新人教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)課時(shí)跟蹤檢測(cè)（二十九） 函數(shù)模型的應(yīng)用

課時(shí)跟蹤檢測(cè)(二十九)函數(shù)模型的應(yīng)用

A級(jí)——學(xué)考合格性考試達(dá)標(biāo)練

1.某種產(chǎn)品今年的產(chǎn)量是“，如果保持5%的年增長(zhǎng)率，那么經(jīng)過(guò)x年(xGN*),該產(chǎn)

品的產(chǎn)量y滿足()

A.j=a(l+5%x)B.y=a+5%

C.y=a(l+5%)LiD.y=a(l+5%)，

解析：選D經(jīng)過(guò)1年，j=a(l+5%),經(jīng)過(guò)2年，y=a(l+5%)2,…，經(jīng)過(guò)x年，y

=a(l+5%)\

2.若等腰三角形的周長(zhǎng)為20,底邊長(zhǎng)y是關(guān)于腰長(zhǎng)x的函數(shù)，則它的解析式為()

A.y=20—2x(xW10)

B.j=20-2x(x<10)

C.j=20-2x(510)

D.j=20-2x(5<x<10)

解析：選D由題意，得2x+y=20,：.y=20~2x.

Vj>0,.\20-2x>0,

.?.xVlO.又?.?三角形兩邊之和大于第三邊，

2x>y,

：解得x>5,.*.5<x<10,故選D.

.\[y=20-2x,

3.據(jù)統(tǒng)計(jì)，每年到鄱陽(yáng)湖國(guó)家濕地公園越冬的白鶴數(shù)量y(只)與時(shí)間x(年)近似滿足關(guān)

系式：y=alog3(x+2),觀測(cè)發(fā)現(xiàn)2018年冬(作為第1年)有越冬白鶴3000只，估計(jì)到2024

年冬越冬白鶴有()

A.4000只B.5000只

C.6000只D.7000只

解析：選C當(dāng)尤=1時(shí)，由3000=alog3(l+2)得4=3000,所以到2024年冬，即第

7年，y=3000Xlog3(7+2)=6C.

4.在固定電壓差(電壓為常數(shù))的前提下，當(dāng)電流通過(guò)圓柱形的電線時(shí)，其電流強(qiáng)度I

與電線半徑r的三次方成正比，若已知電流通過(guò)半徑為4毫米的電線時(shí)，電流強(qiáng)度為320

安，則電流通過(guò)半徑為3毫米的電線時(shí)，電流強(qiáng)度為()

A.60安B.240安

C.75安D.135安

解析：選D由已知，設(shè)比例常數(shù)為鼠則/

320

由題意，當(dāng)r=4時(shí)，1=320,故有320=4X43,解得《=@-=5,所以/=5八

故當(dāng)r=3時(shí)，1=5X33=135（安）.故選D.

5.我們處在一個(gè)有聲世界里，不同場(chǎng)合，人們對(duì)聲音的音量會(huì)有不同要求.音量大小

的單位是分貝（dB）,對(duì)于一個(gè)強(qiáng)度為1的聲波,其音量的大小〃可由如下公式計(jì)算:4=10喝

（其中/o是人耳能聽(tīng)到的聲音的最低聲波強(qiáng)度），設(shè)力=70dB的聲音強(qiáng)度為八，〃2=60dB

的聲音強(qiáng)度為A，則八是人的（）

A.看倍B.10倍

C.IO7倍D.In1倍

解析：選B依題意可知，77i=10-lg^,〃2=10?咪，所以〃1—〃2=10?埃一10?喊，

則l=lg/i-lg/2,所以?=10.故選B.

*’12

6.某市的房?jī)r(jià)（均價(jià)）經(jīng)過(guò)6年時(shí)間從1200元/nP增加到了4800元/nP,則這6年間平

均每年的增長(zhǎng)率是.

解析：設(shè)6年間平均年增長(zhǎng)率為x,貝4有1200（1+X）6=4800,解得X=3、/2-1.

答案：\[2-1

7.工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份x滿足關(guān)系式>=。0.5工+兒現(xiàn)已知今年1月

份、2月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為1萬(wàn)件、1.5萬(wàn)件，則3月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為_(kāi)______萬(wàn)件.

l=0.5a+Z>,a=-2f

解析：由題意得1.5=。.25小，解得

b=2,

.*.j=-2X0,5x+2,

,3月份的產(chǎn)量為-2X0.53+2=1.75（萬(wàn)件）.

答案：1.75

8.某種細(xì)菌經(jīng)30分鐘數(shù)量變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，且該種細(xì)菌的繁殖規(guī)律為y=e3其中左

為常數(shù)，?表示時(shí)間（單位：小時(shí)），y表示繁殖后細(xì)菌總個(gè)數(shù)，則上=,經(jīng)過(guò)5小時(shí)，

1個(gè)細(xì)菌通過(guò)繁殖個(gè)數(shù)變?yōu)?

1-k

解析：由題意知，當(dāng)，=不時(shí)，y=2,即2=e?,

：.k=2ln2,.*.y=e2to2.

當(dāng)t=5時(shí)，j=e2X5X|n2=210=l024.

即經(jīng)過(guò)5小時(shí)，1個(gè)細(xì)菌通過(guò)繁殖個(gè)數(shù)變?yōu)?024.

答案：21n21024

9.某公司制定了一個(gè)激勵(lì)銷(xiāo)售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：當(dāng)銷(xiāo)售利潤(rùn)不超過(guò)8萬(wàn)元時(shí)，按銷(xiāo)售

利潤(rùn)的15%進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)；當(dāng)銷(xiāo)售利潤(rùn)超過(guò)8萬(wàn)元時(shí)，若超過(guò)A萬(wàn)元，則超過(guò)部分按logs（2A

+1）進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì).記獎(jiǎng)金為y（單位：萬(wàn)元），銷(xiāo)售利潤(rùn)為x（單位：萬(wàn)元）.

(1)寫(xiě)出獎(jiǎng)金J關(guān)于銷(xiāo)售利潤(rùn)X的關(guān)系式.

(2)如果業(yè)務(wù)員小江獲得3.2萬(wàn)元的獎(jiǎng)金，那么他的銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？

解：(1)由題意知

當(dāng)0WxW8時(shí)，j=0.15x;

當(dāng)x>8時(shí)，

j=8X0.15+log5(2x-15)

=1.2+logs(2x—15),所以

0.15x,0WxW8,

v="

[1.2+log5(2X-15),x>8.

(2)當(dāng)0WxW8時(shí)，jmax=0.15X8=1.2<3.2,故小江銷(xiāo)售利潤(rùn)x>8.

由題意知1.2+log5(2x-15)=3.2,解得x=20.

所以小江的銷(xiāo)售利潤(rùn)是20萬(wàn)元.

10.一片森林原來(lái)面積為a,計(jì)劃每年砍伐一些樹(shù)，且使森林面積每年比上一年減少

〃％,10年后森林面積變?yōu)榻褚阎浇衲隇橹?，森林面積為半〃

(1)求P%的值；

(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？

解：(1)由題意得a(l-p%)io=*

即(l-p%)io=；,

解得P%=1-?

(2)設(shè)經(jīng)過(guò)m年森林面積變?yōu)?/p>

則a(l-p%)m=^a,即而=&，

解得m=5,故到今年為止，已砍伐了5年.

B級(jí)—面向全國(guó)卷高考高分練

1.某位股民購(gòu)進(jìn)某只股票，在接下來(lái)的交易時(shí)間內(nèi)，他的這只股票先經(jīng)歷了3次漲停

(每次上漲10%),又經(jīng)歷了3次跌停(每次下降10%),則該股民這只股票的盈虧情況(不考

慮其他費(fèi)用)為()

A.略有虧損B.略有盈利

C.沒(méi)有盈利也沒(méi)有虧損D.無(wú)法判斷盈虧情況

解析：選A由題意可得(1+10%)3(1—10%)3=0.97029920.97<1.因此該股民這只股

票的盈虧情況為略有虧損.

2.某公司市場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)人員的個(gè)人月收入與其每月的銷(xiāo)售量

成一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示，由圖中給出的信息可知，1300斗哆△牙

營(yíng)銷(xiāo)人員沒(méi)有銷(xiāo)售量時(shí)的收入是()8°°°才|

A.3100兀B.3000兀o|15銷(xiāo)售A/萬(wàn)件

C.2900元D.2800元

解析：選B設(shè)函數(shù)解析式為y=?x+8優(yōu)W0),

函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(1,8000),(2,13000),

優(yōu)+6=8000,[*=5000,

則,解得

[2*+Z>=13000,[6=3000,

：.y=5000x+3000,

當(dāng)尤=0時(shí)，y=3000,二營(yíng)銷(xiāo)人員沒(méi)有銷(xiāo)售量時(shí)的收入是3000元.

3.衣柜里的樟腦丸，隨著時(shí)間會(huì)揮發(fā)而體積縮小，剛放進(jìn)的新丸體積為a,經(jīng)過(guò)f天

后體積V與天數(shù)f的關(guān)系式為：”已知新丸經(jīng)過(guò)50天后，體積變?yōu)闁|.若一個(gè)新丸

Q

體積變?yōu)槔赼,則需經(jīng)過(guò)的天數(shù)為()

4/

A.125B.100

C.75D.50

解析：選C由已知，得蘇=”-5叱.

Q

設(shè)經(jīng)過(guò)人天后，一個(gè)新丸體積變?yōu)橛餓,

//

則萬(wàn)〃=a?e-她,

...而「75.

4.把物體放在空氣中冷卻，如果物體原來(lái)的溫度是TiCC),空氣的溫度是To(℃),經(jīng)

過(guò)f分鐘后物體的溫度7(℃)可由公式7=70+(八一70)丁。2，求得.把溫度是90℃的物體,

放在10℃的空氣中冷卻，分鐘后，物體的溫度是50°C,那么，的值約等于(參考數(shù)據(jù)：In3

Q1.099,In2=?0.693)()

A.1.78B.2.77

C.2.89D.4.40

解析：選B由題意可知50=10+(90—10)?「。叫整理得e"』。，即一0.25f=ln\=

-In2=-0.693,解得f七2.77.

5.在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度。m/s和燃料的質(zhì)量Mkg,火箭(除

燃料外)的質(zhì)量mkg的函數(shù)關(guān)系式是。=2OO(Hn(l+§.當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的

倍時(shí)，火箭的最大速度可達(dá)12km/s.

解析：當(dāng)。=12000m/s時(shí)，2000?ln(l+￡)=12000,所以ln(l+技)=6,所以卜

e6—1.

答案：e6—l

6.放射性物質(zhì)衰變過(guò)程中其剩余質(zhì)量隨時(shí)間按指數(shù)函數(shù)關(guān)系變化.常把它的剩余質(zhì)量

變?yōu)樵瓉?lái)的一半所經(jīng)歷的時(shí)間稱(chēng)為它的半衰期，記為T(mén)].現(xiàn)測(cè)得某種放射性元素的剩余質(zhì)

2

量A隨時(shí)間f變化的6次數(shù)據(jù)如下：

f(單位時(shí)間)0246810

A(f)3202261601158057

從以上記錄可知這種元素的半衰期約為個(gè)單位時(shí)間，剩余質(zhì)量隨時(shí)間變化的

衰變公式為A(f)=.

解析：從題表中數(shù)據(jù)易知半衰期為4個(gè)單位時(shí)間，由初始質(zhì)量為4)=320,則經(jīng)過(guò)時(shí)間

t

八五--

f的剩余質(zhì)量為A(f)=4o?團(tuán)2=320-24?20).

答案：4320-24-0)

7.2018年1月8日，中共中央、國(guó)務(wù)院隆重舉行國(guó)家科學(xué)技術(shù)獎(jiǎng)勵(lì)大會(huì)，在科技界引

發(fā)熱烈反響，自主創(chuàng)新正成為引領(lǐng)經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展的強(qiáng)勁動(dòng)力.某科研單位在研發(fā)新產(chǎn)品的

過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了一種新材料，由大數(shù)據(jù)測(cè)得該產(chǎn)品的性能指標(biāo)值j與這種新材料的含量x(單

位：克)的關(guān)系為：當(dāng)0Wx<6時(shí)，y是x的二次函數(shù)；當(dāng)時(shí)，’.測(cè)得數(shù)據(jù)如表(部

分)

x(單位：克)0129???

71

03???

49

(1)求y關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=?r).

⑵求函數(shù)/(X)的最大值.

解：⑴當(dāng)0Wxv6時(shí)，由題意，

設(shè)式工)=依2+加:+c(〃W0),

7(O)=C=O,「i

“=一不

7

由表格數(shù)據(jù)可得1解得<

/(1)=a+%+c=],b=2,

1/(2)=4a+2b+c=3,、c=0,

所以當(dāng)0Wx<6時(shí)，f(x)=~^x2+2x,

gj由表格數(shù)據(jù)可得｛9)=《)

當(dāng)x26時(shí)，f(x)=I=§,解得t=7.

(曠，

所以當(dāng)x》6時(shí)，f(x)=

—^x2+2x,0<x<6,

綜上，f(x)=

(IT,X"

(2)當(dāng)0/xv6時(shí)，f(x)=-^x2+2x=—^(x—4)2+4,

所以當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)/(x)的最大值為4;

當(dāng)x26時(shí)，/(*)=0單調(diào)遞減，

所以八x)的最大值為｛6)=④=3.

因?yàn)?>3,所以函數(shù)人x)的最大值為4.

8.近年來(lái)，我國(guó)大部分地區(qū)遭遇霧霾天氣，給人們的健康、交通安全等帶來(lái)了嚴(yán)重影

響.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)工業(yè)廢氣等污染物排放是霧霾形成和持續(xù)的重要因素，污染治理刻不容

緩.為此，某工廠新購(gòu)置并安裝了先進(jìn)的廢氣處理設(shè)備，使產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)過(guò)濾后排放，

以降低對(duì)空氣的污染.已知過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物數(shù)量P(單位：mg/L)與過(guò)濾時(shí)間,(單位:

h)間的關(guān)系為P(f)=Poe"(Po,"均為非零常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，其中島為f=0時(shí)的

污染物數(shù)量.若經(jīng)過(guò)5h過(guò)濾后還剩余90%的污染物.

⑴求常數(shù)k的值；

(2)試計(jì)算污染物減少到40%至少需要多長(zhǎng)時(shí)間.(精確到lh,參考數(shù)據(jù):加0.2—1.61,

In03^-1.20,In0.4七一0.92,In0.5比一0.69,In0.9七一0.11)

解：(1)由已知得，當(dāng)f=0時(shí)，P=Po；

當(dāng)t=5時(shí)，P=9O%Po.

5

于是有9O%Po=Poe-\

解得k=-1ln0.9(或fc??0.022).

(2)由(1),知尸=Poe(Mln"9y,當(dāng)尸=4()%尸0時(shí)，有O.4Po=Poe(31n"9y

In0.4-0.924.60、

解得t=-,------------------------------=7HT?42.