高中數(shù)學-向量的概念教學設計學情分析教材分析課后反思

向量的物理背景，向量的概念教學設計

山東省泰安第三中學，張圣國

教學過程

導入新課

思路1.（情境導入）如圖1,在同一時刻,老鼠由A向西北方向的C

處逃竄，貓在B處向正東方向的D處追去，貓能否追到老鼠呢？學生馬

上得出結(jié)論:追不上，貓的速度再快也沒用,因為方向錯了.教師適時設

問:如何從數(shù)學的角度來揭示這個問題的本質(zhì)？由此展開新課.

BAD

圖1

思路2.兩列火車先后從同一站臺沿相反方向開出,各走了相同的

路程,怎樣用數(shù)學式子表示這兩列火車的位移？從中國象棋中規(guī)定

“馬”走日豫走“田”，讓學生在圖上畫出馬、象走過的路線引入也是一

個不錯的選擇.

新知探究

提出問題

①在物理課中，我們學過力的概念.請回顧一下力的三要素是什么？還

有哪些量和力具有同樣特征呢?這些量的共同特征是什么？怎樣利用

你所學的數(shù)學中的知識抽象這些具有共同特征的量呢？

②新的概念是對這些具有共同特征的量的描述,應怎樣定義這樣的量

呢？

③數(shù)量與向量的區(qū)別在哪里?

活動:教師指導學生閱讀教材，思考討論并解決上述問題，學生討

論列舉與位移一樣的一些量.物體受到的重力是豎直向下的，物體的質(zhì)

量越大，它受到的重力越大；物體在液體中受到的浮力是豎直向上的,

物體浸在液體中的體積越大它受到的浮力就越大；速度與加速度都是

既有大小，又有方向的量；物理中的動量與矢量都有方向，且有大??；

物理學中存在著許多既有大小，又有方向的量.

教師引導學生觀察思考這些量的共同特征，我們能否在數(shù)學學科

中對這些量加以抽象，形成一種新的量.至此時機成熟，引入向量，并把

那些只有大小，沒有方向的量，如年齡、身高、長度、面積、體積、質(zhì)

量等稱為數(shù)量，物理學上稱為標量.顯然數(shù)量和向量的區(qū)別就在于方向

問題.

討論結(jié)果：

①略.

②我們把既有大小，又有方向的量叫做向量.物理中稱為矢量.

③略.

提出問題

①如何表示向量？

②有向線段和線段有何區(qū)別和聯(lián)系？分別可以表示向量的什么？

③長度為零的向量叫什么向量？長度為1的向量叫什么向量？

④滿足什么條件的兩個向量是相等向量？單位向量是相等向量嗎？

⑤有一組向量，它們的方向相同或相反，這組向量有什么關系？怎樣定

義平行向量？

⑥如果把一組平行向量的起點全部移到一點O,它們是不是平行向量?

這時各向量的終點之間有什么關系？

⑦數(shù)量與向量有什么區(qū)別？

⑧數(shù)學中的向量與物理中的力有什么區(qū)別？

活動:教師指導學生閱讀教材,通過閱讀教材思考討論以上問題.

特別是有向線段，是學習向量的關鍵.但不能說“向量就是有向線段，有

向線段就是向量”,有向線段只是向量的一種幾何表示，二者有本質(zhì)的

區(qū)別.向量只由方向和大小決定，而與向量的起點的位置無關,但有向

線段不僅與方向、長度有關,也與起點的位置有關.如圖2,在線段AB

的兩個端點中，規(guī)定一個順序，假設A為起點、B為終點，我們就說線段

AB具有方向，具有方向的線段叫做有向線段，通常在有向線段的終點

處畫上箭頭表示它的方向.以A為起點、B為終點的有向線段記作魂.

起點要寫在終點的前面.

已知魂，線段AB的長度也叫做有向線段還的長度，記作詢］

有向線段包含三個要素:起點、方向、長度.

B（終點）

/

A（起點）

圖2

知道了有向線段的起點、方向和長度，它的終點就唯一確定.

用有向線段表示向量的方法是：

1。起點是A,終點是B的有向線段，對應的向量記作:筋.

這里要提醒學生注意筋的方向是由點A指向點B,點A是向量的起

點.

2。用字母a,b,c,…表示.（一定要學生規(guī)范書寫:印刷用黑體a,書寫用Z）

3。向量而（或a）的大小，就是向量而（或a）的長度（或稱模），記作|而|（或

|a|）.

教師要注意引導學生將數(shù)量與向量的模進行比較，數(shù)量有大小而沒有

方向,其大小有正、負和0之分，可進行運算，并可比較大小;向量的模是

正數(shù)或0,也可以比較大小.由于方向不能比較大小，像a>b就沒有意義,

而|a|>|b|有意義.

討論結(jié)果:①向量也可用字母a,b,c,…表示（ER刷用粗黑體表示）,手寫用

a-來表示，或用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示,如獲、

CD.

注意:手寫體上面的箭頭一定不能漏寫.

②有向線段:具有方向的線段就叫做有向線段，其有三個要素:起點、方

向、長度.

向量與有向線段的區(qū)別:向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關,

只要大小和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量；有向線段有起

點、大小和方向三個要素，起點不同,盡管大小和方向相同，也是不同的

有向線段.

圖3

③長度為0的向量叫零向量,長度為I個單位長度的向量,叫單位向量.

但要注意，零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.長度為0的向

量叫做零向量，記作0,規(guī)定零向量的方向是任意的.長度等于1個單位

的向量，叫做單位向量.

④長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

⑤是平行向量.平行向量定義的理解:第一，方向相同或相反的非零向

量叫平行向量;第二，我們規(guī)定0與任一向量平行即o〃a.綜合第一、第

二才是平行向量的完整定義；向量a,b,c平行，記作a〃b〃c.如圖3.

COBA

c

圖4

又如圖4,a,b,c是一組平行向量，任作一條與a所在直線0平行的

直線1,在1上任取一點O,則可在1上分別作出※=a,5i=b,55=c.這

就是說，任一組平行向量都可以移動到同一直線上，因此，平行向量也

叫做共線向量.

說明:平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關

系.

⑥是共線向量，也就是平行向量.但要注意，平行向量就是共線向量，這

是因為任一組平行向量都可移到同一直線上（與有向線段的起點無

關）.平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關系；共線

向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關系.

⑦數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量,可以進行代數(shù)運算、比較大??；向量

有方向、大小雙重性質(zhì)，不能比較大小.

⑧力有大小、方向、作用點三個要素，而數(shù)學中的向量是由物理中的

力抽象出來的，只有大小與方向兩個要素，與起點的位置無關.

反饋評價

判斷正誤

L向量不能比較大小，模能比較大小

2.零向量沒有方向

3.所有的單位向量都相等

4.兩個向量模相等，方向相同，稱為相等向量，與起點位置

無關

5.物理學上的作用力與反作用力是一對共線向量

6.兩向量共線，則兩向量所在的直線就平行量

7.C向量A8與CD是共線向量，則A、B、C、。四點必在一條直線

上

實際應用

1已知飛機從A地按北偏東30°方向飛行2000km到達B地，再從B

地按南偏東30°方向飛行2000km到達C地，再從C地按西南方向飛

行1000km到達D地.

畫圖表示向量

2如圖，四邊形ABCD為正方形，4BCE為等腰直角三角形.以圖中各

點為起點和終點，寫出與向量相等的向量.相反的向量

DC

課堂小結(jié)

本節(jié)課從平面向量的物理背景和幾何背景入手，利用類比的方法,

介紹了向量的兩種表示方法:幾何表示和字母表示，幾何表示為用向量

處理幾何問題打下了基礎，字母表示則利于向量的運算；然后又介紹

了向量的模、平行向量、共線向量、相等向量等重要概念，這些概念

是進一步學習后續(xù)課程的基礎，必須要在理解的基礎上把握好.

向量的物理背景，向量的概念學情分析

山東省泰安第三中學，張圣國

學生通過學習物理必修一，對標量，矢量已經(jīng)有了了解，知道了，

有的量只有大小，沒有方向。如路程，時間，溫度等。有的量既有

大小也有方向。如。速度。加速度。位移等。在此基礎上進一步研究

數(shù)學上的向量。從而做到相互聯(lián)系，提高能力。

向量的物理背景，向量的概念效果分析

山東省泰安第三中學，張圣國

本節(jié)課學生掌握較好，完成了教學任務，達到了教學目的。

在教學過程中，以采用學生討論讓全班學生糾正等方式，更好的考察

學生掌握情況，在講授過程中還要注意到說話語速，語言組織等講授

技巧，應該用平緩的語氣講授,語言描述要簡練易懂，不能拖泥帶水。

向量的物理背景，向量的概念教材分析

山東省泰安第三中學，張圣國

本節(jié)是本章的入門課，概念較多，但難度不大.學生可根據(jù)原有的位移、

力等物理概念來學習向量的概念，結(jié)合圖形實物區(qū)分平行向量、相等

向量、共線向量等概念.由于向量來源于物理，并且兼具“數(shù)”和“形”的

特點，所以它在物理和幾何中具有廣泛的應用，可通過幾個具體的例子

說明它的應用.位移是物理中的基本量之一,也是幾何研究的重要對象.

幾何中常用點表示位置，研究如何由一點的位置確定另外一點的位置.

位移簡明地表示了點的位置之間的相對關系，它是向量的重要的物理

模型.力是常見的物理量.重力、浮力、彈力等都是既有大小又有方向

的量.物理中還有其他力，讓學生舉出物理學中力的其他一些實例，目

的是要建立物理課中學過的位移、力及矢量等概念與向量之間的聯(lián)系,

以此更加自然地引入向量概念，并建立學習向量的認知基礎.

重點難點

教學重點:理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向

量的概念,會表示向量.

教學難點:平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)別和聯(lián)系.

課時安排

1課時

向量的物理背景，向量的概念評測練習

山東省泰安第三中學，張圣國

L判斷下列呼法.正確，若不正確請改正：

(1)向量而和。力是共線向量，則A、B、a。四點必在一直線上；

(2)單位向量都相等；

(3)任意一向量與它的相反向量都不想等；

(4)四邊形ABCO是平行四邊形當且僅當通=函；

(5)共線向量，若起點不同，則終￡定不同；

2.平面直角坐標系xOy中，已知|麗|=2,則A點構(gòu)成的圖形是

3.四邊形ABC。中，AB=-DC,\ADHBC\,則四邊形ABCO的形狀

是2

4.設則與￡方向相同的單位向量是

5.若￡、F、M、N分別是四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中

點。

求證：EF//NM

6.已知飛機從甲地北偏東30的方向飛行2000批到達乙地，再從乙地

按南偏東30。的方向飛行2000hx到達丙地，再從丙地按西南方向飛行

100()正批到達丁地，問：丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多遠？

7.判斷下列命題是否正確

⑴若百|(zhì)=|二|則丁=E

(2)兩向量相等是他們的起點相同，終點相同

(3)若AB=CD則四邊形ABCD平行四邊形

(4)若四邊形ABCD為平行四邊形，則AB=CD

(5)若m=3,33則3=三

(6)若了〃。討〃T則丁//~c

8.判斷下列說法是否正確，并說明理由.

(1)向量油與向量麗的模相等；

(2)兩個有公共終點的向量，一定是共線向量；

(3)數(shù)軸是向量；

(4)零向量沒有方向；

(5)若向量。與人同向，且|”|＞依，則。＞江

9.如圖所示，ZiABC的三邊均不相等，E,F,。分別是AC,AB,BC

的中點.

(1)寫出與前共線的向量；

(2)寫出與份的模大小相等的向量；

(3)寫出與前相等的向量.

向量的物理背景，向量的概念課后反思

山東省泰安第三中學，張圣國

本節(jié)是平面向量的第一節(jié)，顯然屬于“概念課”，概念的理解無疑是重點,

但也是難點.本教案設計的指導思想是:把學生劃分小組合作討論學習,

經(jīng)過小組成員們的合作探究，對平面向量的基本概念和基本解題方法

都明了了不少，應該有很多的成功之處或收獲.對失敗或教訓之處可能

是由于一些概念性問題沒有