2024屆河南省新鄉(xiāng)市衛(wèi)輝市普高聯(lián)考高三上學期測評二數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省新鄉(xiāng)市衛(wèi)輝市普高聯(lián)考2024屆高三上學期測評（二）數(shù)學試題一、選擇題1.設集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，故.故選：B.2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，所以命題“”的否定是“”.故選：C．3.已知角的終邊過點，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為角的終邊過點，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得，則.故選：B．4.里氏震級是表示地震規(guī)模大小的標度，它是由觀測點處地震儀所記錄到的地震波最大振幅和觀測點所在地規(guī)模標準地震所應有的振幅的常用對數(shù)演算而來的，其計算公式為.2023年8月6日2時33分，山東省德州市平原縣發(fā)生5.5級地震，29分鐘后又發(fā)生3.0級地震，用和分別表示震級為5.5和3.0的地震波最大振幅，則（）（參考數(shù)據(jù)：）A.25 B.31.6 C.250 D.316〖答案〗D〖解析〗由題意得，，從而，因此，故選：D．5.“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗二次函數(shù)的圖象的對稱軸為，由在上單調(diào)遞增可知即．故“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的充分不必要條件．故選：A6.若方程在上有兩個不同的根，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可知：當時，有兩根，令，可得與的圖象有兩個不同交點，則，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；可知：當時，取得極大值，也是最大值，為可得的大致圖象如圖所示，當時，，當時，，所以.故選：A．7.三角函數(shù)的發(fā)展過程中，托勒密做出了杰出的貢獻，托勒密的《天文學大成》中有一張弦表，被認為是最早的正弦表．據(jù)書中記載，為了度量圓弧與弦長，托勒密采用了巴比倫人的60進位法，把圓周360等分，把圓的半徑60等分，即用半徑的作為單位來度量弦長，其中圓心角所對應的弦長表示為．建立了半徑與圓周的度量單位以后，托勒密先著手計算一些特殊角所對應的弦長，比如角所對的弦長正好是正六邊形外接圓的半徑，則角所對應的弦長為60個單位，即，由此可知，的值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，可得角所對應的弦長為正八邊形的邊長，設正八邊形的外接圓半徑為，由余弦定理，，所以．故選：B．8.已知為函數(shù)的兩個不同的極值點，若，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，令，由題意為一元二次方程的兩個不同實數(shù)根，則，.所以，又，所以，解得.此時中，符合題意，故.故選：A.二、選擇題9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.的最小正周期為B.C.的圖象關于直線對稱D.將的圖象向右平移個單位長度得到的函數(shù)圖象關于y軸對稱〖答案〗AC〖解析〗由函數(shù)的圖象，可得，所以，可得，所以，因為，所以，即，可得，即，因為，可得，所以，所以A正確，B不正確；由，所以是函數(shù)的圖象的對稱軸，所以C正確；將的圖象向右平移個單位長度，可得，此時函數(shù)的圖象關于原點對稱，不關于軸對稱，所以D錯誤.故選：AC.10.已知函數(shù)，則（）A.的最小值為 B.的最大值為C.曲線在處的切線過原點 D.函數(shù)的導函數(shù)存在最大值1〖答案〗AD〖解析〗函數(shù)，定義域為，，令，解得，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，無最大值，故A正確，B錯誤；已知，，則曲線在處的切線為，切線不過原點，故C錯誤；因為，當時，有最大值1，故D正確.故選：AD．11.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知的周長為，，則（）A.存在非等邊滿足B.存在滿足C.內(nèi)部可以放入的最大圓的半徑為D.可以完全覆蓋的最小圓的半徑為〖答案〗BCD〖解析〗因為的周長為，且，可得，由余弦定理得，對于A中，因為，所以，即，則，所以A錯誤；對于B中，因為，所以，即，則，此時為等邊三角形，所以B正確；對于C中，由，可得，當且僅當時等號成立，解得或（舍去），所以的面積，的內(nèi)切圓半徑，所以內(nèi)部可以放入的最大圓的半徑為，所以C正確；對于D中，設外接圓的半徑為，因為，所以，解得或（舍去），由，可得，因為，所以，所以可以完全覆蓋的最小圓的半徑為，所以D正確．故選：BCD.12.已知是定義在上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且當時，，則（）A.的周期為4 B.C. D.的所有零點之和為16〖答案〗AC〖解析〗因為為偶函數(shù)，設，由，得，則，所以曲線關于直線對稱，所以有，又為奇函數(shù)，所以，所以，，則，所以是周期為4的周期函數(shù)，A正確；，故，B錯誤；的零點可看作與的圖象交點的橫坐標，作出與的圖象，如圖所示，由圖可知，共有7個交點，且前3個交點與后3個交點關于第4個交點對稱，所以所有零點之和為，D錯誤．由題意可知當時，，且與的周期相同，與均為奇函數(shù)，故與同正同負，所以，故C正確；故選：AC三、填空題13.______．〖答案〗〖解析〗由三角函數(shù)的誘導公式，可得：．故〖答案〗：.14.設，且，則______．〖答案〗〖解析〗因為，則，因，所以，所以，.故〖答案〗為：.15.已知函數(shù)，設方程最小的兩個正根為，若，則______．〖答案〗〖解析〗令，由題意知，當時，可得，所以可得，解得，又，所以，解得．故〖答案〗為：16.已知函數(shù)，若的圖象與直線有且僅有一個交點，則的取值集合為______．〖答案〗〖解析〗依題意可知方程有且僅有一正根，現(xiàn)在來證明，當且僅當時等號成立，設，則，所以當時，有，此時單調(diào)遞增，當時，有，此時單調(diào)遞減，所以，又因為，當且僅當時等號成立，所以，即，由以上分析可知．故的取值集合為.故〖答案〗為：.四、解答題17.已知函數(shù)．（1）設函數(shù)，判斷的奇偶性；（2）求不等式的解集．解：（1）的定義域為，所以，則函數(shù)是偶函數(shù)．（2），，任取，且，所以因為，，所以，所以在上單調(diào)遞增，不等式可轉(zhuǎn)化為，所以，解得，所以不等式的解集為．18.已知函數(shù)相鄰兩條對稱軸的距離為，將的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，且的圖象關于原點對稱．（1）求；（2）設函數(shù)，當時，方程有且僅有兩個實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．（1）解，因為函數(shù)相鄰兩條對稱軸的距離為，可得，即，所以，即，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可得，因為的圖象關于原點對稱，所以，又因為，所以，所以．（2）解：由（1）可知，，因為，所以，當時，即，可得，當時，即，可得，當時，即，可得，要使得有且僅有兩個實數(shù)根，即和的圖象有兩個不同的交點，如圖所示，可得，即實數(shù)的取值范圍是．19.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）若，求；（2）若，求．解：（1）由正弦定理可得，即，可得，因為，所以，所以，（2）因為，所以由余弦定理，可得，聯(lián)立可得所以，所以．20.2023年7月31日，海河流域發(fā)生流域性較大洪水，河北省涿州市轄區(qū)內(nèi)有六條河流經(jīng)過，一時洪流交匯，數(shù)日內(nèi)，涿州市成為洪水重災區(qū)．截至8月1日10時，涿州受災人數(shù)133913人，受災村居146個，面積225.38平方千米．災情無情人有情，來自全國各地的單位和個人紛紛向涿州捐獻必要的生活物資．某企業(yè)生產(chǎn)一種必要的生活物資，且單筆訂單最少預定生產(chǎn)10噸物資，已知生產(chǎn)一批物資所需要的固定成本為5千元，每生產(chǎn)噸物資另需流動成本千元，當生產(chǎn)量小于20噸時，，當生產(chǎn)量不小于20噸時，．該企業(yè)為了提高企業(yè)的誠信度，贏得良好的社會效益，自愿將自身利潤降到最低（僅夠企業(yè)生產(chǎn)物資期間的開銷），將每噸物資的售價降為25千元，已知生產(chǎn)的物資能全部售出．（1）寫出總利潤（千元）關于生產(chǎn)量（噸）的函數(shù)〖解析〗式（注：總利潤＝總收入－流動成本－固定成本）；（2）當生產(chǎn)量為多少時，總利潤最小？此時總利潤是多少？（參考數(shù)據(jù)：）解：（1）由已知可得，.又，所以當時，，當時，，故.（2）當時，，所以當時，．當時，，所以，所以當時，單調(diào)遞增，故．因為，所以當生產(chǎn)量為12噸時，總利潤最小，此時總利潤為56千元．21.在中，角所對的邊分別為，已知．（1）若，且外接圓的半徑為1，求的面積；（2）若，求的值．解：（1）由，，得，即，又外接圓的半徑為1，由正弦定理知，，則，，于是，而，解得，所以的面積．（2）依題意，的最小值為，由，得，由余弦定理，得，于是，又，即，當且僅當時取等號，，因此，而，解得，所以.22.設函數(shù)，曲線在處的切線方程為．（1）求的值；（2）設函數(shù)．①證明：只有一個極值點；②證明：．（1）解：易知，由切線方程可得，解得，且符合題意；即值為.（2）證明：①易知，設，則，令，得或，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，又，故存在使得，即存在唯一使得所以只有一個極值點．②易知，令，則；易得在上恒成立，可得在上為增函數(shù)，且，故存在使得，即；因此當時，，當時，；所以在處取得極小值，也是最小值，且，由①知在處取得極大值，也是最大值，且，設，則，故為增函數(shù)，因為，所以．因此可得，對于，，當時，等號成立；即，．河南省新鄉(xiāng)市衛(wèi)輝市普高聯(lián)考2024屆高三上學期測評（二）數(shù)學試題一、選擇題1.設集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，故.故選：B.2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，所以命題“”的否定是“”.故選：C．3.已知角的終邊過點，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為角的終邊過點，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得，則.故選：B．4.里氏震級是表示地震規(guī)模大小的標度，它是由觀測點處地震儀所記錄到的地震波最大振幅和觀測點所在地規(guī)模標準地震所應有的振幅的常用對數(shù)演算而來的，其計算公式為.2023年8月6日2時33分，山東省德州市平原縣發(fā)生5.5級地震，29分鐘后又發(fā)生3.0級地震，用和分別表示震級為5.5和3.0的地震波最大振幅，則（）（參考數(shù)據(jù)：）A.25 B.31.6 C.250 D.316〖答案〗D〖解析〗由題意得，，從而，因此，故選：D．5.“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗二次函數(shù)的圖象的對稱軸為，由在上單調(diào)遞增可知即．故“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的充分不必要條件．故選：A6.若方程在上有兩個不同的根，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可知：當時，有兩根，令，可得與的圖象有兩個不同交點，則，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；可知：當時，取得極大值，也是最大值，為可得的大致圖象如圖所示，當時，，當時，，所以.故選：A．7.三角函數(shù)的發(fā)展過程中，托勒密做出了杰出的貢獻，托勒密的《天文學大成》中有一張弦表，被認為是最早的正弦表．據(jù)書中記載，為了度量圓弧與弦長，托勒密采用了巴比倫人的60進位法，把圓周360等分，把圓的半徑60等分，即用半徑的作為單位來度量弦長，其中圓心角所對應的弦長表示為．建立了半徑與圓周的度量單位以后，托勒密先著手計算一些特殊角所對應的弦長，比如角所對的弦長正好是正六邊形外接圓的半徑，則角所對應的弦長為60個單位，即，由此可知，的值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，可得角所對應的弦長為正八邊形的邊長，設正八邊形的外接圓半徑為，由余弦定理，，所以．故選：B．8.已知為函數(shù)的兩個不同的極值點，若，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，令，由題意為一元二次方程的兩個不同實數(shù)根，則，.所以，又，所以，解得.此時中，符合題意，故.故選：A.二、選擇題9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.的最小正周期為B.C.的圖象關于直線對稱D.將的圖象向右平移個單位長度得到的函數(shù)圖象關于y軸對稱〖答案〗AC〖解析〗由函數(shù)的圖象，可得，所以，可得，所以，因為，所以，即，可得，即，因為，可得，所以，所以A正確，B不正確；由，所以是函數(shù)的圖象的對稱軸，所以C正確；將的圖象向右平移個單位長度，可得，此時函數(shù)的圖象關于原點對稱，不關于軸對稱，所以D錯誤.故選：AC.10.已知函數(shù)，則（）A.的最小值為 B.的最大值為C.曲線在處的切線過原點 D.函數(shù)的導函數(shù)存在最大值1〖答案〗AD〖解析〗函數(shù)，定義域為，，令，解得，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，無最大值，故A正確，B錯誤；已知，，則曲線在處的切線為，切線不過原點，故C錯誤；因為，當時，有最大值1，故D正確.故選：AD．11.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知的周長為，，則（）A.存在非等邊滿足B.存在滿足C.內(nèi)部可以放入的最大圓的半徑為D.可以完全覆蓋的最小圓的半徑為〖答案〗BCD〖解析〗因為的周長為，且，可得，由余弦定理得，對于A中，因為，所以，即，則，所以A錯誤；對于B中，因為，所以，即，則，此時為等邊三角形，所以B正確；對于C中，由，可得，當且僅當時等號成立，解得或（舍去），所以的面積，的內(nèi)切圓半徑，所以內(nèi)部可以放入的最大圓的半徑為，所以C正確；對于D中，設外接圓的半徑為，因為，所以，解得或（舍去），由，可得，因為，所以，所以可以完全覆蓋的最小圓的半徑為，所以D正確．故選：BCD.12.已知是定義在上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且當時，，則（）A.的周期為4 B.C. D.的所有零點之和為16〖答案〗AC〖解析〗因為為偶函數(shù)，設，由，得，則，所以曲線關于直線對稱，所以有，又為奇函數(shù)，所以，所以，，則，所以是周期為4的周期函數(shù)，A正確；，故，B錯誤；的零點可看作與的圖象交點的橫坐標，作出與的圖象，如圖所示，由圖可知，共有7個交點，且前3個交點與后3個交點關于第4個交點對稱，所以所有零點之和為，D錯誤．由題意可知當時，，且與的周期相同，與均為奇函數(shù)，故與同正同負，所以，故C正確；故選：AC三、填空題13.______．〖答案〗〖解析〗由三角函數(shù)的誘導公式，可得：．故〖答案〗：.14.設，且，則______．〖答案〗〖解析〗因為，則，因，所以，所以，.故〖答案〗為：.15.已知函數(shù)，設方程最小的兩個正根為，若，則______．〖答案〗〖解析〗令，由題意知，當時，可得，所以可得，解得，又，所以，解得．故〖答案〗為：16.已知函數(shù)，若的圖象與直線有且僅有一個交點，則的取值集合為______．〖答案〗〖解析〗依題意可知方程有且僅有一正根，現(xiàn)在來證明，當且僅當時等號成立，設，則，所以當時，有，此時單調(diào)遞增，當時，有，此時單調(diào)遞減，所以，又因為，當且僅當時等號成立，所以，即，由以上分析可知．故的取值集合為.故〖答案〗為：.四、解答題17.已知函數(shù)．（1）設函數(shù)，判斷的奇偶性；（2）求不等式的解集．解：（1）的定義域為，所以，則函數(shù)是偶函數(shù)．（2），，任取，且，所以因為，，所以，所以在上單調(diào)遞增，不等式可轉(zhuǎn)化為，所以，解得，所以不等式的解集為．18.已知函數(shù)相鄰兩條對稱軸的距離為，將的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，且的圖象關于原點對稱．（1）求；（2）設函數(shù)，當時，方程有且僅有兩個實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．（1）解，因為函數(shù)相鄰兩條對稱軸的距離為，可得，即，所以，即，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可得，因為的圖象關于原點對稱，所以，又因為，所以，所以．（2）解：由（1）可知，，因為，所以，當時，即，可得，當時，即，可得，當時，即，可得，要使得有且僅有兩個實數(shù)根，即和的圖象有兩個不同的交點，如圖所示，可得，即實數(shù)的取值范圍是．19.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）若，求；（2）若，求．解：（1）由正弦定理可得，即，可得，因為，所以，所以，（2）因為，所以由余弦定理，可得，聯(lián)立可得所以，所以．20.2023年7月31日，海河流域發(fā)生流域性較大洪水，河北省涿州市轄區(qū)內(nèi)有六條河流經(jīng)過，一時洪流交匯，數(shù)日內(nèi)，涿州市成為洪水重災區(qū)．截至8月1日10時，涿州受災人數(shù)133913人，受災村居146個，面積225.38平方千米．災情無情人有情，來自全國各地的單位和個人紛紛向涿州捐獻必