2024屆山東省臨沂市高三上學(xué)期開學(xué)摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省臨沂市2024屆高三上學(xué)期開學(xué)摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，故.故選：B.2.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，則，所以，解得，可知；所以.故選：A.3.已知，，若，則該展開式各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為（）A.81 B.64 C.27 D.32〖答案〗D〖解析〗，，∴，解得，∴該展開式各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為.故選：D.4.已知雙曲線的一條漸近線斜率為，實(shí)軸長為4，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，則，，又，則，故C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.5.設(shè),則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗,令,則原函數(shù)轉(zhuǎn)化為,則函數(shù)在上為增函數(shù),在上為減函數(shù),又,所以函數(shù)的最小值為,即的最小值為.故選:C.6.一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)黑球，n個(gè)白球，這些球除顏色外大小、質(zhì)地完全相同，從中任意取出3個(gè)球，已知取出2個(gè)黑球，1個(gè)白球的概率為，設(shè)X為取出白球的個(gè)數(shù)，則（）A. B. C.1 D.2〖答案〗A〖解析〗由題可知，，解得，X的可能取值為，，，，，∴.故選：A.7.已知為函數(shù)兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，若，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，令，由題意為一元二次方程的兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則，.所以，又，所以，解得.此時(shí)中，符合題意，故.故選：A8.如圖，P、Q是直線上的點(diǎn)，平面，五面體的各頂點(diǎn)均在球O球面上，四邊形為邊長為2的正方形，且，均為正三角形，則當(dāng)球O半徑取得最小值時(shí)，五面體的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，為等邊的中心，當(dāng)球心與正方形中心重合時(shí)，球半徑取得最小值，此時(shí)，因?yàn)?，所以，即，如圖，過、分別作平面垂面，交直線于R，S兩點(diǎn)，由題意可知，直線在平面內(nèi)的投影為直線，所以四邊形是矩形.則，，所以五面體的體積為.故選：B.二、選擇題9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.的最小正周期為B.C.的圖象關(guān)于直線對稱D.將的圖象向右平移個(gè)單位長度得到的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱〖答案〗AC〖解析〗由函數(shù)的圖象，可得，所以，可得，所以，因?yàn)?，所以，即，可得，即，因?yàn)?，可得，所以，所以A正確，B不正確；由，所以是函數(shù)的圖象的對稱軸，所以C正確；將的圖象向右平移個(gè)單位長度，可得，此時(shí)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，不關(guān)于軸對稱，所以D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在C上，且的最大值為3，最小值為1，則（）A.橢圓C的圓心率為B.的周長為4C.若，則的面積為D.若，則〖答案〗ACD〖解析〗對A，由題意，，故，故A正確；對B，的周長為，故B錯(cuò)誤；對C，若，則，即，故，故，故C正確；對D，由余弦定理，即，解得，故，故D正確；故選：ACD.11.在三棱臺中，平面，，點(diǎn)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），滿足平面，則（）A.點(diǎn)P的軌跡長度為1B.P到平面的距離為定值C.有且僅有兩個(gè)點(diǎn)P，使得D.與平面所成角的最大值為30°〖答案〗ABD〖解析〗取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，因?yàn)槿馀_中，則，故且，故四邊形為平行四邊形，則.又平面，平面，故平面，同理，平面，又，平面，故平面平面，故點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng).對A，，故A正確；對B，因?yàn)槠矫?，故平面，所以到平面的距離為定值，故B正確；對C，因?yàn)椋十?dāng)且僅當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)成立，故C錯(cuò)誤；對D，因?yàn)槠矫?，所以為與平面所成角.由題意，故當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，所以與平面所成角的最大值為，故D正確.故選：ABD.12.已知是定義在上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，，則（）A.曲線關(guān)于直線軸對稱 B.是以4為周期的周期函數(shù)C. D.關(guān)于點(diǎn)對稱〖答案〗ABC〖解析〗對A，為偶函數(shù)，則，故關(guān)于直線軸對稱，故A正確；對B，關(guān)于直線軸對稱，則，又是定義在上的奇函數(shù)，故，則，且，故，故周期為4.故B正確；對C，，且，圖象關(guān)于直線軸對稱，故，，，故，故C正確；由C知D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題13.已知，為平面單位向量，若，則______．〖答案〗〖解析〗由題可知，，即，∴，∴，∴.故〖答案〗為：.14.已知A，B為圓上的兩點(diǎn)，，M為的中點(diǎn)，則M到直線距離的最小值為______．〖答案〗〖解析〗由垂徑定理可知，∴，∴M的軌跡是以O(shè)為圓心，為半徑的圓，O到l的距離，∴M到直線距離的最小值為．故〖答案〗為：15.已知，，若與的圖象在交點(diǎn)處的切線重合，則______．〖答案〗〖解析〗設(shè)與的圖象交點(diǎn)為，則，即，故.又則，解得，則.故〖答案〗為：16.剪紙，又叫刻紙，是一種鏤空藝術(shù)，是中國古老的民間藝術(shù)之一．已知某剪紙的裁剪工藝如下：取一張半徑為1的圓形紙片，記為，在內(nèi)作內(nèi)接正方形，接著在該正方形內(nèi)作內(nèi)切圓，記為，并裁剪去該正方形內(nèi)多余的部分（如圖所示陰影部分），記為一次裁剪操作，……重復(fù)上述裁剪操作n次，最終得到該剪紙．則第4次裁剪操作結(jié)束后所得的面積為______；第n次操作后，所有裁剪操作中裁剪去除的面積之和為______．〖答案〗〖解析〗設(shè)的半徑為，則，則第次裁剪操作得到的正方形邊長為，的半徑為，即，故，的面積為，故的面積為.又第次裁剪操作的正方形邊長為，在該正方形的圓半徑為，故第次裁剪操作裁剪掉的面積為，所以第次裁剪操作裁剪掉的面積之和為.故〖答案〗為：；四、解答題17.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．（1）若，求；（2）求C的最大值．解：（1）根據(jù)題意可知，若中，則，即；又，所以，即，整理可得；解得，所以.（2）由正弦定理可知，顯然，所以不是最大邊，即角不是最大角，因此可知；又可得，解得；所以C的最大值為.18.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，平面，．（1）證明；平面平面；（2）設(shè)P為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P使得與平面所成角為30°，若存在，求，若不存在，說明理由．（1）證明：連接，因?yàn)槠矫?，平面，?又底面是菱形，故，又，平面，所以平面.因?yàn)?，所以平面平?（2）解：假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，設(shè)，因?yàn)榈酌媸沁呴L為2的菱形，，故.過作于，連接，則，.因?yàn)槠矫?，平面，故，又，平面，故平面，所以為與平面所成角.又，則.故，即，解得，即.19.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，數(shù)列為公差為2的等差數(shù)列，．（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，證明：．（1）解：由，可得，兩式相減可得：，所以，令，可得，所以，所以是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，可得，因?yàn)閿?shù)列為公差為2的等差數(shù)列，，所以，解得，所以；（2）證明：由（1）知，設(shè)，則，，兩式相減可得，所以，因?yàn)?，可得即?0.已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍．解：（1）的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，令可得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.綜上：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）當(dāng)，即，時(shí)，設(shè)，則，，.當(dāng)時(shí)，，所以，在上單調(diào)遞增，，故，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，，則存在，使得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，所以不恒成立，不符合題意.綜上，21.在“飛彩鐫流年”文藝匯演中，諸位參賽者一展風(fēng)采，奉上了一場舞與樂的盛宴．現(xiàn)從2000位參賽者中隨機(jī)抽取40位幸運(yùn)嘉賓，統(tǒng)計(jì)他們的年齡數(shù)據(jù)，得樣本平均數(shù)．（1）若所有參賽者年齡X服從正態(tài)分布，請估計(jì)參賽者年齡在30歲以上的人數(shù)；（2）若該文藝匯演對所有參賽者的表演作品進(jìn)行評級，每位參賽者只有一個(gè)表演作品且每位參賽者作品有的概率評為A類，的概率評為B類，每位參賽者作品的評級結(jié)果相互獨(dú)立．記上述40位幸運(yùn)嘉賓的作品中恰有2份A類作品的概率為，求的極大值點(diǎn)；（3）以（2）中確定的作為a的值，記上述幸運(yùn)嘉賓的作品中的A類作品數(shù)為Y，若對這些幸運(yùn)嘉賓進(jìn)行頒獎(jiǎng)，現(xiàn)有兩種頒獎(jiǎng)方式：甲：A類作品參賽者獲得1000元現(xiàn)金，B類作品參賽者獲得100元現(xiàn)金；乙：A類作品參賽者獲得3000元現(xiàn)金，B類作品參賽者不獲得現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)．根據(jù)獎(jiǎng)金期望判斷主辦方選擇何種頒獎(jiǎng)方式，成本可能更低．附：若，則．解：（1）因?yàn)椋瑒t.所以參賽者年齡在30歲以上的人數(shù)約為（人）.（2）記，設(shè)，其中為的極大值點(diǎn).依題意可得，則，令，因?yàn)?，故，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極大值點(diǎn)；（3）由題意知.記分別甲、乙兩種頒獎(jiǎng)方式各自所發(fā)獎(jiǎng)金總額，因?yàn)?所以，所以.故選擇甲方式成本更低.22.已知拋物線，為E上位于第一象限的一點(diǎn)，點(diǎn)P到E的準(zhǔn)線的距離為5．（1）求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為E的焦點(diǎn)，A，B為E上異于P的兩點(diǎn)，且直線與斜率乘積為．（i）證明：直線過定點(diǎn)；（ii）求的最小值．（1）解：由題可知，解得.所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）（i）證明：由（1）知，，且，解得，所以.設(shè)，則，同理可得，，則，即.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，直線的方程為，整理得.所以，即，所以直線過定點(diǎn)；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得.綜上，直線過定點(diǎn).（ii）解：設(shè)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立得，消去得，由題意，所以.所以，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，.由拋物線定義知.故的最小值為.山東省臨沂市2024屆高三上學(xué)期開學(xué)摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，故.故選：B.2.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，則，所以，解得，可知；所以.故選：A.3.已知，，若，則該展開式各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為（）A.81 B.64 C.27 D.32〖答案〗D〖解析〗，，∴，解得，∴該展開式各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為.故選：D.4.已知雙曲線的一條漸近線斜率為，實(shí)軸長為4，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，則，，又，則，故C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.5.設(shè),則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗,令,則原函數(shù)轉(zhuǎn)化為,則函數(shù)在上為增函數(shù),在上為減函數(shù),又,所以函數(shù)的最小值為,即的最小值為.故選:C.6.一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)黑球，n個(gè)白球，這些球除顏色外大小、質(zhì)地完全相同，從中任意取出3個(gè)球，已知取出2個(gè)黑球，1個(gè)白球的概率為，設(shè)X為取出白球的個(gè)數(shù)，則（）A. B. C.1 D.2〖答案〗A〖解析〗由題可知，，解得，X的可能取值為，，，，，∴.故選：A.7.已知為函數(shù)兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，若，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，令，由題意為一元二次方程的兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則，.所以，又，所以，解得.此時(shí)中，符合題意，故.故選：A8.如圖，P、Q是直線上的點(diǎn)，平面，五面體的各頂點(diǎn)均在球O球面上，四邊形為邊長為2的正方形，且，均為正三角形，則當(dāng)球O半徑取得最小值時(shí)，五面體的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，為等邊的中心，當(dāng)球心與正方形中心重合時(shí)，球半徑取得最小值，此時(shí)，因?yàn)?，所以，即，如圖，過、分別作平面垂面，交直線于R，S兩點(diǎn)，由題意可知，直線在平面內(nèi)的投影為直線，所以四邊形是矩形.則，，所以五面體的體積為.故選：B.二、選擇題9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.的最小正周期為B.C.的圖象關(guān)于直線對稱D.將的圖象向右平移個(gè)單位長度得到的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱〖答案〗AC〖解析〗由函數(shù)的圖象，可得，所以，可得，所以，因?yàn)?，所以，即，可得，即，因?yàn)?，可得，所以，所以A正確，B不正確；由，所以是函數(shù)的圖象的對稱軸，所以C正確；將的圖象向右平移個(gè)單位長度，可得，此時(shí)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，不關(guān)于軸對稱，所以D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在C上，且的最大值為3，最小值為1，則（）A.橢圓C的圓心率為B.的周長為4C.若，則的面積為D.若，則〖答案〗ACD〖解析〗對A，由題意，，故，故A正確；對B，的周長為，故B錯(cuò)誤；對C，若，則，即，故，故，故C正確；對D，由余弦定理，即，解得，故，故D正確；故選：ACD.11.在三棱臺中，平面，，點(diǎn)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），滿足平面，則（）A.點(diǎn)P的軌跡長度為1B.P到平面的距離為定值C.有且僅有兩個(gè)點(diǎn)P，使得D.與平面所成角的最大值為30°〖答案〗ABD〖解析〗取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，因?yàn)槿馀_中，則，故且，故四邊形為平行四邊形，則.又平面，平面，故平面，同理，平面，又，平面，故平面平面，故點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng).對A，，故A正確；對B，因?yàn)槠矫?，故平面，所以到平面的距離為定值，故B正確；對C，因?yàn)?，故?dāng)且僅當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)成立，故C錯(cuò)誤；對D，因?yàn)槠矫?，所以為與平面所成角.由題意，故當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，所以與平面所成角的最大值為，故D正確.故選：ABD.12.已知是定義在上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，，則（）A.曲線關(guān)于直線軸對稱 B.是以4為周期的周期函數(shù)C. D.關(guān)于點(diǎn)對稱〖答案〗ABC〖解析〗對A，為偶函數(shù)，則，故關(guān)于直線軸對稱，故A正確；對B，關(guān)于直線軸對稱，則，又是定義在上的奇函數(shù)，故，則，且，故，故周期為4.故B正確；對C，，且，圖象關(guān)于直線軸對稱，故，，，故，故C正確；由C知D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題13.已知，為平面單位向量，若，則______．〖答案〗〖解析〗由題可知，，即，∴，∴，∴.故〖答案〗為：.14.已知A，B為圓上的兩點(diǎn)，，M為的中點(diǎn)，則M到直線距離的最小值為______．〖答案〗〖解析〗由垂徑定理可知，∴，∴M的軌跡是以O(shè)為圓心，為半徑的圓，O到l的距離，∴M到直線距離的最小值為．故〖答案〗為：15.已知，，若與的圖象在交點(diǎn)處的切線重合，則______．〖答案〗〖解析〗設(shè)與的圖象交點(diǎn)為，則，即，故.又則，解得，則.故〖答案〗為：16.剪紙，又叫刻紙，是一種鏤空藝術(shù)，是中國古老的民間藝術(shù)之一．已知某剪紙的裁剪工藝如下：取一張半徑為1的圓形紙片，記為，在內(nèi)作內(nèi)接正方形，接著在該正方形內(nèi)作內(nèi)切圓，記為，并裁剪去該正方形內(nèi)多余的部分（如圖所示陰影部分），記為一次裁剪操作，……重復(fù)上述裁剪操作n次，最終得到該剪紙．則第4次裁剪操作結(jié)束后所得的面積為______；第n次操作后，所有裁剪操作中裁剪去除的面積之和為______．〖答案〗〖解析〗設(shè)的半徑為，則，則第次裁剪操作得到的正方形邊長為，的半徑為，即，故，的面積為，故的面積為.又第次裁剪操作的正方形邊長為，在該正方形的圓半徑為，故第次裁剪操作裁剪掉的面積為，所以第次裁剪操作裁剪掉的面積之和為.故〖答案〗為：；四、解答題17.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．（1）若，求；（2）求C的最大值．解：（1）根據(jù)題意可知，若中，則，即；又，所以，即，整理可得；解得，所以.（2）由正弦定理可知，顯然，所以不是最大邊，即角不是最大角，因此可知；又可得，解得；所以C的最大值為.18.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，平面，．（1）證明；平面平面；（2）設(shè)P為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P使得與平面所成角為30°，若存在，求，若不存在，說明理由．（1）證明：連接，因?yàn)槠矫?，平面，?又底面是菱形，故，又，平面，所以平面.因?yàn)?，所以平面平?（2）解：假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，設(shè)，因?yàn)榈酌媸沁呴L為2的菱形，，故.過作于，連接，則，.因?yàn)槠矫?，平面，故，又，平面，故平面，所以為與平面所成角.又，則.故，即，解得，即.19.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，數(shù)列為公差為2的等差數(shù)列，．（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，證明：．（1）解：由，可得，兩式相減可得：，所以，令，可得，所以，所以是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，可得，因?yàn)閿?shù)列為公差為2的等差數(shù)列，，所以，解得，所以；（2）證明：由（1）知，設(shè)，則，，兩式相減可得，所以，因?yàn)?，可得即?0.已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍．解：（1）的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，令可得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.綜上：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）當(dāng)，即，時(shí)，設(shè)，則，，.當(dāng)時(shí)，，所以，在上單調(diào)遞增，，故，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，，則存在，使得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，所以不恒成立，不符合題意.綜上，21.在“飛彩鐫流年”文藝匯演中，諸位參賽者一展風(fēng)采，奉上了一場舞與樂的盛宴．現(xiàn)從2000位參賽者中隨機(jī)抽取40位幸運(yùn)嘉賓，統(tǒng)計(jì)他們的年齡數(shù)據(jù)，得樣本平均數(shù)．（