(jiǎn)明地表示了點(diǎn)的位置之間的相對(duì)關(guān)系，它是向量的重要的物理

模型.力是常見(jiàn)的物理量.重力、浮力、彈力等都是既有大小又有方向

的量.物理中還有其他力，讓學(xué)生舉出物理學(xué)中力的其他一些實(shí)例，目

的是要建立物理課中學(xué)過(guò)的位移、力及矢量等概念與向量之間的聯(lián)系,

以此更加自然地引入向量概念，并建立學(xué)習(xí)向量的認(rèn)知基礎(chǔ).

重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn):理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向

量的概念,會(huì)表示向量.

教學(xué)難點(diǎn):平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)別和聯(lián)系.

課時(shí)安排

1課時(shí)

向量的物理背景，向量的概念評(píng)測(cè)練習(xí)

山東省泰安第三中學(xué)，張圣國(guó)

L判斷下列呼法.正確，若不正確請(qǐng)改正：

(1)向量而和。力是共線向量，則A、B、a。四點(diǎn)必在一直線上；

(2)單位向量都相等；

(3)任意一向量與它的相反向量都不想等；

(4)四邊形ABCO是平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)通=函；

(5)共線向量，若起點(diǎn)不同，則終￡定不同；

2.平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知|麗|=2,則A點(diǎn)構(gòu)成的圖形是

3.四邊形ABC。中，AB=-DC,\ADHBC\,則四邊形ABCO的形狀

是2

4.設(shè)則與￡方向相同的單位向量是

5.若￡、F、M、N分別是四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中

點(diǎn)。

求證：EF//NM

6.已知飛機(jī)從甲地北偏東30的方向飛行2000批到達(dá)乙地，再?gòu)囊业?/p>

按南偏東30。的方向飛行2000hx到達(dá)丙地，再?gòu)谋匕次髂戏较蝻w行

100()正批到達(dá)丁地，問(wèn)：丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多遠(yuǎn)？

7.判斷下列命題是否正確

⑴若百|(zhì)=|二|則丁=E

(2)兩向量相等是他們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同

(3)若AB=CD則四邊形ABCD平行四邊形

(4)若四邊形ABCD為平行四邊形，則AB=CD

(5)若m=3,33則3=三

(6)若了〃。討〃T則丁//~c

8.判斷下列說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由.

(1)向量油與向量麗的模相等；

(2)兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；

(3)數(shù)軸是向量；

(4)零向量沒(méi)有方向；

(5)若向量。與人同向，且|”|＞依，則。＞江

9.如圖所示，ZiABC的三邊均不相等，E,F,。分別是AC,AB,BC

的中點(diǎn).

(1)寫出與前共線的向量；

(2)寫出與份的模大小相等的向量；

(3)寫出與前相等的向量.

向量的物理背景，向量的概念課后反思

山東省泰安第三中學(xué)，張圣國(guó)

本節(jié)是平面向量的第一節(jié)，顯然屬于“概念課”，概念的理解無(wú)疑是重點(diǎn),

但也是難點(diǎn).本教案設(shè)計(jì)的指導(dǎo)思想是:把學(xué)生劃分小組合作討論學(xué)習(xí),

經(jīng)過(guò)小組成員們的合作探究，對(duì)平面向量的基本概念和基本解題方法

都明了了不少，應(yīng)該有很多的成功之處或收獲.對(duì)失敗或教訓(xùn)之處可能

是由于一些概念性問(wèn)題沒(méi)有