2024屆山東省濰坊市高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省濰坊市2024屆高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、單項選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，故.故選：B.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗A〖解析〗“，”的否定是“，”.故選：A.3.記是等差數(shù)列的前n項和，若，，則（）A.16 B.8 C.4 D.2〖答案〗C〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，根據(jù)題意可知，解得；所以可得.故選：C.4.把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體初始溫度為，空氣的溫度為，那么小時后物體的溫度可由公式求得，其中是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的冷卻系數(shù).現(xiàn)有、兩個物體放在空氣中冷卻，已知兩物體的初始溫度相同，冷卻小時后，、兩個物體的溫度分別為、，假設(shè)、兩個物體的冷卻系數(shù)分別為、，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可得，則，兩式相除可得，所以，，即.故選：A.5.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝BC＝2，AA1＝1，則點A到平面A1BC的距離為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)點A到平面A1BC的距離為h，因為AB＝AC＝BC＝2，所以，，由勾股定理得：，取BC中點D，連接，則，BD=1，故，所以，因為，所以.故選：B.6.已知函數(shù)圖象如圖所示，則二次函數(shù)的圖象頂點的橫坐標(biāo)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，其中，則，由圖知，則的頂點橫坐標(biāo)為，故選：B.7.已知三棱錐中，平面，，，，，D為中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖所示，取BC的中點E，連接AE，DE，

則，或其補(bǔ)角即為異面直線AD與PC所成的角．由，，，則有，所以，E為BC的中點，則，平面ABC，中，，∴中，，∴，在中，根據(jù)余弦定理可得．所以異面直線AD與PC所成角的余弦值為.故選：D.8.已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗當(dāng)時，單調(diào)遞減，故在處取得最小值，最小值為，滿足要求，當(dāng)或時，，令得或，當(dāng)時，恒成立，故表格如下：0+0極小值極大值故在上取得極小值，且，，要想在區(qū)間上最小值為，則要，變形得到，令，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，且，，故的解集為，時，令可得，當(dāng)時，，令得，故在上單調(diào)遞減，故在處取得最小值，最小值為，滿足要求，當(dāng)時，恒成立，故表格如下：+00+極大值極小值故在上取得極小值，且，，要想在區(qū)間上的最小值為，則要，變形得到，令，，時，，單調(diào)遞增，又，故上，無解，綜上：實數(shù)a的取值范圍是.故選：C.二、多項選擇題9.已知，則下列不等式中正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由可得，對于A，作差可得，所以，即A正確；對于B，由可得，在兩邊同時乘以，所以，即，所以B錯誤；對于C，，所以，即C正確；對于D，已知，由不等式性質(zhì)可得，可得D正確.故選：ACD.10.已知函數(shù)，則（）A. B.對任意實數(shù)a，函數(shù)為奇函數(shù)C.存在實數(shù)a，使得為偶函數(shù) D.時，在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)〖答案〗BCD〖解析〗對于A，，A錯誤；對于B，的定義域為，關(guān)于原點對稱，且，故對任意實數(shù)a，函數(shù)為奇函數(shù)，B正確；對于C，當(dāng)時，，，此時為偶函數(shù)，故存在實數(shù)a，使得為偶函數(shù)，C正確；對于D，時，，則，因為在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞增，D正確，故選：BCD11.在正方體中，P為棱上的動點，則（）A.B.直線與平面所成的角為C.有且僅有一個點P，使得平面D.三棱錐的體積是定值〖答案〗ABD〖解析〗對于A，如下圖所示：由正方體性質(zhì)可知，且；又平面，平面，所以可得，即；又，平面，所以平面，又平面，所以，，可得，即A正確；對于B，連接交于點，連接，如下圖所示：由正方體性質(zhì)可知，，平面，平面，所以；又，平面，所以平面，所以即為直線與平面所成角的平面角，易知，又，可得，即B正確；對于C，如下圖所示：若使得平面，則只需滿足，因為，平面，所以平面；此時，所以的軌跡為以為直徑的圓與線段的交點，顯然以為直徑的圓與線段沒有交點，即不存在點，使得平面，所以C錯誤；對于D，如下圖所示：不妨設(shè)正方體的棱長為，易知三棱錐的體積為，是定值；可得D正確.故選：ABD12.歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)n，且與n互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)（公約數(shù)只有1的兩個正整數(shù)稱為互質(zhì)整數(shù)），例如：，，則（）A. B.數(shù)列單調(diào)遞增C.方程有無數(shù)個根 D.數(shù)列的前n項和為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，不超過正整數(shù)5，且與5互質(zhì)的正整數(shù)有，故，A正確；對于B，由于，，故數(shù)列不單調(diào)遞增數(shù)列，B錯誤；對于C，因為當(dāng)為質(zhì)數(shù)時，，而質(zhì)數(shù)有無數(shù)多個，故方程有無數(shù)個根，C正確；對于D，由A可知，而與互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)為減去5的倍數(shù)之后的正整數(shù)個數(shù)，即；與互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)為減去5的倍數(shù)之后的正整數(shù)個數(shù)，即；,由此可得，即為首項是4，公比為5的等比數(shù)列，所以數(shù)列的前n項和為，D正確，故選：ACD.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題13.不等式的解集為______．〖答案〗〖解析〗等式等價于，解得，所以原不等式的解集為．故〖答案〗為：．14.函數(shù)值域為______.〖答案〗〖解析〗當(dāng)時，函數(shù)的值域為，當(dāng)時，函數(shù)的取值集合為，所以函數(shù)的值域為.故〖答案〗為：15.已知數(shù)列為正項等比數(shù)列，且，則______.〖答案〗2023〖解析〗數(shù)列為正項等比數(shù)列，，則當(dāng)時，，所以.故〖答案〗為：202316.在邊長為2的菱形中，，沿對角線折起，使二面角的大小為，此時點A，B，C，D在同一個球面上，則該球的表面積為______.〖答案〗〖解析〗依題意，是邊長為2的正三角形，取中點，連接，則，是二面角的平面角，即，并且平面，而平面，于是平面平面，平面平面，令的外心為，顯然在上，且，在平面內(nèi)過作直線垂直于，則此直線垂直于平面，于是四面體的外接球球心在此直線上，即有平面，令的外心為，顯然在上，連接，則平面，而平面，于是，顯然，即≌，則，因此，從而四面體的外接球半徑，所以該球的表面積為.故〖答案〗為：.四、解答題17.已知函數(shù)．（1）求曲線在處的切線方程；（2）若函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個子集內(nèi)存在極值，求實數(shù)m的取值范圍．解：（1）由，則，所以，又，所以曲線在處的切線方程為，即．（2）由，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在時取得極小值，由此可得，解得．所以實數(shù)m的取值范圍為．18.已知函數(shù)，．（1）求證：函數(shù)為偶函數(shù)；（2）集合，，若，求實數(shù)a的取值范圍．（1）證明：依題意可得，當(dāng)時，，所以，得，當(dāng)時，，所以，得，所以為偶函數(shù)．（2）解：求結(jié)合（1）可得，當(dāng)時，，得，當(dāng)時，，得，所以，又，所以，解得，所以實數(shù)a的取值范圍為．19.展銷會上，在消費(fèi)品展區(qū)，某企業(yè)帶來了一款新型節(jié)能環(huán)保產(chǎn)品參展，并決定大量投放市場．已知該產(chǎn)品年固定研發(fā)成本為150萬元，每生產(chǎn)一臺需另投入380元．設(shè)該企業(yè)一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品萬臺且全部售完，每萬臺的銷售收入萬元，且（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬臺）的函數(shù)〖解析〗式；（利潤＝銷售收入－成本）（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬時，該企業(yè)獲得的利潤最大，并求出最大利潤．解：（1）求當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上，，（2）求當(dāng)時，，函數(shù)的對稱軸是，則函數(shù)在上遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最大值；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時的最大值為，因為所以當(dāng)年產(chǎn)量為25萬臺時，該公司獲得的利潤最大為1490萬元．20.把矩形以所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)180°，得到幾何體如圖所示.其中等腰梯形為下底面的內(nèi)接四邊形，且，點G為上底面一點，且，.（1）若P為的中點，求證：平面；（2）設(shè)，，試確定的值，使得直線與平面所成角的正弦值為.（1）證明：因為為直徑，所以，因為平面，平面所以，因為,平面，平面，所以平面，因為平面，所以，因為，P為的中點，所以，因為，平面,平面,所以平面（2）解：因為等腰梯形為底面半圓的內(nèi)接四邊形，，所以，所以，如圖，以為坐標(biāo)原點，在底面半圓過點垂直于平面作直線為x軸，分別以，為y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由于，，由（1）可知，故，，，，，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即令，則，由，，，可得，所以，設(shè)直線與平面所成角為，，則，即得，解得或，符合，故或21.設(shè)是數(shù)列的前n項和，已知，（1）證明：是等比數(shù)列；（2）求滿足的所有正整數(shù)n.（1）證明：由已知得，所以，其中，，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列；（2）解：由（1）知，所以，，所以，所以，當(dāng)時，單調(diào)遞減，其中，，，所以滿足的所有正整數(shù)n為1，2.22.已知函數(shù)，其中.（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若不等式對于任意的恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.（1）解：由，可得，可得，令，解得或，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為.（2）解：由不等式對于任意恒成立，不等式對于任意的恒成立，設(shè)，其中，可得，由（1）知，在單調(diào)遞增，故，若，可得，則單調(diào)遞減，有，符合題意；若，，符合題意，若，即時，，則在上單調(diào)遞減，可得，符合題意，若，即時，存在使得，當(dāng)時，，故，則單調(diào)遞增，可得，不合題意，綜上可得，，即實數(shù)的取值范圍.山東省濰坊市2024屆高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、單項選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，故.故選：B.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗A〖解析〗“，”的否定是“，”.故選：A.3.記是等差數(shù)列的前n項和，若，，則（）A.16 B.8 C.4 D.2〖答案〗C〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，根據(jù)題意可知，解得；所以可得.故選：C.4.把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體初始溫度為，空氣的溫度為，那么小時后物體的溫度可由公式求得，其中是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的冷卻系數(shù).現(xiàn)有、兩個物體放在空氣中冷卻，已知兩物體的初始溫度相同，冷卻小時后，、兩個物體的溫度分別為、，假設(shè)、兩個物體的冷卻系數(shù)分別為、，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可得，則，兩式相除可得，所以，，即.故選：A.5.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝BC＝2，AA1＝1，則點A到平面A1BC的距離為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)點A到平面A1BC的距離為h，因為AB＝AC＝BC＝2，所以，，由勾股定理得：，取BC中點D，連接，則，BD=1，故，所以，因為，所以.故選：B.6.已知函數(shù)圖象如圖所示，則二次函數(shù)的圖象頂點的橫坐標(biāo)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，其中，則，由圖知，則的頂點橫坐標(biāo)為，故選：B.7.已知三棱錐中，平面，，，，，D為中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖所示，取BC的中點E，連接AE，DE，

則，或其補(bǔ)角即為異面直線AD與PC所成的角．由，，，則有，所以，E為BC的中點，則，平面ABC，中，，∴中，，∴，在中，根據(jù)余弦定理可得．所以異面直線AD與PC所成角的余弦值為.故選：D.8.已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗當(dāng)時，單調(diào)遞減，故在處取得最小值，最小值為，滿足要求，當(dāng)或時，，令得或，當(dāng)時，恒成立，故表格如下：0+0極小值極大值故在上取得極小值，且，，要想在區(qū)間上最小值為，則要，變形得到，令，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，且，，故的解集為，時，令可得，當(dāng)時，，令得，故在上單調(diào)遞減，故在處取得最小值，最小值為，滿足要求，當(dāng)時，恒成立，故表格如下：+00+極大值極小值故在上取得極小值，且，，要想在區(qū)間上的最小值為，則要，變形得到，令，，時，，單調(diào)遞增，又，故上，無解，綜上：實數(shù)a的取值范圍是.故選：C.二、多項選擇題9.已知，則下列不等式中正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由可得，對于A，作差可得，所以，即A正確；對于B，由可得，在兩邊同時乘以，所以，即，所以B錯誤；對于C，，所以，即C正確；對于D，已知，由不等式性質(zhì)可得，可得D正確.故選：ACD.10.已知函數(shù)，則（）A. B.對任意實數(shù)a，函數(shù)為奇函數(shù)C.存在實數(shù)a，使得為偶函數(shù) D.時，在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)〖答案〗BCD〖解析〗對于A，，A錯誤；對于B，的定義域為，關(guān)于原點對稱，且，故對任意實數(shù)a，函數(shù)為奇函數(shù)，B正確；對于C，當(dāng)時，，，此時為偶函數(shù)，故存在實數(shù)a，使得為偶函數(shù)，C正確；對于D，時，，則，因為在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞增，D正確，故選：BCD11.在正方體中，P為棱上的動點，則（）A.B.直線與平面所成的角為C.有且僅有一個點P，使得平面D.三棱錐的體積是定值〖答案〗ABD〖解析〗對于A，如下圖所示：由正方體性質(zhì)可知，且；又平面，平面，所以可得，即；又，平面，所以平面，又平面，所以，，可得，即A正確；對于B，連接交于點，連接，如下圖所示：由正方體性質(zhì)可知，，平面，平面，所以；又，平面，所以平面，所以即為直線與平面所成角的平面角，易知，又，可得，即B正確；對于C，如下圖所示：若使得平面，則只需滿足，因為，平面，所以平面；此時，所以的軌跡為以為直徑的圓與線段的交點，顯然以為直徑的圓與線段沒有交點，即不存在點，使得平面，所以C錯誤；對于D，如下圖所示：不妨設(shè)正方體的棱長為，易知三棱錐的體積為，是定值；可得D正確.故選：ABD12.歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)n，且與n互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)（公約數(shù)只有1的兩個正整數(shù)稱為互質(zhì)整數(shù)），例如：，，則（）A. B.數(shù)列單調(diào)遞增C.方程有無數(shù)個根 D.數(shù)列的前n項和為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，不超過正整數(shù)5，且與5互質(zhì)的正整數(shù)有，故，A正確；對于B，由于，，故數(shù)列不單調(diào)遞增數(shù)列，B錯誤；對于C，因為當(dāng)為質(zhì)數(shù)時，，而質(zhì)數(shù)有無數(shù)多個，故方程有無數(shù)個根，C正確；對于D，由A可知，而與互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)為減去5的倍數(shù)之后的正整數(shù)個數(shù)，即；與互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)為減去5的倍數(shù)之后的正整數(shù)個數(shù)，即；,由此可得，即為首項是4，公比為5的等比數(shù)列，所以數(shù)列的前n項和為，D正確，故選：ACD.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題13.不等式的解集為______．〖答案〗〖解析〗等式等價于，解得，所以原不等式的解集為．故〖答案〗為：．14.函數(shù)值域為______.〖答案〗〖解析〗當(dāng)時，函數(shù)的值域為，當(dāng)時，函數(shù)的取值集合為，所以函數(shù)的值域為.故〖答案〗為：15.已知數(shù)列為正項等比數(shù)列，且，則______.〖答案〗2023〖解析〗數(shù)列為正項等比數(shù)列，，則當(dāng)時，，所以.故〖答案〗為：202316.在邊長為2的菱形中，，沿對角線折起，使二面角的大小為，此時點A，B，C，D在同一個球面上，則該球的表面積為______.〖答案〗〖解析〗依題意，是邊長為2的正三角形，取中點，連接，則，是二面角的平面角，即，并且平面，而平面，于是平面平面，平面平面，令的外心為，顯然在上，且，在平面內(nèi)過作直線垂直于，則此直線垂直于平面，于是四面體的外接球球心在此直線上，即有平面，令的外心為，顯然在上，連接，則平面，而平面，于是，顯然，即≌，則，因此，從而四面體的外接球半徑，所以該球的表面積為.故〖答案〗為：.四、解答題17.已知函數(shù)．（1）求曲線在處的切線方程；（2）若函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個子集內(nèi)存在極值，求實數(shù)m的取值范圍．解：（1）由，則，所以，又，所以曲線在處的切線方程為，即．（2）由，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在時取得極小值，由此可得，解得．所以實數(shù)m的取值范圍為．18.已知函數(shù)，．（1）求證：函數(shù)為偶函數(shù)；（2）集合，，若，求實數(shù)a的取值范圍．（1）證明：依題意可得，當(dāng)時，，所以，得，當(dāng)時，，所以，得，所以為偶函數(shù)．（2）解：求結(jié)合（1）可得，當(dāng)時，，得，當(dāng)時，，得，所以，又，所以，解得，所以實數(shù)a的取值范圍為．19.展銷會上，在消費(fèi)品展區(qū)，某企業(yè)帶來了一款新型節(jié)能環(huán)保產(chǎn)品參展，并決定大量投放市場．已知該產(chǎn)品年固定研發(fā)成本為150萬元，每生產(chǎn)一臺需另投入380元．設(shè)該企業(yè)一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品萬臺且全部售完，每萬臺的銷售收入萬元，且（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬臺）的函數(shù)〖解析〗式；（利潤＝銷售收入－成本）（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬時，該企業(yè)獲得的利潤最大，并求出最大利潤．解：（1）求當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上，，（2）求